几何分布的定义以及期望与方差
几何分布(Geometric distribution )是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中, 试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前 k-1次皆失败，第k次成功的概率。
公式：
它分两种情况：
1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3,…』;
2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.
由两种不同情况而得出的期望和方差如下：
概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则 X的分布列：
P(X二灯二加(打二(1-P尸％
口23…"・・
具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数 p的几何分布，记为 X~Geo(p)。几何分布的期望
II )比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中
(1)E = -，(2)D二匕当，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。p P
(1)由P「二k) =q k'p，知
高中数学教科书新版第三册(选修
只给出了结论:
< 2 k 1 2 k 1
E 二 p 2pq 3q p M p ，（1 2q 3q kq _
） p
下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记
2
k 1
S k
-1 2q 3q kq qSk =q 2q 2 (k -1)q k ， kq k
两式相减，得
2
k 1
k
(1 一 q)S k
=1 q q 恥川q - kq
1 _q k kq k (1 -q)2
k
由 0 ： p :: 1，知 0 ： q ： 1，则 lim
q = 0，故
1 2p 3q 2
卡q k
j 二 lim S k
k _SC
从而E J
p
_ a 1
S — （|q|：：：1）（见教科书91页阅读材料），推导如下:
1 -q
记 S = 1 2q 3q 2
侶 - ^kq k 亠
qS = q 2q 2 亠亠(k - 1)q k °
相减，
2 k 1
1 (1 -q)S =1 q q q
1 -q
1 (1 -q)2
也可用无穷等比数列各项和公式
1 (1-q)21
2 p
还可用导数公式（x n
）'=： nx n
」，推导如下:
1 2x 3x 2^ ：：；kx k J
二 X'(X 2
)'(X 3
)- (x k
)'
=(x X 2 - X 3："-卷x k •…)'
（
X 、’
（1 -x ） -（-x ）
-（1 —x 八（1 —X ）2
1 「1 -x ）2
上式中令x =q ，则得
(2)为简化运算，利用性质 D = E 2
-(E )2
来推导(该性质的证明，可见本刊
6页)。
可见关键是求E 2
。
E F = p +22qp +32q 2 p 半…+k 2q k 」-
=p(1 22q 32q 2
k 2
q2
)
对于上式括号中的式子，利用导数，关于
q 求导：k 2q k ‘ =(kq k
)'，并用倍差法求和，有
2 2 2 2 k ■.
1 2 q 3 q k q
-(q 2q 2 3q 3 kq k
r q r
_ (1-q)2
+2(1-q)q -[
2 ]
4
(1-q) (1-q)
1-q 2
1 q
2 - p
— =
=
3~
(1 —q) (1 —q) p
2
k 1
1 2q 3q kq
1 (1 -q)2
2
2-p 2-p
. .2 2
2 -p 1 2 1-P
则 E 2
= p(点)
2
，因此 D 二 E 2—(E)2
2
(_)
2L
P
P
ppp
利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1. 一个口袋内装有 5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球， 取出黑球就放回，取出
白球则停止摸球。求取球次数
的数学期望E 与方差D 。
5
2
解：每次从袋内取出白球的概率
p ,取出黑球的概率q 。'的取值为1, 2, 3,……,
7 7
有无穷多个。我们用上二k 表示前k-1次均取到黑球，而第 k 次取到白球，因此
H
k 」2k 」
5 M
P( =k)=q p=(' ( )(k = 1,2,3/ )。可见 服从几何分布。所以
E 二丄
25
例2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为 p (0连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。
解：射手射击次数的可能取值为
1, 2,…，9, 10。
若『：=k(k =1,2，…，9)，则表明他前k-1次均没击中目标，而第 k 次击中目标；若k= 10, 则表明他前 9次都没击中目标，而第
10次可能击中也可能没击中目标。因此
的分布列为
k
(1 -p) p(k =1,2/ ,9) (1 -P )9(k =10)
E =1
(1—p)°p 2
(1 — p)p V (1 — p)8p 10
(1 — p)9
8
9
1 -p
1一5
14
