东北师大附中理科学霸高中数学错题集_高考状元笔记

换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13f x x--＝，求f （x ）的解析式。

【错解】令t=,则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2。

【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f ”作用的对象是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．t=，则t ≥0,且x ＝t 2＋1，所以f (t ）＝3－(t 2＋1）＝2－t 2（t ≥0）, 即f （x ）＝2－x 2（x ≥0)．【参考答案】f （x )＝2－x 2(x ≥0）．利用换元法求函数解析式时,一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1f x =+则()f x =A ．()211x x -≥B ．21x- C ．()211xx +≥D ．21x+【解析】（换元法)：令1t =，则()21,1x t t =-≥，所以()()()()2212111f t t t t t =-+-=-≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．【答案】A注意:用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥,忽略了这一点，在求()f x 时就会出错。

本题也可用配凑法，具体解析过程如下：))211111fx x =+=+-=-,又11≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2a f f f a ＝的a 的取值范围是A ．2[,1]3B ．［0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a 〈1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f (a ））＝3（3a －1)－1＝9a －4，()3122af a －＝，方程无解．当a≥1时,()21af a >＝，此时()()()22222aaa f f f a ＝，＝,方程恒成立,故选D ．【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个,a ＝错误!或a ＝1,所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－，()3122af a －＝,显然()()()2f a f f a ≠。

