上海市宝山区嘉定区中考数学二模试题 上教版

嘉定九年级第二次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列说法中，正确的是（▲）（A ）23是分数； （B ）0是正整数； （C ）722是有理数；（D ）16是无理数. 2.抛物线2(1)4y x =-+与y 轴的交点坐标是（▲）（A ）（0，4）； （B ）（1，4）； （C ）（0，5）； （D ）（4，0）． 3.下列说法正确的是（▲）（A ）一组数据的平均数和中位数一定相等； （B ）一组数据的平均数和众数一定相等； （C ）一组数据的方差一定是正数；（D ）一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据.4.今年春节期间，小明把2000元压岁钱存入中国邮政储蓄银行，存期三年，年利率是%.254，小明在存款到期后可以拿到的本利和为（▲）（A ）20003%)25.41(+元； （B ）20002+0003254⨯⨯%.元； （C ）20003254⨯⨯%.元； （D ）20003%)25.41(⨯+元． 5.如图1，已知向量a 、b 、c ，那么下列结论正确的是（▲）（A ）b c a =+； （B ）b c a =-； （C ）c b a -=+； （D ）c b a =+．6.已知⊙1O 的半径长为cm 2，⊙2O 的半径长为cm 4.将⊙1O 、⊙2O 放置在直线l 上（如图2），如果⊙1O 在直线l 上任意滚动，那么圆心距21O O 的长不可能是(▲) （A ）cm 1； （B ）cm 2； （C ）cm 6； （D ）cm 8.2Oa bc图1二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.化简：21-= ▲ ．8. 计算：=23)(a ▲ ．9. 计算：=÷3166 ▲ （结果表示为幂的形式）． 10.不等式组⎩⎨⎧>+≤-04201x ,x 的解集是 ▲ ．11.在一个不透明的布袋中装有2个白球和8个红球，它们除了颜色不同之外，其余均相同.如果从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ▲ ．（将计算结果化成最简分数） 12.如果关于x 的方程1)1(2+=-a x a 无解，那么实数a = ▲ ．13.近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）呈反比例，其函数关系式为xy 100=.如果近似眼镜镜片的焦距250.x =米，那么近视眼镜的度数y 为 ▲ ． 14.方程x x -=+6的根是 ▲ ．15.手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道5000户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下： 拥有座机数（部） 01234相应户数10141871该街道拥有多部电话（指1部以上,不含1部）的家庭大约有 ▲ 户.16.如果梯形两底的长分别为3和7，那么联结该梯形两条对角线的中点所得的线段长为 ▲ ．17.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x ，y ），若规定以下两种变换：①),(y x f =（2+x ，y ）．如)1,1(f =)1,3(；②),(y x g =),(y x --，如)2,2(g =)2,2(--.按照以上变换有：))1,1((f g =)1,3(g =)1,3(--，那么))4,3((-g f 等于 ▲ ． 18.如图3，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，︒=∠90A ，cm AB 5=，cm BC 13=.以点B 为旋转中心，将BC 逆时针旋转︒90至BE ，BE 交CD 于F点.如果点E 恰好落在射线AD 上，那么DF 的长为 ▲ cm . E三、简答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒+︒︒-︒+-60sin 45tan 30sin 30cos 42730）（.20.（本题满分10分）解方程：12221=++-x x .21.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图4，在ABC ΔRt 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，且CA CD BC ⋅=2. （1）求证：CBD A ∠=∠；（2）当α=∠A ，2=BC 时，求AD 的长（用含α的锐角三角比表示）.22.（本题满分10分，每个小题各5分）某游泳池内现存水)(m 18903，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍.假设在换水时需要经历“排水——清洗——灌水”的过程，其中游泳池 内剩余的水量y （3m ）与换水时间．．．．t （h ）之间的 函数关系如图5所示.根据图像解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y （3m ）与换水时间．．．．t （h ）之间的函数关系式，写出函数的定义域.23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，点E 是正方形ABCD 边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点F 在CD 边ACBD图4(h)tO1890521 )(m 3yABCD E FMN图6的延长线上，且满足BE DF =.联结EF ，点M 、N 分别是EF 与AC 、AD 的交点. （1）求AFE ∠的度数； （2）求证：FCACCM CE =.24．（本题满分12分，每小题满分4分）已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221经过点)0,3(-A 、)23,0(-C .（1）求该抛物线顶点P 的坐标； （2）求CAP ∠tan 的值；（3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ，当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积.25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC .（1）如图8，求证：AB ∥OC ；（2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =；图7 O xy1- 1-11（3）过点C 作射线1AO 的垂线，垂足为E ，联结OE 交AC 于F .当5=AO ，11=B O 时，求AFCF的值.参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.C ；2.C ；3.D ；4.B ；5.C ；6.A.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.12-；8.6a ；9.326；10.12≤<-x ；11.54；12.1=a ；13.400=y ；14.2-=x ；15.2600；16.2；17.（5，4-）；18.1235（或写成12112）. 三、简答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=23121234331+-⨯+- ……………………6分=32132331+-+- …………1分=13231-=+--. …………2+1分20．解：方程两边同时乘以)x )x 2(2+-（，得 4)2(222-=-++x x x …1+1+1+1分整理，得 0232=--x x . ……2分AC（O 1）BO 图9AO 备用图A B CO 1O 图8解这个整式方程，得 21731+=x ，21732-=x . ……2+1分 （若记错了求根公式，但出现了17，即根的判别式计算正确，可得1分）经检验知，21731+=x ，21732-=x 都是原方程的根. ……1分 所以，原方程的根是 21731+=x ，21732-=x . 21.解：（1）∵CA CD BC ⋅=2，∴BCCACD BC =. ……1分 ∵90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，∴BCD ACB ∠=∠. ……1分 ∴△ACB ∽△BCD . ∴CBD A ∠=∠. ……1+1分 说明：若没有写出“∵90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，∴BCD ACB ∠=∠”，但只要写出了BCD ACB ∠=∠，可得1分.（2）∵CBD A ∠=∠，α=∠A ，∴α=∠CBD .……………………………1分 在Rt △ACB 中，90ACB ∠=︒，2=BC ，α=∠A . ∵BCACA =∠cot ， ∴ααcot 2cot =⋅=BC AC . …………………………………………2分 在Rt △BCD 中，︒=∠90BCD ，α=∠CBD ，2=BC ， ∵BCCDCBD =∠tan ， ∴ααtan 2tan =⋅=BC CD . …………………………………………2分 ∴ ααtan 2cot 2-=-=CD AC AD . ……………………………1分 本题解题方法较多，请参照评分.如写成 ααtan 2tan 2-=AD ；4cos 4tan 22--=ααAD ； 4cos 44sin 422---=ααAD ；ααtan 24sin 42--=AD 等等，均正确.22.解（1）由图像可知，该游泳池5个小时排水)(m 18903， ……1分所以该游泳池排水的速度是37851890=÷（/h m 3）. ……1分由题意得该游泳池灌水的速度是18921378=⨯（/h m 3），……1分 由此得灌水)(m 18903需要的时间是101891890=÷（h ） ……1分 所以清洗该游泳池所用的时间是610521=--（h ） ……1分（2）设灌水过程中的y （3m ）与换水时间t （h ）之间的函数关系式是b kt y +=（0≠k ）.将（11，0），（21,1890）代入b kt y ++=，得⎩⎨⎧=+=+.b k ,b k 189021011 解得⎩⎨⎧-==.b ,k 2079189 ……1+2分所以灌水过程中的y （3m ）与时间t （h ）之间的函数关系式是2079189-=t y （2111≤<t ）. ……1+1分备注：学生若将定义域写成2111≤≤t ，亦视为正确，此处不是问题的本质.23.解：（1）在正方形ABCD 中， ︒=∠=∠=∠90BAD ADC B ，AD AB =.……1分 ∵BE DF =，︒=∠=∠90ADF B ，AD AB =，∴△ABE ≌△ADF .……1分 ∴AF AE =，DAF BAE ∠=∠. ……………1+1分∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠90BAD BAE EAD DAF EAD EAF . ……1分 ∵AF AE =，∴AEF AFE ∠=∠. ∴︒=︒⨯=∠=∠459021AEF AFE . ……………1分 (2) 方法1：∵四边形ABCD 是正方形，∴︒=∠45ACD . ……………1分∵︒=∠45AEF ，∴ACF AEF ∠=∠. ……………1分 又∵FMC AME ∠=∠， ……………1分 ∴△ABE ∽△ADF ， ……………2分∴FCACCM CE =. ……………1分 方法2：∵四边形ABCD 是正方形，∴︒=∠=∠45ACD ACB . …………1分 ∵△ABE ≌△ADF ，∴AFD AEB ∠=∠. ……………1分∵CAE CAE ACB AEB ∠+︒=∠+∠=∠45， CFM CFM AFE AFD ∠+︒=∠+∠=∠45，∴CFM CAE ∠=∠. ……………2分又∵ACD ACB ∠=∠，△ACE ∽△FCM . ……………1分∴FCACCM CE =. ……………1分 其他方法，请参照评分.24．解：（1）将)0,3(-A 、)23,0(-C 代入c bx x y ++=221，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+--.23,032)3(2c c b 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==.c ,b 231 ………………2分所以抛物线的表达式为23212-+=x x y . ………………1分 其顶点P 的坐标为（1-，2-）. ………………1分 （2）方法1：延长AP 交y 轴于G ，过 C 作AG CH ⊥，垂足是H . 设直线AP 的表达式为b kx y +=， 将),(A 03-、),(P 21--代入，得⎩⎨⎧-=+-=+-203b k b k ，解得⎩⎨⎧-=-=31b k . ∴3--=x y . 进而可得G （30-,）. ………1分 ∴OA OG =，︒=∠=∠45OAG G . 在Rt △CHG 中，42345sin =︒⋅==CG CH HG . ………1分 在Rt △AOG 中，2345cos =︒=OGAG ，∴429=-=HG AG AH .∴31tan ==∠AH CH CAP .……1+1分 方法2：设a CH =，易得a CG 2=，a OG 22=，a AG 4=，a AH 3=， 31tan ==∠AH CH CAP . 方法3：联结OP ，利用两种不同的方式分别表示四边形APCO 的面积：49+=+=∆∆∆APC AOC APC APCO S S S S 四边形； 415433=+=+=∆∆POC APO APCO S S S 四边形；∴23=∆APC S ，然后求523=AC 、22=AP ，利用面积求AC 边上的高552=h ，求1010sin =∠CAP ，进而求31tan =∠CAP . （3）设)2321,(2-+t t t Q ， …………1分由Q 在第四象限，得t t =，2321232122+--=-+t t t t . 联结OQ ，易得 AOQ QOC AOC QAC S S S S ∆∆∆∆-+=. ∵4923321=-⨯-⨯=∆AOC S ，t t S QOC 432321=⨯-⨯=∆， ………1分 492343232132122+--=-+⨯-⨯=∆t t t t S QOA …………1分 ∴t t t t t S QAC 4943)492343(434922+=+---+=∆. …………1分 25.解：（1）∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，∴AC O OAC 1∠=∠. ………1分 在⊙O 中，∵OC OA =，∴C OAC ∠=∠. …………1分 ∴C AC O ∠=∠1. ∴1AO ∥OC ，即AB ∥OC . …………1+1分 （2）方法1：联结OB . ………1分 ∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，AC 1OO ⊥， ………1分 由点1O 与点B 重合，易得AC OB ⊥. ………1分 ∵点O 是圆心，AC OB ⊥，∴CB AB = ………2分方法2：∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，∴1AO AO =，1CO CO = ………1+1分由点1O 与点B 重合，易得 AB AO =,CO CB = …………1分 ∵OC OA =，∴CB AB =. ∴ CB AB = ………1+1分 方法3：证平行四边形1AOCO 是菱形.(3) 过点O 作AB OH ⊥，垂足为H .∵AB OH ⊥，AB CE ⊥，∴OH ∥CE ，又∵AB ∥OC ，∴5==OC HE .……1分 当点1O 在线段AB上（如图），6111=+=+=B O AO B O AO AB ，又∵ AB OH ⊥，∴321==AB AH . ∴835=+=+=AH EH AE ……1分∵AB ∥OC , ∴85==AE OC AF CF ……1分当点1O 在线段AB 的延长线上，类似可求75==AE OC AF CF . …2分。

