2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷

中考数学二模试题（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．下列实数中，有理数是ABC ．π；D ．0．2．如果关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A ．1k <；B ．10k k <≠且；C ．1k >；D ．10k k >≠且.3．如果将抛物线2y x =向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A ．21y x =+；B ．21y x =-；C ．2(1)y x =+；D ．2(1)y x =-.4．如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为A ．0.4；B ．0.36；C ．0.3；D ．0.24.5．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB （OA <OB ）边OA 、OB 上分别截取OD 、OE ，使得OD=OE ；（2）分别以点D 、E 为圆心，以大于12DE 为半径作弧，两弧交于△AOB 内的一点C ；（3）作射线OC 交AB 边于点P ． 那么小明所求作的线段OP 是△AOB 的第4题图AO BDEC P第5题图第6题图EA ．一条中线；B ．一条高；C ．一条角平分线；D ．不确定．6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，联结BE ，如果AB =6，BC =4，那么分别以AD 、BE 为直径的⊙M 与⊙N 的位置关系是 A ．外离；B ．外切；C ．相交；D ．内切．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：26a a ÷= .8. 某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为 毫米.9．不等式组1,2 4.x x ->⎧⎨<⎩的解集是 .10x =的解为 ． 11．已知反比例函数3ay x-=，如果当0x >时，y 随自变量x 的增大而增大，那么a 的取值范围为 ．12．请写出一个图像的对称轴为y 轴，开口向下，且经过点（1，-2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 ．13. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 ．14. 在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是 株．16．如图，在中，对角线与相交于点，如果AC a =，BD b =，那么用向量a 、b 表示向量AB 是 ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB=10，sin A =35，CD 为AB 边上的中线，以点B 为圆心，r 为半径作⊙B ．如果⊙B 与中线CD 有且只有一个公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围为 ．①②18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC=8，tan B 32=，点D 是AB 的中点，如果把△BCD 沿直 线CD 翻折，使得点B 落在同一平面内的B ′处，联结A B ′，那么A B ′的长为 ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：2344(1)11a a a a a -+--÷++，其中a =20．（本题满分10分）解方程组：22444,2 6.x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，4sin 5B =，点F 在BC 上，AB=AF=5，过点F 作EF ⊥CB 交AC 于点E ，且:3:5AE E C =，求BF 的长与sin C 的值．22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）ACD第17题图B第21题图ABC第18题图D第16题图Dy （千米）第22题图EGCABDF甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达． （1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y （千米）与时间x （小时） 的不完整函数图像，那么点A 的坐标为 ， 点B 的坐标为 ，4小时后的y 与x 的函数关 系式为 （不要求写定义域）．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ． （1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF AG BC BE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1如图，在平面直角坐标系xOy y 轴上的B 、C （1）求抛物线的解析式以及点D （2）求tan ∠BCD ；（3）点P 在直线BC 上，若∠25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；（2）设BC= x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留 ）初三数学评分参考建议说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B二、填空题本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．4a8．56.810-⨯9．1x <- 10．1x =11．3a > 12． 21y x =-- 等（答案不唯一） 13．1214．615．2 16．1122a b - 17． 56r <≤或245r =18三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=22131144a a a a a --+⋅+-+ ………………………………………………………（3分） 2(2)(2)11(2)a a a a a +-+=⋅+- ………………………………………………………（3分）22a a +=-…………………………………………………………………………… （2分）当a =, 原式7=--…………………………………………… （2分） ．20．解：由①得， 22x y -=或22x y -=-……………………………………………（2分）将它们与方程②分别组成方程组，得：,262;2x x y y ⎧⎨+=-=⎩ 22,2 6.y y x x ⎧⎨+=-=-⎩……………………………………………………（4分） 分别解这两个方程组，得原方程组的解为114,1;x y =⎧⎨=⎩ 222,2.x y =⎧⎨=⎩． …………………………………………（4分）（代入消元法参照给分）21．解：过点A 作AD ⊥CB ，垂足为点D∵4sin 5B =∴3cos 5B = ……………………………………………………（1分） 在Rt△ABD 中，3cos 535BD AB B =⋅=⨯= …………………………………（2分）∵AB=AF AD ⊥CB ∴BF =2BD =6 ………………………………………（1分） ∵EF ⊥CB AD ⊥CB ∴EF ∥AD ∴DF AECF EC= …………………（2分） ∵:3:5AE EC = DF=BD=3 ∴CF=5 ∴CD=8………………………（1分） 在Rt△ABD 中，4sin 545AD AB B =⋅=⨯= ……………………………………（1分） 在Rt△ACD中，AC =……………………………………（1分）∴sin AD C AC ==………………………………………………………………（1分）22．解：（1）设甲车原计划的速度为x 千米/小时由题意得600600210x x-=-…………………………………………………………（3分） 解得150x =- 260x =经检验，150x =- 260x =都是原方程的解，但150x =-不符合题意，舍去∴60x = ……………………………………………………………………………（2分） 答：甲车原计划的速度为60千米/小时．………………………………………（1分） （2）（4，240） （12，600） …………………………………………………（1分，1分）4560y x =+…………………………………………………………………………（2分）23．（1）证明：联结BD …………………………………………………………………（1分）∵EB =ED ∴∠EBD =∠EDB …………………………………………………（2分） ∵∠ABE =∠ADE ∴∠ABD =∠ADB …………………………………………（1分）∴AB=AD …………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是矩形 ∴四边形ABCD 是正方形………………………（1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ∥BC ∴EF ECDE EA=………………………………………………（2分） 同理DC ECAG EA= ……………………………………………………………（2分） ∵DE=BE∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC=DC …………………………………………（1分） ∴EF BCBE AG= ∴EF AG BC BE ⋅=⋅ ……………………………………………………………（1分）24．解：（1）由题意得B （6，0） C （0，3） ………………………………………（1分）把B （6，0） C （0，3）代入22y ax x c =-+得03612,3.a c c =-+⎧⎨=⎩ 解得1,43.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴21234y x x =-+……………………………………………………………（2分） ∴D （4，-1） ………………………………………………………………（1分）（2）可得点E （3,0） ………………………………………………………………（1分）OE=OC=3，∠OEC =45°过点B 作BF ⊥CD ，垂足为点F 在Rt △OEC中，cos OEEC CEO==∠在Rt △BEF中，sin BF BE BEF =∠=……………………………………（1分）同理，EF =CF ==1分） 在Rt △CBF 中，1tan 3BF BCD CF ∠== …………………………………………（1分） （3）设点P （m ，132m -+）∵∠PEB=∠BCD ∴tan ∠PEB= tan ∠BCD 13= ①点P 在x 轴上方∴131233m m -+=- 解得245m = ………………………………………………（1分） ∴点P 243(,)55………………………………………………………………………（1分） ②点P 在x 轴下方∴131233m m -=- 解得12m = …………………………………………………（1分） ∴点P (12,3)- ………………………………………………………………………（1分） 综上所述，点P 243(,)55或(12,3)-25．（1）联结DM在Rt △DCM中，DM ==…………………………………（2分） ∵AD ∥BC BM =AD ∴四边形ABMD 为平行四边形……………………（1分） ∴AB= DM=即⊙B的半径为1分） （2）过点C 作CH ⊥BD ，垂足为点H在Rt △BCD中，BD =∴sin DBC ∠可得∠DCH =∠DBC∴sin DCH ∠=在Rt △DCH中，sin DH DC DCH =⋅∠=1分）∵CH ⊥BD∴2DE DH ==1分）∴2BE ==………………………………………（1分）∵⊙C 与⊙B 相交于点E 、F ∴EF=2EG BC ⊥EF在Rt △EBG 中，225125sin 25x EG BE DBC x -=⋅∠=+ …………………………（1分）∴221025025x y x -=+（x >1分，1分）（3）254π或(29π-或π ………………………………………（做对一个得2分，其余1分一。

