超几何分布、二项分布的期望与方差公式的统一证法

超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。

它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。

本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。

一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。

具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。

其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。

超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。

2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。

3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。

超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。

例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。

二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。

具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。

其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。

二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。

2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。

两点分布，二项分布及超几何分布【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1．两点分布：若随机变量X 的分布列是其中0<p <1，q ＝1－p ，则离散型随机变量X 服从两点分布，且称p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有ξ件次品，则事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min {M ，n}，且m ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.称分布列为超几何分布．如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列，则称随机变量ξ服从超几何分布． 3.二项分布(1)进行n 次试验，如果满足下列条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； ② 每次试 验“成功”的 概 率 均为p ，“失败”的概率为1－p ； ③各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝ .若一个随机变量X 的分布列如上所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 . (2)二项分布的期望与方差．若随机变量X ～B (n ，p )，则EX ＝ ，DX ＝ . 方法规律总结1.求超几何分布的分布列、期望的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N ，M ，n 的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列； 第四步，根据定义求出期望2.二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤： 第一步，先判断随机变量是否服从二项分布；第二步，若服从二项分布，一般是通过古典概型或相互独立事件的概率公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少；第三步，根据二项分布的分布列P(X ＝k)＝C k n p k(1－p)n －k(k ＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列．【指点迷津】【类型一】两点分布【例1】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝ 1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1)99100. (2) 2. 【例2】：据IEC(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A 位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E (ξ)，E (η)； (2)某公司计划用不超过100万元的资金投资A ，B 项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z ＝E (ξ)＋E (η)的最大值． 【解析】： (1)投资A 项目的利润ξ则E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . 投资B 项目的利润η则E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y (2)由题意可知x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，x ≥y ，x ，y ≥0，其表示的可行域如图中阴影部分所示．由(1)可知，z ＝E (ξ)＋E (η)＝0.1x ＋0.2y ，当直线y ＝－0.5x ＋5z 过点(50，50)时，z 取得最大值，即当x ＝50，y ＝50时，z 取得最大值15. 故对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元 答案：(1) ξ的分布列为E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . η的分布列为E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y .(2) 对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元【类型二】超几何分布【例1】：(2015·重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】： (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．答案：(1) 14. (2) 35．【例2】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】： (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35， P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的数学期望为EX ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1) 99100. (2) 2.【类型三】两项分布【例1】：某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列分别为 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率． 【解析】：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y .当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z 1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800.故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 答案：(1)最大获利Z 的分布列为E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2) 0.973. 【例2】：在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选一题，设5名同学选做这三题中任意一题的可能性均为13，每位同学对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解析】：(1)设事件A 1表示“甲选22题”，A 2表示“甲选23题”，A 3表示“甲选24题”，B 1表示“乙选22题”，B 2表示“乙选23题”，B 3表示“乙选24题”，由甲、乙选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立， 所以P(A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＋P(A 3)P(B 3)＝3×19＝13.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5，则ξ～B(5，13)，所以P(ξ＝k)＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k 525－k35，k ＝0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为所以E ξ＝np ＝5×13＝53.答案：(1) 13. (2) 53.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一．选择题1.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ＝( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 【解析】：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A.2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582【解析】：“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38×C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.答案：D ．3.在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4，1]B ．(0，0.4]C ．(0，0.6]D ．[0.6，1]【解析】：由题知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A ． 答案：A ．4.随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 【解析】：∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X ＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 答案：A ．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|a －b |的取值”，则X 的数学期望E (X )为( )A.89B.35C.25D.13【解析】：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值有0，1，2.P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，故E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.答案：A. 二．填空题6.设随机变量X ～B(6，12)，则P(X ＝3)的值为 (用最简的分数作答）【解析】：P(X ＝3)＝C 36(12)3(12)3＝516. 答案：516. 7.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】：由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.答案：12.8.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________．【解析】：∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927.答案：1927.三．解答题9.某校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若考核为合格，则授予1个学分；若考核为优秀，则授予2个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，且他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 【解析】：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀”为事件D ，则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－15×13×13＝4445.(2)由题意，得X 所有可能的取值是3，4，5，6，P (X ＝3)＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝145，P (X ＝4)＝P (A B C )＋P (ABC )＋P (A B C )＝845，P (X ＝5)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝49，P (X ＝6)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝1645，所以故E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.答案：(1) 4445.(2) X E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.10.某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(3)求这3名学生中选择A 选修课的人数X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)每个学生有4个不同的选择，根据分步计数原理，选法总数N ＝4×4×4＝64.(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ，则P (E )＝C 24C 23A 2243＝916，即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916. (3)方法一：X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764， P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164，所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二：因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14，没被选中的概率均为34，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B 3，14，P (X ＝0)＝343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×142×34＝964，P (X ＝3)＝143＝164， 所以X故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.答案：(1) 64. (2) 916.(3) X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.【二级目标】能力提升题组一．选择题1.已知集合A ＝{x |2x 2－x －3＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪y ＝lg1－x x ＋3，在区间(－3，3)上任取一实数x ，则x ∈A ∩B 的概率为( )A.14B.18C.13D.112【解析】：由2x 2－x －3<0，得－1<x<32.由1－xx ＋3>0，得x －1x ＋3<0，∴－3<x<1.∴A ∩B ＝{x|－1<x<1}，故所求概率P ＝26＝13.答案：C.2.某同学做了10道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是( )A ．3×10－4B ．3×10－5C ．3×10－6D ．3×10－7【解析】：P ＝C 910·149×34＋C 1010·1410＝30×1410＋1410＝31×1410＝31×12102＝31×110242≈31×(10－3)2＝31×10－6＝3×10－5. 答案：B ． 二．填空题3.[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．【解析】：设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案：25.三．解答题(1)求在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆的概率；(2)用X 表示在未来三天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆”，则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05， 所以P (B )＝0.70×0.70×0.05×2＝0.049. (2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03×(1－0.7)3＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×(1－0.7)2＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×(1－0.7)＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343， 所以X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)答案：(1) 0.049.(2) X 的分布列为E (X )＝3×0.7＝【高考链接】1.[2015·福建卷] 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解析】：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23，所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.答案：(1) 12.(2) X 的分布列为E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2.[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)【解析】： (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝AB∪AB，A，B相互独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（3）EX＝x－.答案：(1) 0.5. (2)1325. （3）EX＝x－.3.[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【解析】：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.答案：(1) 0.31.(2)2.。

二项分布期望和方差的一种求法
晏玲莉
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】1992(000)002
【摘要】设随机变量X服从二项分布B（n,p）则
P{X=k}=C_n^kp^k（1-p）^n-k=C_n^kp^kq^n-
k k=0,1,…,q=1-p。

【总页数】1页(P107-107)
【作者】晏玲莉
【作者单位】中南工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导 [J], 韩晓东
2.超几何分布的期望和方差的一种新求法 [J], 马松林
3.二项分布的期望和方差的计算方法综述 [J], 程志明
4.计算二项分布与负二项分布期望、方差的新思路 [J], 韩非
5.负二项分布的数学期望和方差的一种求法 [J], 王瑞瑞; 李金伟
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二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。

数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。

首先，我们来定义二项分布。

设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。

则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。

1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。

对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。

二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。

根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。

对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。

二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。

根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。

另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。

3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。

-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。

性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。

-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。

成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。