2023年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列运算正确的是A．B．C．D．2．（4分）无理数在A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间3．（4分）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是A．B．C．D．4．（4分）已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为A．B．C．D．5．（4分）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是124A．B．，C．D．6．（4分）已知点、、在圆上，那么下列命题为真命题的是A．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形B．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形C．如果四边形是平行四边形，那么D．如果，那么四边形是平行四边形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：．8．（4分）分解因式：．9．（4分）分式中字母的取值范围是．10．（4分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么．11．（4分）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为．12．（4分）一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是．13．（4分）已知一次函数的图象经过点，那么．14．（4分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是千克．15．（4分）如图，在正五边形中，是边延长线上一点，联结，那么的度数为．16．（4分）如图，已知点在矩形的边上，且，，那么的长等于．17．（4分）如图，已知中，，，如果将绕点顺时针旋转到△，使点的对应点落在边上，那么的度数是．18．（4分）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）某校开设了、、、、五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从、、、、中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图（图和扇形统计图（图，两个统计图都尚未完成．（1）求本次问卷调查中最喜欢类课程的学生人数，并在图1中补全相应的条形图；（2）根据本次调查的结果，试估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数是多少？22．（10分）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．（1）求“房顶”点到盒底边的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．23．（12分）如图，四边形中，，、交于点，．（1）求证：；（2）是边上一点，联结交于点，如果，求证：四边形是平行四边形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标；（2）联结AC，试判断△ACD与△BOC是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，联结EF，如果四边形CEFD的面积为3，求新抛物线的表达式．25．（14分）如图，已知半圆的直径，是圆外一点，的平分线交半圆于点，且，联结交于点．（1）当时，求的长；（2）当时，求的值；（3）当为直角三角形时，求的值．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列运算正确的是A．B．C．D．【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故选：．【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2．（4分）无理数在A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】先估计7的范围，再估算的范围．解：，，故选：．【点评】本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用相邻的两个整数夹逼无理数是解题的关键．3．（4分）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是A．B．C．D．【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可．解：设第三边的长度为，由题意得：，即：，只有适合，故选：．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（4分）已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为A．B．C．D．【分析】由题意可得，则，可得，进而可得，根据可得答案．解：，，，，，，，，．故选：．【点评】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的运算法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．5．（4分）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是124A ．B ．，C ．D ．【分析】根据反比例函数中的特点进行解答即可．解：，这个点是．故选：．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．（4分）已知点、、在圆上，那么下列命题为真命题的是A ．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形B ．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形C ．如果四边形是平行四边形，那么D ．如果，那么四边形是平行四边形【分析】根据垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定和性质判断即可．解：、当半径平分弦，但弦不平分时，四边形不是平行四边形，故本选项说法是假命题；、当弦平分半径，但弦不垂直半径时，四边形不是平行四边形，故本选项说法是假命题；、如图，在优弧上取点，连接、，四边形是平行四边形，，由圆周角定理得：，，四边形为圆的内接四边形，，，，故本选项说法是真命题，符合题意；、当，四边形不一定是平行四边形，故本选项说法是假命题；故选：．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2．【分析】根据二次根式乘方的意义与二次根式乘法的运算法则，即可求得答案．解：．故答案为：2．【点评】此题考查了二次根式乘法与乘方运算．此题比较简单，注意运算符号的确定．8．（4分）分解因式：．【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：．【点评】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．9．（4分）分式中字母的取值范围是．【分析】根据题意得，然后解不等式即可．解：根据题意得，解得，即的取值范围为．故答案为：．故答案为：．【点评】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．10．（4分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．解：关于的方程有两个相等的实数根，△，解得：，的值为．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11．（4分）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．解：点在第二象限，，解不等式①得，，所以不等式组的解集是．故答案为：．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．12．（4分）一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是．【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有1种结果，摸出的小球是红球的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．13．（4分）已知一次函数的图象经过点，那么4．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．解：一次函数的图象经过点，，解得：．故答案为：4．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．14．（4分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是25千克．【分析】由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．解：设一次函数，当时，，当时，，，解得：，所求函数关系式为；当时，，所以，故旅客最多可免费携带25千克行李．故答案为：25．【点评】本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．15．（4分）如图，在正五边形中，是边延长线上一点，联结，那么的度数为．【分析】根据正多边形的外角和是，求出这个正多边形的每个内角，再根据，得出，最后根据，即可得出答案．解：是正五边形，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的外角和内角的度数是常用的一种方法．16．（4分）如图，已知点在矩形的边上，且，，那么的长等于4．【分析】作于点，由，得，由矩形的性质得，则，所以，则，由，，得，则，所以，于是得到问题的答案．解：作于点，则，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，故答案为：4．【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．17．（4分）如图，已知中，，，如果将绕点顺时针旋转到△，使点的对应点落在边上，那么的度数是．【分析】分别求出，可得结论．解：在中，，，，由旋转变换的性质可知，，，，．故答案为：．【点评】本题考查旋转变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．（4分）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于或．【分析】作于，根据定义规定分别得出或这两种情况，再分别根据全等和相似计算即可．解：如图1，，，，作于，设，，①当时，，，，，，，，设，，，，即．②当时，，，，即，，．故答案为为：或．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练运用全等、相似、勾股定理是解题关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】先算分数指数幂、绝对值、三角函数，再算加减．解：原式．【点评】本题考查分数指数幂、实数运算、三角函数，掌握幂的运算是解题关键．20．（10分）解方程组：．【分析】由②得出③，把③代入①得出，求出，再把代入③求出即可．解：，由②得：③，把③代入①，得，解得：，把代入③，得，所以方程组的解是．【点评】本题考查了解高次方程组，能把方程组转化成是解此题的关键．21．（10分）某校开设了、、、、五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从、、、、中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图（图和扇形统计图（图，两个统计图都尚未完成．（1）求本次问卷调查中最喜欢类课程的学生人数，并在图1中补全相应的条形图；（2）根据本次调查的结果，试估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数是多少？【分析】（1）用的人数除以比求出样本容量，再用样本容量乘可得的人数，用样本容量乘可得的人数，进而得出的人数，再补全相应的条形图即可；（2）用该校全体学生人数乘样本中最喜欢类兴趣课的人数所占百分比即可．解：（1）调查的总人数（名，（名，（名，（名，最喜欢类课程的人数为：（名，补全的条形统计图如下：（2）（名，答：估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数大约是140名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．22．（10分）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．（1）求“房顶”点到盒底边的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．【分析】（1）作，垂足为，交于点，根据矩形的性质得到厘米，，根据勾股定理即可得到结论；（2）设厘米，厘米，根据勾股定理得到（厘米），求得厘米，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论．解：（1）作，垂足为，交于点，四边形是矩形，厘米，，．厘米，厘米，厘米，（厘米），（厘米）答：房顶”点到盒底边的距离为7.5厘米；（2）在中，，设厘米，厘米，（厘米），厘米，（厘米），厘米，矩形的面积不改变，，解得或，，或，，，．答：新造型“盒身”的高度为6.5厘米．【点评】本题考查的是直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，要把实际问题抽象到直角三角形中，利用三角函数求解．23．（12分）如图，四边形中，，、交于点，．（1）求证：；（2）是边上一点，联结交于点，如果，求证：四边形是平行四边形．【分析】（1）由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明和全等，利用全等三角形的性质得结论；（2）先说明，再说明，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：（1），．，，．．．在和中，，．．（2），，，，即．，．．．又，四边形是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标；（2）联结AC，试判断△ACD与△BOC是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，联结EF，如果四边形CEFD的面积为3，求新抛物线的表达式．【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；化为顶点式即知顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，求出C（0，3），即可得AC＝3，AD＝2，CD＝，OB＝1，OC＝3，BC＝，由三边对应成比例的三角形相似可得答案；（3）由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y＝﹣x2+m，即可得CE＝3﹣m，DF＝4﹣（﹣1+m）＝5﹣m，根据四边形CEFD的面积为3，有×1×（3﹣m+5﹣m）＝3，解出m的值即可得新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△ACD∽△COB，理由如下：在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），∵A（﹣3，0）、B（1，0），D（﹣1，4），O（0，0），∴AC＝3，AD＝2，CD＝，OB＝1，OC＝3，BC＝，∴＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ACD∽△COB；（3）如图：由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y＝﹣x2+m，则顶点E（0，m），∵原抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴F（﹣1，﹣1+m），∴CE＝3﹣m，DF＝4﹣（﹣1+m）＝5﹣m，∵四边形CEFD的面积为3，∴×1×（3﹣m+5﹣m）＝3，解得m＝1，∴新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定，平移变换等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和利用梯形面积公式列方程．25．（14分）如图，已知半圆的直径，是圆外一点，的平分线交半圆于点，且，联结交于点．（1）当时，求的长；（2）当时，求的值；（3）当为直角三角形时，求的值．【分析】（1）过点作于点，连接，由可得，证明四边形是矩形，则，根据勾股定理即可求解；（2）过点作于点，连接，由含的直角三角形的性质可得，证明四边形是矩形，则，，再证，根据相似三角形的性质即可得；（3）过点作于点，连接，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．解：（1）过点作于点，连接，，，，，，，在中，，，（负值已舍去），是的平分线，，，，，，，，，，四边形是矩形，，；（2）过点作于点，连接，，，，，是的平分线，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，；（3）①当时，过点作于点，连接，，，，，，，，，，（负值舍去），；②当时，连接，，，，，，，，，；综上，的值为或．【点评】本题是相似综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