上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C．=m D．=m3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣24．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形D．等腰梯形5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（）成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 4 2 6 3A．2 B．3 C．8 D．96．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（）A．5 B．10 C．36 D．72二、填空题7．计算：=．8．写出的一个有理化因式：．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是．10．函数y=+x的定义域是．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么=（用表示）．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m=．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．三、解答题19．计算：．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM 的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC （如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b【考点】实数的运算；绝对值．【专题】推理填空题；实数．【分析】A：根据求一个数的算术平方根的方法计算即可．B：分别把、π化成小数，判断出它们的大小关系即可．C：根据8=23，可得=，据此判断即可．D：①当a+b是正有理数时，a+b的绝对值是它本身a+b；②当a+b是负有理数时，a+b的绝对值是它的相反数﹣（a+b）；③当a+b是零时，a+b的绝对值是零．【解答】解：∵=2，∴选项A不正确；∵≈3.142857，π≈3.1415927，∴≠π，∴选项B不正确；∵8=23，∴=，∴选项C正确；当a+b是正有理数时，|a+b|=a+b；当a+b是负有理数时，|a+b|=﹣（a+b）；当a+b是零时，|a+b|=0；∴选项D不正确．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C．=m D．=m【考点】无理方程；一元一次方程的解；根的判别式；分式方程的解．【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A.2x=m，一定有实数解；B．x2=m，当m＜0时，无解；C.=m，当m=0或﹣时无解；D.=m，当m＜0时，无解；故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有关知识点进行判断．3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．【解答】解：A、∵y=2x的系数2＞0，∴函数图象过一三象限，故本选项错误；B、∵y=中，2＞0，∴函数图象过一、三象限，故本选项错误；C、在y=x﹣2中，k=1＞0，b=﹣2＜0，则函数过一三四象限，故本选项错误；D、∵y=x2﹣2开口向上，对称轴是y轴，且函数图象过（0，﹣2）点，则函数图象过一、二、三、四象限，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形D．等腰梯形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可．【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点是解题的关键．5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（）成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 4 2 6 3A．2 B．3 C．8 D．9【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两数的平均数即可．【解答】解：∵共16次射击，∴中位数是第8和第9的平均数，分别为9环、9环，∴中位数为9环，故选：D．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．6．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（）A．5 B．10 C．36 D．72【考点】正多边形和圆．【分析】设正多边形的中心角的度数是x，根据弧长公式即可求得x的值，然后利用360度除以x即可得到．【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x，根据题意得：=π，解得：x=10．则n==36．故选C．【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式，正确求得中心角的度数是关键．二、填空题7．计算：=﹣1．【考点】分式的加减法．【分析】把原式化为﹣，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．8．写出的一个有理化因式：+b．【考点】分母有理化．【分析】根据这种式子的特点：﹣b和+b的互为有理化因式解答即可．【解答】解：的一个有理化因式：+b；故答案为：+b．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是4．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，列出m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4×m=0，且m≠0，解得m=4．故答案是：4．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．函数y=+x的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=4．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），再利用点平移的规律得到把点（0，﹣m）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣m），接着利用顶点式写出平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，然后把原点坐标代入可求出m的值．【解答】解：函数y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），把点（0，﹣m）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣m），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，把点（0，0）代入=（x+2）2﹣m得4﹣m=0，解得m=4．故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．【考点】列表法与树状图法；点的坐标．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所得点落在第一象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所得点落在第一象限的有4种情况，∴所得点落在第一象限的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么=﹣（用表示）．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，由AM：MB=CN：NA=1：2，可表示出与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵AM：MB=CN：NA=1：2，∴AM=AB，AN=AC，∵，∴=，=，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m=．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜面上前进13米，铅锤方向上升了5米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在自动扶梯上前进13米，在铅锤方向上升了5米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得，x=12（舍去负值），故该斜坡坡度i=5：12=1：m．所以m=．故答案为：m=．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是0.05．【考点】频数（率）分布直方图．【分析】利用1减去其它组的频率即可求得．【解答】解：m=1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.075=0.05．故答案是：0.05．【点评】本题考查了频率分布直方图，了解各组的频率的和是1是关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】开放型．【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意画出图形，当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，再利用△ODE∽△BDA，求出答案．【解答】解：如图所示：当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，则OE⊥BD，且OE=r，∵∠OED=∠A=90°，∠ADE=∠EDO，∴△ODE∽△BDA，∴=，∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴=，解得：EO=．故答案为：．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ODE∽△BDA是解题关键．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断△BAE∽△BDA，利用相似比可得=，然后证明AD=BD即可得到的值．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD的中点，∴∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，∵EF∥AG，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，∴AB2=BD2，∴=，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABD，∴∠ABD=∠DAB，∴DB=DA，∴=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，三、解答题19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：=1+9+6×﹣||=10﹣2=10【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整数解即可．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x＞﹣．则不等式组的解集是：﹣＜x＜2．则非负整数解是：0，1．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM 的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过M作MN⊥AB于H，由直角三角形的性质得到CN=AN=AB，由等腰三角形的性质得到∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点N分别是边AB的中点，点D是线段BM的中点，∴=，=，∴；（2）过M作MN⊥AB于H，∵点N分别是边AB的中点，∴CN=AN=AB，∴∠ACN=∠A=30°，∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA，∴设BC=2k，则MA=k，MH=k，HB=4k﹣k=k，∴cos∠NCD===．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由OA过原点O，故设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，将点A的坐标代入函数解析式得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出函数解析；（2）根据比例关系设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3am/min，结合路程=速度×时间，得出关于a的一元一次方程，解方程可求出a的值，再根据路程=速度×时间可得出C点的纵坐标．【解答】解：（1）设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，根据已知可得：600=20k，解得：k=30．故上山时y关于x的函数解析式为y=30x（0≤x≤20）．（2）设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3a/min，由已知得：18×2a+8×3a=600，解得：a=10．