福建省漳州一中2019届高三上学期期中考理科数学试卷Word版含答案

福建省漳州一中2019届高三上学期期中考理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．[ ]1．全集U ={1，2，3，4，5}，集合A ={1，2} ,集合B ={1，3，5}, 则图中阴影部分所表示的集合是(A) {1} (B){1，2，3，5} (C){ 2，3，5} (D){4}[ ]2. 集合A=｛y ∣y =x -2｝,B=｛y ∣y, 则x ∈A 是x ∈B 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件[ ]3. 命题: ∀x ∈Z ,x 2∈Z .的否定是命题(A) ∀x ∈Z ,x 2∉Z (B) ∀x ∉Z ,x 2∉Z (C)∃x ∈Z ,x 2∈Z (D)∃x ∈Z ,x 2∉Z[ ]4. 复数41i++i 的共轭复数的虚部是 (A) 1 (B) －1 (C) i (D) －i [ ]5.若函数y =f (2x)的定义域是[1，2]，则函数f (log 2x )的定义域是(A) [1，2] (B) [4，16] (C) [0，1] (D) [2，4] [ ]6. 函数11+-=x y 的图象大致是[ ]7. 已知f (x +1)为偶函数，则函数y = f (2x )的图象的对称轴是(A) 1=x (B)21=x (C)21-=x (D)x [ ]8. 已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)( ω>0,| φ|<π)(A) -1 (B) -12 (C) 12(D) 1[ ]9. 已知△ABC 中内角A 为钝角，则复数（sin A -sin B ）+i (sin B -cos C )(A)第Ⅰ象限 (B) 第Ⅱ象限 (C) 第Ⅲ象限 (D) 第Ⅳ象限[ ]10. 向量a =（2，3），b ⊥a ，|b b 等于(A)（-2，3） (B)（-3，2） (C)（3，-2） (D)（-3，2）或（3，-2） [ ]11. 在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，a n- 4=30，则n 的值为(A)14 (B)15 (C)16 (D)17 [ ]12. 定义在R 上函数f (x )满足x f '(x )> f (x )恒成立，则有(A) f (-5)> f (-3) (B) f (-5)< f (-3) (C)3f (-5)> 5f (-3) (D) 3f (-5)< 5f (-3) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13. 已知A (1，0),B (0，1)在直线mx +y +m =0的两侧，则m 的取值范围是14. 设函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2-k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是 .15. 阅读下列程序框图，该程序输出的结果是_________． (C16.在△ABC 中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量),2cos ,2cos 25(B AC a -=当tan A ·tan B =91时， 则||= .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

把解答过程填写在答题卡的相应位置．17.（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 6=S 3+14，a 6=10- a 4，a 4>a 3. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }中, b n =log 2 a n , 求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .18.（本小题满分12分）已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且,6=⋅的夹角为α， （Ⅰ）求α的取值范围； （Ⅱ）求f (α)=sin 2α+2sin αcos α+3cos 2α的最小值. 19.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1各棱长都为a ，P 为线段A 1B 上的动点.（Ⅰ）试确定A 1P :PB 的值，使得PC ⊥AB ；（Ⅱ）若A 1P :PB =2:3，求二面角P -AC -B 的大小.20.（本小题满分12分）设动点P (x ,y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长|EG |是否为定值？为什么？21.（本小题满分12分）已知函数f (x )=a ln x -bx 2图象上一点P （2，f (2)）处的切线方程为y =-3x +2ln2+2．（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）若方程f (x )+m =0在1[,e]e 内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底，e ≈2.7）.22. 本题有（1）、（2）两个选答题，请考生任选1题作答，满分10分，如果多做，则按所做的前一题计分．作答时，将所选题号填人括号中． （1）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，单位长度一致建立平面直角坐标系，曲线C :cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l ：极坐标方程为ρsin(θ-3π)=1. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程，直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.（2）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲AB C P1A 1B 1C已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，求x2+y2+z2的最小值．福建省漳州一中2019届高三上学期期中考理科数学试卷参考答案一、选择题：CADABD BADDBC二、填空题：13. -1< m <0 14. 13k ≤ 15. 28 16. 423三、解答题：17.解：(Ⅰ)由已知a 4+ a 5+ a 6=14，∴a 5=4………2分又数列{a n }成等比，设公比q ，则4q+4q =10，∴q =2或12（与a 4>a 3矛盾，舍弃）……4分∴q =2，a n =4×2n -5=2n -3；……6分（Ⅱ）b n = n -3，∴a n ·b n =（n -3）×2n -3，………………8分 T n =-2×2-2-1×2-1+0+…+（n -3）×2n -3，2T n = -2×2-1-1×20+0+…+（n -3）×2n -2，………………10分 相减得T n =2×2-2-(2-1+20+…+2n -3)+（n -3）×2n -2=12-(2n -2-12)+（n -3）×2n -2=（n -4）×2n -2+1………………12分18.