2024年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x≥1B．x≥0C．x＞1D．x＞02．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则实数m的值为（）A．B．﹣4C．D．43．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y＝2x2+1B．y＝﹣2x2+1C．y＝x+1D．y＝﹣x+14．（4分）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（AQI）：28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）a6÷a2＝．8．（4分）因式分解：m2﹣3m＝．9．（4分）不等式的解集是．10．（4分）方程的解是．11．（4分）我国天文学家算出了仙女星系“体重”．仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例．计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量．把数据11400亿用科学记数法表示应是．12．（4分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为只．13．（4分）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为尺．14．（4分）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝米．15．（4分）如图，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果，那么＝．16．（4分）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳名观众．17．（4分）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为．18．（4分）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE 沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象交于点C（2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且CD＝3，求△ABD的面积．22．（10分）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长AC＝6米，与水平面的夹角为17.5°，靠墙端A离地高度AB＝5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角∠CDF ＝36.9°，夏至正午太阳光照入射角∠CEF＝82.4°，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin17.5°≈0.3，cos17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32；sin36.9°≈0.6，cos36.9°≈0.8，tan36.9°≈0.75；sin82.4°≈0.99，cos82.4°≈0.13，tan82.4°≈7.5．23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，联结AC、DO，延长DO交AC于点F．（1）求证：AF2＝OF•DF；（2）如果CD＝8，BE＝2，求OF的长．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2x+4经过点P（0，4），顶点为A．（1）求直线PA的表达式；（2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C．如果，求tan∠PBC的值．25．（14分）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．（1）如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求的值；（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．2024年上海市宝山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．2．【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到Δ＝0，建立关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴12﹣4×1×（﹣m）＝0，解得，故选：A．【点评】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时Δ＞0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．3．【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质分别进行判断可以得解．【解答】解：由题意，对于A选项，y＝2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故A错误．对于B选项，y＝﹣2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，故B错误．对于C选项，y＝x+1是一次函数，k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，故C错误．对于D选项，y＝﹣x+1是一次函数，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质及一次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解其增减性是关键4．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果有1种，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，∴两次都是“正面朝上”的概率＝，故选：B．【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．【分析】这组数据的平均数受极端数值117影响，众数偏离大多数据，方差是反应数据的集中趋势的统计量，据此可得答案．【解答】解：这组数据的平均数为＝，中位数为33，众数为26，方差是反应数据的集中趋势的统计量，所以能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是中位数，故选：B．【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的意义．6．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，，∴＝，设AC＝x，BC＝2x，∴AB＝＝x＝5，∴x＝，∴AC＝，BC＝2，过点C作CD⊥AB于点D，∴CD＝＝2，∵⊙C与线段AB有两个交点，∴2＜R≤，故选：A．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．【解答】解：a6÷a2＝a4．故答案为：a4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．8．【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．【分析】根据不等式的性质：先分母，再移项，合并同类项即可．【解答】解：去分母，得x﹣1≤0．移项，得x≤1．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质，能求一元一次不等式的解集．10．【分析】首先将两边同时平方得2﹣x＝x2，再解这个整式方程求出x，然后再进行检验即可得出原方程的解．【解答】解：对于方程，两边同时平方得：2﹣x＝x2，移项得：x2+x﹣2＝0，∴（x﹣1）（x+2）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，由x﹣1＝0，解得：x＝1，由x+2＝0，解得：x＝﹣2，经检验得：x＝1为增根，x＝﹣2是原方程的根．∴方程的解是x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键．11．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：11400亿＝1140000000000＝1.14×1012，故答案为：1.14×1012．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．12．【分析】先求出调查中使用寿命超过了2500小时的灯泡占比，再用占比乘总数，即可求解．【解答】解：（28÷50）×1000＝560（只）故答案为：560．【点评】本题考查了用样本估计总体，理清题目的数量关系并仔细计算是解题关键．13．【分析】设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可．【解答】解：设木长为x尺，根据题意得：（x+4.5）＝x﹣1，解得x＝6.5，答：木长6.5尺．故答案为：6.5．【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键．14．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵点M、N分别为AB、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AC＝2MN＝2×3＝6（米），故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．15．【分析】连接BD，先由正六边形的性质可得AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，进而求出∠ABD＝∠BDE＝90°，则可证明AB∥DE，得到AB＝ED，则＝＝﹣＝﹣．【解答】解：如图所示，连接BD，由题意得，AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE＝＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∴∠ABD+∠BDE＝180°，∴AB∥DE，∴＝，∵，∴＝＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等．16．【分析】设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．利用垂径定理，勾股定理求出半径，再求出矩形ABCD的面积，可得结论．【解答】解：设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．设OE＝OJ＝r米，∵OH⊥EF，∴EH＝FH＝EF＝4（米），在Rt△OEH中，OE2＝EH2+OH2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝5，∴矩形ABCD的面积＝5×10＝50（平方米），∵每平方米最多可以坐3名观众，∴观演区可容纳150名观众．故答案为：150．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17．【分析】设AH分别交CD、FG、BM于点K、I、L，BM分别交CD、FG于点P、Q，设AH＝m，由△HLM∽△ALB，得＝＝，则HL＝m，AL＝m，由IG∥AB，得＝＝，则IH＝m，求得LI＝m，再证明△AKD∽△HKC，得＝＝1，则AK＝m，求得LK＝m，即可由△QLI ∽△PLK，求得＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：设AH分别交CD、FG、BM于点K、I、L，BM分别交CD、FG于点P、Q，设AH＝m，∵正方形ABCD、正方形CEFG和正方形GHMN的一边在同一条直线上，∴∠ABC＝∠DCG＝∠FGH＝∠MHG＝90°，AB＝BC＝AD＝5，CG＝EF＝3，GH＝HM＝MN＝2，∴AB∥CD∥FG∥MH，BH＝5+3+2＝10，HC＝3+2＝5，∵HM∥AB，∴△HLM∽△ALB，∴＝＝，∴HL＝AH＝AH＝m，AL＝AH＝AH＝m，∵IG∥AB，∴＝＝＝，∴IH＝AH＝m，∴LI＝m﹣m＝m，∵AD∥HC，∴△AKD∽△HKC，∴＝＝＝1，∴AK＝HK＝AH＝m，∴LK＝m﹣m＝m，∵IQ∥KP，∴△QLI∽△PLK，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，设AH＝m，求得HL＝m，AL＝m，IH＝m，AK＝m是解题的关键．18．【分析】分两种情况讨论：点D落在BC延长线上时，由折叠得AF＝AD＝AB，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，得BH＝HF＝4，CF＝3，由菱形的性质得∠DCF＝∠B，可得，设CG＝4y，则CE＝5y，由勾股定理得EG＝3y，由折叠得EF＝DE＝5﹣5y，而FG＝FC﹣CG＝3﹣4y，在Rt△EFG中由勾股定理得（3﹣4y）2+（3y）2＝（5﹣5y）2解方程求出y的值即可解决问题；点D 落在DC延长线上时，推导出DE＝EF，AD＝AF，AE⊥DF，利用cos D＝cos B＝，即，求得DE＝4，再利用CE＝CD﹣DE即可得解．【解答】解：点D落在BC延长线上时，如图1，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，点D与点F重合，如图1，由折叠得，AF＝AD＝AB＝5，∴BH＝AH，∵，∴BH＝4，∴BF＝2BH＝8，∴FC＝AF﹣AC＝8﹣5＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，∴∠DCF＝∠B，，设CG＝4y，则CE＝5y，FG＝CF﹣CG＝3﹣4y，由折叠得EF＝DE＝5﹣5y，在Rt△CEG中，由勾股定理得，在Rt△FEG中，由勾股定理得EG2+FG2＝EF2，∴（3y）2+（3﹣4y）2＝（5﹣5y）2，解得，∴；当点D落在DC的延长线上时，如图2，由折叠的性质得：DE＝EF，AD＝AF，AE⊥DF，由菱形的性质得：∠B＝∠D，∴cos D＝cos B＝，即，∴DE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝5﹣4＝1，综上，CE的长为或1．故答案为：或1．【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），菱形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】先根据有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值进行计算，再根据幂的乘方，分母有理化进行计算，再根据实数的加减法法则进行计算即可．【解答】解：8﹣（﹣1）﹣1﹣|﹣3|＝（23）﹣﹣（3﹣）＝22﹣﹣3+2＝4﹣（+1）﹣3+2＝4﹣﹣1﹣3+2＝．【点评】本题考查了分数指数幂，负整数指数幂，分母有理化，实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．20．【分析】通过方程两边都乘以最简公分母2x（x+1），将原方程化为整式方程再求解、检验．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1），得3×2x＝x+1+2x2+2x，整理，得2x2﹣3x+1＝0，解得x＝1或x＝，检验：当x＝1时，最简公分母2x（x+1）＝2×1×（1+1）≠0；当x＝时，最简公分母2x（x+1）＝2××（+1）≠0，∴原方程的解是x＝1或x＝．【点评】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用其求解方法进行变式、计算和检验．21．【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）分两种情况求面积，①当D点坐标为（﹣1，5）时，②当D点坐标为（5，5）时，分别计算出△ABD的面积即可．【解答】解：（1）∵点C（2，m）在直线y＝x+3图象上，∴m＝2+3＝5，∴C（2，5），∵C（2，5）在反比例函数图象上，∴k＝10，∴反比例函数解析式为：y＝．（2）∵C（2，5），点D在直线l上，CD＝3，l∥x轴，∴D（5，5）或（﹣1，5），∵y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，3），①当D点坐标为（﹣1，5）时，S△ABD＝S梯形OEDA﹣S△DEB﹣S△AOB＝﹣﹣＝，②当D点坐标为（5，5）时，S△ABD＝S△ACD﹣S△BCD＝＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．22．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥BF于点G，根据正切的定义求出AH，进而求出BH，根据正切的定义分别求出DG、EG，计算即可．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥BF于点G，则四边形HBGC为矩形，∴BF＝CG，在Rt△AHC中，AC＝6米，∠ACH＝17.5°，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC•sin∠ACH≈6×0.3＝1.8（米），∴BH＝AB﹣AH＝5﹣1.8＝3.2（米），在Rt△CDG中，CG＝3.2米，∠CDG＝36.9°，∵tan∠CDG＝，∴DG＝≈≈4.27（米），在Rt△CEG中，CG＝3.2米，∠CEG＝82.4°，∵tan∠CEG＝，∴EG＝≈≈0.43（米），则DE＝DG﹣EG＝4.27﹣0.43≈3.8（米），答：DE的长约为3.8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．【分析】（1）连接AD，由垂径定理得＝，则∠OAF＝∠OAD，由OA＝OD，得∠ADF＝∠OAD，所以∠OAF＝∠ADF，而∠OFA＝∠AFD，即可证明△OFA∽△AFD，得＝，则AF2＝OF•DF；（2）由OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2，得DE＝CE＝4，OE＝OB﹣2＝OD﹣2，由OE2+DE2＝OD2，得（OD﹣2）2+42＝OD2，求得OD＝5，OE＝3，所以AE＝8，则AD＝＝4，根据相似三角形的性质得＝＝，则AF＝OF，由AF2＝OF•DF，得（OF）2＝OF（OF+5），求得OF＝．【解答】（1）证明：连接AD，∵直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，∴＝，∴∠OAF＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ADF＝∠OAD，∴∠OAF＝∠ADF，∵∠OFA＝∠AFD，∴△OFA∽△AFD，∴＝，∴AF2＝OF•DF．（2）解：∵OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2，∴DE＝CE＝CD＝4，OE＝OB﹣2＝OD﹣2，∵∠AED＝90°，∴OE2+DE2＝OD2，∴（OD﹣2）2+42＝OD2，解得OD＝5，∴OA＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，∴AE＝OA+OE＝5+3＝8，∴AD＝＝＝4，∵△OFA∽△AFD，∴＝＝，∴AF＝OF，∵AF2＝OF•DF，∴（OF）2＝OF（OF+5），解得OF＝或OF＝0（不符合题意，舍去），∴OF的长是．【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由旋转的性质得，点Q（﹣4，），将点Q的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（3）求出点C的坐标为：（0，﹣m2﹣m+4），由，求出m＝2，进而求解．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点A（，4﹣），设直线PA的表达式为：y＝kx+4，将点A的坐标代入上式得：4﹣＝k×+4，解得：k＝﹣1，即直线PA的表达式为：y＝﹣x+4；（2）由旋转的性质得，点Q（﹣4，），将点Q的坐标代入抛物线表达式得：＝a（﹣4）2﹣2（﹣4）+4，解得：a＝（舍去）或﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+4；（3）由直线PA的表达式知，其和x轴负半轴的夹角为45°，点A（﹣2，6），设将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移m个单位，则相当于向左、向上个平移了m个单位，则平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m，当x＝0时，y＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m＝﹣m2﹣m+4，即点C的坐标为：（0，﹣m2﹣m+4），则PC＝m2+m+4，而AB＝m＝2m＝PC＝m2+m+4，解得：m＝2，则点C（0，0），即点C、O重合，由点A的坐标（﹣2，6）得到点B（﹣4，8），在△PBC中，CP＝4，BC＝，PB＝4，过点P作PH⊥BC于点H，则S△PBC＝PC×|x B|＝BC×PH，即4×4＝×PH，则PH＝，则sin∠PBC＝＝＝，则tan∠PBC＝．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．25．【分析】（1）①设AC与DE的交点为M，通过推导出AC、EO互相垂直平分，证明四边形ADCE是菱形；②先求出菱形ADCE的内角为60°，再推导出CF＝2FG，即可推导出EB＝6FG，可得＝；（2）当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H点，过点E作EN⊥AB交于N点，设GD＝4m，则MO＝5m，EG＝4m，ED＝8m，先求出cos∠EAD＝，即可分别求出AN＝4×＝，ND＝4﹣＝，EN＝，ED＝8m＝，得到m＝，则MO＝，AM＝，再求AC＝；当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4．【解答】（1）证明：①如图1，设AC与DE的交点为M，由折叠可EM＝MO，∵E、D点关于AC对称，∴EO⊥AC，∵EO是圆O的半径，∴AM＝CM，∴AC、EO互相垂直平分，∴四边形ADCE是菱形；②解：∵四边形ADCE是菱形，∴∠EAC＝∠CAO＝∠ECA＝∠ACO，∵AM⊥MO，MO＝AO，∴∠MAO＝30°，∴∠AOM＝∠MOC＝60°，∵DO＝BO，∴∠OEB＝∠OBE＝30°，∴∠EGO＝90°，∵∠FCG＝30°，∴CF＝2FG，∵∠CEF＝∠ECF＝30°，∴EF＝FC＝2FG，∵EG＝GB，∴EB＝6FG，∴＝；（2）解：如图2，当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H 点，过点E作EN⊥AB交于N点，由对称可知，AE＝AD，∵AO＝5，OD＝1，∴AE＝AD＝4，∵ED∥MO，∴＝，设GD＝4m，则MO＝5m，∵E、D点关于AC对称，∴EG＝4m，∴ED＝8m，∵AH＝HE＝2，∴cos∠EAD＝，∴AN＝4×＝，∴ND＝4﹣＝，EN＝，∴ED＝8m＝，∴m＝，∴MO＝，∴AM＝，∴AC＝；如图3，当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4；综上所述：AC的长为4或．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握折叠的性质，垂径定理，直角三角形的性质是解题的关键。