故8×3a=8×3×10=240（米）．答：点C的纵坐标为240．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据数量关系列出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，（1）没有难度；（2）巧用比例关系设未知数，解该类型题目时，由数量关系列出方程（或方程组）是关键．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的判定；等腰梯形的判定．【分析】（1）由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，继而证得四边形AFED是正方形；（2）由BG与CD平行且相等，可得四边形BCDG是平行四边形，即证得CB=DG，在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，则可得DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．【解答】（1）证明：∵DC∥AB，∠A=90°，∴∠ADE=90°，由折叠的性质可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF，∵四边形ADEF为矩形，∴四边形ADEF为正方形；（2）连接EG，DG，∵BG∥CD，且BG=CD，∴四边形BCDG是平行四边形．∴CB=DG．∵四边形ADEF是正方形，∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．∵G是AF的中点，∴AG=FG．在△DAG和△EFG中，，∴△DAG≌△EFG（SAS），∴DG=EG，∴EG=BC．∴四边形GBCE是等腰梯形．【点评】此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定．注意证得四边形BCDG是平行四边形与△DAG≌△EFG是关键．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可；（2）先确定出直线AB解析式，再由DP∥AB确定出直线DP解析式，利用方程组确定出交点坐标；（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底）．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣8ax+3=a（x﹣4）2+3﹣16a，∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3），∴AB=5，∵AB=BD，∴BD=5，∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B，∴3﹣16a=BD=5，∴a=﹣，∴y=x2+x+3，（2）∵B（4，0），A（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，∵DP∥AB，设直线DP解析式为y=﹣x+b，∵D（4，5）在直线DP上，∴b=8，∴直线DP解析式为y=﹣x+8，由，∴x1=10，x2=4（舍），∴P（10，）；（3）如图①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G1，∵BG=AB，∴∠BAG1=∠BG1A，∴∠AGB=∠ABD，∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4，∴G1（4，﹣5），∴S△ABG1=×BG1×AH=×5×4=10；②以A为圆心，AG1为半径作圆，交BD延长线于G2，过点A作AH⊥BD于H，∴HG2=HG1=BH+BG1=8，∴BG2=11，∴G2（4，11），S△ABG2=×BG2×AH=×11×4=22；即：S△ABG=10或22，【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC （如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得，由此即可解决．【解答】解；（1）如图1中，连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=2，∴可以假设AC=2k，BC=k，∵AB=6，AB2=AC2+BC2，∴36=8k2+k2，∵k＞0，∴k=2，BC=2．（2）如图2中，∵△MBC与△MOC相似，∴∠MBC=∠MCO，∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，∵OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，在△OBC和△OCD中，，∴△OBC≌△OCD，∴BC=CD=2．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．∵BC∥OD，∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，∴BO=BG=3，∵tan∠HBG=，设GH=2a，HB=a，∵BG2=GH2+HB2，∴8a2+a2=9，∴a2=1，∴a=1，HB=1，GH=2，OH=2，OG==2，∵GC∥DO，∴=，∴ON=×=．【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．。

例 2020年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，点P 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），过P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的⊙M 与边AB 相交的另一个交点为N ，点Q 是边BC 上一点，且CQ ＝2CP ，连结NQ ．（1）如果⊙M 与直线BC 相切，求⊙M 的半径长；（2）如果点P 在线段AC 上，设线段AP ＝x ，线段NQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，求线段AP 的长．图1 备用图思路点拨1．圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径．2．第（2）题构造以NQ 为斜边的直角三角形．3．相交两圆的连心线垂直平分公共弦，第（3）题隐含了MO 是△NAQ 的中位线，也就是说公共弦所在的直线与AQ 保持垂直关系，这样图形中就有等角的余角相等． 图文解析（1）如图2，作MH ⊥AC 于H ．在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝8，所以AB ＝cos ∠A ＝5，sin ∠A ＝5在Rt △AMH 中，设AM ＝r ，那么AH ． 如果⊙M 与直线BC 相切，那么半径AM ＝HC ．所以4r =．解得5r = 图2 （2）如图3，作NG ⊥BC 于G ．在Rt △APM 中，AP ＝x ，所以AM x ．所以BN ＝AB －AN ＝x ．在Rt △BNG 中，NG ＝5BN ＝245x -，BG ＝2NG ＝485x -． 在Rt △NQG 中，QG ＝BC －CQ －BG ＝48(82)(8)5x x ----＝1485x -，由勾股定理，得NQ 2＝NG 2＋QG 2＝222144+855x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝4(2x 2－12x ＋20)．所以y ＝NQ ＝．定义域是0＜x ≤4．图3（3）如图4，因为M 、O 分别是NA 、NQ 的中点，所以MO 是△NAQ 的中位线． 所以MO //AQ ．根据相交两圆的连心线垂直平分公共弦，当公共弦经过点P 时，MO ⊥PN ． 所以PN ⊥AQ （如图5所示）．如图5，因为点P 在AN 的垂直平分线上，所以P A ＝PN ．所以∠P AN ＝∠PNA ． 根据等角的余角相等，可知∠QAN ＝∠B ．所以QA ＝QB ．设CQ ＝m ，那么QA ＝QB ＝8－m ．在Rt △ACQ 中，由勾股定理，得(8－m )2＝42＋m 2．解得m ＝CQ ＝3．图4 图5② 如图4，当点P 在AC 上时，由CQ ＝2CP ＝2(4－x )＝3，得x ＝52． ②如图6，当点P 在AC 的延长线上时，由CQ ＝2CP ＝2(x －4)＝3，得x ＝112．图6考点伸展第（2）题求y 关于x 的解析式的过程，运算很繁琐，结果很简洁，一般情况下，都是因为构造的辅助线不同．也可以这样添加垂线：如图7，作QK ⊥AB 于K ．在Rt △BQK 中，BQ ＝8－(8－2x )＝2x ，所以QK x ，BK ．在Rt △NQK 中，NK ＝AB －AN －BK ＝x ＝x ，所以NQ 2＝NK 2＋QK 2＝22+x x ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝4(2x 2－12x ＋20)．图7。

上海市杨浦区2019-2020学年中考数学模拟试题（2）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（）A．30°B．60°C．50°D．40°2．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（）A．1.05×105B．0.105×10﹣4C．1.05×10﹣5D．105×10﹣73．长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010B．2.5×1010C．2.5×109D．25×1084．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C． D．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．B．C．D．6．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是( ) A．B．－C．4 D．－17．下列计算正确的是（）A．3a2﹣6a2=﹣3B．（﹣2a）•（﹣a）=2a2C．10a10÷2a2=5a5D．﹣（a3）2=a68．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．129．如图，点ABC在⊙O上，OA∥BC，∠OAC=19°，则∠AOB的大小为（）A．19°B．29°C．38°D．52°10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．B．C．D．11．已知A、B两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（）A．4504504050x x-=-B．4504504050x x-=-C．4504502503x x-=+D．4504502503x x-=-12．下列二次根式，最简二次根式是（）A8B．12C13D0.1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为____．14．将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．15．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007mm用科学记数法表示为_______mm．16．计算：（32+1）（32﹣1）=．17．如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=3x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，A B的长是_____．以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则¼2019201818．如图，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，将∠AOB沿直线MN翻折，设点O落在点P处，如果当OM=4，ON=3时，点O、P的距离为4，那么折痕MN的长为______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，点D，C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BD=CF．求证：AB=EF．20．（6分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC 的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：2AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若5CE=2，求线段AE的长．21．（6分）班级的课外活动，学生们都很积极.