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1.2.1 正弦型函数的周期性(高教版拓展模块)

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高一数学正弦型函数知识点

高一数学正弦型函数知识点

高一数学正弦型函数知识点正弦型函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

正弦型函数可以描述周期性变化的现象，如声音的波动、电流的变化等。

在本文中，我们将讨论正弦型函数的基本概念、性质和应用。

一、正弦型函数的定义和性质正弦型函数是指形式为y = A*sin(Bx + C)的函数，其中A、B、C为常数。

A代表振幅，B代表周期，C代表初相位。

1. 振幅（Amplitude）：指正弦函数在一周期内的最大偏离量，通常用A表示。

振幅可以决定正弦函数图像上下的波动范围。

2. 周期（Period）：指正弦函数的一个完整波动所需的水平距离，通常用T表示，T = 2π/B。

周期越小，图像波动得越快。

3. 初相位（Phase Shift）：指正弦函数图像在x轴上的左右平移量，通常用C表示。

初相位决定了图像的水平位置。

二、正弦型函数图像的特点正弦型函数的图像呈现典型的波动形态，具有以下几个特点：1. 对称性：正弦函数是关于y轴对称的，即满足f(x) = -f(-x)。

2. 周期性：正弦函数的图像是周期性重复的，即满足f(x + T) = f(x)，其中T为周期。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。

奇函数的图像关于原点对称。

4. 零点：正弦函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值。

正弦函数的零点通常位于一周期的中心或边界。

三、正弦型函数的应用正弦型函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，下面我们就来看几个具体的例子。

1. 声音波动：正弦型函数可以描述声音的波动，比如我们常见的音乐声音。

声音是由空气分子的周期性振动产生的，并可以通过正弦函数进行描述。

2. 电流变化：正弦型函数可以描述交流电的变化规律。

交流电的电压和电流都呈现周期性的正弦变化，采用正弦函数可以方便地描述电流变化和计算电路中的电压和电流。

3. 振动现象：正弦函数还可以描述弹簧振子、摆线钟等物理现象。

这些物理系统都有一个周期性的振动过程，借助正弦函数可以准确地描述振动的变化。

高二正弦型函数知识点归纳总结

高二正弦型函数知识点归纳总结

高二正弦型函数知识点归纳总结正弦型函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学和物理等领域中广泛应用。