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2022年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.下列实数中．是无理数的为（）A.0 B.227 C.3.14 D.2.下列运算错误的是()A.x+2x ＝3x B.326()x x = C.235x x x ×= D.842x x x ÷=3.下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是（）A.开口向下B.对称轴是y 轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的4.据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数（单位：户）依次是：28，30，27，29，28，29，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A .28和29 B.29和28C.29和29D.27和285.下列命题中，真命题的是（）A.如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形B.如果一个四边形两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形C.如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形D.如果一个四边形两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形是矩形6.下列命题中假命题是（）A.平分弦的半径垂直于弦B.垂直平分弦的直线必经过圆心C.垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.化简：-|＝_____．8.函数y 11x-＝的定义域是______．9.计算：（a+1）2﹣a 2=_____．10.方程1的解是______．11.如果正比例函数y ＝（k ﹣1）x 的图象经过第一、三象限，那么k _____．12.不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是_____．13.正八边形的中心角等于______度14.为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”.由此，估计该校九年级全体学生中约有_______名学生“骑共享单车上学”．15.如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，BC ，CA 上的中点，AB a ＝，BC b ＝，用a 与b 的线性组合表示DE＝_____．16.如图，已知⊙O 中，直径AB 平分弦CD ，且交CD 于点E ，如果OE =BE ，那么弦CD 所对的圆心角是_________度．17.定义：如图，点P 、Q 把线段AB 分割成线段AP 、PQ 和BQ ，若以AP 、PQ 、BQ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点．已知点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点，如果AP ＝4，PQ ＝6(PQ ＞BQ )，那么BQ ＝________．18.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （﹣0），C （0，2）将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在直线OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：1022202241)+20.解方程：231133x x x -=--．21.如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接AC ．（1）求证：AD ＝CF ；（2）若AB ⊥AF ，且AB ＝8，BC ＝5，求sin ∠ACE 的值．23.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求出P 与S 之间的函数表达式；（2）如果要求压强不超过3000Pa ，木板的面积至少要多大？25.如图，已知在菱形ABCD 中，E 为边AD 的中点，CE 与BD 交于点G ，过点G 作GF ⊥CD 于点F ，∠1＝∠2．（1）若DF＝3，求AD的长；（2）求证：BG＝GF＋CE．27.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．28.在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．CD；（1）如图1，求证： AD等于（2）如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．2022年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.下列实数中．是无理数的为（）A.0 B.227 C.3.14 D.【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A 、0是整数，故是有理数，故本选项错误；B 、227是分数，故是有理数，故本选项错误；C 、3.14是小数，故是有理数，故本选项错误；D是开方开不尽的数，故是无理数，故本选项正确．故选D ．2.下列运算错误的是()A.x+2x ＝3xB.326()x x =C.235x x x ×=D.842x x x ÷=【2题答案】【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项的法则、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则逐一判断可得．【详解】解：A 、x +2x ＝3x ，正确，不符合题意；B 、(x 3)2＝x 6，正确，不符合题意；C 、x 2•x 3＝x 5，正确，不符合题意；D 、x 8÷x 4＝x 4，原式错误，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了幂的运算性质和合并同类项的法则，属于基础题型，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键.3.下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是（）A.开口向下 B.对称轴是y 轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的【3题答案】【答案】C【解析】【详解】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A 、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确；B 、∵﹣221b a ，∴抛物线的对称轴为直线x=12，选项B 不正确；C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确；D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线x=12，∴当x ＞12时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），对称轴直线x=-2b a，当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.4.据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数（单位：户）依次是：28，30，27，29，28，29，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A.28和29B.29和28C.29和29D.27和28【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案．【详解】解：对这组数据重新排列顺序得，27，28，28，29，29，29，30，处于最中间是数是29，∴这组数据的中位数是29，在这组数据中，29出现的次数最多，∴这组数据的众数是29，故选C ．【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数．5.下列命题中，真命题的是（）A.如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形B.如果一个四边形两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形C.如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形D.如果一个四边形两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形是矩形【5题答案】【答案】C【解析】【分析】利用矩形、菱形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形不一定是矩形，还有可能是等腰梯形，故错误；B、如果一个平行四边形两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形，故错误；C、如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形，正确，是真命题；D、如果一个四边形两条对角线相互垂直平分，那么这个四边形是菱形，故错误；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟记矩形、菱形的判定定理，属于基础题，难度不大6.下列命题中假命题是（）A.平分弦的半径垂直于弦B.垂直平分弦的直线必经过圆心C.垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.化简：-|＝_____．【7题答案】【答案】-##+【解析】>0，再根据绝对值的意义进行求解即可．【详解】解：∵3＞2>->0∴-|-【点睛】本题考查了实数的绝对值，根据绝对值的意义进行求解，关键是确定实数的符号．8.函数y11x-＝的定义域是______．【8题答案】【答案】x≠1【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，即可求解．【详解】解：由题意得：1-x≠0，即x≠1．故答案为x≠1．【点睛】本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围的确定．函数是整式型，自变量去全体实数；函数是分式型，自变量是使分母不为0的实数；根式型的函数的自变量去根号下的式子大于或等于0的实数；当函数关系式表示实际问题时，自变量不仅要使函数关系式有意义，还要使实际问题有意义．9.计算：（a+1）2﹣a2=_____．【9题答案】【答案】2a+1【解析】【详解】【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．【详解】（a+1）2﹣a2=a2+2a+1﹣a2=2a+1，故答案为2a+1.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.10.方程1的解是______．【10题答案】【答案】3【解析】【分析】根据二次根式的性质，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可．=，1两边平方得2x﹣5=1，解得：x=3，经检验x=3是原方程的根，故答案为：x=3．【点睛】本题考查了二次根式的性质和一元一次方程的解法，解题的关键是准确计算．11.如果正比例函数y＝（k﹣1）x的图象经过第一、三象限，那么k_____．【11题答案】【答案】>1【解析】【分析】根据正比例函数图象经过的象限得到k-1>0，即可得到答案．【详解】解：∵正比例函数y＝（k﹣1）x的图像经过第一、三象限，∴k-1>0，解得k>1，故答案为：>1．【点睛】此题考查了正比例函数的性质：当k>0时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小．12.不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是_____．【12题答案】【答案】310【解析】【详解】∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：33=23510++.考点：概率公式.13.正八边形的中心角等于______度【13题答案】【答案】45【解析】【分析】已知该多边形为正八边形，代入中心角公式即可得出360360458n ︒︒==︒．【详解】∵该多边形为正八边形，故n =8∴360360458n ︒︒==︒故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的中心角，把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于360n︒．14.为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”.由此，估计该校九年级全体学生中约有_______名学生“骑共享单车上学”．【14题答案】【答案】25【解析】【详解】由题意可得，该校九年级全体学生中约有300×560=25名学生“骑共享单车上学”．15.如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，BC ，CA 上的中点，AB a ＝，BC b ＝，用a 与b 的线性组合表示DE＝_____．【15题答案】【答案】1()2a b + ##1()2b a + ##1122b a + ##1122a b + 【解析】【分析】根据点D ，E 分别是△ABC 边AB ，BC 上的中点，得到DE 是△ABC 的中位线，则DE ＝12AC ，再根据向量的加法运算法则求出AC ，即可得到答案．【详解】解：∵点D ，E 分别是△ABC 边AB ，BC 上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ＝12AC ∵AB a ＝，BC b＝∴AC a ＝＋b∴DE ＝1()2a b + 故答案为：1()2a b + ．【点睛】此题考查了三角形的中位线定理、向量的加法法则等知识，利用三角形的中位线定理得到DE ＝12AC 是解题的关键．16.如图，已知⊙O 中，直径AB 平分弦CD ，且交CD 于点E ，如果OE =BE ，那么弦CD 所对的圆心角是_________度．【16题答案】【答案】120．【解析】【详解】连接OC，∵直径AB平分弦CD，∴AB⊥CD，∵OE=BE，∴OE=1122OB OC=，在Rt△OCE中，OE=12 OC，∴cos∠COE=12 OEOC=，∴∠OEB=60°，∴弦CD所对的圆心角是60°×2=120°.故答案为120.17.定义：如图，点P、Q把线段AB分割成线段AP、PQ和BQ，若以AP、PQ、BQ为边的三角形是一个直角三角形，则称点P、Q是线段AB的勾股分割点．已知点P、Q是线段AB的勾股分割点，如果AP＝4，PQ＝6(PQ＞BQ)，那么BQ＝________．【17题答案】【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出BQ的长度即可．【详解】解∶根据题意得：AP2+BQ2=PQ2，即：42+BQ2=62，解得：BQ，故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，熟知勾股分割点的定义是解题的关键．18.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （﹣0），C （0，2）将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在直线OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为______．【18题答案】【答案】(2,-【解析】【分析】连接1,OB 作1B H OA ⊥于H ，证明1,AOB HB O ∴≅得到12B H OA OH AB ====，即可得到答案．【详解】解：连接1,OB 作1B H OA ⊥于H，如图所示，由题意知：2,OA OC ===则3tan 3AB BOA OA ∠==30,BOA ∴∠=︒60,OBA ∴∠=︒由旋转的性质可知，130B OB BOA ∠=∠=︒160B OH ∴∠=︒在AOB 和1HB O 中111BAO OHB ABO HOB OB OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1AOB HB O AAS ∴≅ （）12B H OA OH AB ∴====∴点1B 的坐标为(2,-故答案为：(2,-．【点睛】本题考查的是矩形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：1022202241)+【19题答案】【答案】9【解析】【分析】根据零指数幂、二次根式的化简、二次根式的乘方、分母有理化分别进行计算，再进行合并即可．【详解】解：1022202241)+＝1＋2+（2－＋1＝1＋2+2－＋1＋3+＝9【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．20.解方程：231133x x x -=--．【20题答案】【答案】x=﹣1【解析】【分析】两边乘x （x ﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【详解】两边乘x （x ﹣3）得到3﹣x=x 2﹣3x ，∴x 2﹣2x ﹣3=0，∴（x ﹣3）（x+1）=0，∴x=3或﹣1，经检验x=3是原方程的增根，∴原方程的解为x=﹣1．【点睛】此题考查解分式方程，将方程先化为整式方程求出解，检验是否为原方程的解即可，解题的关键是确定分式方程的最简公分母．21.如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．（1）求证：AD＝CF；（2）若AB⊥AF，且AB＝8，BC＝5，求sin∠ACE的值．【21题答案】【答案】（1）见解析；（2）3 5【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD BC∥，证得∠D=∠DCF，∠DAF=∠F，再由DE=CE，证得△ADE≌△FCE，即可得到结论；（2）四边形ABCD是平行四边形，得到AB CD∥，CD=AB=8，AD=BC=5，证得CD⊥AF，勾股定理求出AE，AC，即可根据公式求出sin∠ACE．【小问1详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC∥，∴∠D=∠DCF，∠DAF=∠F，∵E是CD的中点，∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD=CF；【小问2详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD∥，CD=AB=8，AD=BC=5，∵AB⊥AF，∴CD⊥AF，在Rt△ADE中，DE=4，AD=5，∴AE=3，在Rt△ACE中，CE=4，AE=3，∴AC=5，∴sin∠ACE=35 AEAC=．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．23.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求出P与S之间的函数表达式；（2）如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？【23题答案】【答案】（1）600 ps =；（2）0.2m2【解析】【分析】（1）设p=ks，将点A（3，200）代入求出k即可；（2）将p=3000代入求出s即可．【小问1详解】解：设p=ks，将点A（3，200）代入，得3200600 k=⨯=，∴P与S之间的函数表达式为600 ps =；【小问2详解】当p=3000时，6003000 s=，解得s=0.2，∴如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要0.2m2．【点睛】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，正确理解题意掌握反比例函数的知识是解题的关键．25.如图，已知在菱形ABCD中，E为边AD的中点，CE与BD交于点G，过点G作GF⊥CD于点F，∠1＝∠2．（1）若DF＝3，求AD的长；（2）求证：BG＝GF＋CE．【25题答案】【答案】（1）6（2）见解析【解析】【分析】（1）只需要证明∠1=∠GDC，即可利用三线合一定理求解；（2）如图所示，延长CE交BA延长线于M，先证明BG=MG，然后分别证明△AEM≌△DEC得到CE=ME，△DGF≌△DGE得到GF=GE，由此即可证明结论．【小问1详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠GDC=∠2，AD=CD∵∠1=∠2，∴∠1=∠GDC，∴CG=DG，∵GF⊥CD，∴CD=2DF=6，∴AD=CD=6【小问2详解】解：如图所示，延长CE交BA延长线于M，∵四边形ABCD是菱形，∥，AD=CD∴BM CD∴∠M=∠1，∠MAE=∠CDE，∠ABD=∠CDB，又∵∠2=∠1=∠CDB，∴∠ABD=∠M，∴BG=MG，∵E是AD的中点，F是CD中点∴DF=DE=AE，∴△AEM≌△DEC（AAS），∴CE=ME，∵DF=DE，∠GDF=∠GDE，DG=DG，∴△DGF≌△DGE（SAS），∴GF=GE，∴BG=MG=EG+ME=CE+GF．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知等腰三角形的性质与判定是解题的关键．27.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．【27题答案】【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）点P 的坐标为（2，2）；（3）点M 的坐标为（3+132，0），（3-132，0），（1+212，0），（1-212，0）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC 、PE ，利用公式求出顶点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式，设出点P 的坐标为（x ，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC 2和PE 2，根据题意列出方程，解方程求出x 的值，计算求出点P 的坐标；（3）设点M 的坐标为（a ，0），表示出点G 的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得，23b c =⎧⎨=⎩，∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x 2+2x+3；（2）如图1，连接PC 、PE ，x=﹣2b a=﹣22(1)⨯-=1，当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则m+430nm n=⎧⎨+=⎩，解得，26mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=313 2±，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=121 2±，∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（3+132，0），（3-132，0），（1+212，0），（1-212，0）．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质；待定系数法求函数解析式；正方形的性质．28.在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．（1）如图1，求证： AD等于CD；（2）如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．【28题答案】【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】(1)连接BD、CD，先证∠DBA=∠DAC，再证∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出结论；(2)连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，可证得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再证△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF；(3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH=12BC=3，OH⊥BC，证Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长．【小问1详解】证明：如图：连接BD、CDAB为直径∴∠ADB=90°∴∠DBA+∠DAB=90°∠DAC＋∠DAB＝90°∴∠DAC=∠DBA又 ∠DCA=∠DBA∴∠DAC=∠DCA∴AD=CD∴ AD=CD【小问2详解】证明：如图：连接BD 、CD ，过点D 作DG ⊥AC 于点G=90DGA ∴∠︒由(1)知AD =CDDG ∴垂直平分AC=2AC AG∴=AE DE=ADF DAC∴∠∠ ∠DAC ＋∠DAB ＝90°∴∠ADF ＋∠DAB ＝90°==90DFA AGD ∴∠∠︒又=AD DA()ADF DAG AAS ∴△≌△=DF AG∴=2AC DF∴【小问3详解】解：取BC 的中点H ，连接OH 、OD ，则BH =CH =12BC =3，OH BC ⊥=90=OHB DFO∴∠︒∠=OA OBOH ∴是ABC △中位线=2AC OH∴由(2)知AC =2DF=OH DF∴=OD OB∴Rt △OFD ≌Rt △BHO (HL )==3OF BH ∴===23=5OD OA AF OF ∴++∴在Rt OFD △中，22222==53=16DF OD OF --∴在Rt AFD △中，AD 【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能够证明∠AFD =90°，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等．。

2022学年第二学期期中混合式教学适应性练习九年级数学练习卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列运算正确的是（）（A ）632a a a =+；（B ）235+=a aa ；（C ）236·=a a a ；（D ）()236=a a ．2．在（）（A ）1和2之间；（B ）2和3之间；（C ）3和4之间；（D ）4和5之间．3．如果一个三角形的两边长分别为5cm 、10cm ，那么这个三角形的第三边的长可以是（）（A ）3cm ；（B ）5cm ；（C ）10cm ；（D ）16cm ．4．已知点D 、E 分别在△ABC 的边CA 、BA 的延长线上，DE ∥BC ，DE ∶BC =1∶3，设DA a =，那么CD 用向量a表示为（）（A ）3a；（B ）-3a；（C ）4a；（D ）-4a．5．在研究反比例函数的图像时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，那么这个点是（）x ．．．-2-1212．．．y．．．-14-2-1．．．（A ）(-2,-1)；（B ）（-12，4）；（C ）(1,-2)；（D ）(2,-1)．6．已知点A 、B 、C 在圆O 上，那么下列命题为真命题．．．的是（）．（A ）如果半径OB 平分弦AC ，那么四边形OABC 是平行四边形；（B ）如果弦AC 平分半径OB ，那么四边形OABC 是平行四边形；（C ）如果四边形OABC 是平行四边形，那么∠AOC =120°；（D ）如果∠AOC =120°,那么四边形OABC 是平行四边形．二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：()22-=．8．分解因式：228-+x =．9．分式13x -中字母x 的取值范围是．10．如果关于x 的方程022=-+k x x 有两个相等的实数根，那么k =．11．在平面直角坐标系中，如果点),3(x x A -在第二象限，那么x 的取值范围是．12．一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是．13．已知一次函数3y =x +m 的图像经过点（-1,1），那么m =．14．某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图像如图1所示，那么旅客最多可免费携带行李千克．15．如图2，在正五边形ABCDE 中，F 是边BC 延长线上一点，联结AC ，那么∠ACF 的度数为．16．如图3，已知点E 在矩形ABCD 的边AD 上，且BC =EC =8，∠ABE =15°，那么AB 的长等于．17．如图4，已知△ABC 中，∠BAC =30°，∠B=70°，如果将△ABC 绕点C 顺时针旋转到△A’B’C ，使点B 的对应点B’落在边AC 上，那么∠AA’B’的度数是．18．如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5，点D 在边BC 上，且△ABD 是“倍角互余三角形”，那么BD 的长等于．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：138123272sin 45---+-1⎛⎫⎪︒⎝⎭．（图1）（图2）（图4）（图3）Ox （千克）y (元)660801020.（本题满分10分）解方程组：224152 5.，x y x y ⎧-=⎨-=⎩21.（本题满分10分）某校开设了A 、B 、C 、D 、E 五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从A 、B 、C 、D 、E 中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图（图5）和扇形统计图（图6），两个统计图都尚未完成．（1）求本次问卷调查中最喜欢E 类课程的学生人数，并在图5中补全相应的条形图；（2）根据本次调查的结果，试估计该校全体初中学生中最喜欢D 类兴趣课的人数是多少？22．（本题满分10分）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图7），图8是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形BCDE 和“房顶”等腰三角形ABE 组成．已知BC =4．5厘米，CD =8厘米，AB =AE =5厘米．（1）求“房顶”点A 到盒底CD 的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC 的长度（即线段AB 与BC 的和）及矩形BCDE 的面积均不改变，且5sin =13∠ABE ，BC ＞CD ，求新造型“盒身”的高度（即线段BC 的长）．（图7）（图8）人数兴趣课类别（图5）（图6）调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图23．（本题满分12分）如图9，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，OB=OC ．（1）求证：AB =CD ；（2）E 是边BC 上一点，联结DE 交AC 于点F ，如果2=·AO OF OC ，求证：四边形ABED 是平行四边形．24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线c bx x y ++-=2经过点A (-3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求二次函数的解析式和顶点D 的坐标；（2）联结AC ，试判断△ACD 与△BOC 是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC 上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F ，联结EF ，如果四边形CEFD 的面积为3，求新抛物线的表达式．（图9）（备用图）25．（本题满分14分）如图10，已知半圆O 的直径AB =4，C 是圆外一点，∠ABC 的平分线交半圆O 于点D ，且∠BCD =90°，联结OC 交BD 于点E ．（1）当∠ABC =45°时，求OC 的长；（2）当∠ABC =60°时，求OEEC的值；（3）当△BOE 为直角三角形时，求sin ∠OCB 的值．2022学年第二学期期中混合式教学适应性练习九年级数学练习卷评分参考一、选择题1.D ；2.B ；3.C ；4.D ；5.A ；6.C二、填空题7.2；8.)2)(2(2-+-x x ；9.3≠x ；10.-1；11.30<<x ；12.41；13.4；14.30；15.144；16.4；17.20；18.59或541441-.三、简答题19.解：原式1212323-++-=...........................................6分122323+++-=...........................................2分2122-=.....................................................2分20.解：由①得③，15)2)(2(=-+y x y x .................................3分将②代入③中得，32=+y x .........................................2分原方程组化为⎩⎨⎧=-=+5232y x y x ...........................................2分解此二元一次方程组得⎩⎨⎧-==12y x ............................................................2分所以原方程组的解是⎩⎨⎧-==12y x ........................................1分21.解：（1）20÷40%=50（人）.................................................2分50×10%=5（人）................................................2分图略...........................................................2分（2）A ：5÷50=10%....................................................1分D ：1-10%-12%-40%-10%=28%........................................1分500×28%=140（人）..........................................1分所以本次问卷调查中最喜欢E 类课程的学生人数是5估计该校全体初中学生中最喜欢D 类兴趣课的人数是140........................................1分22.解：（1）过点A 做AH ⊥BE 垂足为H ....................................1分∵矩形BCDE ∴BE=CD=8厘米..................................1分∵AB=AE ∴BH=21BE=4厘米..................................1分Rt △ABH 中∵AB ²=BH ²+AH ²∴AH=3厘米....................1分∴点A 到盒底CD 的距离是3+4.5=7.5厘米...........................1分（2）3685.4=⨯=BCDE S 矩形平方厘米AB +BC=5+4.5=9.5厘米设BC=x 厘米则CD=x 36厘米BH=x18厘米AB=（x -5.9）厘米..................................................1分∵135sin =∠ABE ∴1312cos ==∠AB BH ABE ∴xx 1813)5.9(12⋅=-.................................................1分得0391922=+-x x 解得2131=x 32=x ..............................2分∵BC ＞CD 32=x 舍去∴BC=213厘米.................................1分23.证明：（1）∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB....................................1分∵AD //BC ∴∠OBC=∠ADO ∠OCB=∠DAO∴∠OAD=∠ODA..............................................1分∴OA=OD ...................................................1分∴OA +OC=OD +OB ∴AC=BD...................................1分∵AD //BC AB 与CD 不平行∴四边形ABCD 是梯形∴梯形ABCD 是等腰梯形......................................1分∴AB=DC .....................................................1分（2）∵AO ²=OF ·OC ∴AO OCOF AO =...........................................1分∵AD //BC ∴OD BOOA OC =.................................................1分∴ODBO OF AO =..........................................................2分∴DF //AB..............................................................1分∵AD //BE ∴四边形ABED 是平行四边形..................................1分24.解：（1）∵抛物线c bx x y ++-=2过点A （-30）、B （10）∴⎩⎨⎧=+-=-.1,93c b c b 解方程组得b=-2c=3...........................2分∴抛物线表达式是322+--=x x y ................................1分可得抛物线的顶点D 的坐标为（-14）............................1分（2）由322+--=x x y 得点C 的坐标是（03）∴OC=3.由A （-30）、B （10）D （-14）得AC=23OB=1AD=52CD=2∴CD ²+AC ²=20AD ²=20∴CD ²+AC ²=AD ²∴∠ACD=90°.......................................................1分∴∠ACD=∠BOC ........................................................1分∵31232==AC CD 31=OC OB ∴AC CD OC OB =∴ACOC CD OB =...........................................1分∴△ACD ∽△BOC .......................................................1分（3）原抛物线的对称轴是直线x=-1..........................................1分设新抛物线的表达式为y=-x ²+k ∴它的顶点E 的坐标是（0k ）（0≤k ≤3）................................1分∴点F 的坐标是（-1k -1）............................................1分∴EC=3-k DF=4-k+1=5-k∵CE ∥DF ∴四边形DCEF 是梯形∴S 梯形DCEF =31)53(21=⨯-+-⨯k k 解得k =1所以新抛物线的表达式是y=-x ²+1...............................1分25.解：（1）联结OD 过点O 做OH ⊥BC 垂足为H ...........................1分∴∠OHC =∠OHB=90°.∵AB=4∴OB=OD =2∴∠ODB =∠OBD ∵BD 平分∠ABC ∴∠OBD =∠DBC ∴∠DBC =∠ODB∴OD //BC ∴∠DOH =∠OHB=90°∴四边形DOHC 是矩形∴OD=HC =2............................1分Rt △BOH 中sin ∠OBH =22=OB OH ∴OH=2...................1分Rt △COH 中∵OC ²=CH ²+OH ²∴OC =6........................1分（2）Rt △BOH 中cos ∠OBH 21OB BH ......................................1分∴BH=1................................................................1分∴CB=CH+BH=3......................................................1分∵OD//BC ∴32==BC OD EC OE ...............................................2分（3）（i ）当∠EOB=90°时设BH=x 则BC=x +2∵OH ⊥BC ∴∠OHB=∠COB=90°.∵∠OBH=∠COB ∴△BOH ∽△BCO ....................................1分∴OB ²=BH ·BC ∠BOH=∠BCO ∴x ²+2x -4=0解得x 1=51+-x 2=51--（不合题意舍去）∴BH=51+-.∴sin ∠OCB=sin ∠BOH=215-=OB BH .....................................1分（ii）当四边形OBCD 是正方形时∠BEO=90°∴∠OCB=45°........................................................1分∴sin ∠OCB=sin45°=22................................................1分（iii）根据题意∠OBE=90°不成立........................................1分所以当△BOE为直角三角形时sin∠OCB的值是215或22.。

