正弦函数的周期性

函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2. 于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x +3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k . 【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02sin 4141=+x 得 4π=x故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。

三角函数的周期性三角函数是数学中重要的一类函数，它在许多科学和工程领域都有广泛的应用。

其中，最重要的特征之一就是它们的周期性。

本文将从数学的角度解释三角函数的周期性，并探讨其在实际问题中的应用。

一、正弦函数和余弦函数的周期性正弦函数和余弦函数是最常见的两种三角函数。

它们的周期性可以通过图像来直观地理解。

我们先来看正弦函数y = sin(x)的图像。

正弦函数的图像是一条波浪线，它在x轴上的取值范围是从负无穷到正无穷。

当x增加一个周期2π时，正弦函数的值会重复。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)成立。

这就是正弦函数的周期性。

与此类似，余弦函数y = cos(x)的图像也是一条波浪线。

它的周期也是2π，即cos(x+2π) = cos(x)。

二、三角函数的周期公式除了正弦函数和余弦函数，其他的三角函数也具有周期性。

为了方便研究和计算，我们可以使用周期公式来描述三角函数的周期性。

1. 正弦和余弦函数的周期公式对于正弦函数和余弦函数来说，它们的周期都是2π。

即sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) = cos(x)。

2. 正切和余切函数的周期公式正切函数y = tan(x)的周期是π，即tan(x+π) = tan(x)。

而余切函数的周期也是π，即cot(x+π) = cot(x)。

3. 正割和余割函数的周期公式正割函数y = sec(x)的周期是2π，即sec(x+2π) = sec(x)。

而余割函数的周期也是2π，即csc(x+2π) = csc(x)。

由这些周期公式可以看出，三角函数的周期性是非常规律的，并且有固定的周期值。

三、三角函数周期性的应用三角函数的周期性在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 天文学中的周期性天文学家使用三角函数来描述行星和其他天体的运动轨迹。

根据天体的周期性，他们可以预测未来的天象，并进行天体力学的研究。

2. 声音和光的周期性声音和光都可以用波的形式来描述，而波的运动可以通过三角函数来表示。

函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。

三角函数中的正弦函数与余弦函数在数学中，三角函数是研究角的性质和变化规律的重要工具。

其中，正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是最基本和常见的两个三角函数。

它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将对正弦函数和余弦函数进行详细介绍，探讨它们的定义、性质和应用。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用符号sin表示。

它可以通过单位圆上的点的纵坐标来定义。

在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其纵坐标y就是正弦函数的值。

正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。

这意味着正弦函数关于原点对称。

3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x)=sin(x)。

4. 最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

正弦函数在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在几何学中，正弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。