掌握正弦型函数的相关知识点，对高中数学的学习和日后的学科发展具有重要意义。

本文将对高二正弦型函数的知识点进行归纳总结。

1. 正弦函数的定义和性质正弦函数是一个周期函数，它的图像呈现出波浪形状。

正弦函数的定义域为实数集，值域是[-1, 1]，在0到2π之间完成一个周期。

正弦函数的周期公式为：y = A*sin(Bx - C) + D，其中A、B、C、D为常数，分别表示振幅、周期、相位角和纵向位移。

2. 三角函数的图像和性质正弦函数的图像随着参数的变化而发生改变。

当振幅A增大，波峰和波谷的幅度也增大；当周期B增大，波形变得更为平缓；当相位角C变化时，图像整体向左或向右平移；当纵向位移D变化时，整个图像沿y轴平移。

这些性质对于研究正弦函数的变化规律十分重要。

3. 正弦函数的图像变换正弦函数的图像可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到。

平移变换可以改变图像在坐标平面中的位置，伸缩变换可以改变图像在x轴和y轴上的大小，翻转变换可以改变图像的方向。

通过对这些变换进行研究，可以帮助我们更好地理解正弦函数的图像特征。

4. 正弦函数的性质和特点正弦函数具有奇偶性、周期性和对称性等特点。

奇偶性表示正弦函数关于y轴对称；周期性指的是正弦函数图像在一定区间内呈现出重复的特征；对称性表示函数图像在某点关于x轴对称。

这些性质和特点在求解问题和分析图形时起到重要的作用。

5. 正弦函数的应用正弦函数在物理、工程、音乐等领域中广泛应用。

例如，在物理学中，正弦函数常用于描述波的传播和振动现象；在工程领域，正弦函数可以用于建模和解决工程问题；在音乐中，正弦函数可以表示音调的频率和音高等。

掌握正弦函数的应用可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

6. 正弦函数的解析式和求解方法正弦函数的解析式是一个通用的公式，可以描述正弦函数的各种变换和性质。

中职数学拓展模块全册教案精编【配套高教版教材】

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第1页 共156页
中职数学拓展模块全册教案精编【配套高教版教材】
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2 课时．(90 分钟)
【教学过程】
教学 过程
*揭示课题 1．1 两角和与差的正弦公式与余弦公式．
*创设情境 兴趣导入
问题 我们知道， cos 60 1，cos30 3 ，显然
2
2
cos60 30 cos 60-cos30．
思考
因 此 向 量 OA (cos ,sin ) ， 向 量 OB (cos ,sin ) ， 且
OA 1 , OB 1．
总结
于是 OA OB OA OB cos( ) cos( ) ，
归纳
又 OA OB cos cos sin sin ， 所以 cos( ) cos cos sin sin ． （1）
2
2
解
cos(π ) = cos π cos sin π sin
启发
2
2
2
引导
0 cos 1sin sin
理解 口答
故
cos(π ) sin ．
2
令 π ,则 π ,代入上式得
2
2
cos sin(π ) 2
即
sin(π ) cos .
2
*运用知识 强化练习
1．求 cos105 的值. 2．求 cos15的值．
教学 过程
1．求 sin105的值． 2．求 sin 255的值． 3．求 sin 25cos85 cos25sin85的值.
仔细 分析 讲解
理解
cos( ) cos cos sin sin
（1.1）
关键 词语
cos( ) cos cos sin sin ,

【高教版】中职数学拓展模块：1

【高教版】中职数学拓展模块：1

3
2
12
3
有最小值，最小值为－2；
动脑思考 探索新知
一般地,研究函数 y a sin x b cos x （a 0，b 0）
时,首先要把函数转化为 y Asin(x ) 的形式．考察以(a，b)
为坐标的点P (如图)，设以OP为终边的角为θ ，则
cos a ，sin b （或 tan b）．
a2 b2
a2 b2
a
于是
a sin x b cos x a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 (cos sin x sin cos x)
a2 b2 sin(x )
即 A a2 b2 ．角θ的值可以由
tan b 确定（角θ所在的象限与点
运用知识 强化练习
指出当角x取何值时函数 y sin(3x π)取得最大值和最小值． 4
当3x π π 2kπ，即x π 2 kπ（k Z）时，y取得最大值1；
42
43
当3x π π 2kπ，即x π 2 kπ（k Z）时，y取得最小值-1.
42
12 3
理论升华 整体建构
第一章 三角公式及应用
1.2 正弦型函数
动脑思考 探索新知
在物理中常用正弦型函数 y Asin(x ) x[0， （) 其中 A 0， 0）表示震动量，A表示这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，所以通常把 A 叫做振动的振幅，函数的最大值
ymaxA，最小值Fra bibliotekymin
A；往复振动一次所需要的时间
a
P所在的象限相同）．
巩固知识 典型例题
例5 一个周期的正弦曲线如图所示，求函数的解析式．

1.2.1正弦型函数概念教学设计

1.2.1正弦型函数概念教学设计

1.2.1正弦型函数的概念
【教学目标】
1、知识与技能目标：
（1）掌握正弦型函数的性质。

（2）培养学生的计算技能和几何画板软件的使用技能。

2、过程与方法目标：
（1）通过“自主、合作、探究”的学习过程，让学生掌握求正弦型函数的周期和最值的方法；
（2）通过运用“变量替换”方法推导函数的性质，培养学生的数学思维。