2021学年嘉定区第二次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1． 本试卷含三个大题，共25题；2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列实数中，属于无理数的是（▲） (A)4； (B) 020020002.2； (C) 11； (D)722． 2．下列关于x 的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（▲）(A) 042=+x ； (B) 022=+x x ； (C) 0442=+−x x ； (D) 022=+−x x ． 3．如果将抛物线1)1(2−+=x y 向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（▲）(A) )2,0(； (B) )0,2(； (C) )11(，； (D) )11(，−． 4．数据1，1，1，2，4，2，2，4的众数是（▲）(A)1； (B)2； (C)1或2； (D)1或2或4．5．如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列结论一定成立的是（▲） (A)CBA CAB ∠=∠； (B) ABC DAB ∠=∠； (C) DAB AOD ∠=∠； (D) ODA OAD ∠=∠．6．在Rt △ABC 中， ︒=∠90C ，8=BC ，2tan =A ，以点A 为圆心，半径为8的圆记作圆A ，那么下列说法正确的是（▲）(A) 点C 在圆A 内，点B 在圆A 外； (B) 点C 在圆A 上，点B 在圆A 外； (C) 点C 、B 都在圆A 内； (D) 点C 、B 都在圆A 外．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．计算：=−)21(2x ▲ ． 8．分解因式：=−a a 92▲ ．9．不等式1221>−x 的解集是 ▲ ． 10．计算：=−+−−1112x x x x ▲ ． 11．用换元法解方程3222=+++x x x x 时，如果设y x x=+2，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ▲ ．图112．如果正比例函数x k y )1(−=的图像经过点A )4,2(−，那么k 的值是 ▲13．数据2−、1−、0、1、2的方差是 ▲ ．14．在不透明的袋中装有5个红球、2个白球和1个黑球，它们除颜色外其它都相同，如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为白球的概率是 ▲ ． 15．如图2，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DC BD 2=，设向量a AB =，b BC =，那么向量=DA ▲ （结果用a 、b 表示）． 16．已知圆1O 与圆2O 外切，其中圆2O 的半径是cm 4，圆心距cmO O 621=，那么圆1O 的半径是▲cm ．17．我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图3，在△ABC 中，︒=∠45A ，︒=∠30B ，CD 是△ABC 中边AB 上的高，如果6=BC ，那么△ADC 和△BCD 的重心距是 ▲ ．18．在正方形ABCD 中，5=AB ，点E 在边BC 上，△ABE 沿直线AE 翻折后点B 落到正方形ABCD 的内部点F ，联结BF 、CF 、DF ，如图4，如果︒=∠90BFC ，那么=DF ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：31)2(121)21(2)21(−−+−+−．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=−+=−．，0658222y xy x y x ②①21．(本题满分10分，每小题满分各5分)如图5，在△ABC 中，︒=∠90C ，BD 是△ABC 的角平分线，AB DE ⊥，垂足为E ，已知16=AE ，53sin =A ． （1）求CD 的长；（2）求DBC ∠的余切值．A BCD图2C BD 图3 图4 图522．(本题满分10分，每小题满分各5分)已知直线)0(4≠+=k kx y 与双曲线都经过点),2(m A ． （1）如果点)6,2(−B 在直线)0(4≠+=k kx y 上，求m 的值；（2）如果第三象限的点C 与点A 关于原点对称，点C 的纵坐标是3−，求双曲线的表达式． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分)如图6，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AD AC =，点E 在边BC 上，AE AB =，CAD BAE ∠=∠，联结DE ． （1）求证：DE BC =；（2）当BC AC =时，求证：四边形ABCD 是平行四边形．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线32++=bx ax y 经过点)0,3(A 、)1,4(B 两点，与y 轴的交点为C 点．（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形OABC 的面积；（3）设抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线l ，点关于直线l 对称，在线段BC 上是否存在一点E 是菱形，如果存在，请求出点E.图6图725．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）在梯形ABCD 中，已知AB DC //，︒=∠90DAB ，3=DC ，6=DA ，9=AB ，点E 在射线AB 上，过点E 作AD EF //，交射线DC 于点F ，设x AE =． （1）当1=x 时，直线EF 与AC 交于点G 如图8，求GE 的长； （2）当3>x 时，直线EF 与射线CB 交于点H . ①当93<<x 时，动点M （与点A 、D 不重合）在边AD 上运动，且BE AM =，联结MH 交AC 于点N 如图9，随着动点M 的运动，试问HN CH :的值有没有变化，如果有变化，请说明你的理由；如果没有变化，请你求出HN CH :的值； ②联结AH ，如果CAD HAE ∠=∠，求x 的值．A BCD FE 图8G ABC D F E图9H M NABC D 备用图2021学年嘉定区第二次质量调研数学试卷参考答案及评分意见一、1. C; 2. B; 3. D; 4. C; 5. D; 6. A.二、7. 2−4x;8. a(a−9);9. x>6;10. 1;11.2y2−3y+1=0;12. 3;13. 2; 14. 14;15.−a−23b;16. 2;17. √3+1;18. √10.三、19. 解原式=2+√2−2+√2+1−2√2………………8’=1……………………………………………2’20.解由②得：(x+6y)(x−y)=0……………………2’∴(x+6y)=0或(x−y)=0……………………2’原方程组可变为：{x−2y=8x+6y=0，{x−2y=8x−y =0……………2’解这两个方程组得原方程组的解是：{x1=6y1=−1，{x2=−8y2=−8…4’21.解(1) ∵DE⊥AB∴∠AED=90°在Rt△AED中，sin A=DEDA…………………………………1’∵sin A=35∴DEDA=35……………………………………1’∵AE=16DE2+AE2=DA2∴DE=12 DA=20……1’∵BD平分∠ABC，∠AED=∠C=90°∴CD=DE ……1’∴CD=12……………………………………………………1’(2)由(1)得 DA=20∴AC=32 ……………………………1’在Rt△ACB中，sin A=BCAB……………………………………1’∵BC2+AC2=AB2∴BC=24……………………………1’在Rt△BCD中，cot∠DBC=BCCD………………………………1’又BC=24 CD=12∴cot∠DBC=2……………………1’22.解(1) 由点B(−2,6)在直线y=kx+4上∴6=−2k+4………………………………………………1’∴k=−1………………………………………………………1’∴直线的表达式是y=−x+4……………………………1’∵点A(2,m)在直线y=−x+4上∴m=−2+4……1’∴m=2………………………………………………………1’(2) 设所求的双曲线表达式是y=kx(k≠0)……………………1’∵第三象限点C与点A关于原点对称，∴点A的纵坐标与点C的纵坐标是互为相反数………1’∵点C的纵坐标是-3 ∴点A的坐标是(2,3)……………1’∵点A在双曲线y=kx 上∴2=k3∴k=6……………1’∴双曲线的表达式是y=6x…………………………………1’23.证明(1) ∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC ∴∠BAC=∠EAD……………………………………………2’在△BAC和△EAD中，{AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD∴△BAC≌△EAD………………………………………………2’∴BC=DE……………………………………………………2’(2) ∵AC=BC∴∠B=∠CAB∵∠B+∠CAB+∠ACB=180°∴∠ACB=180°−2∠B∵AB=AE∴∠B=∠AEB∵∠B+∠AEB+∠BAE=180°∴∠BAE=180°−2∠B…1’∴∠ACB=∠BAE……………………………………………1’∵∠BAE=∠CAD∴∠ACB=∠CAD……………………1’∴AD // BC……………………………………………………1’∵AC=BC AC=AD∴BC=AD…………………………1’∴四边形ABCD是平行四边形…………………………………1’24. 解(1) ∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(3,0)、B(4,1)两点 ∴ {0= 9a +3b +31=16a +4b +3 …………………………………………… 1’得 {a = 12 ……………………………………………………… 1’b =−52 …………………………………………………… 1’∴ 抛物线的表达式是y =12x 2−52x +3 ………………………… 1’(2) 联结OB ，点B 的坐标是(4,1) 由题意得S △BOC =12×4×3=6………………………………… 1’S △OAB =12×3×1=32 ………………………………………… 1’ ∵ S OABC =S △BOC +S △OAB …………………………………… 1’∴ S OABC =6+32=152………………………………………… 1’(3) 存在 …………………………………………………… 1’由(1)可知：对称轴l 的表达式是直线x =2.5∵点D 与点B 关于直线l 对称，点B 的坐标是(4,1) ∴点D 的坐标是(1,1) , 可以求得，DC =AD =√5，直线BC 的表达式是y =−12x +3，直线AD 的表达式是y =−12x +32，∴ AD // BC …………………………………………………… 1’只要AD =EC ，就能得到四边形ADCE 是菱形.设点E 的坐标为(x,−12x +3)，得√(x −0)2+(−12x +3−3)2=√5解得x =±2（负值舍去） …………………………………… 1’ ∴点E 的坐标为(2,2) …………………………………… 1’∴在线段BC 上存在一点E ，使四边形ADCE 是菱形， 点E 的坐标为(2,2)25.解(1) ∵DC // AB∴FCAE =FGGE……………………………1’∵EF // AD∴四边形AEFD是平行四边形∴DF=AE，AD=EF ∵ AE=x=1∴DF=1∵CD=3∴CF=2………1’又AD=6∴EF=6…………………………………………1’∴FG=6−GE∴21=6−GEGE∴GE=2……………………1’(2) ① CH∶ HN的值没有变化…………………………………1’过点C作CG⊥AB，垂足为G由题意可知CG=AD=6DC=AG=3∵AB=9∴GB=6∴△CGB是等腰直角三角形∴CB2=CG2+GB2∴CB=6√2…1’∴∠B=45°∠HEB=90°∴∠EHB=45°∴∠B=∠EHB∴HE=BE∵AM=BE∴AM=HE 又AM // HE∴四边形AMHE是平行四边形…………1’∴MH // AB∴△CNH∽△C A B……………………………1’∴CHHN =CBAB………………………………………………………1’∵AB=9∴CHHN =6√29=2√23…………………………………1’(2) ②当3<x<9时，由①得HE=BE∴HE=9−x在Rt△CDA中，tan∠CAD=CDAD =36=12在Rt△AEH中，tan∠HAE=HEAE =9−xx∵∠CAD=∠HAE∴12=9−xx∴x=6……………………2’当x>9时，同理得BE=EH∴EH=x−9=BE同理EHAE =12∴x−9x=12∴x=18综上所述：x的值是6或18…………………………………2’。

