偏微分方程的离散化方法4经典.ppt

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偏微分方程的数值离散方法

(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u ku 2 p 1u 2 pu k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x k x x p 0 p 1
基本解为 e ( i ) t eikx
(1) p 2 p k 2 p
13
3.1.6 偏微分方程的全离散方法
• 对差分格式的一般要求：
– 有精度、格式稳定、求解效率高
• 特殊要求
– 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性 (正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等)
• 主要指非定常方程的时间离散
14
3.1.6偏微分方程的全离散方法(续）
j
2
~ f 满足相容性条件: ~ f (u, u , u ) f (u )
2
11
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒性质：
守恒型差分格式对 j求和 :
j J jJ jJ
u u
x J 1 / 2 jJ
n 1 j
x
j J
u x f
n j jJ 0 j
16
3.1.6.1 两层格式(cont.）
• Lax-Wendroff 格式
一步LW格式
u u c 0 t x u 2 t 其中 c x
n 1 i
u
n i

(u
n i 1
u )
n i 1
2
2
(uin1 2uin uin1 ),
O(t 2 , x 2 )
u f (u ) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。

第5章偏微分方程值解ppt课件

t

t nt , x ix , y jy , z kz
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式

以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2

总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算

例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题一维流动传热传导方程的混合问题：

2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的混合问题。
总目录本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题

2偏微分方程数值解法引论精品PPT课件

u , y
u1
, u2
T
u
x x x
则方程组（2）可表示为
u
A
u
h
0
y x
（2）多维一阶方程组方程组
见8页
同理
u1
y
a1
u1 x
h1
0
u
p
y
ap
u p x
hp
0
（3）
可表示为
u
A
u
h
0
y x
（4）
其中
u1 y
,,
u p y
T
u , y
h1,, hp T h
n
考虑两个自变量的二阶偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
2b xy
c
y 2
d
x
e y
fu
g
线性: a,b,c,d ,e, f , g 是x,y的二元函数;
拟线性:
a, b, c, d , e,
f
,
g
是
x,
y, u,
u x
,
u y
的函数;
对于二阶线性偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
ui xk
1
p xi
ui ,
i 1, 2,（3 动量守恒）
3
uk
k1 xk
（0 质量守恒）
其中，u (u1, u2 , u3 )表示速度，表示粘滞系数
（二）定解问题
1.
定解条件
边界条件初始条件
2.定解问题方程定解条件
初值问题（Cauchy问题）定解问题边值问题（Drichlet / Numann / Robin）

偏微分方程数值解PPT课件

t
t
n j
tn j1
x x
EXCEL
0.01, x 0.1
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
此微分方程，是在不考虑流体本身热传导时的套管传热微分方程.由计算结果可知，当计算的时间序列进行到72时，传热过程已达到稳态，各点上的温度已不随时间的增加而改变。如果改变套管长度或传热系数，则达到稳态的时间亦会改变。
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
• 物理实际问题的归类：
• 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
• 热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
2u x 2
• 拉普拉斯方程（椭圆型ux22）稳态y2u2 静电0 场或稳态温度分布场）
第4页/共32页
un i 1
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
第13页/共32页
一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
1的)偏t )
微
分
采
用
向
后
欧

偏微分方程的离散化方法4

P
3
PPP
P
4
PPP
P
5
PP
P
1P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
2
P
PPP
3
P
PPP
4
P
PPP
5
P
PP
3、Crank_Nicolson 差分格式
Crank_Nicolson 差分格式（简称 C_N 格式）是综合显式和隐式格式而构建，将空间二阶差商取为 n 时刻与 n+1 时刻的算术平均值，则：

Pi
n 1,
j
)

n1/ 2
P P i1, j
n1/ 2 i 1, j
P n1 i, j

Pn i, j
2x 2
2x
t
四、边界条件的处理
（一）、内边界条件处理
定产条件：即井以一定产量 q 生产。如在网格（i，j）上有一口井，产量 q，
则可在渗流方程左边加上产量相，生产井 q 为负，注水井 q 为正。

偏微分方程的离散化方法课件

x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值
P n1 i
。因此如初始条件，即
n=0
时各网格的
P
值已给定，
就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分
格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间
步长受到严格限制，基本不用。
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商，在点（i，n+1）的差分方程：
P n1 i 1
2Pin1 x 2
P n1 i1
P n1 i
Pi n
t
(1
2
) Pi n 1
(
P n1 i1
Pi
n 1 1
)
Pi n
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，为了求得第 n+1 时刻（下
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格，大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段，在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
1、网格系统它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格，如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三维z→k）。节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。