高考数学常错题集2019-7-9我国的高考经历了艰难的历程，在这些历程中，出现了许许多多成功、优秀的试题，这在国家公布的“评价报告”、“分析报告、“试题分析”等文中已祥有阐述阐述，同时各地的期刊也不时发表许多专家对优秀试题的领悟与见解，这些都对中学教学及考试起了不可忽视的作用另一方面，对于命题者而言，纵观高考试题，可以发现，每换一帮人命题，总有一些“重蹈历史覆辙”的不尽人意的试题，这说明仅仅知晓什么样的试题优秀而去照着这个方向模拟、研究是不够的，还必须知道“有哪些经验教训”；同时由于教师职业正在由单纯的教书向教书育人及身兼研究者进行转化，因此对于中学教师及应试的考生而言，考的内容重在把握命题的“度”，不考的内容也需要一清二楚，而这些又得通过一定的教训及得出的一些经验来启示因此，笔者对历年高考试题进行了分析，搜集而成高考数学败题集高考数学试题随着国家政策的调整几度沉浮，而试题的成败又取决于考后的评价，就评价而言，高考试题走过了越来越受社会关注、越来越受社会评价影响的轨迹：原来的高考试题，社会关注评价比较少，因而试题评价形式以批评与自我批评为主，这一情况延续到1983年，虽然因为文化大革命而中断了些年；之后的1984――1993年，试题评价有了社会人员的参议，但仍然以国家公布的为主；1994年后，由于社会评价的参议，许多评价指标进行了量化（如：难度、标准分、区分度、信度等），又随着社会参与评价幅度的增大， 1999年，国家将评价报告改成“分析报告”，2002年定下“自主招生”的政策；2003年，高考试题进入以省市为主的自主招生阶段，并逐步向“高校自主招生”转移，相应的评价中心也在逐步向参加高考的高中转移，其中的师生逐步成为评价的主角，而这些评价无疑也会影响今后命题方向，同时更直接的影响着平时教学的检测方向及力度 这样，我们就更有必要对高考试题中的败题加以留意总结了一、1983年前的高考数学败题【说明】这一阶段高考数学试题评价是以批评与自我批评为主，因此，我们也就国家公布的没有提及优秀的试题来说明（1951一、13．）系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个 【评析】该题根据实系数复数方程虚数根成对出现得到的结论，但这一结论在当时并没有在大范围的教材中出现（1952二、1 ）解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0可得原方程的四根为：.231,231,2,64321i x i x x x --=+-==-= 【评析】该题分解因式的技巧性过强，多数学生不能完成，竞赛性质太浓1963―5．根据对数表求10123.28-的值解：3670.110128.23lg 10128.23lg 101⨯-=-=-570.8,9330.0lg 9330.1390670.011390670.138________===-+=-=x x .10570.8570.81028.23139139101---⨯=⨯=∴ 【评析】对数值中的139符号，当时是否应该、有必要引入中学还在讨论当中，高考就出现了这样符号 结论：研究及有争议的内容不能在试题中出现1965附加题（1）已知,,a b c 为实数，证明,,a b c 均为正数的充要条件是 000a b c ab bc ca abc ++>⎧⎪++>⎨⎪>⎩（2）已知方程320x px qx r +++=的三根,,αβγ都是实数，证明,,αβγ是一个三角形的三边的充要条件是30,0,048.p q r p pq r <><⎧⎨>-⎩证明：（1）条件的必要性是显然的，因为已知,0,0,0>>>c b a所以立即可得0>++c b a ，0>++ca bc ab ，.0>abc下面证明条件的充分性：设c b a ,,是三次方程023=+++r qx px x 的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有,0,0,0>=->++=>++=-abc r ca bc ab q c b a p此即.0,0,0<><r q p 由此即可知三次方程023=+++r qx px x 的系数正负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负;又由0>abc 可知，方程无零根，故.0,0,0>>>c b a（2）由（1）的证明可知，γβα,,均为正数的充要条件是.0,0,0<><r q p 于是问题转化为证明γβα,,为三角形三条边的充要条件为r pq p 843-> 条件的必要性：若γβα,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有.,,βαγαγβγβα>+>+>+于是.0,0,0>-+>-+>-+βαγαγβγβα由此可得))()((βαγαγβγβα-+-+-+84)842(]8)(4)(2[)2)(2)(2()2)(2)(2(33323>+-=-+--=αβγ+αβ+γα+βγ+γ+β+α+-=γ+β+α+-=γ--β--α--=r pq p r pq p p p p p p p p p p p即r pq p 843-> 条件的充分性：若r pq p 843->，则,0843>+-r pq p .0))()((,0])()[(,0)()()(,0))(()()(,08])(2)()][([,08)222)((,08))((4)(22222223222223>+--+++->--++->---+++->-+--+++->--++--++>----++++>-+++++++-γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβγβααγβγβγβαγβαααβγαγβαγβγβααβγγβαγαβγαβγβααβγγαβγαβγβαγβα此式中至少有一因式大于0，今设,0>++-γβα则必有.0))((>+--+γβαγβα如果,0,0<+-<-+γβαγβα两式相加得02<a ，即0<α，此与0>α相矛盾 故有,0>++-γβα,0,0>+->-+γβαγβα此即⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+,,,βγαγβααγβ此即γβα,,可作为一个三角形的三条边综上所证可知，方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,为一个三角形的三条边的充要条件是⎩⎨⎧-><><.840,0,03r pq p r q p 【评析】这个试题以附加题形式出现，难度较大，但也不能大到无一人（甚至参加国际数学竞赛的学生）能作上程度 结论：试题不能无线拔高（1977北京文4）不查表求sin1050的值 解：.462)4530sin(75sin 105sin +=︒+︒=︒=︒ 【评析】当时，并没有要求记特殊角三角函数值，所以题虽然不难，但会的人不多（1977年福建理科2（2）题）证明：22cos sin 290().2cos sin 22tg θθθθθ-︒-=+ .)290(tg )90cos(1)90cos(1sin 1sin 1)sin 1(cos 2)sin 1(cos 2:2右边左边证=θ-︒=θ-︒+θ-︒-=θ+θ-=θ+θθ-θ= （1977年河北试题第3题）．