高中数学 二项分布-超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。

本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。

二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。

假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。

二项分布可以记作$B(n,p)$。

二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。

它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。

超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。

从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。

二项分布的数学期望X ～b(n,p)，其中n≥1,0<p<1.P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.EX=np,DX=np(1-p).证明方法(一)：将X 分解成n 个相互独立的，都服从以p 为参数的(0-1)分布的随机变量之和：X=X1+X2+...+Xn,Xi ～b(1,p)，i=1,2,...,n. P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.EXi=0*(1-p)+1*p=p,E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).EX=EX1+EX2+...+EXn=np,DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).证明方法(二)：EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n -k) =np∑C(k -1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1)=np∑C(k,n -1)p^kq^(n-1-k) =np∑b(k;n -1,p) =npDX=npq 可用公式DX=EX^2-(EX)^2求出EX^2=∑k^2b(k;n,p) =∑[k(k -1)+k]b(k;n,p)=∑k(k -1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p) =n(n -1)p^2∑b(k;n -2,p)+np=n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq=n^2p^2+npq 所以DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2 =npq 二项分布和超几何分布的数学期望当X ～B (n ，p )时，E (X ) = ?n r = 1r C r n p k q n ? k ? np ?n r = 1C r ? 1n ? 1 p k ? 1q n ? k ? np (p ? q )n ? 1 ? np ．为求超几何分布的数学期望，我们先建立数学期望的基本性质：性质1 若a ≤X ≤b ，则a ≤E (X )≤b ．特别地，E (c ) ? c ，这里的a ，b ，c 是常数；性质2 线性性：对任意常数c i ，i ? 1, 2, …, n ，及b ，有E (?n i =1c i X i ? b ) ? ?ni =1c i E (X i ) ? b ． 下面计算超几何分布X ～H (n ，M ，N )的数学期望．设想一个相应的不放回抽样，令X i ? ⎩⎨⎧1，第i 次抽得废品；0，第i 次抽得好品，则P (X i ? 1) ? M N ，因此E (X i ) ? M N，而X ? X 1 ? X 2 ? … ? X n 表示n 次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质2，得到E (X ) = E (X 1) ? … ? E (X n ) ? nM N．。

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
新知识必须尽快掌握，以便继续进行研究，增强自己的知识储备。

本文将从数学概念的角度，讨论二项分布、超几何分布的数学期望和方差的推导。

二项分布是一种独立重复试验的结果，它有两个参数，即试验的次数(n)和每次试验事件发生概率(p)。

二项分布的数学期望和方差是通过下式表示的：
E(X)=n*p
Var(X)=n*p*(1-p)
以上公式表明，试验的次数和事件发生的概率都会影响随机变量数学期望及方差的大小。

超几何分布也是一种独立重复试验的结果，但它有3个参数，即试验的次数(n)、事件会发生概率(p)及试验中一次命中多个特定事件的概率(m)。

超几何分布的数学期望和方差可以用下面的公式来描述： E(X)=n*p*m
Var(X)=n*p*m*(1-p)
以上公式表明，试验的次数、事件发生的概率及多个特定事件的概率都会影响随机变量数学期望及方差的大小。

借助上述推导，通过研究事件发生概率对随机变量数学期望及方差的影响，可以为科学研究和统计预测提供有效的数学模型。

本文介绍了二项分布和超几何分布数学期望和方差的推导方法，分析了事件发生概率对随机变量的影响。

希望本文能对读者有所帮助，
让大家对相关概念获得更深刻的理解。

从数学概念的角度来看，二项分布和超几何分布的数学期望和方差公式都可以推出。

二项分布由两个参数推导出期望和方差，而超几何分布由三个参数推导出期望和方差。

这些数学模型能为统计预测和科学研究提供有效的参考。

二项分布的期望与方差的证明第一篇：二项分布的期望与方差的证明二项分布的期望与方差的证明二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。

种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。

如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况，后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称，叫相互对立事件。

在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。

在n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出发生x次的概率为C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从n，p的二项分布记做x～B(n，p)。