梁老师在某班对同学们进行了一次关于“我喜爱的体育项目”的调査，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：(1)调查了________名学生； (2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为________；(4)学校将举办运动会，该班将推选5位同学参加乒乓球比赛，有3位男同学(,,)A B C 和2位女同学(,)D E ，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.22．（8分）如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ， ⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． (1) 求证：DE ⊥AC ；(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3sin 4ABC ∠=，求OFFC 的值．23．（8分）已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 是⊙O 的直径，DE ⊥AB ，垂足为E （1）延长DE 交⊙O 于点F ，延长DC ，FB 交于点P ，如图1．求证：PC=PB ；（2）过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ，BG 交DE 于点H ，且点O 和点A 都在DE 的左侧，如图2．若3 ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE 的大小．24．（10分）为节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计量,水价分为三个阶梯，价格表如下表所示：某市自来水销售价格表类别月用水量（立方米）供水价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）居民生活用水阶梯一0~18（含18） 1.901.00阶梯二18~25（含25） 2.85阶梯三25以上 5.70（注：居民生活用水水价=供水价格+污水处理费）（1）当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是_____元/立方米.（2）4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：18×（1.90+1.00）+2×（2.85+1.00）=59.90（元）预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费.（3）为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议25．（10分）经过江汉平原的沪蓉（上海﹣成都）高速铁路即将动工．工程需要测量汉江某一段的宽度．如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°．（1）求所测之处江的宽度（sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.1．）；（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．（不用考虑计算问题，叙述清楚即可）26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．27．（12分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠1）中的x与y的部分对应值如表x ﹣1 1 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：①ac＜1；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=1的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞1．其中正确的结论是．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．∵∠A=120°，∴∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．故选A．点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．2．C【解析】试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．所以0.0000105=1.05×10﹣5，故选C．考点：科学记数法．3．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】2500000000的小数点向左移动9位得到2.5，所以2500000000用科学记数表示为：2.5×1．故选C.【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．A【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．5．C【解析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．故选C．6．A【解析】【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=，∴b a =（）2=．故选A ． 7．B 【解析】 【分析】根据整式的运算法则分别计算可得出结论. 【详解】选项A ，由合并同类项法则可得3a 2﹣6a 2=﹣3a 2，不正确； 选项B ，单项式乘单项式的运算可得（﹣2a ）•（﹣a ）=2a 2，正确； 选项C ，根据整式的除法可得10a 10÷2a 2=5a 8，不正确； 选项D ，根据幂的乘方可得﹣（a 3）2=﹣a 6，不正确． 故答案选B ．考点：合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式． 8．B 【解析】分析：过点D 作DE ⊥AB 于E ，先求出CD 的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 详解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AB=8，CD=2，∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ，∠=︒ ∴DE=CD=2， ∴△ABD 的面积11828.22AB DE =⋅=⨯⨯= 故选B.点睛：考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等. 9．C 【解析】 【分析】由AO ∥BC ，得到∠ACB=∠OAC=19°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°. 【详解】∵AO∥BC，∴∠ACB=∠OAC，而∠OAC=19°，∴∠ACB=19°，∴∠AOB=2∠ACB=38°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键.10．B【解析】试题分析：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，故选B．考点：由三视图判断几何体．11．D【解析】解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：45050x-﹣450x=23．故选D．12．C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】A=B2=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；CD10=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2 3【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得．【详解】解：所有可能的结果如下表：由表可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．挑选的两位教师恰好是一男一女的结果有8种，所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为812=23，故答案为23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．1【解析】考点：圆锥的计算．分析：求得扇形的弧长，除以1π即为圆锥的底面半径．解：扇形的弧长为：1445180π⨯=4π；这个圆锥的底面半径为：4π÷1π=1．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．15．7×10-1．【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 0.0007=7×10-1． 故答案为：7×10-1． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 16．1． 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】原式=（）2-12 =18-1 =1故答案为1． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．17．201923π【解析】【分析】先根据一次函数方程式求出B 1点的坐标，再根据B 1点的坐标求出A 2点的坐标，得出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A 2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．【详解】直线，点A 1坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1可知B 1点的坐标为（2，，以原O 为圆心，OB 1长为半径画弧x 轴于点A 2，OA 2=OB 1，OA 2，点A 2的坐标为（4，0），这种方法可求得B 2的坐标为（4，，故点A 3的坐标为（8，0），B 3（8， 以此类推便可求出点A 2019的坐标为（22019，0），则¼20192018A B 的长是2019201960221803ππ⨯⨯=，故答案为：201923π．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，弧长的计算，解题的关键找出点的坐标的变化规律、运用数形结合思想进行解题.18．235-【解析】【分析】由折叠的性质可得MN⊥OP，EO=EP=2，由勾股定理可求ME，NE的长，即可求MN的长．【详解】设MN与OP交于点E，∵点O、P的距离为4，∴OP=4∵折叠∴MN⊥OP，EO=EP=2，在Rt△OME中，2223OM OE-=在Rt△ONE中，225ON OE-∴35故答案为35【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．见解析【解析】试题分析：依据题意，可通过证△ABC≌△EFD来得出AB=EF的结论，两三角形中，已知的条件有AB∥EF 即∠B=∠F，∠A=∠E，BD=CF，即BC=DF；可根据AAS判定两三角形全等解题.证明：∵AB∥EF，∴∠B=∠F．又∵BD=CF，∴BC=FD ．在△ABC 与△EFD 中，∴△ABC ≌△EFD （AAS ）， ∴AB=EF ．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）42. 【解析】试题分析：（1）依据AE=EF ，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF 是等腰直角三角形；（2）连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明△EKF ≌△EDA ，再证明△AEF 是等腰直角三角形即可得出结论； （3）当AD=AC=AB 时，四边形ABFD 是菱形，先求得EH=DH=CH=2，Rt △ACH 中，AH=32，即可得到AE=AH+EH=42．试题解析：解：（1）如图1．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB=DF ．∵AB=AC ，∴AC=DF ．∵DE=EC ，∴AE=EF ．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形；（2）如图2，连接EF ，DF 交BC 于K ．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED ．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE ．∵∠DKC=∠C ，∴DK=DC ．∵DF=AB=AC ，∴KF=AD ．