偏微分方程离散差分式差分方法等

(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u ku 2 p 1u 2 pu k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x k x x p 0 p 1
基本解为 e ( i ) t eikx
(1) p 2 p k 2 p
u f (u ) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式
~n
1 J 2
~ t f n 1 t
J 2
再对n求和 :
j J n 1 j
~ x u x f k
j J k 0
N
1 J 2
~ t f k 1 t
k 0 J 2
N
可以看成是积分

x J 1 / 2
u ( x, t n 1 )dx
Fourier稳定性 : ikx ikx 2 ikx A A 1 (e e ) (e 2 e ikx ) 2 2 An 1 G n 1 i sin kx 2 (coskx 1) A G 1 1
n 1 n
•
1
称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
10
3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
u d f 0 t i 1 xi

第四章离散化的基本方法

u ( x )i, j

ui1, j ui1, j 2x
O(x)2
(6)
二阶“中心差分”
总结：
ui1, j ui, j

x
O(x)
一阶“向前差分”
u ( x )i, j

ui
,
j

ui1, j x
O(x)
一阶“向后差分”
ui1, j ui1, j
x
x2 2
最初的估计斜率的影响曲率的影响
举例说明
8
Nanjing University of Technology
有限差分基础
考虑函数 f (x) sin 2 x
在x＝0.2处，f(x)＝0.9511。如图中1点。
取Δx＝0.02，f(x+Δx)=f(0.22)=0.9823 图中点2
)i
,
j
(x)

(
2u x2
)i
,
j
(x)2 2

(
3u x3
)i
,
j
(x)3 6

(4)
解得：
(
u x
)i
,
j

ui, j
ui1, j x
O(x) (5)
一阶“向后差分”
11
Nanjing University of Technology
有限差分基础
对于CFD而言，一阶精度是不够的。为构造2阶精度。直接用（2）式减去（4）式得到：
ui2, j
O(x)4
越高精度在计算过程中是不是就越好呢？
缺点：需要更多的网格信息，所以计算每一步时间步或者空间步需要更多时间。

偏微分方程的离散化方法研究

三对角矩阵形式
1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 P P 2 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 3 4 5 1 2 3 4 5
2、椭圆型方程：二维不稳定渗流方程
2P 2P P x 2 y 2 t 采用：等距网格差分（1）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）
t 2 ，截断误差： O ( t x ) x 2
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pi n ，就可以求得第 n+1 时刻（下步时间）的值 Pi n 1 。因此如初始条件，即 n=0 时各网格的 P 值已给定，就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分格式中：只有一个未知数 Pi n 1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间步长受到严格限制，基本不用。
2 O ( x ) 忽略二阶截断误差
Pi 1 2 Pi Pi 1 2 P P( x x ) 2 P( x ) P( x x ) 2 P ， (用节点位置) 2 2 2 2 x i x x x
1、
一种常用二阶差商处理方法
k x x u u k k x x x 1 x x x2
3、
一阶中心差商
2 O ( x ) 忽略截断误差
P Pi 1 P P ( x x ) P ( x x ) P ， i 1 x 2 x x i 2x
P Pi 1 / 2 P P ( x x / 2) P ( x x / 2) P ， i 1 / 2 忽略截断误差 O (( x / 2) 2 ) x x x i x

计算机应用基础偏微分方程求解PPT课件

6.2 二阶偏微分方程的求解
二抛物线型偏微分方程
第16页/共43页
6.2 二阶偏微分方程的求解
parabolic函数用于求解抛物型偏微分方程的解，调用格式如下：
u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) b: 边界条件 u0: 初始条件 tlist；时间列表 u1:对应于tlist的解向量 p,e,t :网格数据
• 启动偏微分方程求解界面
– 在 MATLAB 下键入 pdetool
• 该界面分为四个部分
– 菜单系统 – 工具栏 – 集合编辑 – 求解区域
第20页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
菜单栏
工具栏
第21页/共43页
6.3 偏微分方程求解工具箱
第22页/共43页
5.3 偏微分方程求解工具箱
第9页/共43页
6.1 偏微分方程组求解
边界条件程序”c7mbc.m” function [pa, qa, pb, qb]=c7mpbc(xa, ua, xb, ub, t) pa=[0; ua(2)]; qa=[1; 0]; pb=[ub(1)-1; 0]; qb=[0; 1];
function u0=c7mpic(x) u0=[1; 0];
进入反应器，相当于总质量速率为G=2500kg.h-1.m2。反应管
外用速率为F 130kg h-1烟道气与反应混合物
逆流加热反应管，烟道气出口温度为620 C。其
它数据：催化剂的堆积密度＝1440kg / m3，操作
压力P 1.2bar，乙苯的反应热H＝140000kJ / m ol，
床层有效导热系数e 0.45w.m1.k 1,有效扩散系数