3、情感态度与价值观目标：
（1）通过性质的推导过程，培养学生严谨的学习态度。

（2）体验软件的优越性，感受信息化给数学带来的变化，提高学习数学课程的兴趣。

【教学重点】
利用正弦型函数的性质，求正弦型函数的周期和最值。

【教学难点】
利用正弦型函数的性质，求正弦型函数的周期和最值以及函数取最值时x的取值。

【教学备品】
教学课件，几何画板软件
【课时安排】
1课时(45分钟)
【教学过程】。

1-2-2正弦型曲线第二课时(课件)-高二上学期高教版中职数学拓展模块

1-2-2正弦型曲线第二课时(课件)-高二上学期高教版中职数学拓展模块
就是正弦函数 y sin x ．
7
已知正弦型函数 y 2sin(5x ) ，求该正弦型函数的
3 振幅、角频率、初相位、周期、最大值和最小值．
解：振幅 A 2 ， 角频率 5， 初相位 ，
周期 T
2
2
5
，最大值为
2，最小值为 2．
3
已知正弦型函数 y 3sin(4x ) ，求该正弦型函数的
2
2
[ π 2kπ, 3π 2kπ], k Z
6
2
2
一般地，形如 y Asinx ， x R 的函数(其中
A 0 ， 0 ， A 、 、 都是常数)，叫做正弦型函数，
其图象叫做正弦型曲线．
其中 A 叫做振幅， 叫做角速度(或角频率)，
叫做初相位， T 2 是函数的周期．
当 A 1， 1， 0 时，正弦型函数 y Asinx
当 sin(5x ) 1时， y 2sin(5x ) 取得最小值-2，
3
3
此时 5x 2k 3 ， 即 x 2 k 7 ， k Z

2
5 30
当 x 取何值时，正弦型函数 y 5sin 1 x 取得最大值和最小值9 ？
例3：已知函数 y 10sin(4x ) ，
求函数取得最小值和最大值时x的取值集合。
2 11
求函数 y= 3 sin 1 cos的最大值和最小值.
2
2
证明： y= 3 sin 1 cos
=
2
sin
cos
2
cos
sin
= sin( )
6
6
6
y= sin( )
6
当 =2k
2,k
3
Z时，ymax

正弦函数、余弦函数周期性

倍角公式可以用来理解正弦函数和余弦函数的周期性，例如，通过倍角公式可以推导出正弦函数和余弦函数的半 角公式，进而理解函数的周期性。
三角函数的和差化积公式与周期性
和差化积公式
sin(a+b)和cos(a+b)可以通过sin(a)、 cos(a)、sin(b)、cos(b)的和差化积公式计 算得出。
周期性
03
在代数和微积分中，正弦函数和余弦函数也经常出现。例如，在求解微分方程 时，可以使用正弦函数和余弦函数的性质来简化问题。
在物理、工程等领域的应用
在物理学中，正弦函数和余弦函数广泛应用于振动、波动和 交流电等领域。例如，简谐振动的位移、速度和加速度都可 以用正弦函数和余弦函数来表示。
在工程领域，正弦函数和余弦函数也经常被用于解决与周期 性变化相关的问题。例如，在机械工程中，可以使用正弦函 数和余弦函数来描述旋转运动；在电子工程中，正弦函数和 余弦函数用于描述交流电的电来自和电流。在日常生活中的应用
正弦函数和余弦函数在日常生活中的应用也非常广泛。例 如，在计算投资回报率时，可以使用正弦函数和余弦函数 的性质来分析利率的变化；在气象学中，可以使用正弦函 数和余弦函数来描述气候的周期性变化。
此外，正弦函数和余弦函数还在音乐、摄影等领域有应用 。例如，在音乐中，可以使用正弦函数和余弦函数来描述 音调和节奏；在摄影中，可以使用正弦函数和余弦函数的 性质来调整图像的亮度和对比度。
02
正弦函数、余弦函数周期性 的性质
最小正周期
1 2
3
最小正周期定义
对于函数y=Asin(ωx)+b或y=Acos(ωx)+b，如果存在一个最 小的正数T，使得当x取T内的任何值时，函数值都能重复出现， 那么T就是该函数的最小正周期。