证明：sin 2111.1cos2sin 222tg αααα+=+++ 证：左边=)sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin cos sin 22222α+ααα+α=αα+αα+α+α⋅α αα+α=cos 2cos sin 2121+α=tg =右边 （1977年上海理科第1（4）题）求证：sin()cos()244cos2sin()cos().44ππθθππθθθ+++=--.2cos 22cos 211)4cos()4sin(2sin )4cos()4sin()4sin()4cos()4cos()4sin(:右边左边证=θ=θ=θ-πθ-ππ=θ-πθ-πθ-πθ+π+θ-πθ+π= 【评析】这些该题本身不难，但三角证明题几地都出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度 结论：三角证明一般不作为证明题出现（1977年福建理科第3题）在半径为R 的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n 个正六边形的周长之和S n;（2）所有这些正六边形的周长之和S解：如图，半径为R 的圆内接正六边形的周长为6R ，设C 为AB 的中点，连结OC ，OB ，则OC ⊥AB ∴OC=CD=.2360sin R R =︒⋅ 第二个正六边形的周长.236⋅=R 同理可得,)23(62⋅=R 第四第三个正六边形的周长个正六边形的周长,)23(63⋅=R ………… 于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：6R ，.236⋅R ,)23(62⋅R ,)23(63⋅R …,)23(61-⋅n R … BE D O①前n 个正六边形周长的和12)23(6)23(62366-⋅++⋅+⋅+=n n R R R R S ])23()23(231[612-++++=n R .])23(1)[32(12231)23(16R R n n -+=--⋅= ②所有这些正六边形周长的和.)32(1232122316R R RS +=-=-=【评析】从题本身上看，该题是一个好题，但是其答案在全国引起争议——归纳出的结论到底是否要证明是等比数列？即使不证明也要体现有等比数列的过程 从该题对以后影响是，出现了用式子表达等比、等差数列热潮（1977年福建文科第4题）．求抛物线29y x =和圆2236x y +=在第一象限的交点处的切线方程解：解方程组⎩⎨⎧=+=)2(36)1(9222 y x x y （1）代入（2）得,03692=-+x x x=3,x=-12（不合题意）将x=3代入（1），得33=y （仅取正值）， ∴在第一象限的交点为（33,3）从抛物线x y 92=得.29=p∴过点（33,3）的抛物线的切线方程是.09323),3(2933=+-+=y x x y 即 过点（33,3）的圆的切线方程是,36333=+y x 即.0123=-+y x【评析】该题的问题是表述不清：有人认为只求抛物线的切线方程，也有人认为只求圆的切线方程，答案倒认为是求圆和抛物线的方程（1977年黑龙江第2题第（1）问）．计算下列各题：解：当.2,22a m a ma m a m -=+-≥时当.2,22m a a ma m a m -=+-<时【评析】该题引发了分段表示法的争论，结论，如果是分段出现的，结果一般用分段函数形式给出（1977年江苏第1（5）题）把直角坐标方程22(3)9x y -+=化为极坐标方程解：原方程可展开为θ=ρθ=ρ=ρ∴=θρ⋅-ρ=+-cos 6cos 60,0cos 6,06222即或y x x【评析】该题从一般情况下考虑（直角坐标系的原点为极点，x 轴为极轴且长度单位不变），但没有交代清楚一般情况下，以致于该题出现的情况是：一般的学生答的好，程度很高的如参加竞赛的学生反倒没有答好！属于交代不明出现的失误（1977年上海理科第6题）已知两定点A （-4，0）、B （4，0），一动点P （x,y ）与两定点A 、B 的连线PA 、PB 的斜率的乘积为4-P 的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线解：直线PA 、PB 的斜率分别是故此曲线为椭圆其标准方程为由题意,14161644144.4,4222221=+=+-=-⋅+-=+=y x y x x y x y x y k x y k 【评析】该题解答有误，应该加上条件(x≠±4，相应曲线为以（±）为焦点、以8为长轴的椭圆，去掉长轴的两个端点)结论：说明轨迹、图形的问题要保证惟一及等价（1979年文科理科第四题）叙述并证明勾股定理 证：略【评析】这个题当时答案是用坐标法的距离公式证明的，但是距离公式是由勾股定理推导出的，因而形成“因为A……所以A”的循环论证错误，而得出一般用拼图法得到；拼图法能否算作证明还在争论中，但当年多数省市按错对待 结论：数形结合的方法得到的结论不能以证明题的形式出现（1980年理科第八题）已知0＜α＜π，证明：2sin 2ctgαα≤并讨论α为何值时等号成立 解：即证：.sin cos 12sin 2ααα+≤两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα 而 2sinαsin2α=4sinαcos 2α=4(1-cos 2α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα所以问题又化为证明不等式 (1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤0（1+cosα)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0∴不等式得证∵0＜α＜π,∴等号成立当且仅当cosα-21=0 即α=600【评析】这些该题本身不难，但三角证明题出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度 另一方面，这一答案给出的分析法证明格式也不对，一般分析法证明题格式“要证A ，只要证B”形式，B 是A 的充分不必要条件即可，而不是由A 导出B（1982年文科第七题）已知定点A ，B 且AB=2a ，如果动点P 到点A 的距离和到点B 的距离之比为2∶1，求点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解：选取AB 所在直线为横轴，从A 到B 为正方向，以AB 中点O 为原点，过O 作AB 的垂线为纵轴，则A 为（-a ，0），B 为（a ，0），设P为（x,y) .033103],)[(4)(.2)()(,1222222222222=++-∴+-=++∴=+-++∴=a y ax x y a x y a x ya x y a x PB PA 因为x 2,y 2两项的系数相等，且缺xy 项，所以轨迹的图形是圆（1983年文科第九题）如图，已知两条直线L 1:2x-3y+2=0,L 2:3x-2y+3=0 有一动圆（圆心和半径都在变动）与L 1，L 2都相交，并且L 1，L 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M解：设圆心M 的坐标为(x,y)，圆的半径为r ，点M 到L 1，L 2的距离分别为d 1,d 2根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有.5.)224(,)226(2212222222221=-=+=+d d r d r d 