函数y=ax2+k的图象及其性质

1
2
3
y=x2+1 y=x2-1
… …
10 8
5 3
2 0
2 0
5 3
10 8
… … …
-1
抛物线y=x2 y=x2+1,y=x2－1的开口方 向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1 与抛物线y=x2有 什么关系?
(1)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
y=x2+1 y=x2－1
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是最低点
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 ，在___
,对称轴
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=
增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
x
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 y
1 yy x2 1 2 1
x
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
x y 6 3
例题2
开口方向 对称轴
向上 向上 向下 向下 Y轴 X=h Y轴 X = -h
顶点坐标
（ 0， 0）
（ h， 0）

① 抛物线 y ② 抛物线 y ③ 抛物线 y （0，1），顶点是最低点 轴 x 2的开口方向 向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
x 2 1的开口方向向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为 （0，1），顶点是最 低点 轴
a正负→开口方向 a相同→
⑤ 观察抛物线有何异同？ |a|越大开口越小 |a|越小开口越大
a大小→开口大小→
b相同→ 对称轴相同 当c>0时，向上平移 c相同→ 顶点不同→ 当c<0时，向下平移
１
归 纳
推一推抛物线的一些性质？
① 抛物线 y ax 2 c 的对称轴是y轴 ，顶点是（0，c） ② 当a>0时，抛物线开口 向上，顶点是最低 点
2
y x2 x
y ax 2 bx(a 0, c 0)
是不是二次函数？
3、一般地，抛物线
y ax 是轴对称图形，对称轴是y
2
轴，顶点是(０，０)。当a>0时，开口向上，顶点是图像
的最低点；当a<0时，开口向下，顶点时图像的最高点。
4பைடு நூலகம்二次函数
yx
2
与y
x 的图像关于x轴对称。
当a<0时，抛物线开口向下，顶点是最 高点
③ |a|的值越大，抛物线开口越小 |a|的值越小，抛物线开口越大
2 ④ 当c>0时，抛物线 y ax c是由 y ax 2 向上 平移k 个单位得到的；
当c<0时，抛物线 y ax 2 c是由 y ax 2 向下平移k 个单位得到的；
2
归纳：
a的正负决定了函数图像的开口方向， a的大小决定了函数图像的开口大小，即a决定 了函数图像的形状。

二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
1.开口方向由a的
符号决定；
2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴.
增减性结合 开口方向和 对称轴才能 确定.
平移规律：
k正向上； k负向下.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
大而增大.
增大.
三、二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究 解析式 y=2x2-1
-1
+1
y=2x2
y=2x2+1
点的坐标 (x,2x2-1 ) 函数对应值表
(x, 2x2 )
x y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1
… -1 -1.5 … 3.5 1 … 4.5 2
… 5.5 3
(x, 2x2+1 )
做一做：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的
图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶
点高低、函数最值、函数增减性.
x
… –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 …
…
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 …
从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于 正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，
二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
3、(浙江湖州)已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一 平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数 y2＝ax+b的大致图象不可能是（ D ）
5.画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：

二次函数y=ax2+k的图象和性质发表时间：2017-09-01T11:06:33.860Z 来源：《中国科技教育（理论版）》2017年1月作者：朱金兰张继韦[导读] 学习内容是二次函数图象的顶点坐标、开口方向、图象的对称轴。

设计者：黑龙江省农垦红兴隆管理局宝山农场学校教师朱金兰点评：黑龙江省农垦红兴隆管理局宝山农场学校教师张继韦课标要求及分析：《二次函数y=ax2+k的图象和性质》是数学课程标准第三学段一、数与代数（三）函数4。

课标要求：（1）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。

（2）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。

第一项课标要求的维度目标是结果目标。

行为动词是会和了解、学习水平是掌握和了解、学习内容是二次函数的图象及性质。

第二项课标要求的维度目标是结果目标。

行为动词是能、会、学习水平是、掌握、运用。

学习内容是二次函数图象的顶点坐标、开口方向、图象的对称轴。

教材分析：学生已经学习了二次函数的概念和二次函数y=ax2的图象和性质，具有了一定的逻辑思维能力和归纳总结的能力。

本节课是在学生已有知识的基础上，运用图象变换的观点把二次函数y=ax2的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数y=ax2+k的图象。

本节课将为学习其他几种形式的二次函数做以铺垫，具有承上启下的作用。

学情分析：优势：九年级学生思维敏捷，有较强的求知欲望。

在新课学习前已经掌握二次函数的定义、y=ax2的图象及其性质，对图象的分析、理解能力较之前有明显提高，渴望探究新知识。

劣势：学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强，教师应结合生活多举与实际相关的数学问题，耐心引导学生进行数学建模的学习。

教学重、难点：课标要求：会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。