解：(Ⅰ)由题意知6cos ||||=⋅=⋅αBC AB BC AB ,αcos 6||||=⋅ αααααπtan 3sin cos 621sin ||||21)sin(||||21=⨯⨯=⋅=-⋅=S ………3分333≤≤S ,3tan 133tan 33≤≤≤≤∴αα即……………………5分 与是α 的夹角,],0[πα∈∴ ,]3,4[ππα∈∴……………………7分（Ⅱ）f (α)=1+sin2α+1+cos2αsin （2α+4π）……………………10分]3,4[ππα∈ ,]1211,43[42πππ∈+∴a )(3121142απαππαf 时即当当==+∴有最小值.)(αf 的最小值是233+…………12分19.【法一】（Ⅰ）当PC ⊥AB 时，作P 在AB 上的射影D . 连结CD .则AB ⊥平面PCD ，∴AB ⊥CD ，∴D 是AB 的中点，又PD// AA 1，∴P 也是A 1B 的中点， 即A 1P :PB =1. 反之当A 1P :PB =1时，取AB 的中点D '，连接CD '、PD '.∵∆ABC 为正三角形，∴CD'⊥AB . 由于P 为A 1B 的中点时，PD'// AA 1∵ AA 1⊥平面ABC ，∴PD'⊥平面ABC ，∴PC ⊥AB .……6分 （Ⅱ）当A 1P :PB =2:3时，作P 在AB 上的射影D . 则PD ⊥底面ABC . 作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE ⊥AC . ∴∠DEP 为二面角P -AC -B 的平面角. 又∵PD// AA 1，∴132BD BP DA PA ==，∴25AD a =.∴DE =AD ·sin60°，又∵135PD AA =，∴35PD a =.∴tan ∠PED =PDDE，∴P -AC -B 的大小为∠DEP = 60°.…12【法二】以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，设(),0,P x z ，则(),0,0B a 、()10,0,A a 、2a C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.ACP1A 1B 1C DE（Ⅰ）由0CP AB ⋅=得(),,0,002a x z a ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 即02a x a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，∴12x a =，即P 为A 1B 的中点，也即A 1P :PB =1时，PC ⊥AB .…………6分（Ⅱ）当A 1P :PB =2:3时，P 点的坐标是23,0,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 取()3,2m =-.则()233,2,0,055a a m AP ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭，()3,22a m AC ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. ∴m 是平面PAC 的一个法向量.又平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =. ∴cos<m ,n >=m n m n⋅⋅=12，∴二面角P -AC -B 的大小是60°.……12分 20.解：（Ⅰ）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线y =-1的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分∵12p = ∴p =2 ∴ 曲线C 方程是x 2=4y ………4分（Ⅱ）设圆的圆心为M (4t ,4t 2),半径r 2=16 t 2+(4t 2-2)2=16 t 4+4, ………8分弦长|EG 为定值………12分 另解：设圆的圆心为M (a ,b )，∵圆M 过A (0,2)，∴圆的方程为 2222()()(2)x a y b a b -+-=+- ………6分令y =0得：x 2-2ax +4b -4=0 设圆与x 轴的两交点分别为(x 1,0)，(x 2,0) 方法1：不妨设x 1> x 2，由求根公式得1x =2x =……………………10分∴12x x -=又∵点M (a ,b )在抛物线x 2=4y 上，∴a 2=4b ，∴ 124x x -==，即|EG |＝4………………………………11分 ∴当M 运动时，弦长|EG |为定值4………………………………12分〔方法2：∵x 1+x 2=2a ,x 1x 2=4b -4 ∴22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+又∵点M (a ,b )在抛物线x 2=4y 上，∴a 2=4b ， ∴ 212()16x x -= 124x x -= ∴当M 运动时，弦长|EG |为定值4〕21.解：（Ⅰ）()2a f x bx x '=-，()242af b '=-，()2ln 24f a b =-．∴432ab -=-，且ln2462ln22a b -=-++． …………………… 3分 解得a ＝2，b ＝1． …………………… 5分 （Ⅱ）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，则()222(1)2x h x x x x -'=-=，令h ’(x )=0，得x ＝1（x ＝－1舍去）．在1[,e]e 内，当x ∈1[,1)e时，h ’(x )>0，∴h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时，h ’(x )<0，∴h (x )是减函数． …………………… 8分则方程h(x)=0在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e(1)0,(e)0.hhh⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤……10分即1<m≤2+e-2．…………………… 12分22. （1）解：(Ⅰ) 曲线C：x2+y2=1，直线l为ρsinθρcosθ=2－y+2=0；……6分(Ⅱ) 所求最大值为0022-++1=2………10分（2）解：依题意得212()2x y z⨯++=即x y z++=………………3分23()x y z=++≤222()(111)x y z++++…………………6分∴x2+y2+z2≥1当且仅当x=y=z=1等号成立……………9分∴x2+y2+z2的最小值为1. …………………10分注:各题若有其它解法可参照给分.。