中职数学拓展模块全册教案精编【配套高教版教材】

高教版中职数学拓展模块全册教案目录1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） (1)1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二） (8)1.2正弦型函数（一） (15)1.2正弦型函数（二） (20)1.2正弦型函数（三） (29)1.3正弦定理与余弦定理（一） (35)1.3正弦定理与余弦定理（二） (41)1.3正弦定理与余弦定理（三） (46)2．1椭圆（一） (51)2．1椭圆（二） (58)2．2双曲线（一） (66)2．2双曲线（二） (73)2．3抛物线（一） (81)2．3抛物线（二） (89)3．1排列与组合（一） (95)3．1排列与组合（二） (102)3．1排列与组合（三） (108)3．2二项式定理 (113)3．3离散型随机变量及其分布（一） (119)3．3离散型随机变量及其分布（二） (126)3．4二项分布（一） (132)3．4二项分布（二） (137)3．5正态分布 (144)1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα-=时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用156045︒=︒-︒求解，还可以利用154530︒=︒-︒求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识，这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式．*创设情境兴趣导入问题我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然()cos6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．由此可知()cos cos cosαβαβ-≠-．介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果5 *动脑思考探索新知在单位圆（如图11-）中，设向量OA、OB与x轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A（cos,sinαα），点B（cos,sinββ）．因此向量(cos,sin)OAαα=，向量(cos,sin)OBββ=，且1OA=,1OB=．于是cos()cos()OA OB OA OBαβαβ⋅=⋅⋅-=-，又cos cos sin sinOA OBαβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sinαβαβαβ-=⋅+⋅．（1）总结归纳思考启发引导学生发现解决【教师教学后记】1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正切公式，了解二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是二倍角公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】考虑到学生继续学习的需求，介绍两角和与差的正切公式。

三角函数的周期性

三角函数的周期性三角函数是数学中的重要概念之一，它们具有周期性的特点。

本文将介绍三角函数的周期性，并以函数图像和数学表达式来说明其周期性的特点。

一、正弦函数的周期性正弦函数是三角函数中最为常见的一种函数。

它的数学表达式为：y = sin(x)，其中 x 表示自变量，y 表示函数的值。

该函数的图像是一条在坐标系中波动的曲线，具有周期性的特点。

正弦函数的周期是2π。

也就是说，当自变量 x 增加2π时，函数的值将再次回到原来的值。

这一特点可以用公式来表示：sin(x) = sin(x +2π)。

因此，在一张完整的正弦函数图像中，可以看到多个周期。

例如，在区间[0, 2π]上，正弦函数的图像会上下波动一次；在区间[2π, 4π]上，又会上下波动一次，依此类推。

二、余弦函数的周期性余弦函数是另一种常见的三角函数。

它的数学表达式为：y = cos(x)。

余弦函数的图像也是一条波动的曲线，与正弦函数相似，同样具有周期性的特点。

余弦函数的周期也是2π，即cos(x) = cos(x + 2π)。

这一特性使得余弦函数的图像在坐标系中也会重复出现多次。

与正弦函数相比，余弦函数在 x 轴上的值更加靠近1，而在 x 轴的波谷附近接近-1。

三、其他三角函数的周期性除了正弦函数和余弦函数外，还有许多其他的三角函数，如正切函数、余切函数、割函数和弧正弦函数等。

这些函数也都具有周期性的特点，但它们的周期不同于正弦函数和余弦函数。

例如，正切函数的周期是π，即tan(x) = tan(x + π)；余切函数的周期也是π，即cot(x) = cot(x + π)；割函数和弧正弦函数的周期分别是2π和π。