在△EKF 和△EDA 中，EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKF ≌△EDA （SAS ），∴EF=EA ，∠KEF=∠AED ，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AF=2AE ．（3）如图3，当AD=AC=AB 时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，依据AD=AC ，ED=EC ，可得AE 垂直平分CD ，而CE=2，∴EH=DH=CH=2，Rt △ACH 中，AH=22252（）（）+=32，∴AE=AH+EH=42．点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．21．50 见解析（3）115.2° (4)3 5【解析】试题分析：（1）用最喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得总共的学生数;（2）用学生的总人数乘以各部分所占的百分比,可得最喜欢足球的人数和其他的人数,即可把条形统计图补充完整;（3）根据圆心角的度数=360 º×它所占的百分比计算;（4）列出树状图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，从而可求出答案.解：（1）由题意可知该班的总人数=15÷30%=50（名）故答案为50；（2）足球项目所占的人数=50×18%=9（名），所以其它项目所占人数=50﹣15﹣9﹣16=10（名）补全条形统计图如图所示：（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×=115.2°，故答案为115.2°；（4）画树状图如图．由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，所以P（恰好选出一男一女）==．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率的计算.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息及掌握概率的计算方法是解决问题的关键.22．（1）证明见解析（2）8 7【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．【详解】解：(1)连接OD . ∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90° .∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点.又∵D是BC的中点，.∴OD∥AC .∴∠DEC=∠ODE= 90° .∴DE⊥AC .(2)连接AD . ∵OD∥AC，∴OF OD FC EC=.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D为BC的中点，∴AB=AC.∵sin∠ABC=ADAB=34，设AD= 3x , 则AB=AC=4x, OD= 2x.∵DE⊥AC，∴∠ADC= ∠AED= 90°.∵∠DAC= ∠EAD，∴△ADC∽△AED.∴AD AC AE AD=.∴2AD AE AC=⋅.∴94=AE x. ∴74=EC x.∴87== OF ODFC EC.23．（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．【解析】【分析】（1）根据已知条件易证BC∥DF，根据平行线的性质可得∠F=∠PBC；再利用同角的补角相等证得∠F=∠PCB，所以∠PBC=∠PCB，由此即可得出结论；（2）连接OD，先证明四边形DHBC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得BC=DH=1，在Rt△ABC中，用锐角三角函数求出∠ACB=60°，进而判断出DH=OD，求出∠ODH=20°，再求得∠NOH=∠DOC=40°，根据三角形外角的性质可得∠OAD=12∠DOC=20°，最后根据圆周角定理及平行线的性质即可求解．【详解】（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB，∴∠PBC=∠PCB，∴PC=PB；（2）如图2，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，∴四边形DHBC 是平行四边形， ∴BC=DH=1，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB=ABBC= ∴∠ACB=60°， ∴BC=12AC=OD ， ∴DH=OD ，在等腰△DOH 中，∠DOH=∠OHD=80°， ∴∠ODH=20°， 设DE 交AC 于N ， ∵BC ∥DE ，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD ）=40°， ∴∠DOC=∠DOH ﹣∠NOH=40°， ∵OA=OD ， ∴∠OAD=12∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°， ∵BC ∥DE ，∴∠BDE=∠CBD=20°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键.24．（1）1.90；（2）112.65元；（3）当小明家每月的用水量不要超过24立方米时，水费就不会超过他们家庭总收入的1%. 【解析】 试题分析：（1）由表中数据可知，当用水量在18立方米及以下时，水价为1.9元/立方米；（2）由题意可知小明家6月份的水费是：(1.9+1)×18+(2.85+1)×7+(5.70+1)×5=112.65（元）；（3）由已知条件可知，用水量为18立方米时，应交水费52.2元，当用水量为25立方米时，应交水费79.15元，而小明家计划的水费不超过75.3元，由此可知他们家的用水量不会超过25立方米，设他们家的用水量为x 立方米，则由题意可得：18×（1.9+1）+（x-18）×(2.85+1)≤75.3，解得：x ≤24，即小明家每月的用水量不要超过24立方米. 试题解析：（1）由表中数据可知，当用水量在18立方米及以下时，水价为1.9元/立方米；（2）由题意可得：小明家6月份的水费是：(1.9+1)×18+(2.85+1)×7+(5.70+1)×5=112.65（元）；（3）由题意可知，当用水量为18立方米时，应交水费52.2元，当用水量为25立方米时，应交水费79.15元，而小明家计划的水费不超过75.3元，由此可知他们家的用水量不超过18立方米，而不足25立方米，设他们家的用水量为x立方米，则由题意可得：18×（1.9+1）+（x-18）×(2.85+1)≤75.3，解得：x≤24，∴当小明家每月的用水量不要超过24立方米时，水费就不会超过他们家庭总收入的1%.25．(1)21米（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据题意易发现，直角三角形ABC中，已知AC的长度，又知道了∠ACB的度数，那么AB的长就不难求出了．（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的．解：（1）在Rt△BAC中，∠ACB=68°，∴AB=AC•tan68°≈100×2.1=21（米）答：所测之处江的宽度约为21米．（2）①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，从而解答26．（1）y=﹣x2﹣2x+1；（2）（﹣32，154）【解析】【分析】（1）将A（-1，0），B（0，1），C（1，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）先证明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+1，则可设P点的坐标为（x，-x2-2x+1），E点的坐标为（x，x+1），那么PE=（-x2-2x+1）-（x+1）=-（x+32）2+94，根据二次函数的性质可知当x=-32时，PE最大，△PDE的周长也最大．将x=-32代入-x2-2x+1，进而得到P点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，1），C（1，0），∴9a-3b+c=0 {c=3a+b+c=0，解得a=-1 {b=-2 c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1；（2）∵A（﹣1，0），B（0，1），∴OA=OB=1，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°．∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PE越大，△PDE的周长越大．设直线AB的解析式为y=kx+b，则-3k+b=0 {b=3，解得k=1{b=3，即直线AB的解析式为y=x+1．设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+1），E点的坐标为（x，x+1），则PE=（﹣x2﹣2x+1）﹣（x+1）=﹣x2﹣1x=﹣（x+32）2+94，所以当x=﹣32时，PE最大，△PDE的周长也最大．当x=﹣32时，﹣x2﹣2x+1=﹣（﹣32）2﹣2×（﹣32）+1=154，即点P坐标为（﹣32，154）时，△PDE的周长最大．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中．27．①③④．【解析】试题分析：∵x=﹣1时y=﹣1，x=1时，y=3，x=1时，y=5，∴a-b1 {35cca b c+=-=++=，解得a1{33ca=-==，∴y=﹣x2+3x+3，∴ac=﹣1×3=﹣3＜1，故①正确；对称轴为直线332(1)2x=-=⨯-，所以，当x＞32时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；方程为﹣x2+2x+3=1，整理得，x2﹣2x﹣3=1，解得x1=﹣1，x2=3，所以，3是方程ax2+（b﹣1）x+c=1的一个根，正确，故③正确；﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞1正确，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④．故答案为①③④．【考点】二次函数的性质．。

2020年上海市杨浦区初三二模数学试卷2020.05一、选择题1.2020的相反数是( )A .2020B .2020-C .12020D .12020- 2.下列计算中，正确的是( )A .248a a a ⋅=B .347()a a =C .44()ab ab =D .633a a a ÷=3.如果将一张长方形纸片折成如图的形状，那么图中∠l 与∠2的数量关系是( )A .122∠=∠B .132∠=∠C .12180∠+∠=︒D .122180∠+∠=︒4.已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是( )A .03d <<B .07d <<C .37d <<D .03d ≤<5.如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是( )A .sin36a ︒B .cos36a ︒C .2sin18a ︒D .2cos18a ︒ 6.己知在四边形ABCD 中，AB //CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判 定这个四边形为矩形的是( )A .AD BC =，AC BD =B .AC BD =，BAD BCD ∠=∠C .AO CO =，AB BC =D .AO OB =，AC BD =二、填空题7.分解因式：26mx my -=_______8.函数1x y x =-中，自变量x 的取值范围是_______ 9.从1、2、3、4、5、6、7这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是_______10.一组数据：2、2、5、5、6，那么这组数据的方差是_______11.不等式组210 21x x -+<-≤⎧⎨⎩的解集是_______12.方程2x x +=的解是_______13.已知关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是_______14.在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，DE 经过△ABC 的重心，如果AB m =，AC n =，那么DE =_______(用m 、n 表示)15.如图，已知在55⨯的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点，如果小正方形的边长都为1，那么点C 到线段AB 所在直线的距离是_______16.如图，己知在平面直角坐标系中，点A 在x 正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数k y x=的图像经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是_______第15题 第16题 第17题17.