得根据点到直线的距离公式，得.16565)1(.651225)13323(13232(,13|323|,13|232|22222221=-+=-++=+--+-+-=+-=y x y x x y x y x y x d y x d 即化简得得方程代入上式轨迹是双曲线【评析】答案说法有误：说圆应为以…为圆心，以…为为半径的圆,说双曲线说明以…为焦点…为实轴长的双曲线二、1984――1993年高考数学败题【说明】这段时间，考试的目的是考察中学数学的基础知识、基本技能，命题的人员以中学教师为主，为减少败题的出现机率，采取了科研测试方法（科研测试题从1988年暂停,1992年恢复），因此，这一阶段的败题多是不复合教学大纲的试题（1984年理二2）函数20.5log (44)x x ++在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2【评析】该题用到了复合函数单调性，但这一内容在当时教学大纲中明确不要求（1984年理五）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程()log 1d cx xx +=- Y L 1MO X在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c≠0，可得.12c dx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =【评析】该题即从两个层次考查了等价转化，中间又涉及了分类讨论，难度比较大，是一个考查能力的试题，与当时考查“双基”要求不符；结论：考查数学思想从深度及广度同时考查时，不能在某一思想上究得太深（1984年理六2）求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程解：因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即【评析】该题在当时一改习惯于教材上直接法求轨迹方程的步骤，被认为是对教学大纲的偏执理解，没有考查基础知识与基本技能，所以当作一种研究性的材料还可以，并最终诞生了相关点法的应用 至于到了考查能力时，它则又成为一道好题，那是十年之后的事情了！（1984年理七）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，cos 4cos 3A bB a ==，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++= α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72【评析】该题是对知识的大综合，对于学生而言难度较大，而且就1984E O ＇ P （x,y) XO C （0，0） A （8，0）年的高考试题，解答题基本上是题题设防、题题堡垒，从整体上脱离了中学教学的实际（1984年文五）把22411sin 2sin cos 4αβα---化成三角函数的积的形式(要求结果最简）)-)sin(sin( )2sin 2sin 2()2cos 2(2cos)cos )(cos cos (cos cos cos )cos (sin cos cos cos cos sin cos cos 2sin 41)sin 1(:2222224222422βαβ+α=α-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α-β=α+αα-β=α-αα-β=α-α-β-=原式解【评析】当时三角式最简没有明确什么什么样算最简，这一名次的提出具有超前性，对于文科生更感不易，但它引领了一个各种化简结果最简的研究方向 结论：研究方向不能替代仅仅那么一点时间高考试题！（1985年全国文科第四题）证明三角恒等式424232sin sin 25cos cos3cos 2(1cos )4x x x x x x ++-=+证：x x x x x x x cos )cos 3cos 4(cos 5cos sin 3sin 224224--++=左边x x x x x 24224cos 3cos cos sin 3sin 2+++=右边=+=++=+++=x x x x x x x x x 222222222cos 22cos 3cos sin 2cos 3)cos )(sin cos sin 2(【评析】三角证明题不宜作为大题考查，这是几年前的经验，该题重蹈了历史覆辙 1988年的文科数学试题第三题是“证明α-α=αcos 3cos 43cos 3”，1989年全国理科19文、科20题“证明：x2cos x cos xsin 22x tg 2x 3tg+=-”继续重蹈历史覆辙！ （1986年理文科一（6）题）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件 答案D【评析】该题仅仅说了甲是乙的充分条件，没有说是否必要，因此该题的叙述不严格 这一不足，在以后命题中加以了改进，并渗透到平时教学中（1988年全国理科、文科一14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ ）（A ）233197C C 种 （B ）233231973197C C C C +种（C ）55200197C C -种 （D ）5142003197C C C -种 答案B【评析】该题不难，但是用符号而不用数值表示过多的限制了考试的思维，当年引起专家争议随后的再实验，用事实说明了“这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！”（1989年全国理22、文23）已知,1a ,0a ≠>试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k≠0时，（4）的解是)5(.k2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解【评析】该题从题本身而言是一个好题，但是该题在当年许多学校已经练习过，作为高考试题，照搬原题是不适当的（1989年上海14）两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一个座位），则不同的坐法种数为（ ）A,C 58C 38 B,153288P C C C,5388P C D,38P答案：D【评析】该题是对1988年全国214题的延续再实验，事实说明 “排列组合问题结果这种用符号表示的题要么太难，要么太易，还是以数值表示比较好！而且这种命题从方式上也限制了学生的思维”（1990年全国理科第9题、文科11题）设全集I={(x,y)|x,y ∈R },集合M={(x,y)|312y x -=-, x 、y ∈R },N={(x,y)|y≠x+1, x 、y ∈R }，那么M N ⋃＝（ ）A, ∅ B,{(2,3)} C,(2,3) D,{(x,y)|y=x+1} 【答案】B【评析】该题基本上照搬了1986年上海理科第20题：若全集U={(x,y)|x 、y ∈R },A={(x,y)|123=--x y , x 、y ∈R },B={(x,y)|y=x+1, x 、y ∈R },则U A∩B是（ ）A,U AB,B C,∅ D,{(2,3)}，高考试题照搬应该不是件好事（1991年全国理23题） 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ． 因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离．