现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。

好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。

首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。

期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知：Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算数学期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ) =∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p如果要计算方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出结果，过程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]=n*p*[n*q－(n-1)*q]=n*p*q以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……第二篇：二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望的方差的证明山西大学附属中学韩永权离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(ξ=k)=Cnkpkqn-k，（k=0,1,2n q=1-p）称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p 为参数，并记Cnkpkqn-k＝b(k；n，p)．求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望Eξ=np.kk-1证明如下：预备公式：kcn=ncn-1 00n-10n-220n-2k-1k-1(n-1)-(n-k)n-1n-10(p+q)n-1=(cn+c 1+cn+...+cnq+...+cnq)-1pqn-1pq-1pq-1p-1pkkkkn-k因为p(ξ=k)=cnp(1-p)n-k=cnpq,00n1n-122n-2kkn-kn0n所以Eξ=0⨯cnpq+1⨯c1++2⨯cnpq+...+k⨯cnpq+...+ncnpq npq 00n-110n-220n-2k-1k-1(n-1)-(n-k)n-1n-10=np(cnpq+cpq +cpq+...+cpq+...+cq)-1n-1n-1n-1n-1p=np(p+q)n-1=np所以Eξ=np方法二：证明：若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。

二项分布的期望的方差的证明山西大学附属中学 韩永权离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2k n = p q -=1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ1 2 3...1n -nP0nn C q11n n C pq - 222n n C p q - 333n n C p q -...11n n n C p q --n nn C p称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．1 求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.证明如下：预备公式： 11k k n n kc nc --=100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++因为()(1),k k n k k k n k n n p k c p p c p q ξ--==-=所以 001112220012......n n n k k n k n n n n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=⨯+⨯++⨯++⨯++ =00110220211(1)()11011111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c pq ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以E np ξ= 方法二：证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。

在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。

一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。

记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。

根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。

二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。

二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。

根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。

三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。

记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。

根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。

四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。

超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。

根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。

预备公式一11--=k n k n nC kC （1≥n ），利用组合数计算公式即可证明。

预备公式二[]22)()()(ξξξE E D -=，证明过程可见教材。

预备公式三22)1()1(---=-k n k n C n n C k k （2,2≥≥k n ），利用组合数计算公式即可证明。

预备公式四),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C k n m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++-- ，利用恒等式m n nm x x x )1()1()1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。

一、二项分布在n 次独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为p （10<<p ），事件A 发生次数为ξ，则ξ的概率分布列为：np p p np p pC np p p nC p p kC p p kC E n nk k n k k n nk kn k k n nk kn kk nnk kn kkn=+-=-=-=-=-=-=----=---=-=-∑∑∑∑1111111110)1()1()1()1()1()(ξ2.二项分布的方差[])1()1()1()1()1()1()1()()1()1()1()1()1()1()()1()()()(222222n2222222n22222n222n1n122n122n222p np p n np p p p n n p n np p p Cp n n p n np p p C n n p n E p p C k k p n p p kC p p C k k p n p p C k np p p C k E E D n k k n k k n k k n k k n k kn kknk k n kk n k kn kknk k n kk n k kn kkn-=-++--=-+--=-+--=-+--=--+--=--=--=-=-=----=---=-=-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑ξξξξ二、超几何分布一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，N -M 件合格品，从中随机取出n 件产品中，X 其中（，）。