定义：对于函数()y f x =，如果当a x b ≤≤时，m y n ≤≤，且满足()n m k b a -=-(k 是常数)，那么称此函数为“k 级函数”，如：正比例函数3y x =-，当13x ≤≤，93y -≤≤-，则()39(31)k ---=-，求得3k =，所以函数3y x =-为“3级函数”，如果一次函数21y x =-(15x ≤≤)为“k 级函数”，那么k 的值是_______18.如图，已知在平行四边形ABCD 中，10AB =，15BC =，4tan 3A ∠=，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是_______三、解答题19.先化简，再求值：21232()222a a a a a++÷+-+其中1a =.20.解方程组：22 212 320x y x xy y +=-+=⎧⎨⎩.21.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB(弧所对的弦的长)为8米，拱高CD(弧的中点到弦的距离)为2米.(1)求桥拱所在圆的半径长；(2)如果水面AB上升到EF时，从点E到桥顶Dα=，求水面上升的高度.的仰角为a，且cot322.某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试(全国卷)》试卷(满分100分)，社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩(单位：分)进行整理、分析，过程如下：收集数据：85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 10080 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据(每组数据可含最低值，不含最高值)：分组（分）频数频率60~7040.170~80a b80~90100.2590~100c d100~11080.2分析数据：(1)填空：a=_______，b=_______，c=_______，d=_______；(2)补全频率分布直方图；(3)由此估计该社区居民在线答卷成绩在_______ (分)范围内的人数最多；(4)如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为_______人.23.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM=，联结DN与线段AE交于点H，联并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON OM结EN、MN.(1)如果EN//BD，求证：四边形DMNE是菱形；(2)如果EN⊥DC，求证：2=⋅.AN NC AC24.如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =++经过点A (30-，)和点 B (32，)，与y 轴相交于点C .(1)求这条抛物线的表达式；(2)点P 是抛物线在第一象限内一点，联结AP ，如果点C 关于直线AP 的对称点D 恰好 落在x 轴上，求直线AP 的截距；(3)在(2)小题的条件下，如果点E 是y 轴正半轴上一点，点F 是直线AP 上一点，当△ EAO 与△EAF 全等时，求点E 的纵坐标.25.如图，已知在△ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，8BC =，点P 是射线AC 上一点(不与点A 、C 重合)，过P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的M 与边AB 相交的另一个交点为点N ，点Q 是边BC 上一点，且2CQ CP =，联结NQ .(1)如果M 与直线BC 相切，求M 的半径长；(2)如果点P 在线段AC 上，设线段AP x =，线段NQ y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；(3)如果以NQ为直径的O与M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长.上海市杨浦区初三二模数学答案一、选择题1.B2.D3.A4.D5.C6.B二、填空题7.2(3)m x y - 8.1x > 9.49 10.145 11.132x ≤≤ 12.2x = 13.1m <且0m ≠ 14.2233m n -+ 1516.4 17.2 18.6或10 三、解答题19.原式=2a a -；当1a =时，原式=. 20.1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩. 21. (1)5米；（2）1米.22.（1）6a =，0b =，12c =，0.3d =；(2)略；（3）900-100；（4）400.23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）211433y x x =-++；（2）32；（3）6. 25.（1）5；（2）4)y x =<<；（3）112x =.。

上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题1．下列等式成立的是（ ）A ． =±2B ． =πC ．D ．|a+b|=a+b2．下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ）A ．2x=mB ．x 2=mC ． =mD ． =m3．下列函数中，图象经过第二象限的是（ ）A ．y=2xB ．y=C ．y=x ﹣2D ．y=x 2﹣24．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．正五边形B ．正六边形C ．等腰三角形D ．等腰梯形5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（ ）成绩（环）6 7 8 9 10 次数1 42 6 3A ．2B ．3C ．8D ．9 6．已知圆O 是正n 边形A 1A 2…A n 的外接圆，半径长为18，如果弧A 1A 2的长为π，那么边数n 为（ ）A ．5B ．10C ．36D ．72二、填空题7．计算： = ． 8．写出的一个有理化因式： ． 9．如果关于x 的方程mx 2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m 的值是 ．10．函数y=+x 的定义域是 ．11．如果函数y=x 2﹣m 的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m= ．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为 ．13．在△ABC 中，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且AM ：MB=CN ：NA=1：2，如果，那么=（用表示）． 14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m ，那么m= ．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G 处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．三、解答题19．计算：．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b【考点】实数的运算；绝对值．【专题】推理填空题；实数．【分析】A：根据求一个数的算术平方根的方法计算即可．B：分别把、π化成小数，判断出它们的大小关系即可．C：根据8=23，可得=，据此判断即可．D：①当a+b是正有理数时，a+b的绝对值是它本身a+b；②当a+b是负有理数时，a+b的绝对值是它的相反数﹣（a+b）；③当a+b是零时，a+b的绝对值是零．【解答】解：∵ =2，∴选项A不正确；∵≈3.142857，π≈3.1415927，∴≠π，∴选项B不正确；∵8=23，∴=，∴选项C正确；当a+b是正有理数时，|a+b|=a+b；当a+b是负有理数时，|a+b|=﹣（a+b）；当a+b是零时，|a+b|=0；∴选项D不正确．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C． =m D． =m【考点】无理方程；一元一次方程的解；根的判别式；分式方程的解．【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A.2x=m，一定有实数解；B．x2=m，当m＜0时，无解；C. =m，当m=0或﹣时无解；D. =m，当m＜0时，无解；故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有关知识点进行判断．3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．【解答】解：A、∵y=2x的系数2＞0，∴函数图象过一三象限，故本选项错误；B、∵y=中，2＞0，∴函数图象过一、三象限，故本选项错误；C、在y=x﹣2中，k=1＞0，b=﹣2＜0，则函数过一三四象限，故本选项错误；D、∵y=x2﹣2开口向上，对称轴是y轴，且函数图象过（0，﹣2）点，则函数图象过一、二、三、四象限，故本选项正确；故选D ．【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．正五边形B ．正六边形C ．等腰三角形D ．等腰梯形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可．【解答】解：A 、是轴对称图形．不是中心对称图形，故A 错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B 正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C 错误；D 、是轴对称图形．不是中心对称图形，故D 错误．故选：B ．【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点是解题的关键．5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（ ）成绩（环）6 7 8 9 10 次数1 42 6 3A ．2B ．3C ．8D ．9 【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两数的平均数即可．【解答】解：∵共16次射击，∴中位数是第8和第9的平均数，分别为9环、9环，∴中位数为9环，故选：D ．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．6．已知圆O 是正n 边形A 1A 2…A n 的外接圆，半径长为18，如果弧A 1A 2的长为π，那么边数n 为（ ）A ．5B ．10C ．36D ．72【考点】正多边形和圆．【分析】设正多边形的中心角的度数是x ，根据弧长公式即可求得x 的值，然后利用360度除以x 即可得到．【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x ，根据题意得： =π，解得：x=10．则n==36．故选C．【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式，正确求得中心角的度数是关键．二、填空题7．计算： = ﹣1 ．【考点】分式的加减法．【分析】把原式化为﹣，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．8．写出的一个有理化因式： +b ．【考点】分母有理化．【分析】根据这种式子的特点：﹣b和+b的互为有理化因式解答即可．【解答】解：的一个有理化因式： +b；故答案为： +b．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是 4 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，列出m的方程，求出m 的值即可．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4×m=0，且m≠0，解得m=4．故答案是：4．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．函数y=+x的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m= 4 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），再利用点平移的规律得到把点（0，﹣m）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣m），接着利用顶点式写出平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，然后把原点坐标代入可求出m的值．