2022年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列实数中，属于无理数的是( )A. √4B. 2.020020002C. √11D. 2272. 下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是( )A. x2+4=0B. x2+2x=0C. x2−4x+4=0D. x2−x+2=03. 如果将抛物线y=(x+1)2−1向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是( )A. (0,2)B. (2,0)C. (1,1)D. (−1,1)4. 数据1，1，1，2，4，2，2，4的众数是( )A. 1B. 2C. 1或2D. 1或2或45. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点O，那么下列结论一定成立的是( )A. ∠CAB=∠CBAB. ∠DAB=∠ABCC. ∠AOD=∠DABD. ∠OAD=∠ODA6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanA=2，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是( )A. 点C在圆A内，点B在圆A外B. 点C在圆A上，点B在圆A外C. 点C、B都在圆A内D. 点C、B都在圆A外二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：2(1−2x)=______．8. 分解因式：a2−9a=______．9. 不等式1x−2>1的解集是______．210. 计算：2x x−1−x+1x−1=______．11. 用换元法解方程2xx+2+x+2x=3时，如果设xx+2=y ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是______．12. 如果正比例函数y =(1−k)x 的图像经过点A(2,−4)，那么k 的值是______．13. 数据−2、−1、0、1、2的方差是______．14. 在不透明的袋中装有5个红球、2个白球和1个黑球，它们除颜色外其它都相同，如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为白球的概率是______．15. 如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，BD =2DC ，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______(结果用a ⃗ 、b ⃗ 表示)．16. 已知圆O 1与圆O 2外切，其中圆O 2的半径是4cm ，圆心距O 1O 2=6cm ，那么圆O 1的半径是______cm ．17. 我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，CD 是△ABC 中边AB 上的高，如果BC =6，那么△ADC 和△BCD 的重心距是______． 18. 在正方形ABCD 中，AB =5，点E 在边BC 上，△ABE 沿直线AE 翻折后点B 落到正方形ABCD 的内部点F ，联结BF 、CF 、DF ，如图，如果∠BFC =90°，那么DF =______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

2022年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是( )A. √4B. √6C. √8D. √122. 关于一元二次方程x2−x−2=0的根的情况，下列判断正确的是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根3. 已知反比例函数的图象经过点(−3,2)，那么这个反比例函数的解析式是( )A. y=2x B. y=−3xC. y=6xD. y=−6x4. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( )A. 方差B. 众数C. 平均数D. 频数5. 在下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 圆6. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=2√5，cotC=√54，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是( )A. 9B. 172C. 5 D. 92二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：(3a3)2=______．8. 某商品原价为a元，如果按原价的七五折销售，那么售价是______元．(用含字母a的代数式表示)9. 不等式组{x−2<02x+3>1的解集是______．10. 分解因式：4a2−b2=______．11. 已知函数f(x)=2x−3，那么f(2)=______．12. 已知正比例函数y =kx(k 是常数，k ≠0)的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而______.(填“增大”或“减小”)13. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值______钱．14. 在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．如表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数：国家挪威德国中国美国瑞典荷兰奥地利 瑞士俄罗斯代表队 法国金牌数(枚)16 12 9 8 8 8 7 7 65那么这些国家获得金牌数的中位数是______枚．15. 如果一个等腰直角三角形的面积是1，那么它的周长是______．16. 如图，已知AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，AD//BC ，BC =2AD ，如果设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为______．17. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，F 为边CD 上一点，沿AF 折叠，点D 恰好落在BC边上的点E 处，那么线段DF ：FC 的值为______．18. 一个封闭平面图形上及其内部任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径的比值称为该图形的“周率”，如果正三角形、正方形和圆的周率依次记为a 、b 、c ，那么将a 、b 、c 从小到大排列为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

上海市宝山区重点名校2024届中考二模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．反比例函数y＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点A(﹣1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；④若点P(x，y)在上，则点P′(﹣x，﹣y)也在图象．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．下列四个实数中是无理数的是( )A．2.5 B．C．π D．1.4143．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°4．下列运算，结果正确的是（）A．m2+m2=m4B．2m2n÷12mn=4mC．（3mn2）2=6m2n4D．（m+2）2=m2+45．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x–h）2+k（a<0）的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为 2s 0.51=甲，2s 0.62=乙，2s 0.48=丙，2s 0.45=丁，则四人中成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．8．如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．49．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差10．已知关于x 的不等式组﹣1＜2x+b ＜1的解满足0＜x ＜2，则b 满足的条件是（ ）A ．0＜b ＜2B ．﹣3＜b ＜﹣1C ．﹣3≤b≤﹣1D ．b=﹣1或﹣3二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=8. O 是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A 在优弧BC 上，则tan ABC∠的值为_____________.12．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为kg13．阅读材料：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），如果a∥b，则x1•y2=x2•y1．根据该材料填空：已知a=（2，3），b=（4，m），且a∥b，则m=_____．14．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．15．81的算术平方根是_______.16．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若12ABCS ，则图中阴影部分面积是.17．已知，直接y=kx+b（k＞0，b＞0）与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=16x（x＞0）交于第一象限点C，若BC=2AB，则S△AOB=________.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？19．（5分）某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②所示的统计图，已知“查资料”的人数是40人．请你根据图中信息解答下列问题：(1)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是_____°；(2)补全条形统计图；(3)该校共有学生1200人，试估计每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数.20．（8分）解方程311(1)(2)xx x x-=--+．21．（10分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A（2,1）. （1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.23．（12分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．请根据以上信息回答：(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅不完整的图补充完整；(3)求扇形统计图中C 所对圆心角的度数；(4)若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．24．（14分）如图，ABC ∆内接于O ，AB AC =，CO 的延长线交AB 于点D .（1）求证：AO 平分BAC ∠；（2）若6BC =，3sin 5BAC ∠=，求AC 和CD 的长.参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．【题目详解】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m ＞0故①错误；当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故②错误；将A(﹣1，h)，B(2，k)代入y ＝x m ，得到h ＝﹣m ，2k ＝m ， ∵m ＞0∴h ＜k故③正确；将P(x ，y)代入y ＝x m 得到m ＝xy ，将P′(﹣x ，﹣y)代入y ＝xm 得到m ＝xy ， 故P(x ，y)在图象上，则P′(﹣x ，﹣y)也在图象上故④正确，故选：B ．【题目点拨】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键．2、C【解题分析】本题主要考查了无理数的定义．根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解．解：A 、2.5是有理数，故选项错误；B 、是有理数，故选项错误；C 、π是无理数，故选项正确；D 、1.414是有理数，故选项错误．故选C ．3、B【解题分析】试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°. 考点：角度的计算4、B【解题分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则计算得出答案．【题目详解】A. m 2+m 2=2m 2，故此选项错误；B. 2m2n÷12mn=4m，正确；C. (3mn2)2=9m2n4，故此选项错误；D. (m+2)2=m2+4m+4，故此选项错误.故答案选：B.【题目点拨】本题考查了乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则，解题的关键是熟练的掌握乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则.5、B【解题分析】根据题目给出的二次函数的表达式，可知二次函数的开口向下，即可得出答案.【题目详解】二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）二次函数开口向下.即B成立.故答案选:B.【题目点拨】本题考查的是简单运用二次函数性质，解题的关键是熟练掌握二次函数性质.6、D【解题分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【题目详解】∵0.45＜0.51＜0.62，∴丁成绩最稳定，故选D．【题目点拨】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．7、A【解题分析】试题分析：根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P（一次就能打该密码）＝，故答案选A.考点：概率.8、B【解题分析】∵点(6,4)A -，D 是OA 中点∴D 点坐标(3,2)-∵(3,2)D -在双曲线(0)k y k x =<上，代入可得23k =- ∴6k =-∵点C 在直角边AB 上，而直线边AB 与x 轴垂直∴点C 的横坐标为-6又∵点C 在双曲线6y x -=∴点C 坐标为(6,1)-∴3AC == 从而1136922AOC S AC OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选B 9、D【解题分析】解：A ．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A 与要求不符；B ．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B 与要求不符；C ．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C 与要求不符；D ．原来数据的方差=222(12)2(22)(32)4-+⨯-+-=12， 添加数字2后的方差=222(12)3(22)(32)5-+⨯-+-=25， 故方差发生了变化．故选D ．10、C【解题分析】根据不等式的性质得出x 的解集，进而解答即可．【题目详解】∵-1＜2x+b ＜1∴1122b bx---＜＜，∵关于x的不等式组-1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，∴12122bb--⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：-3≤b≤-1，故选C．【题目点拨】此题考查解一元一次不等式组，关键是根据不等式的性质得出x的解集．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、2【解题分析】【分析】作高线AD，由等腰三角形的性质可知D为BC的中点，即AD为BC的垂直平分线，根据垂径定理，AD过圆心O，由BC的长可得出BD的长，根据勾股定理求出半径，继而可得AD的长，在直角三角形ABD中根据正切的定义求解即可.试题解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D，连接OB，∵AB=AC，∴BD=CD=12BC=12×8=4，∴AD垂直平分BC，∴AD过圆心O，在Rt△OBD中，OD=222254OB BD-=-=3，∴AD=AO+OD=8，在Rt△ABD中，tan∠ABC=84ADBD==2，故答案为2.【题目点拨】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、正切的定义等知识，综合性较强，正确添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.12、20【解题分析】设函数表达式为y=kx+b把（30，300）、（50、900）代入可得：y=30x-600当y=0时x=20所以免费行李的最大质量为20kg13、6【解题分析】根据题意得，2m=3×4，解得m=6，故答案为6.14、0<m＜13 2【解题分析】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【题目详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣5 12；由y=﹣512x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣512x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=125m，∴A（125m，0），B（0，m），即OA=125m，OB=m，在Rt△OAB中，135m ==，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=12OD•AB=12OA•OB，∴12OD•135m=12×125m×m，∵m＞0，解得OD=1213m，由直线与圆的位置关系可知1213m ＜6，解得m＜132，故答案为0<m＜13 2.【题目点拨】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.15、3【解题分析】8181.【题目详解】8181 3故答案为3【题目点拨】此题主要考查了算术平方根的定义，解题需熟练掌握平方根和算术平方根的概念且区分清楚，才不容易出错．要熟悉特殊数字0，1，-1的特殊性质．16、4【解题分析】试题分析：由中线性质，可得AG=2GD，则11212111222232326 BGF CGE ABG ABD ABCS S S S S===⨯=⨯⨯=⨯=，∴阴影部分的面积为4；其实图中各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的. 考点：中线的性质.17、4 3【解题分析】根据题意可设出点C的坐标，从而得到OA和OB的长，进而得到△AOB的面积即可. 【题目详解】∵直接y=kx+b与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=16x交于第一象限点C，若BC=2AB，设点C的坐标为(c,16c)∴OA=0.5c,OB=1163c⨯=163c，∴S△AOB=1·2OA OB=1160.523cc⨯⨯=43【题目点拨】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是根据题意设出C点坐标进行求解.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）y=0.8x﹣60（0≤x≤200）（2）159份【解题分析】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）．（2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得x≥1 1383．∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元．（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数．（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可．19、（1）126；（2）作图见解析（3）768【解题分析】试题分析：（1）根据扇形统计图求出所占的百分比，然后乘以360°即可；（2）利用“查资料”人人数是40人，查资料”人占总人数40%，求出总人数100，再求出32人；(3)用部分估计整体.试题解析：（1）126°（2）40÷40%－2－16－18－32＝32人（3）1200×=768人考点：统计图20、原分式方程无解.【解题分析】根据解分式方程的方法可以解答本方程，去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，验证.【题目详解】方程两边乘(x﹣1)(x+2)，得x(x+2)﹣(x﹣1)(x+2)＝3即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3整理，得x＝1检验：当x＝1时，(x﹣1)(x+2)＝0，∴原方程无解．【题目点拨】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解放式方程的计算方法．21、（1）14；（2）34．【解题分析】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．试题解析：（1）选择A通道通过的概率=14，故答案为14；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率=1216=34．22、(1) B（-1.2）;(2) y=57x?66x;(3)见解析.【解题分析】（1）过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标；（2）根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标．【题目详解】（1）如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB 为等腰三角形，∴AO=BO ，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，∴∠AOC=∠OBD ，在△ACO 和△ODB 中AOC OBD ACO ODB AO BO ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∵A （2，1），∴OD=AC=1，BD=OC=2，∴B （-1，2）；（2）∵抛物线过O 点，∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，把A 、B 两点坐标代入可得4212a b a b +⎧⎨-⎩＝＝，解得5676a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝， ∴经过A 、B 、O 原点的抛物线解析式为y=56x 2-76x ； （3）∵四边形ABOP ，∴可知点P 在线段OA 的下方，过P 作PE ∥y 轴交AO 于点E ，如图2，设直线AO解析式为y=kx，∵A（2，1），∴k=12，∴直线AO解析式为y=12x，设P点坐标为（t，56t2-76t），则E（t，12t），∴PE=12t-（56t2-76t）=-56t2+53t=-56（t-1）2+56，∴S△AOP=12PE×2=PE═-56（t-1）2+56，由A（2，1）可求得5∴S△AOB=12AO•BO=52，∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=-56（t-1）2+56+52=()2510163t--+，∵-56＜0，∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，-13），综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为（1，-13）．【题目点拨】本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t 表示出四边形ABOP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．23、（1）本次参加抽样调查的居民有600人；（2）补图见解析；（3）72°；（4）1 4 .【解题分析】试题分析：（1）用B的频数除以B所占的百分比即可求得结论；（2）分别求得C的频数及其所占的百分比即可补全统计图；（3）算出A的所占的百分比,再进一步算出C所占的百分比，再扇形统计图中C所对圆心角的度数；（4）列出树形图即可求得结论．试题解析：（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2）如图；（3）180100%30%600⨯=，360°×（1－10%－30%－40%）=72°．（4）如图；（列表方法略，参照给分）．P（C粽）=31 124=．答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是14．考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法．24、(1)证明见解析；（2）AC＝310，CD＝90 13,【解题分析】分析：（1）延长AO交BC于H，连接BO，证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；（2）延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，由圆周角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC，得出sinE=sin∠BAC，求出CE=53BC=10，由勾股定理求出BE=8，证出BE∥OA，得出OA ODBE DE=，求出OD=2513，得出CD=9013，而BE∥OA，由三角形中位线定理得出OH=12BE=4，CH=12BC=3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的长即可．本题解析：解：(1)证明：延长AO交BC于H，连接BO.∵AB＝AC，OB＝OC，∴A，O在线段BC的垂直平分线上．∴AO⊥BC.又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC.(2)延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径．∴∠EBC＝90°，BC⊥BE.∵∠E＝∠BAC，∴sin E＝sin∠BAC.∴＝.∴CE＝BC＝10.∴BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5.∵AH⊥BC，∴BE∥OA.∴＝，即＝，解得OD＝.∴CD＝5＋＝.∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位线．∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3.∴AH＝5＋4＝9.在Rt△ACH中，AC＝＝＝3.点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数及圆的有关计算，（1）中由三线合一定理求解是解题的关键，（2）中由圆周角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC，再利用三角函数及三角形中位线定理求出AC即可，本题综合性强，有一定难度．。