在物理学中，正弦函数可以用来描述波动、振动等现象。

二、余弦函数余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用符号cos表示。

它也可以通过单位圆上的点的横坐标来定义。

在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其横坐标x就是余弦函数的值。

余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：余弦函数也是周期函数，其最小正周期为2π。

也就是说，对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。

2. 偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。

这意味着余弦函数关于y轴对称。

3. 对称性：余弦函数具有轴对称性，即cos(π-x)=-cos(x)。

三角函数的单调性与周期知识点三角函数是数学中一类重要的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

研究三角函数的单调性与周期是深入理解和应用三角函数的基础。

在本文中，我们将重点讨论三角函数的单调性与周期的相关知识点。

一、正弦函数的单调性与周期正弦函数是最常见的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。

正弦函数的标准形式为：f(x) = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D 为常数。

1. 单调性：正弦函数的单调性与其幅值A有关。

当A>0时，正弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图1所示。

当A<0时，正弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图2所示。

插入图1和图22. 周期：正弦函数的周期与参数B有关。

正弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。

当B增大时，正弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，正弦函数的周期变长，波动速度减慢。

二、余弦函数的单调性与周期余弦函数也是常用的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。

余弦函数的标准形式为：f(x) = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。

1. 单调性：余弦函数的单调性与其幅值A有关。

当A>0时，余弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图3所示。

当A<0时，余弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图4所示。

插入图3和图42. 周期：余弦函数的周期与参数B有关。

余弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。

当B增大时，余弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，余弦函数的周期变长，波动速度减慢。

三、正切函数的单调性与周期正切函数是三角函数中的一种特殊函数，可以表示角度的对称性关系。

正切函数的标准形式为：f(x) = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C 和D为常数。

1. 单调性：正切函数在每个周期内都存在间断点，因此不存在严格的单调性。

三角函数的周期性与特殊性质三角函数是数学中重要的基础概念之一，在数学、物理、工程等学科中都有广泛的应用。

在三角函数中，最常见的三个函数分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。

本文将探讨三角函数的周期性与特殊性质。

一、正弦函数的周期性与特殊性质正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。

它的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。

正弦函数的图像呈现出一种周期性的规律，即在一定的区间内，函数的值会重复出现。

其周期为2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像会重复。

除了周期性外，正弦函数还具有一些特殊性质。

首先，正弦函数是一个奇函数，即满足f(x) = -f(-x)的性质。

这意味着正弦函数的图像关于原点对称，对于任意的x，有f(x) = -f(-x)。

其次，正弦函数具有较强的可导性，导数为余弦函数，即f'(x) = cos(x)。

这一性质在求解许多实际问题中起到了重要的作用。

二、余弦函数的周期性与特殊性质余弦函数也是三角函数中常见的函数之一。

它的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。

与正弦函数类似，余弦函数的图像也呈现出周期性的规律，其周期同样为2π，即在每个2π的区间内，余弦函数的图像会重复。

除了周期性外，余弦函数还具有一些特殊性质。

首先，余弦函数是一个偶函数，即满足f(x) = f(-x)的性质。

这意味着余弦函数的图像关于y轴对称，对于任意的x，有f(x) = f(-x)。

其次，余弦函数的导数为负的正弦函数，即f'(x) = -sin(x)。

这一性质在求解一些曲线的切线问题中起到了重要的作用。

三、正切函数的周期性与特殊性质正切函数是三角函数中最常用且具有特殊性质的函数之一。

它的定义域是实数集上所有除去奇点的点，即除去所有形如kπ+(π/2)的点，其中k为整数。

值域为整个实数集。

正切函数的图像也呈现出周期性的规律，但其周期为π，即在每个π的区间内，正切函数的图像会重复。

正切函数的特殊性质之一是其值域的性质。

初中数学正弦函数和余弦函数的周期是多少正弦函数和余弦函数的周期都是2π。

在本文中，我们将详细解释为什么这两个三角函数的周期是2π，并提供一些例子来帮助你更好地理解。

首先，让我们看看正弦函数的周期是如何得出的。

正弦函数的定义是sin(x) = y，其中x是自变量（通常表示角度），y是正弦函数的值。

我们知道，正弦函数在[0, 2π]的范围内是一个完整的周期，即sin(x) = sin(x + 2π)。

这意味着当自变量增加2π时，正弦函数的值将重复。

例如，考虑正弦函数在[0, 2π]范围内的图像。

当x = 0时，sin(0) = 0；当x = π/2时，sin(π/2) = 1；当x = π时，sin(π) = 0；当x = 3π/2时，sin(3π/2) = -1；当x = 2π时，sin(2π) = 0。

我们可以看到，当x增加2π时，正弦函数的值重新回到原来的值。

因此，正弦函数的周期是2π。

接下来，让我们来看看余弦函数的周期是如何得出的。

余弦函数的定义是cos(x) = y，其中x 是自变量（通常表示角度），y是余弦函数的值。

与正弦函数类似，余弦函数在[0, 2π]的范围内也是一个完整的周期，即cos(x) = cos(x + 2π)。

当自变量增加2π时，余弦函数的值也会重复。

例如，考虑余弦函数在[0, 2π]范围内的图像。

当x = 0时，cos(0) = 1；当x = π/2时，cos(π/2) = 0；当x = π时，cos(π) = -1；当x = 3π/2时，cos(3π/2) = 0；当x = 2π时，cos(2π) = 1。

同样地，当x增加2π时，余弦函数的值重新回到原来的值。

因此，余弦函数的周期也是2π。

综上所述，正弦函数和余弦函数的周期都是2π。

这意味着在[0, 2π]范围内的正弦函数和余弦函数的图像将重复出现。

通过了解这个周期性质，我们可以更好地理解和应用正弦函数和余弦函数在数学和物理中的各种问题。

sin函数图像周期性
sin函数图像周期性：最小正周期都是2π。

sin的图象性质：
1、周期性：最小正周期都是2π。

2、奇偶性：奇函数。

3、对称性：对称中心是（Kπ，0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ＋π／2，K∈Z。

4、单调性：在［2Kπ－π／2,2Kπ＋π／2]，K∈Z上单调递增；在［2Kπ＋π／2,2K π＋3π／2]，K∈Z上单调递减。

正弦函数图象的作法：
1、描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状。

2、几何法：一般是用三角函数线来作出图象。

注意：
（1）作图象时自变量要用弧度制；
（2）在对精确度要求不太高时，一般使用“五点法”。

三角函数的周期性三角函数是我们在学习高中数学时必修的一门课程。

在三角函数中，周期性是一个重要的概念。

周期性是指函数在一定范围内的值有规律地重复出现。

在三角函数中，有三种函数具有周期性，它们分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数的周期性正弦函数的周期性是指在一定范围内，正弦函数的值会按照一定的规律循环出现。

正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

正弦函数的图像是一条连续的波形，它的形状是上下有限的缓慢起伏的波浪线。

正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的值会从1降到-1，再从-1升到1。

如果我们对正弦函数进行平移和拉伸，则周期会发生变化。

余弦函数的周期性余弦函数与正弦函数非常相似，它们的周期相同，都是2π。

余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。

余弦函数的图像也是一条连续的波形，形状上下有限的缓慢起伏的波浪线。

余弦函数的周期与正弦函数的周期相同，但是它们的波形有所不同。

余弦函数的波形是将正弦函数的波形上下翻转再向左平移π/2个单位，即余弦函数的波形是正弦函数波形上下翻转，再向左移动π/2个单位。

正切函数的周期性正切函数是另一种具有周期性的三角函数。

正切函数的定义域是所有不为π/2+ kπ，k∈Z的实数，值域是实数集。

正切函数的图像是一条不连续的波形，它在每个周期内重复出现。

正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的值会从0降到-∞，再从-∞升到0，然后从0升到∞，最后再从∞降到0。

正切函数在定义域内存在无限个不连续点，因此它的图像是由一条条的线段组成，每个线段的斜率为正或负无穷。

三角函数的周期性在数学中有着广泛的应用。

它们除了可以用来描述波的传播、音乐和图形外，还可以用来描述周期性运动、波动和天文学等领域中的现象。

周期性是三角函数的一个特性，在实际问题中经常有用的信息，了解三角函数的周期性可以帮助我们更好地分析和解决实际问题。

总之，在学习三角函数时，我们需要深入理解周期性的概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的周期，为日后更深入地研究三角函数打下良好的基础。