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。

本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。

一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。

1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。

超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。

2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。

超几何分布数学期望推导
超几何分布是一种非平衡分布，可以用来描述不同时间周期内随机抽样的情况。

超几何分布中的数学期望（也称为平均值或期望值）可以用来测量超几何分布的总体偏斜程度，从而指导许多实际问题的研究和解决方案的制定。

超几何分布的数学期望定义为：N个对象中的某一类对象的期望数量。

其公式可由以下公式推导：E(X) = NP，其中N表示试验次数，P表示抽样中特定对象出现的概率。

因此，我们可以运用超几何分布计算数学期望，来描述在不同条件下特定对象出现的概率，以及抽样中特定对象出现的期望数量。

这将对我们探索现实中的许多问题有很大的帮助：例如，在调查一些品种的食品中发现的污染物等。

此外，数学期望是超几何分布的重要参数，也是指导工作和计划解决问题的参考基准。

计算数学期望后，我们可以判断特定情况下，抽样结果的偏斜程度，从而制定出具体的解决方案，并获得积极的结果。

总之，超几何分布的数学期望可以用来估计抽样结果的可靠度，避免出现偏斜的结果，以及形成的解决方案的可行性。

有效的应用超几何分布的数学期望可以帮助我们找到更好的解决方案，并推动现实问题的研究和解决。

二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导一维随机变量期望与方差二维随机变量期望与方差协方差1.一维随机变量期望与方差：公式：离散型：E（X）=∑i=1->nXiPiY=g（x）E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi连续型：E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dxY=g（x）E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx方差：D（x）=E（x2）-E2（x）标准差：根号下的方差常用分布的数学期望和方差：0~1分布期望p 方差p（1-p）二项分布B（n，p）期望np，方差np（1-p）泊松分布π（λ）期望λ方差λ几何分布期望1/p ,方差（1-p）/p2正态分布期望μ，方差σ2均匀分布，期望a+b/2,方差（b-a）2/12指数分布E（λ）期望1/λ,方差1/λ2卡方分布，x2（n）期望n 方差2n期望E（x）的性质：E（c）=cE（ax+c）=aE（x）+cE（x+-Y）=E（X）+-E（Y）X和Y相互独立：E（XY）=E（X）E（Y）方差D（X）的性质：D（c）=0D（aX+b）=a2D（x）D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）X和Y相互独立：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）2.二维随机变量的期望与方差：3.协方差：Cov（X，Y）：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）协方差：Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）相关系数：ρxY=Cov（X，Y）/X的标准差*Y的标准差ρxY=0为X与Y不相关记住：独立一定不相关，不相关不一定独立。

协方差的性质：Cov（X，Y）=Cov（Y，X）Cov（X，C）=0CoV（X，X）=D（X）Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）。

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。

预备公式一11--=k n k n nC kC （1≥n ），利用组合数计算公式即可证明。

预备公式二[]22)()()(ξξξE E D -=，证明过程可见教材。

预备公式三22)1()1(---=-k n k n C n n C k k （2,2≥≥k n ），利用组合数计算公式即可证明。

预备公式四),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C k n m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++-- ，利用恒等式m n nm x x x )1()1()1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。

一、二项分布在n 次独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为p （10<<p ），事件A 发生次数为ξ，则ξ的概率分布列为：np p p np p pC np p p nC p p kC p p kC E n nk k n k k n nk kn k k n nk kn kk nnk kn kkn=+-=-=-=-=-=-=----=---=-=-∑∑∑∑1111111110)1()1()1()1()1()(ξ2.二项分布的方差[])1()1()1()1()1()1()1()()1()1()1()1()1()1()()1()()()(222222n2222222n22222n222n1n122n122n222p np p n np p p p n n p n np p p Cp n n p n np p p C n n p n E p p C k k p n p p kC p p C k k p n p p C k np p p C k E E D n k k n k k n k k n k k n k kn kknk k n kk n k kn kknk k n kk n k kn kkn-=-++--=-+--=-+--=-+--=--+--=--=--=-=-=----=---=-=-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑ξξξξ二、超几何分布一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，N -M 件合格品，从中随机取出n 件产品中，X 其中（，）。