∵ BD ⊥AC ， ∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ，∴ EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． 作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离．∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC=2， ∴ AC=42，HO=2，HC=32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG=()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ．∴ OK=111122222=⨯=⋅HG GC HO ． 即点B 到平面EFG 的距离为11112． 【评析】该题作辅助线太多，难度过大，是历年立体几何题少见的难度；但它的出现，将中学教学的“距离”引向以点面距为核心的研究上，就当年而言，此题与考查双基的思想不符（1991年全国理科25题）已知n 为自然数，实数a>1，解关于x 的不等式log a x －log 2a x ＋12log 3a x ＋…＋n (n －2)1n -log n a x>1(2)3n--log a (x 2－a)解：利用对数换底公式，原不等式左端化为 log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n(－2)n －1·na a ax log log =[1－2＋4＋…＋(－2)n－1]log a x =3)2(1n--log a x 故原不等式可化为3)2(1n--log a x>3)2(1n--log a (x 2－a)． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于 log a x>log a (x 2－a)． ②因为a>1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a x x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411ax a a x 因为2411a +-<0， 2411a ++>24a=a ，所以，不等式②的解集为{x|a <x<2411a++}． 当n 为偶数时，3)2(1n--<0，不等式①等价于log a x>log a (x 2－a)． ③因为a>1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x a x x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax 因为，，a aa a =>++<+-24241102411 所以，不等式③的解集为{x|x>2411a++}． 综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}； 当n 为偶数时，原不等式的解集是{x|2411ax ++>} 【评析】该题照搬了当年湖北黄冈、河北辛集中学及北京海淀区的模拟试题，包括数值都没有变化（1991年三南高考数学第24题）设函数f(x)=x2+x+1的定义域是[n,n+1]2（n是自然数），那么在f(x)的值域中共有_____________个整数【答案】2n+2【评析】这是当年希望杯数学竞赛的一道数学试题，在高考中出现而且仍然以填空题出现，有照抄之嫌（1992年三南第14题）设数列{a n}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2……a30=230,那么a3a6a9…a30=（）A,210B,220C,216D,215【答】B【评析】该题运算量比较大，也是希望杯竞赛中一个非常类似的题，在还没有将运算能力当作一种能力考查时，出此题显然违背了考查“双基”的初衷三、1994――－2002年高考数学败题【说明】该阶段，高考内容上以《考试说明》为准绳，目的逐步变化成“为大学选拔新生服务的选拔性能力考试”，命题的人员也逐步变化为以高校为主，出台了许多量化指标，该阶段的败题，主要体现为预估难度（考试说明的规定难度）与实际难度（实际分数）不符，这一原因现在多数专家认为是高校教师不了解中学教学的实际所致（1994年全国理文23题）如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点．(1)证明AB1∥平面DBC1；(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC 1为面的二面角α的度数．【解答】(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形．连结B 1C交BC 1于E ，则B 1E=EC ．连结DE ．在△AB 1C中，∵AD=DC ，∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1．(2)解：作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连结EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影．∵AB 1⊥BC 1，由(1)知AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，则BC 1⊥EF ，∴∠DEF 是二面角α的平面角．设AC=1，则DC=21．∵△ABC 是正三角形，∴在Rt △DCF 中，DF=DC·sinC=43，CF=DC·cosC=41．取BC 中点G ．∵EB=EC ，∴EG ⊥BC ．在Rt △BEF 中，EF 2=BF·GF ，又BF=BC －FC=43，GF=41，∴EF 2=43·41，即EF=43．∴tg ∠DEF=14343==EF DF ．∴∠DEF=45°．故二面角α为45°．【评析】该题作辅助线太多，难度过大；与当年的大环境有关：一、当年出台《考试说明》，明确数学高考考查的第一能力是计算能力；二、当年形成了立体几何的研究热潮但一次性将能力拔高到这种程度，是考生难于适应的 结果出现与《考试说明》要求不符的实际情况（1994年上海18）计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排列一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种A,4545P P ∙ B,33P ∙ 4545P P ∙ C,13C ∙4545P P ∙ D,22P ∙4545P P ∙【答】D【评析】这种排列组合用符号表示的试题在全国1988年已经有了不宜出的结论，它再次重蹈了历史覆辙（1996年全国理22、文23）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1． (Ⅰ)求证：BE=EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足．① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG ，④ ∵∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ，⑤ ∵ ∴111122FG AA BB ==，即111,2BE BB BE EB ==故【解答】①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1， ②∵面ABC ⊥侧面AC 1，③∵BE ∥侧面AC 1 ④∵BE ∥AA 1， ⑤∵AF=FC ， (Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ．∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==， ∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A ∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C=90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°【评析】以这种填空题形式出现，过多地限制了学生思维，出现了实际结果与预估难度非常大的反差立体几何试题这样出不当；通过该题，也使近年立体几何的研究开始了降温同时也使不少专家反省：高考试题与研究热点及竞赛试题还是当有区别的同时，也确定了从1997年开始高考试题的进行量化评价（1997年全国理15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( ) (A) 150种 (B) 147种(C) 144种 (D) 141种【解答】D【评析】该题无论从直接还是间接思路，都要进行三级分类讨论，体现为试题很难 难度为0 18，按照当年《考试说明》，难度低于0 2的，应该算作废题 结论：考查单一的知识与思想，层数不能超过三级（1997年全国理24）设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<1a ． I ．当x ∈(0, x 1)时，证明x<f (x)<x 1； II ．设函数f(x)的图像关于直线x=x 0对称，证明x 0<12x 【解析】证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x ．因为x 1，x 2是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1<x 2，得(x －x 1)(x －x 2)>0，又a>0，得F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)>0，即x<f(x)． )](1)[())(()]([)(2121111x x a x x x x x x a x x x F x x x f x -+-=--+-=+-=- 因为a x x x 1021<<<<所以x 1－x>0，1+a(x －x 2)=1+ax －ax 2>1－ax 2>0．得 x 1－f(x)>0．由此得f(x)<x 1．(Ⅱ)依题意知a b x 20-= 因为x 1，x 2是方程f(x)－x=0的根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x+c=0的根．∴ab x x 121--=+， a ax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-= 因为ax 2<1，所以22110x a ax x =<【评析】该题就某一知识进行了加深，竞赛味道过于浓厚 实际难度为0 09,也属于废题（1997年全国理25）设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．【解析】解法一:设圆的圆心为P(a ，b)，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b│， │a│．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2，又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P(a ，b)到直线x －2y=0的距离为52ba d -=，所以5d 2=│a －2b│2 =a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2) =2b 2－a 2=1，当且仅当a=b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 解法二:同解法一，得52ba d -=∴db a 52±=-得2225544d bd b a +±=①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得 01554222=++±d db b ②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r 2=2．由b a 2-=1知a ，b 同号．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 【评析】该题就某一知识进行了加深，竞赛味道过于浓厚 实际难度为0 20,属于废题 通过1997年高考数学试题，专家们得出这样结论：竞赛试题要对某一知识应用中强调技巧，高考试题不能过多地偏重于技巧（1999年全国文理16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）【解答】12【评析】该题的愿意是选垄并种播，但是题目没有明确叙述清楚，而只是笼统的说有多少种选法（1999年全国文理23，广东20）右图为一台冷轧机的示意图 冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出Ⅰ 输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ Ⅱ 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）【解答】Ⅰ 解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10n r a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-n r a 01即().10a r n β≤- 由于(),0,010>>-a r n β对比上式两端取对数，得().lg 1lg 0a r n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r a n --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a --β的整数对轧辊Ⅱ 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅k r a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅k r a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r 即.8.016004-⋅=k k L 由此得(),20003mm L =(),25002mm L =()mm L 31251=填表如下轧锟序号k 1 2 3 4。