B 上海市宝山、嘉定区202X 年中考二模数学试题一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、2-的倒数是（ ）A 、5-；B 、2；C 、12-； D 、12； 2、下列计算正确的是（ ）A 、2a-a =1；B 、2242a a a +=；C 、235a a a ⋅=；D 、()222a b a b -=-；3、某地气象局预报称：明天A 地区降水概率为80%，这句话指的是（ ）A 、明天A 地区80%的时间都下雨；B 、明天A 地区的降雨量是同期的80%；C 、明天A 地区80%的地方都下雨；D 、明天A 地区下雨的可能性是80%；4、某老师在试卷分析中说：参加这次考试的82位同学中，考91的人数最多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了。

这说明本次考试分数的众数是（ ）A 、82；B 、91；C 、11；D 、56；5、如果点K 、L 、M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形KLMN 是菱形，那么下列选项正确的是（ ）A 、AB ⊥BC ； B 、AC ⊥BD ； C 、AB=BC ； D 、AC=BD ；6、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠DBC=45°， 点E 在BC 上，点F 在AB 上，将梯形ABCD 沿直线EF 翻折， 使得点B 与点D 重合。

如果14AD BC =，那么AFBF的值是（ ） A 、12；B 、35；C 、23；D ；二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万人次，用科学记数法可表示为______人次；8、因式分解：228x -=_______________； 9、不等式组1321x x x +<⎧⎨->⎩的解集是________________；10、如果在组成反比例函数1ky x-=图像的每条曲线上，y 都随x 的增大而增大，那么k 的取值范围是________；11、如果函数y =f (x )的图像沿x 轴的正方向平移1个单位后与抛物线223y x x =-+重合，那么函数y=f (x )的解析式是___________；12、甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表。

2023年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列根式中，与为同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）3．（4分）某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如表所示：进球次数012345678910人数199********该投篮进球次数的中位数是（）A．2B．3C．4D．54．（4分）从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．矩形C．正五边形D．等腰梯形6．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，：S△DBC等于（）那么S△DECA．1：2B．1：3C．2：3D．1：4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：x4÷x2＝．8．（4分）如果分式有意义，那么实数x的取值范围是．9．（4分）已知1纳米＝0.000000001米，那么2.5纳米用科学记数法表示为米．10．（4分）如果方程，那么x＝．11．（4分）如果反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个反比例函数的解析式为．12．（4分）如果函数y＝x2+k的图象向左平移2个单位后经过原点，那么k＝．13．（4分）某区有1200名学生参加了“垃圾分类”知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘制成频率分布直方图（如图）．请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分～99.5分的学生有名．14．（4分）如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是．15．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD：DC＝2：1．设＝，＝，那么＝．（用、表示）16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin A＝，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是．17．（4分）新定义：函数图象上任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数y＝2x+3（﹣2≤x ≤1）的“特征值”是．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、BA的中点，联结DE．将△BDE绕点B顺时针方向旋转，点D、E的对应点分别是点D1、E1.如果点E1落在线段AC上，那么线段CD1＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝AB，sin A＝，圆O经过A、B两点，圆心O在线段AC上，点C在圆O内，且OC＝3．（1）求圆O的半径长；（2）求BC的长．22．（10分）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．23．（12分）如图，已知CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的角平分线，AE⊥CE，垂足为点E，AF∥EC，联结EF，分别交AB、AC于点G、H．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）试猜想GH与BC之间的数量关系，并证明你的结论．24．（12分）如图，在直角坐标平面xOy中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AB∥OC，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求点A、B的坐标；（2）联结AC、OB、BC，当AC⊥OB时，①求抛物线表达式；②在抛物线上是否存在点P，使得S△P AC＝4S△ABC？如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．25．（14分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在线段BC上，∠BPD＝∠ACB，PD 交BA于点D，过点B作BE⊥PD，垂足为E，交CA的延长线于点F．（1）如果∠ACB＝45°，①如图1，当点P与点C重合时，求证：BE＝PD；②如图2，当点P在线段BC上，且不与点B、点C重合时，问：①中的“BE＝PD”仍成立吗？请说明你的理由；（2）如果∠ACB≠45°，如图3，已知AB＝n•AC（n为常数），当点P在线段BC上，且不与点B、点C重合时，请探究的值（用含n的式子表示），并写出你的探究过程．2023年上海市嘉定区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】把化为最简二次根式，然后根据被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式解答．【解答】解：＝3，所以，与为同类二次根式的是．故选：A．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．2．【分析】先计算4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况，从而可对各选项进行判断．【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据中位数的定义求解即可．【解答】解：这组数据的中位数为＝3，故选：B．【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．4．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出2个数的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出2个数的和为奇数的结果数为8，所以取出2个数的和为奇数的概率＝＝．故选：C．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．5．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：B．【点评】解答此题要掌握等边三角形、矩形、正五边形和等腰梯形的性质以及中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．6．【分析】根据题意可得AD：AB＝1：4，再证明△ADE∽△ABC，得，即BC ＝4DE，根据平行线间的距离处处相等可得C到DE的距离为等于点D到BC的距离，以此即可求解．【解答】解：∵AD：DB＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴BC＝4DE，设点C到DE的距离为h1，点D到BC的距离为h2，∵DE∥BC，∴h1＝h2，：S△DBC＝1：4．∴，即S△DEC故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据同底数幂相除法则，同底数幂相除，底数不变指数相减计算．【解答】解：x4÷x2＝x4﹣2＝x2．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．8．【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣3≠0，解得：x≠，故答案为：x≠．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．9．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：∵1纳米＝0.000000001米，∴2.5纳米＝2.5×0.000000001米＝2.5×10﹣9米．故答案为：2.5×10﹣9米．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．【分析】先移项得到＝1+x，再把方程两边平方得到x+7＝（1+x）2，接着解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：﹣x＝1，移项，得＝1+x，两边平方，得x+7＝（1+x）2，整理得x2+x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝﹣3，检验：当x＝2时，方程左边＝﹣2＝1＝右边，则x＝2为原方程的解；当x＝﹣3时，方程左边＝﹣（﹣3）＝5≠右边，则x＝﹣3不是原方程的解；所以原方程的解为x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．11．【分析】直接把（1，﹣2）代入中计算出a﹣1的值即可得到这个反比例函数的解析式．【解答】解：把（1，﹣2）代入得a﹣1＝1×（﹣2）＝﹣2，∴这个反比例函数的解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．12．【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后的顶点坐标并写出解析式，然后把经过的点的坐标代入函数解析式计算即可得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+k的图象向左平移2个单位后的顶点坐标为（2，k），∴平移后的函数解析式为y＝（x+2）2+k，∵平移后过原点（0，0），∴0＝（0+2）2+k，∴k＝﹣4故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移解答更简便．13．【分析】利用频率分布直方图中，纵坐标与组距的乘积是相应的频率，根据各小组的频率之和是1求出成绩在89.5分～99.5分的学生的频率，再用1200乘以对应的频率即可．【解答】解：该区本次竞赛成绩在89.5分﹣99.5分的学生有：1200×（1﹣0.01×10﹣0.02×10﹣0.03×10﹣0.025×10）＝180（名）．故答案是：180．【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【解答】解：由题意可得：边数为360°÷36°＝10，则它的边数是10．故答案为10．【点评】本题考查了正多边形的计算，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．15．【分析】由题意可得，则＝，再根据可得答案．【解答】解：∵＝，＝，∴，∵AD：DC＝2：1，∴＝，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．16．【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin A＝，∴sin A＝，∴BC＝5，AC＝＝12，使AB两点一点在圆内，一点在圆外，∵CB＜CA，只能是A点在圆内，B点在圆外圆O的半径要大于BC的长度，小于AC的长度，∴R的取值范围为5＜R＜12．故答案为：5＜R＜12．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．17．【分析】按照一次函数的取值求出当x最小及最大时的两个点，再分别求出y﹣x即可．【解答】解：∵一次函数y＝2x+3（﹣2≤x≤1），∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，y﹣x＝1，当x＝1时，y＝5，y﹣x＝4，∵4＞1，∴该函数的“特征值”为4．故答案为：4．【点评】本题考查了一次函数的性质，准确的计算是解题关键．18．【分析】由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△E1CB，可得CE1＝BD＝1，通过证明△BCD1∽△BAE1，即可求解．【解答】解：∵点D、E分别是边BC、BA的中点，∴DE＝AC＝2，BD＝CD＝1，DE∥AC，∴DE＝BC＝2，∠BED＝∠BAC，∠BDE＝∠BCA＝90°，∵将△BDE绕点B顺时针方向旋转，∴BE＝BE1，∠BE1D1＝∠BED＝∠BAC，∠BD1E1＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E1BD1，∴∠CBD1＝∠ABE1，在Rt△BDE和Rt△E1CB中，，∴Rt△BDE≌Rt△E1CB（HL），∴CE1＝BD＝1，∴AE1＝3，∵∠BD1E1＝∠BDE＝90°＝∠BCA，∴点B，点D1，点C，点E1四点共圆，∴∠BCD1＝∠BE1D1＝∠BAC，∴△BCD1∽△BAE1，∴＝，∴CD1＝×3＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】根据负整数指数幂的运算法则可得＝，再将其分母有理化得＝，由特殊角的三角函数值可得sin45°＝，由绝对值的代数意义可得，由零指数幂的（1﹣π）0＝1，以此进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣+2﹣﹣1＝﹣+2﹣﹣1＝＝1．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及的知识点有负整数指数幂、分母有理化、特殊角的三角函数值、绝对值的代数意义、零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是解题关键．20．【分析】先用完全平方公式把方程②左边因式分解，得（x﹣y）2＝4，从而推得x﹣y＝±2，再分类讨论，即可求解．【解答】解：由②得（x﹣y）2＝4，∴x﹣y＝±2，当x﹣y＝2时，得x＝2+y④，把④代入①得2+y﹣3y＝5，∴﹣2y＝3，∴y＝﹣，把y＝﹣代入④得x＝2﹣＝，∴是原方程组的一个解，当x﹣y＝﹣2时．得x＝y﹣2⑤，把⑤代入①得（y﹣2）﹣3y＝5，∴﹣2y＝7，∴y＝，把y＝代入④得x＝2+（﹣2）＝∴是原方程组的一个解，所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了二次二元方程组，关键是将二元二次方程组转化为二元一次方程组．21．【分析】（1）作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得AD＝BD，由＝sin A＝，得OD＝OA，则AD＝＝OA，而AD＝AB＝AC＝（OA+3），则OA＝（OA+3），所以OA＝5，则⊙O的半径长为5；（2）作CE⊥AB于点E，由OC＝3，OA＝5，得AB＝AC＝8，所以CE＝AC•sin A＝，则AE＝＝，BE＝AB﹣AE＝，即可根据勾股定理求得BC＝＝．【解答】解：（1）作OD⊥AB于点D，则∠ADO＝90°，AD＝BD，∵＝sin A＝，∴OD＝OA，∴AD＝＝＝OA，∵AC＝AB，OC＝3，∴AD＝AB＝AC＝（OA+3），∴OA＝（OA+3），解得OA＝5，∴⊙O的半径长为5．（2）作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，∵OC＝3，OA＝5，∴AB＝AC＝OC+OA＝3+5＝8，∴CE＝AC•sin A＝8×＝，∵AE＝＝＝，∴BE＝AB﹣AE＝8﹣＝，∴BC＝＝＝，∴BC的长是．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．22．【分析】（1）根据列车提速前所用的时间﹣提速后所用的时间可得到t的值；（2）设列车提速后速度是每小时x千米，则列车提速前速度是每小时（x﹣20）千米，根据列车提速前所用的时间﹣提速后所用的时间＝3列出分式方程，求解，与每小时140千米比较即可得到结论．【解答】解：（1）列车提速前速度是每小时80千米，提速后速度是每小时100千米，t＝﹣＝4.5（小时）．（2）列车提速后速度符合规定，理由如下：设列车提速后速度是每小时x千米，则列车提速前速度是每小时（x﹣20）千米，根据题意得﹣＝3，解得x1＝120，x2＝﹣100，经检验，x1＝120，x2＝﹣100都是原方程的解，但x2＝﹣100不符合题意，舍去．∴提速后速度是每小时120千米，∵这个速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度符合规定．【点评】本题考查了分式方程的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．23．【分析】（1）根据CE、CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线得到∠ECF＝90°，推导出EC⊥CF，然后根据AE⊥CE，得到AE∥FC，再利用AF∥EC证得四边形AECF是矩形；（2）根据矩形的性质得到内错角相等即可证得两条直线平行．【解答】证明：（1）如图所示，∵CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的角平分线，∴∠2＝∠ACB，∠3＝∠ACD，∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠2+∠3＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴EC⊥CF，∵AE⊥CE，∴AE∥FC，又∵AF∥EC，∴四边形AECF是矩形；（2）GH∥BC．理由如下：∵四边形AECF是矩形，∴EF＝AC，EH＝EF，AH＝HC＝AC，∴EH＝HC，∴∠2＝∠5，又∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠5，∴GH∥BC，∴＝＝，∴GH＝BC．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的判定的知识，解题的关键是了解矩形的几个判定定理．24．【分析】（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，对于y＝ax2﹣2ax﹣4，令x＝0，则y ＝﹣4，即点A（0，﹣4），根据抛物线的对称性，则点B（2，﹣4），即可求解；（2）①求出直线AC的表达式为：y＝x﹣4，得到点C（8，0），即可求解；②过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在点A的上方取点M，使AM＝4AN，则S△P AC，即可求解．＝4S△ABC【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，对于y＝ax2﹣2ax﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，即点A（0，﹣4），根据抛物线的对称性，则点B（2，﹣4），即点A、B的坐标分别为：（0，﹣4）、（2，﹣4）；（2）①由点B的坐标得，tan∠AOB＝∵AC⊥OB，则tan∠OAC＝2，∵OA＝4，则OC＝8，即点C（8，0），将点C的坐标代入抛物线表达式得：64a﹣16a﹣4＝0，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4①；②存在，理由：过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在点A的上方取点M，使AM＝4AN，则S△P AC则直线m的表达式为：y＝（x﹣2）﹣4，当x＝0时，y＝﹣5，即点N（0，﹣5），则AN＝1，则AM＝4，即点M（0，0），则直线m的表达式为：y＝x②，联立①②得：x2﹣x﹣4＝x，解得：x＝4±4，即点P的坐标为：（4±4，2）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、平行线的性质等，有一定能够的综合性，难度适中．25．【分析】（1）①证明△BAE≌△CAD（ASA），推出BF＝CD，再证明BE＝EF，可得结论；②结论：BE＝PD．如图2中，过点P作PT∥CF交BF于点T．证明∠BPD＝∠BPT，可得结论；（2）过点P作PK∥CA交BF于点K，交AB于点J．首先证明＝＝n，再证明△BJK∽△PJD，可得＝＝n，即可解决问题．【解答】（1）①证明：∵CE⊥BF，∴∠BED＝90°，∵∠DAC＝90°，∴∠BED＝∠CAD＝90°，∵∠BDE＝∠ADC，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC，在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（ASA），∴BF＝CD，∵∠BCP＝∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝22.5°，∴∠CBE＝∠CFE＝67.5°，∴CB＝CF，∵CE⊥BF，∴BE＝EF，∴BE＝CD，即BE＝PD；②解：结论：BE＝PD．理由：如图2中，过点P作PT∥CF交BF于点T．∵PT∥CF，∴∠BPT＝∠C，∵∠BPD＝∠ACB，∴∠BPD＝∠BPT，由（1）可知，BE＝PD；（2）解：过点P作PK∥CA交BF于点K，交AB于点J．∵PK∥AC，∴＝，∴＝＝n，同法可证PB＝PK，BE＝EK，∵∠KBJ＝∠DPJ，∠BJK＝∠PJD＝90°，∴△BJK∽△PJD，∴＝＝n，∴＝n，∴＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形即三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．。