二项分布的期望和方差的详细证明大家好，今天咱们来聊聊那个让人头疼的数学问题——二项分布。

别急，慢慢来，让我用轻松幽默的方式带你走进这个神秘的世界。

咱们得知道什么是二项分布。

想象一下，你参加了一个游戏，有两次机会，每次成功的概率是0.5，失败的概率也是0.5。

这就是二项分布的基本模型。

那么，二项分布的期望和方差是什么呢？别急，咱们一步步来。

先说说期望吧。

简单来说，期望就是所有可能结果加起来的平均数。

在二项分布中，期望就是0.5乘以0.5，也就是0.25。

这就像是玩游戏，你每次都有机会赢，但总有一个机会是输的，所以平均下来，你赢了一半的机会，输了一半的机会。

再来说说方差。

方差嘛，就是每个结果与期望的差距的平方的平均值。

在二项分布中，方差就是0.25的平方再除以2，也就是0.125。

这就像玩游戏，你每次都有机会赢或者输，但总有一些意外情况发生，导致你离期望越来越远。

现在咱们来个小游戏，看看二项分布的期望和方差是怎么计算的。

假设你有两次机会，第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。

那么，第一次的结果可能是成功或失败，第二次的结果也同理。

这样，我们可以得到一个二项分布的样本。

接下来，我们要计算期望和方差。

计算期望。

假设第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。

那么，第一次和第二次成功的概率相加为0.3+0.4=0.7，失败的概率相加为0.7+0.6=1.3。

所以，期望就是0.7乘以0.7，也就是0.49。

这就像是玩游戏，你每次都有机会赢，但总有一些意外情况发生，导致你离期望越来越远。

然后，我们来计算方差。

假设第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。

那么，第一次和第二次成功的概率相加为0.3+0.4=0.7，失败的概率相加为0.7+0.6=1.3。

所以，方差就是0.7乘以0.7再除以2，也就是0.49的平方再除以2，也就是0.125。

二项分布方差公式推导过程二项分布是统计学中非常重要的概率分布，它可以用来描述独立试验中发生成功次数的分布。

该分布具有两个参数，即成功概率p和试验次数n。

二项分布的方差表达式如下：VAR(X)=np(1-p)现在，让我们来看看二项分布方差公式的推导过程。

首先，我们需要讨论该分布的期望值。

期望值的计算公式如下： E(X) = np从这一式子可以看出，二项分布的期望值等于试验次数乘以成功概率。

其次，我们考虑二项分布的方差。

由于方差的定义：VAR(X)=E[(X-E(X))^2]所以，可以得出：VAR(X)=E[X^2] - [E(X)]^2接下来，我们推导出X的平方期望值。

由于独立试验的假设，我们可以得出：E[X^2] = (E[X])^2 + VAR(X)将期望值E(X)带入上式，即可得到：E[X^2] = np + np(1-p)将平方期望值带入方差定义中，得出：VAR(X)=np + np(1-p) - [np]^2计算结果为：VAR(X)=np(1-p)最后，我们需要检验推导的结果是否正确。

我们将以下参数带入推导的结果中：p=0.5， n=10VAR(X)=10 * 0.5 * (1-0.5)检验结果为：2.5因此我们可以确认推导的结果是正确的，二项分布的方差公式为：VAR(X)=np(1-p)。

通过这一推导，我们可以明确了二项分布的平方期望值、期望值以及方差之间的关系，有助于我们进行更全面深入的研究。

另外，了解二项分布的方差也可以帮助我们更好地分析数据，估算变量之间的相似性和变化情况，从而辅助决策过程。

总之，二项分布的方差公式是非常重要的，它可以用来定量描述随机变量变化情况，从而帮助我们更有效地进行数据分析和决策。

二项分布的方差公式推导二项分布是描述了在一系列独立重复的是/非试验中成功次数的概率分布。

在这篇文章中，我们将推导二项分布的方差公式，这个公式是描述二项分布离散程度的重要指标。

首先，我们回顾一下二项分布的定义。

设X表示n次独立重复的是/非试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。

那么X服从参数为n和p的二项分布，其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) p^k (1-p)^(n-k)。

其中 (n choose k) 表示组合数，即从n个不同元素中选取k 个元素的组合数。

这是二项分布的概率质量函数，描述了成功次数为k的概率。

接下来，我们推导二项分布的方差公式。

方差是描述随机变量离散程度的指标，对于二项分布而言，其方差公式为Var(X) =np(1-p)。

现在，让我们来看一下如何推导这个公式。

首先，我们知道方差的定义为Var(X) = E[(X μ)^2]，其中E表示期望，μ表示随机变量的均值。

对于二项分布而言，其均值为μ = np，因此我们可以将方差的定义展开为：Var(X) = E[(X np)^2]接下来，我们计算E[(X np)^2]。

由于X服从二项分布，我们可以利用概率质量函数计算期望：E[(X np)^2] = Σ (k=0 to n) ( (n choose k) p^k (1-p)^(n-k) (k np)^2 )。

接下来，我们可以利用二项式定理展开 (k np)^2，然后利用组合数的性质简化表达式。

经过一系列的代数化简，我们最终得到Var(X) = np(1-p)。

通过以上推导，我们得到了二项分布的方差公式。

这个公式告诉我们，在参数为n和p的二项分布中，成功次数的离散程度可以用np(1-p)来描述。

这个公式对于理解二项分布的性质和应用具有重要意义。

总之，通过本文的推导，我们了解了二项分布的方差公式是如何推导出来的，以及这个公式的重要性。

希望本文能够帮助读者更深入地理解二项分布及其在实际问题中的应用。

推导二项分布期望与方差,偶得一类分布列期望公式
刘亚敏;周鸿高
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2024()9
【摘要】二项分布的期望与方差公式从形式上可以看成两点分布的期望与方差的n倍.本文利用两点分布快速推导得到二项分布的期望与方差,并揭示独立事件和的期望与方差的性质,进一步得到一类“闯关分布”问题的期望公式,然后通过实例说明得到的相关性质在解题中的应用.
【总页数】4页(P34-37)
【作者】刘亚敏;周鸿高
【作者单位】广东省佛山市顺德区勒流中学;广东省佛山市南海区南海中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导
2.二项分布的期望和方差的计算方法综述
3.计算二项分布与负二项分布期望、方差的新思路
4.负二项分布的数学期望和方差的一种求法
5.二项分布期望和方差的一种求法
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