偏微分方程的离散化方法PPT精选文档

2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、一阶前差商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽略截断误差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、二阶差商
将方程 (*)正负相加 ,可得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、一阶后差商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、一阶中心差商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽略截断误差 O(x) 忽略截断误差 O(x) 忽略截断误差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格，大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通常采用矩形网格（正方体）。（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段，在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步长大小取决于所要解决的实际问题。

偏微分(3)分离变量法PPT课件

(
)
sin
ka
L
(t
)sin
k
L
x
d
其中
Bk
(
)
2
ka
L f ( , ) sin k d
0
L
(2.10)
2021/3/22
21
分离变量法:
令
k
u(x, t) Ck(t)sin
k 1
L
x
(2.11)
是混合问题的解。显见上述函数满足（2.2）。
(2.1)
Ck(t)sin k 1
k
L
x k
从而定出 X (x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及
T (t) 适合的常微分方程。
本征
求解该常微分方程齐次边值问题，
第二步求出全部本征值和本征函数，并求
值问题
出相应的 T (t) 的表达式。
第三步将所有变量分离形式的特解叠加起来，并
利用初始条件定出所有待定系数。
2021/3/22
12
物理意义
正弦展开的Fourier级数的系数，即
Ak
2 L
L
( ) sin
k
d
0
L
(k 1,2,)
(1.17)
Bk
2
ka
L
( ) sin
k
d
0
L
(1.18)
这样，我们就给出了混合问题（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系数由公式（1.17）和（1.18）给出。
2021/3/22
10
sin x, sin 2 x, sin k x, 是[0, L]上的正交函数列
[

偏微分方程的离散化方法4

偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法4偏微分方程是描述自然现象和物理过程的重要数学工具。

离散化方法是对偏微分方程进行数值求解的一种常用方法，通过将连续的自变量离散化成一系列离散点，将偏微分方程转化为一组代数方程，从而实现通过数值计算求解偏微分方程的目的。

离散化方法有多种，本文将介绍四种常用的离散化方法：有限差分法、有限元法、谱方法和配点法。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程中的导数项用差商逼近。

对于偏微分方程中的一阶导数项，可以使用一阶中心差分公式进行离散化：\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h},\]其中$h$为离散步长。

对于二阶导数项，可以使用二阶中心差分公式：\[f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})}{h^2}.\]根据具体问题的边界条件，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，通过求解这组代数方程得到数值解。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学等领域的离散化方法。

与有限差分法类似，有限元法也将偏微分方程中的导数项离散化，但是它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。

每个有限元内部的离散点称为节点，假设在每个有限元内，问题的解可以用一个简单的多项式逼近，如线性多项式或二次多项式。

在每个有限元内，偏微分方程的解用这些节点的函数值进行近似，通过确定节点上的函数值可以得到整个求解区域上的数值解。

三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于函数空间变换的离散化方法，它可以达到很高的精度。

谱方法基于傅里叶分析的思想，使用特定选择的基函数进行近似。

对于一维偏微分方程，可以使用傅立叶级数或切比雪夫多项式作为基函数。

偏微分方程演讲稿ppt课件

偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
演讲人：Marky
1
目录
• 1 偏微分方程的基本概念 • 2 有限差分方法 • 3 常系数扩散方程及初边值问题 • 4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
深圳大学材料学院
2
1 偏微分方程的基本概念
3
1.1 偏微分方程定义
深圳大学材料学院
17
4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍
18
复Ginzburg-Landau方程(CGLE)形式如下：
t
A
A
(1
i
)
2 x
A
(1
i
)
A2
A
其中，A=(x,t)是关于时间t和空间x的复变量；μ是标度参数，通常
情况下，μ=1 ；实数α,β是系统参数。当α,β→∞,α/β=常数，
上方程转变为非线性薛定谔方程。当α,β→0,方程可以化为一个简
, tn1)
u(x j
,tn )
[
u t
]nj
O(
)
(1)
u(x j1, tn ) u(x j , tn ) h
[
u x
]nj
O(h)
(2)
u(x j1, tn )
2u(x j , tn ) h2
u(x j1,t n)
[
2u x 2
]nj
O(h2 )
(3)
深圳大学材料学院
11
利用（1）式和（2）有
1.2.1 偏微分方程的解
偏微分方程的解：如果给定一个函数，将它及它对自变量的各阶偏导数代入原偏微分方程，能使方程成为恒等式，则称函数是偏微分方程的解。