这些函数的周期性使得它们在数学及其应用中具有重要的价值。

在实际应用中，三角函数的周期性可以帮助解决各种问题，如波动问题、周期性运动问题等。

通过研究三角函数的周期性，可以更好地理解它们的性质和特点，进而应用到实际问题的求解中。

总结起来，三角函数具有周期性的特点，其中正弦函数和余弦函数的周期都是2π，其他三角函数的周期各不相同。

1.2.1 正弦型函数曲线


(2)
y
sin
1
x和y
2
sin(
1
x
)
2
24
(3) y sin(1 x )和y 1 sin(1 x )
24
224
函数y
sin
x的图像
横坐标伸长到原来的2倍
函数y
sin
1
x的图像
纵坐标不变
2
横坐标向右平移 个单位
2
函数y sin(1 x )的图像
纵坐标不变
24
横坐标不变 纵坐标缩短到原来的1
列表
x
π
π
8
8
2x π 4
π
0
2
y 2sin(2x π) 4
0
2
3π
5π
7π
8
8
8
π
3π
2
2π
0
－2
0
以表中每组对应的x,y值为坐标，描出点 (x, y)，用光滑的
曲线顺次联结各点,得到
y sin(2x π一) 个周期内的图像． 4
巩固知识 典型例题
（变 纵坐标伸长或缩短到原来的A倍
正弦型曲线 y Asin(x )
巩固知识典典例型例精题讲
例2、利用“五点法”作出正弦型曲线
y
3 sin(3x
π )
2
6
并指出曲线是有正弦曲线经过怎样的步骤得到的．
解：函数 y 3 sin(3x π) 可以看作由下面的方法得到：
2
6
首先将正弦曲线y=sinx上的所有点的横坐标缩短到原来的
π
π
8
8
2x π 4
π
0
2
y sin(2x π) 4
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8
例题讲解
例2、求函数y sin x cos 2 x cos x sin 2 x的周期。
解： y sin x cos 2 x cos x sin 2 x sin 3x
2 2 故函数的周期为：T 3 3
点评：不是y Asin x 型的必须运用
和与差的正余弦公式化为y Asin x 。
巫山职教中心欢迎您

1.2.1 正弦型函数的周期
李强
2
一、情景引入（一）
问：今天是星期一，7天之后星期几？ 答：星期一 问：14天之后呢？
答：还是星期一
问：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天。 你能找到类似的实例吗？ 答：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转。。。 问：这些现象有什么共同特点呢？ 答：都给我们重复、循环的感觉
9
练习：
教材P9面练习 1.2.1
10
课堂小结
正余弦函数的周期，首先要了解周期函数的定 义和正余弦函数的周期公式的推导过程，熟记正余
弦函数的周期公式。在解题过程中找准函数
中的 ，即
y Asin x
的系数；学会灵活运用和与差的正余 x
y Asin x 。

7
例题讲解
例1、求下列函数的最小正周期T. 1 （ 1）f ( x) 2sin( x ) （2）f x 2sin 2 x 2 4 3
1 2 解：（ 1） = ，T 4 1 2 2
2 （2） =2，T 2
点评：找准函数中的，即x的系数。
总结：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这
些现象叫做周期现象。
3
一、情景引入（二）
我们已经学习了正弦函数和余弦函数，在物理、 电工和工程技术中，经常会遇到形如 y Asin x 的函数，这类函数叫做正弦型函数，它与正弦函数 有着密切的联系。正弦函数的周期是 2 ，那么的
2
由周期函数的定义可知， f x A sin x ( 0)的周期是：T

6
讲授新课
一般我们指的周期是最小正周期，
f x Asin x ( 0)的周期又是多少呢？
很显然，是 2

。
请大家记住正弦型函数的周期只与有关。
由此我们得到y A sin x 的周期是：T 2 。
弦公式将函数化为
11
作业：
教材P16面习题1.2 求第2题中函数的周期。
12
谢谢！
y Asin x 周期又是多少呢？
4
二、讲授新课 1、函数周期性的定义 定义：对于函数 f ( x) ，如果存在一个不为零的常数， 使得当取定义域内的每一个值时，f ( x T ) f ( x) 都成立， 那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数 的周期．
需要注意的几点： ①T是非零常数。 ②任意 x D ，都有 x T D ， T 0 ，可见函数的定义域无界是 成为周期函数的必要条件。 ③任取 x D ，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义 域上的整体性质。理解定义时，要抓住每一个x都满足 f ( x T ) f ( x) 成立才行； ④周期也可推进，若T是 y f ( x) 的周期，那么2T也是 y f ( x) 的周期. ⑤对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
5
讲授新课
2、函数y Asin x 的周期
f x Asin x ( 0)
f x Asin x Asin x 2
2 A sin x 2 f x