2022年上海市嘉定区中考数学二模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中．是无理数的为（ ）A．0 B ．227 C ．3.14 D 2．下列运算错误的是( )A ．x+2x ＝3xB ．326()x x =C ．235x x xD ．842x x x ÷= 3．下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的 4．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数（单位：户）依次是：28，30，27，29，28，29，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．28和29B ．29和28C ．29和29D ．27和28 5．下列命题中，真命题的是（ ）A ．如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形B ．如果一个四边形两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形C ．如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形D ．如果一个四边形两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形是矩形 6．下列命题中假命题是（ ）A ．平分弦的半径垂直于弦B ．垂直平分弦的直线必经过圆心C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦二、填空题7．化简：＝_____．8．函数y 11x -＝的定义域是______． 9．计算：（a+1）2﹣a 2=_____．101的解是______．11．如果正比例函数y ＝（k ﹣1）x 的图象经过第一、三象限，那么k _____． 12．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是_____．13．正八边形的中心角等于______度14．为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”.由此，估计该校九年级全体学生中约有_______名学生“骑共享单车上学”．15．如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，BC ，CA 上的中点，AB a ＝，BC b ＝，用a 与b 的线性组合表示DE ＝_____．16．如图，已知⊙O 中，直径AB 平分弦CD ，且交CD 于点E ，如果OE =BE ，那么弦CD 所对的圆心角是_________度．17．定义：如图，点P 、Q 把线段AB 分割成线段AP 、PQ 和BQ ，若以AP 、PQ 、BQ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点．已知点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点，如果AP ＝4，PQ ＝6(PQ ＞BQ )，那么BQ ＝________ ．18．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （﹣0），C （0，2）将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在直线OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为______．三、解答题19．计算：1022202241)+20．解方程：231133x x x -=--． 21．如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接AC ．(1)求证：AD ＝CF ；(2)若AB ⊙AF ，且AB ＝8，BC ＝5，求sin⊙ACE 的值．22．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，其图象如图所示．(1)求出P 与S 之间的函数表达式；(2)如果要求压强不超过3000Pa ，木板的面积至少要多大？23．如图，已知在菱形ABCD 中，E 为边AD 的中点，CE 与BD 交于点G ，过点G 作GF ⊙CD 于点F ，⊙1＝⊙2．(1)若DF ＝3，求AD 的长；(2)求证：BG ＝GF ＋CE ．24．如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊙x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．25．在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且⊙CAD＋⊙DAB＝90°．(1)如图1，求证：AD等于CD；(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．参考答案：1．D2．D3．C4．C5．C6．A78．x≠19．2a+110．311．>112．3 1013．45 14．2515．1()2a b+##1()2b a+##1122b a+##1122a b+16．120．17．18．(2,-19．920．x=﹣1 21．(1)见解析；(2)3 522．(1)600ps =；(2)0.2 m2 23．(1)6 (2)见解析24．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）；（3）点M，0），0），0），，0）．25．(1)见解析(2)见解析(3)。

2012年九年级数学仿真试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列计算正确的是 （ ）．（A ）422a a a =+； （B ）236a a a =÷； （C ）32a a a =⋅； （D ）532)(a a =． 2．如果b a <，0<c ，那么下列不等式成立的是（ ）．(A) c b c a +<+； (B) c b c a +-<+-； (C) bc ac <； (D) cb c a <．3．一次函数1-=x y 的图像不．经过（ ）． （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限．4．在研究反比例函数图像与性质时，由于计算粗心，小明误认为（2-，3）、（2，3-）、（2-，3-）、（3，2-）、（23-，4）五个点在同一个反比例函数的图像上，后来经检查发现其中有一个点不在，这个点是（ ）．(A)（2，3-）； (B) （2-，3）； (C)（2-，3-）； (D) （23-，4）．5．如图1，在编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于x 轴对称的两个三角形是（ ）． （A ）①和②； （B ）②和③； （C ）①和③； （D ）②和④．6．下列命题中，假．命题是（ ）. （A ）如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外； （B ）如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它 的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点； （C ）边数相同的正多边形都是相似图形；（D ）正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：=+-))(2(b a b a ． 8．计算：111x x -=+ ．9．如果关于x 的方程290x kx ++=（k 为常数）有两个相等的实数根，则k = ．10．已知函数6)(+=x x f ，若a a f =)(，则a = ．11．已知一个二次函数的图像在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，又经过点A （1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是 （写出符合要求的一个解析式即可）．12．在一个不透明的袋子中装有2个白球，n 个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是54，则n 的值等于 ．13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弦长为 ．14．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，如果AD ＝5，DB ＝10，那么ADE S ∆:ABC S ∆的值为 ．15．已知△AB C 中，∠A =90°，∠B =θ，A C=b ，则A B = (用b 和θ的三角比表示)．(图1)16．已知G 是△AB C 的重心，设a AB =，b AC =，那么AG = （用a 、b 表示）．17．已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径比⊙O 2的2倍还大1，又O 1O 2=7，那么⊙O 2的半径长为 ． 18．如图2，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（4，2），若四边形O A B C 为菱形，则点C 的坐标为 ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：13123622127)3(-++⨯+-+--）（．20．（本题满分10分）解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ ②①21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图3，已知梯形A B C D 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4，点E 在边AB 上，DE ∥B C ．（1）若CB CE =，且3tan =∠B ，求ADE ∆的面积； （2）若∠DEC =∠A ，求边BC 的长度．22．（本题满分10分，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分3分)已知⊙1O 、⊙2O 外切于点T ，经过点T 的任一直线分别与⊙1O 、⊙2O 交于点A 、B ， （1）若⊙1O 、⊙2O 是等圆（如图4），求证AT =BT ；（2）若⊙1O 、⊙2O 的半径分别为R 、r （如图5），试写出线段AT 、BT 与R 、r 之间始终存在的数量关系（不需要证明）．AB(图3)(图2)23．（本题满分12分，每小题满分各3分）结合“两纲教育”，某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数．．，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图6，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题： (1) 本次随机抽样调查的样本容量是 ；(2) 试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数；(3) 若本次随机抽样的样本平均数为76.5，又表1中b 比a 大15，试求出a 、b 的值； (4) 如果把满足q x p ≤≤的x 的取值范围记为[p ，q ]，表1中a 的取值范围是 ． （A ）[69.5，79.5] （B ）[65，74] （C ）[66.5，75.5] （D ）[66，75]24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图7，平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），线段A B 垂直于y 轴，垂足为B ，将线段A B 绕点A 逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处，直线BC 与x 轴的交于点D ． （1）试求出点D 的坐标；（2）试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E 的坐标；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F ，使得以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似．(图7)表1：抽样分析分类统计表抽样分析频率分布直方图(图6))25．（本题满分14分，第(1) 、(2)小题满分各5分，第(3)小题满分4分）已知△ABC 中，︒=∠90ACB （如图8），点P 到ACB ∠两边的距离相等，且PA =PB ．（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；（2）设m PA =，n PC =，试用m 、n 的代数式表示ABC ∆的周长和面积； （3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BCCD ACCD +的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．（图 ）8 （备用图）2011学年第二学期期中考试九年级数学参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、C ； 2、A ； 3、B ； 4、C ； 5、B ； 6、D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、222b ab a --； 8、)1(1+x x ； 9、6±=k ； 10、3=a ；11、22+-=x y 【答案不唯一，如322+-=x y 等】； 12、8； 13、2； 14、91； 15、θcot ⋅=b AB【答案不唯一，θtan b AB =等等价形式均可】；16、)(31b a+； 17、2或6； 18、（2,23，）. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：13123622127)3(-++⨯+-+--）（231321231+++-+-= ………………………………5分23321231-++-+-=………………………………2分333-= ………………………………3分20．解：方程①可变形为 0)3)(3(=-+y x y x .得03=+y x 或03=-y x . ………………………1分方程②可变形为 4)(2=-y x . 两边开平方，得2=-y x 或 2-=-y x . ……………………1分因此，原方程组可化为四个二元一次方程组：⎩⎨⎧=-=+;2,03y x y x ⎩⎨⎧-=-=+;2,03y x y x ⎩⎨⎧=-=-;2,03y x y x ⎩⎨⎧-=-=-.2,03y x y x …………………4分 分别解这四个方程组，得原方程组的解是3,21;2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=;21,23y x ⎩⎨⎧==;1,3y x ⎩⎨⎧-=-=.1,3y x ………………4分21．解：（1）分别过点C 、D 作AB CF ⊥、AB DG ⊥，交AB 于点F 、G （如图3）.∵AB ∥CD∴CF DG =. ………1分 ∵AB ∥CD ，DE ∥B C ， ∴CD BE =. ∵AB =13，CD =4，∴9413=-=-=BE AB AE . ………1分 ∵CB CE =，BE CF ⊥， ∴242121=⨯==BE BF . ………1分在Rt △BCF 中，由3tan =∠B ，2=BF 得=∠B tan =BFCF 3，即32=CF ，6=CF . ………1分∴6==CF DG . ∴27692121=⨯⨯=⋅=∆DG AE S ADE . ………1分（2）∵AB ∥CD ，∴DEA CDE ∠=∠. ………1分 又∵∠DEC =∠A ，∴△CDE ∽△DEA . ………1分 ∴EADE DECD =. ………1分∵9=AE ，CD =4，∴94DE DE=.∴362=DE,6=DE （负值已舍）. ………1分∵AB ∥CD ，DE ∥B C ，∴6==DE BC . ………1分22．（1）证明：联结1O 2O .∵⊙1O 、⊙2O 外切于点T ，∴点T 在1O 2O 上. …1分过1O 、2O 分别作AT C O ⊥1、BT D O ⊥2，垂足为C 、D （如图4）， ∴ C O 1∥D O 2. …1分∴TO T O DTCT 21=. …1分∵⊙1O 、⊙2O 是等圆，∴T O T O 21=. …1分 ∴121==TO T O DTCT ，∴DT CT =. …1分在⊙1O 中，∵AB C O ⊥1，∴ATCT AC 21==.同理 BT DT BD 21==. … 1分∴BTAT 2121=，即BT AT =. … 1分AB(图3)（2）解：线段AT 、BT 与R 、r 之间始终存在的数量关系是=BTAT rR . … 3分23．解：(1) 80 ； … 3分(2) 成绩位于79.5~89.5的频率为25.015.03.02.01.01=+++-）（. … 1分所以全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数为24015.025.0600=+⨯）（（人） … 2分(3) 本次随机抽样分析成绩不合格的人数为81.080=⨯（人）， 成绩优良的人数为324.080=⨯（人）， … 1分依据题意，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++⨯.15,5.76803240857b a ba ……1分 解得 ⎩⎨⎧==.87,72b a ……1分(4) D ． ……3分 24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 解：（1）点C 的坐标为（2，1）. ……1分 设直线BC 的表达式为y m x n =+. 易得3,2 1.n m n =⎧⎨+=⎩ 解得 3,1.m n =⎧⎨=-⎩ ……2分所以直线BC 的表达式为3+-=x y . 当0=y 时，30+-=x ，3=x .所以点D 的坐标为（3，0）. ……1分 （2）设经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为c bx ax y ++=2（0≠a ） ……1分易得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++==++.039,3,324c b a c c b a ……1分解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=.3,2,1c b a ……1分因此，所求的抛物线的表达式为322++-=x x y . 其顶点E 坐标为 (1，4). ……1分（3）点F 在322++-=x x y 的对称轴(即直线1=x )上，所以设点F 的坐标为（1，m ）. 由题意可得 AC AB =，︒=∠90BAC ，∴ ︒=∠45ACB , ︒=∠-︒=∠135180ACB ACD .(图7)所以若以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似，AEF ∆必有一个角的度数为︒135，由此可得点F 必定在点E 的上方，︒=∠=∠135ACD AEF ， 4-=m EF ……1分所以当CDEA CAEF =或EACD CAEF=时，以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似. ……1分 由点D （3，0）、C （2，1）、A （2，3）、E (1，4)易得213=-=AC ，2=CD ，2=AE .∴2224=-m 或2224=-m .解得 6=m 或5=m . 故符合题意的点F 有两个，其坐标为（1,5）或（1,6）. ……2分 25.（本题满分14分，第(1) 、(2)小题满分各5分，第(3)小题满分4分） 解：（1）依题意，点P 既在ACB ∠的平分线上，又在线段AB 的垂直平分线上.如图8—1，作ACB ∠的平分线CP ，作线段AB 的垂直平分线PM ，CP 与PM 的 交点即为所求的P 点。