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Cin--
2 2
p
i-
2
qn
-
i
+
i= 2
n
np
Cin--
1 1
p
i-
1
qFra Baidu bibliotek-
i
-
n2p 2
i= 1
= p 2n ( n - 1) ( p + q ) n- 2 + np ( p + q ) n- 1 - n2p 2
= p 2n ( n - 1) + np - n2p2
= np - p2 n
= np ( 1- p ). 二、超几何分布
其中 l= m in( n, M ).
E( x) =
l i= 0
i
CMi
Cn- i N -M
CNn
=
M CNn
l
C C i- 1 n- i M - 1 N-M i= 1
=
M CNn
CNn
-
1 1
(利用预备公式
3可得 )
=
nM N
.
V(x) =
l i= 0
i2
CMi
Cn- i N -M
CNn
-
Mn 2 N
n- 1
n
Cnn- 1pn- 1 q Cnnpn
n
E( ) =
iCinp i qn- i
i= 0
n
=
iCinp i qn- i
i= 1
n
=
nCin-- 11p iqn- i (利用预备公式 1可得 )
i= 1
n
= np
Cin-- 11p i- 1 qn- i
i= 1
= np ( p + q) n- 1
二项分布、超几何分布数学期望
与方差公式的推导
韩晓东 (江苏省淮阴中 学 223002)
高中教材中 对二 项分布、超 几何 分布数 学期 望与 方差
公式没有给出推 导过 程, 现 笔者 给出 一推导 过程 仅供 读者
参考.
预备公式 1
iCni
=
n
Cin--
1 1
(n
1), 利用组合数计算公式即可证明.
+
M CNn
l
C C i- 1 n - i M - 1 N- M
-
i= 1
Mn 2 N
=
M CNn
(M
-
1)
CNn--
2 2
+
M CNn
Cn- 1 N- 1
-
=
n
M N
1- M N
1-
nN-
1 1
.
Mn 2 N
预备公式 2
D = E 2 - (E )2, 证明见教材.
预备公式 3
C0n Cmk + C1n Cmk- 1 + Cn2Cmk- 2 + + Ckn Cm0 = Ckn+ m ( n, m, k N* , k n, k m ), 利用 恒等 式 ( 1 + x ) n+ m = ( 1 + x ) n ( 1 +
=
M CNn
l
iCMi --11
CNn
-
i M
-
i= 1
Mn 2 N
=
M CNn
l i= 1
(
i-
1)
C C i- 1 n- i M- 1 N -M
+
M CNn
l
C C i- 1 n - i M - 1 N- M
-
i= 1
Mn 2 N
l
=
M CNn
(M
-
1)
i= 2
C C i- 2 n- i M - 2 N -M
一批产品共 N 件, 其中有 M 件不合格品, 随机 取出的 n
件产品中, 不合格数 X 的概率分 布为:
X
0
1
2
3
P
CM0 CNn - M
CM1
CNn
-1 -M
CM2
CnN
-2 -M
CM3
CNn
-
3 M
CnN
CNn
CNn
CNn
l- 1
l
CMl-
1
CnN
+ -
1M
l
CMl
CNn--
l M
CNn
CnN
= np.
V( ) = E 2 - (E )2
n
=
i2 Cin pi qn - i - n2p2
i= 0
n
=
n
iCin--
1 1
p
i
qn-
i
-
n2p 2
i= 1
n
n
=n
( i- 1) Cin-- 11pi qn- 1 + n
Cni-- 11p iqn - i - n 2p2
i= 1
i= 1
n
= p2 n( n- 1)
x ) m 的二项展开式中 xk 的系数相等可证.
一、二项分布
在独立重复实验中, 某结 果发生 的概率 均为 p (不 发生
的概率为 q, 有 p + q = 1), 那么在 n次 实验中 该结果 发生的
次数 的概率分布为:
0
1
2
3
P C0n qn C1npqn - 1 C2np2 qn- 2 Cn3p3 qn- 3