高考状元总结的高考数学易错知识点大全易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B高三经典纠错笔记：数学A，就有B=A，φ≠B高三经典纠错笔记：数学A，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B≠φ这种情况，导致解题结果错误。

尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。

这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。

在解答由一范文工作总结个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。

易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A 是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A 是B的必要条件，B是A的充分条件;如果AB，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真p真或q真，命题p∨q假p 假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真p真且q真，p∧q 假p假或q假(概括为一假即假);┐p真p假，┐p假p真(概括为一真一假)。

忽略了n 的取值已知数列{}na 满足3123=()n a a aa n n ∈*N ，求数列{}n a 的通项公式n a ．【错解】由3123=n a a aa n，可得31231=(1),n a a aa n --两式相除可得33=(1)n n a n -．【错因分析】31231=(1)n a a aa n --仅适用于n ∈*N 且2n >时的情况，故不能就此断定33=(1)n n a n -就是数列{}na 的通项公式．【试题解析】当1n =时,11a=；当2n ≥时，由3123=n a a aa n ，可得31231=(1),n a a a a n --两式相除可得33=(1)n n a n -，故331,1.,1,(1)nn a n n n n =⎧⎪=⎨>∈⎪-⎩*N已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1）形如a n ＋1＝a n f （n ）,常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·错误!·错误!·…·错误!求通项公式．(2）形如a n ＋1＝a n ＋f （n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋（a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)求通项公式．(3)形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0，1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )（其中x ＝错误!)，则{a n ＋x ｝是公比为b 的等比数列,利用它即可求出a n 。