【解答】解：函数y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），把点（0，﹣m）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣m），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，把点（0，0）代入=（x+2）2﹣m得4﹣m=0，解得m=4．故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．【考点】列表法与树状图法；点的坐标．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所得点落在第一象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所得点落在第一象限的有4种情况，∴所得点落在第一象限的概率为： =．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么= ﹣（用表示）．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，由AM：MB=CN：NA=1：2，可表示出与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵AM：MB=CN：NA=1：2，∴AM=AB，AN=AC，∵，∴=， =，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m= ．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜面上前进13米，铅锤方向上升了5米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在自动扶梯上前进13米，在铅锤方向上升了5米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得，x=12（舍去负值），故该斜坡坡度i=5：12=1：m．所以m=．故答案为：m=．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是0.05 ．【考点】频数（率）分布直方图．【分析】利用1减去其它组的频率即可求得．【解答】解：m=1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.075=0.05．故答案是：0.05．【点评】本题考查了频率分布直方图，了解各组的频率的和是1是关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】开放型．【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B 点的反比例函数解析式即可．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意画出图形，当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，再利用△ODE∽△B DA，求出答案．【解答】解：如图所示：当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，则OE⊥BD，且OE=r，∵∠OED=∠A=90°，∠ADE=∠EDO，∴△ODE∽△BDA，∴=，∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴=，解得：EO=．故答案为：．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ODE∽△BDA是解题关键．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G 处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断△BAE∽△BDA，利用相似比可得=，然后证明AD=BD即可得到的值．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD的中点，∴∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，∵EF∥AG，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，∴AB2=BD2，∴=，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABD，∴∠ABD=∠DAB，∴DB=DA，∴=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，三、解答题19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：=1+9+6×﹣||=10﹣2=10【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整数解即可．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x＞﹣．则不等式组的解集是：﹣＜x＜2．则非负整数解是：0，1．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过M作MN⊥AB于H，由直角三角形的性质得到CN=AN=AB，由等腰三角形的性质得到∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点N分别是边AB的中点，点D是线段BM的中点，∴=， =，∴；（2）过M作MN⊥AB于H，∵点N分别是边AB的中点，∴CN=AN=AB，∴∠ACN=∠A=30°，∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA，∴设BC=2k，则MA=k，MH=k，HB=4k﹣k=k，∴cos∠NCD===．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由OA过原点O，故设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，将点A的坐标代入函数解析式得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出函数解析；（2）根据比例关系设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3am/min，结合路程=速度×时间，得出关于a的一元一次方程，解方程可求出a的值，再根据路程=速度×时间可得出C点的纵坐标．【解答】解：（1）设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，根据已知可得：600=20k，解得：k=30．故上山时y关于x的函数解析式为y=30x（0≤x≤20）．（2）设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3a/min，由已知得：18×2a+8×3a=600，解得：a=10．故8×3a=8×3×10=240（米）．答：点C的纵坐标为240．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据数量关系列出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，（1）没有难度；（2）巧用比例关系设未知数，解该类型题目时，由数量关系列出方程（或方程组）是关键．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的判定；等腰梯形的判定．【分析】（1）由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，继而证得四边形AFED是正方形；（2）由BG与CD平行且相等，可得四边形BCDG是平行四边形，即证得CB=DG，在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，则可得DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．【解答】（1）证明：∵DC∥AB，∠A=90°，∴∠ADE=90°，由折叠的性质可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF，∵四边形ADEF为矩形，∴四边形ADEF为正方形；（2）连接EG，DG，∵BG∥CD，且BG=CD，∴四边形BCDG是平行四边形．∴CB=DG．∵四边形ADEF是正方形，∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．∵G是AF的中点，∴AG=FG．在△DAG和△EFG中，，∴△DAG≌△EFG（SAS），∴DG=EG，∴EG=BC．∴四边形GBCE是等腰梯形．【点评】此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定．注意证得四边形BCDG是平行四边形与△DAG≌△EFG是关键．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可；（2）先确定出直线AB解析式，再由DP∥AB确定出直线DP解析式，利用方程组确定出交点坐标；（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底）．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣8ax+3=a（x﹣4）2+3﹣16a，∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3），∴AB=5，∵AB=BD，∴BD=5，∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B，∴3﹣16a=BD=5，∴a=﹣，∴y=x2+x+3，（2）∵B（4，0），A（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，∵DP∥AB，设直线DP解析式为y=﹣x+b，∵D（4，5）在直线DP上，∴b=8，∴直线DP解析式为y=﹣x+8，由，∴x1=10，x2=4（舍），∴P（10，）；（3）如图①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G1，∵BG=AB，∴∠BAG1=∠BG1A，∴∠AGB=∠ABD，∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4，∴G1（4，﹣5），∴S△ABG1=×BG1×AH=×5×4=10；②以A为圆心，AG1为半径作圆，交BD延长线于G2，过点A作AH⊥BD于H，∴HG2=HG1=BH+BG1=8，∴BG2=11，∴G2（4，11），S△ABG2=×BG2×AH=×11×4=22；即：S△ABG=10或22，【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得，由此即可解决．【解答】解；（1）如图1中，连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=2，∴可以假设AC=2k，BC=k，∵AB=6，AB2=AC2+BC2，∴36=8k2+k2，∴k2=4，∵k＞0，∴k=2，BC=2．（2）如图2中，∵△MBC与△MOC相似，∴∠MBC=∠MCO，∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，∵OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，在△OBC和△OCD中，，∴△OBC≌△OCD，∴BC=CD=2．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．∵BC∥OD，∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，∴BO=BG=3，∵tan∠HBG=，设GH=2a，HB=a，∵BG2=GH2+HB2，∴8a2+a2=9，∴a2=1，∵a＞0，∴a=1，HB=1，GH=2，OH=2，OG==2，∵GC∥DO，∴=，∴ON=×=．【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．。