三偏微分方程的数值离散方法课件.ppt

x3
3u x3
x
(e x 1)u
x
u j1 (e x 1)u ( 2 ) 等价于：
u 1 t t 2
2u t 2
1 t2 6
3u t 3
c
u x
1 x2 6
3u x3
c
2
t
1 2
2u x 2
1 24
4u x 4
(3)
• 差分方程(2)写成算子的形式：
2021/3/6
（三）偏微分方程的数值离散方法
• 3.1 有限差分法 • 3.2 有限体积法 • (有限元，谱方法，谱元，无网格，有限
解析，边界元，特征线）
2021/3/6
1
3.1 有限差分法
• 3.1.1 模型方程的差分逼近 • 3.1.2 差分格式的构造 • 3.1.3 差分方程的修正方程 • 3.1.4 差分方法的理论基础 • 3.1.5 守恒型差分格式 • 3.1.6 偏微分方程的全离散方法
5
3.1.3 差分方程的修正方程 (续)
2021/3/6
t
(e t
1)u
1 2
x
(e x
x
e x )u
1 2
2
e
x
x

2
x
e x
u
(4)
记算子
t
(e t
1)
t
u t
1 t2 2!
2u t2
1 t3 3!
3u t3
则
t
(e t
1)2
t2
2u t2
1 2
1 2
t 3
A n1
2021/3/6
G An 1

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13
z
r
.精品课件.
混合网格
14
二、有限差分法----导数的差商逼近
P lim P(x x) P(x)
x x0
x
P lim P(x) P(x x)
x x0
x
P lim P(x x) P(x x)
x x0
2x
P
前差商后差商中心差商
.精品课件.
x
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函数 P(x+Δx)利用 Talor 公式逼近导数
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4
P
离散时间
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t
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1、网格系统它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格，如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三维z→k）。节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
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上式两端同除 x 2 ,整理得:
P '' (x) P(x x) 2P(x) P(x x) O(x 2 ) x 2
忽略二阶截断误差 O(x 2 )
2P x 2
P(x
x)
2P(x) x 2
P( x
x)
，
2P x 2
Pi1
2Pi x 2
Pi1
(用节点位置)
i
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1、一种常用二阶差商处理方法
2、等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是相等的，反之称为不等距网格。
.精品课件.
6
3、网格类型常规网格系统：（1）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标（2）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标
块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界，点中心网格比较容易处理定压边界。非常规网格系统：（1）局部网格加密（2）混合网格（3）多边形网格
.精品课件.
7
y
x
无效网格有效网格点中心网格块中心网格
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8
z
x y
.精品课件.
局部网格加密
9
.精品课件.
10
模拟区网格图（井位、边界、断层）
.精品课件.
11
五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图
.精品课件.
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五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图
.精品课件.
Pn i 1
2Pin x 2
Pn i 1
P n1 i
Pi n
t
P n1 i
(1 2 )Pin
(
Pn i1
Pn i1
)
，
t x
2
，截断误差：O(t
x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值
P n1 i
。因此如初始条件，即
n=0
时各网格的
x1,
y, t) x1
u( x,
y, t)
k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2 2
u(x, y, t) u(x x2 , y, t) x2
x x
x
Δx
Δx1 Δx2
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三、有限差分方程的建立
1、抛物型方程：一维不稳定渗流方程：
2 P x 2
P t
（1）显示差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向前差商和关于 x 的二阶差商，在点（i，n）的差分方程。
2
2
.精品课件.
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1、一阶前差商
P P(x x) P( x) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
x
2、一阶后差商
P P(x) P( x x) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、一阶中心差商
P P( x x) P(x x) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
P
值已给定，
就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分
格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间
步长受到严格限制，基本不用。
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20
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商，在点（i，n+1）的差分方程：
忽略截断误差 O(x) 忽略截断误差 O(x) 忽略截断误差 O(x 2 )
P P( x x / 2) P( x x / 2) ，P Pi1/2 Pi1/2 忽略截断误差 O((x / 2)2 )
x
x
x i
x
.精品课件.
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1、二阶差商
将方程(*)正负相加,可得: P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
k
u
k
u
x
k
x
x x x1 2 x
x x x2 2
， x
1 2
(x1
x2
)
u u(x x1, y, t) u(x, y, t) ， u u(x, y, t) u(x x2 , y, t)
x x x1
x1
x x x1
x2
2
2
k
u
k x x1 2
u(x
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2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格，大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段，在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步长大小取决于所要解决的实际问题。
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3
离散空间
偏微分方程的离散化方法
.精品课件.
1
一、离散化的概念
油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微分方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、变分法等。离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的，并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均质的问题——非线性问题线性化。计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计算工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变差些。微分方程离散化，主要在空间和时间两方面被离散化
P(x x) P(x) xP(x) x 2 P(x) x3 P(x) x 4 P (4) (x)
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x / 2)2 P(x) (x / 2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x) O(x)

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