(4）形如a n ＋1＝错误!(p ，q ，r 是常数）的数列,将其变形为错误!＝错误!·错误!＋错误!.若p ＝r ，则错误!是等差数列，且公差为错误!,可用公式求通项； 若p ≠r ，则采用(3）的办法来求．(5）形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ,q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝（－q ）·（a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1｝(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n ),然后用累加法求得通项．（6）形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子， 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f （n ）,①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n 。

高考状元总结：高考数学易错知识点高考数学易错知识点，供参考，祝大伙儿高考大捷~集合与简易逻辑易错点1遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，关于集合B高三经典纠错笔记：数学A，就有B=A，φ≠B高三经典纠错笔记：数学A，B≠φ，三种情形，在解题中假如思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情形，导致解题结果错误。

专门是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范畴内取值时所给的集合可能是空集这种情形。

空集是一个专门的集合，由于思维定式的缘故，考生往往会在解题中遗忘了那个集合，导致解题错误或是解题不全面。

易错点2忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的阻碍最大，专门是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也能够先确定字母参数的范畴后，再具体解决问题。

易错点3四种命题的结构不明致误错因分析：假如原命题是“若A则B”，则那个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。

那个地点面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。

在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对“a，b差不多上偶数”的否定应该是“a，b不差不多上偶数”，而不应该是“a ，b差不多上奇数”。

易错点4充分必要条件颠倒致误错因分析：关于两个条件A，B，假如A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;假如B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A 的充分条件;假如AB，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的确实是颠倒了充分性与必要性，因此在解决这类问题时一定要依照充要条件的概念作出准确的判定。

易错点5逻辑联结词明白得不准致误错因分析：在判定含逻辑联结词的命题时专门容易因为明白得不准确而显现错误，在那个地点我们给出一些常用的判定方法，期望对大伙儿有所关心：p∨q真p真或q真，命题p∨q假p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真p真且q真，p∧q假p假或q假(概括为一假即假);┐p真p假，┐p假p真(概括为一真一假)。

全国高考状元手写笔记合集理科数学在中国的教育领域，高考无疑是每个学生最重要的考试之一。

每年的高考状元，他们的成功经验和学识备受。

今天，我们整理了一份全国高考状元的手写笔记合集，特别是针对理科数学这一重要科目。

理科数学，一直是高考中的重头戏。

它不仅考验学生的基础知识，还考察学生的逻辑推理、空间想象和数据处理等多种能力。

对于许多学生来说，理科数学是一个难以攻克的难关。

但高考状元们却能在这一科目上脱颖而出，他们的秘诀是什么呢？状元们有一个共同点，那就是他们都有扎实的基础知识储备。

在他们的手写笔记中，我们可以看到他们对概念的理解和掌握程度非常深。

他们不仅知道如何解题，还知道这些题背后的原理和方法。

状元们非常注重解题方法的积累。

在他们的笔记中，我们可以看到他们记录了各种解题方法，从常规的代数、几何到更复杂的概率统计、微积分等。

他们能够灵活运用这些方法，使他们在解题时能够游刃有余。

再者，状元们善于总结和反思。

每次做完题目后，他们都会进行总结，找出自己的不足之处，并及时进行改进。

这种反思和总结的习惯，让他们能够不断提高自己的学习效率。

状元们都有良好的学习习惯。

他们不会临时抱佛脚，而是注重平时的积累和学习。

他们有规律的学习计划，以及科学的学习方法，这让他们在学习中能够事半功倍。

在这份全国高考状元的手写笔记合集中，我们可以看到他们的思考过程、解题思路和知识点整理。

这些笔记不仅为其他学生提供了学习的参考，也让我们看到了高考状元的努力和智慧。

要想在理科数学这一科目上取得好成绩，我们需要有扎实的基础知识、灵活的解题方法、深刻的总结和反思以及良好的学习习惯。

在这份手写笔记合集中，我们看到了这些要素的完美结合，也感受到了高考状元的学术智慧和人格魅力。

这份手写笔记合集不仅是对高考状元们学术成果的肯定，更是对所有热爱学习、追求梦想的学生的鼓励和激励。

让我们从中汲取智慧和力量，为我们的学习之路照亮前行的方向。

中班数学比多少教案反思，本课的教学设计首先了学生的学习状态。