2020年上海市二模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为( )A. 324×105B. 32.4×106C. 3.24×107D. 0.32×1082. 如果关于x 的方程x −m +2=0(m 为常数)的解是x =−1，那么m 的值是( )A. m =3B. m =−3C. m =1D. m =−13. 将抛物线y =x 2−2x −1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是( )A. y =x 2−2xB. y =x 2−2x −2C. y =x 2−x −1D. y =x 2−3x −14. 现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm ，方差分别是S 甲2、S 乙2，如果S 甲2>S 乙2，那么两个队中队员的身高较整齐的是( )A. 甲队B. 乙队C. 两队一样整齐D. 不能确定5. 已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=3，而且b ⃗ 和a ⃗ 的方向相反，那么下列结论中正确的是( ) A. a ⃗ =3b ⃗ B. a ⃗ =−3b ⃗ C. b ⃗ =3a ⃗ D. b ⃗ =−3a ⃗6. 对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 ( )A. 正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B. 正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补二、填空题（本大题共12小题，共48分） 7. 计算：a 6÷a 3=______．8. 分解因式：2a 2−4a =______．9. 已知关于x 的方程x 2+3x −m =0有两个相等的实数根，则m 的值为______． 10. 不等式组{x +1≥0x −1<1的解集是______．11. 方程√2x −1=1的根是______． 12. 已知反比例函数y =2k+1x的图象经过点(2,−1)，那么k 的值是______．13. 不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2个小球为红色，6个小球为白色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为______．14. 在一次有12人参加的测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、4、3、2、2，那么这组数据的众数是______分．15. 在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =3√3，以点A 为圆心作圆A ，要使B 、C两点中的一点在圆A 外，另一点在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是______． 16. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的线段EF 与AD 、BC 分别交于点E 、F ，如果AB =4，BC =5，OE =32，那么四边形EFCD 的周长为______．17. 各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick,1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S =a +12b −1，其中a 表示多边表内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是______．18. 如图，点M 的坐标为(3,2)，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y =−x 平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19. 计算：(−2018)0+(12)−2−12+tan60∘+√(3−π)2．四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 解方程：16x 2−4=x+2x−2−1x+2．21. 如图已知：△ABC 中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点，BC =11，AD =12，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上． (1)求BD 的长度； (2)求cos ∠EDC 的值．22.某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消费方式更合算．23.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)如果PA=PE，求证：△APB≌△EPC．24.在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y=mx2−2x+n(m、n是常数)经过点A(−2,3)、B(−3,0)，与y轴的交点为点C．(1)求此抛物线的表达式；(2)点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．25.在圆O中，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一点(与点A、B不重合)，点M是弦BC的中点．(1)如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；(2)如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；(3)如图3，如果AB：BC=5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于点H，与射线BO交于圆内点F.探究一：如果设BD=x，FO=y，求y关于x的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的长度；请你完成上述两个探究．答案和解析1.【答案】C【解析】解：32400000=3.24×107元．故选：C．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：把x=−1，代入方程关于x的方程x−m+2=0(m为常数)得：−1−m+2=0，解得：m=1，故选：C．理解一元一次的解和解一元一次方程的概念是解此题的关键．本题考查了一元一次方程两个概念，重点是理解一元一次方程的解和会解一元一次方程．3.【答案】A【解析】解：∵将抛物线y=x2−2x−1向上平移1个单位，∴平移后抛物线的表达式y=x2−2x−1+1，即y=x2−2x．故选：A．根据向上平移纵坐标加求得结论即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．4.【答案】B【解析】【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2>S乙2，∴两个队中队员的身高较整齐的是：乙队．故选：B．5.【答案】D【解析】解：∵|a |=1,|b⃗|=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，∴b⃗=−3a，故选：D．根据平面向量的性质即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】B【解析】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．故选：B．利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7.【答案】a3【解析】解：a6÷a3=a6−3=a3．故应填a3．根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．本题主要考查同底数幂的除法运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．8.【答案】2a(a−2)【解析】解：2a2−4a=2a(a−2)．故答案为：2a(a−2)．观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．本题考查了因式分解的基本方法一---提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．9.【答案】−94【解析】解：∵关于x的方程x2+3x−m=0有两个相等的实数根，∴△=32−4×1×(−m)=0，解得：m=−94，故答案为：−94．根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac的关系是解答此题的关键．10.【答案】−1≤x<2【解析】解：{x+1≥0 ①x−1<1 ②由①得：x≥−1，由②得：x<2，∴不等式组的解集为−1≤x<2．故答案为−1≤x<2．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．11.【答案】1【解析】解：两边平方得2x−1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．本题思路是两边平方后去根号，解方程．平方时可能产生增根，要验根．12.【答案】k=−32【解析】解：∵反比例函数y=2k+1x的图象经过点(2,−1)，∴−1=2 k+12∴k=−32；故填k=−32．根据点的坐标与函数解析式的关系，将点的坐标代入，可以得到−1=2 k+12，然后解方程，便可以得到k的值．本题侧重考查利用待定系数法求函数的解析式的方法，可以结合代入法进行解答13.【答案】14【解析】【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．用红色小球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：∵袋子中共有8个小球，其中红色小球有2个，∴随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为26+2=28=14，故答案为：14．14.【答案】95【解析】解：∵95分出现了4次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是95分；故答案为：95．根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．此题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．15.【答案】3<r<6【解析】解：∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=3√3，∴AB=6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r>3，点B在圆A外，则r<6，因而圆A半径r的取值范围为3<r<6．故答案为3<r<6；熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内”即可求解，本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内．16.【答案】12【解析】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE=∠COF，∴△OAE≌△OCF(AAS)，∴OF=OE=1.5，CF=AE，∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE=ED+AE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF=4+5+1.5+1.5=12．故答案为：12．根据平行四边形的性质知，AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE和∠COF是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到OF=OE=1.5，CF=AE，所于是得到结论．本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解．17.【答案】6【解析】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a=4，b=6，∴格点多边形的面积S=a+12b−1=4+12×6−1=6．故答案为：6．分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S=a+12b−1，即可得出格点多边形的面积．本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a，b的值．18.【答案】2或3(答一个即可)【解析】解：设直线l：y=−x+b．如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．由直线l：y=−x+b可知∠PDO=∠OPD=45°，∴∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E(1,0)，F(0,−1)．∵M(3,2)，F(0,−1)，∴线段MF中点坐标为(32,1 2 ).直线y=−x+b过点(32,12)，则=−32+b，解得：b=2，∴t=2．∵M(3,2)，E(1,0)，∴线段ME中点坐标为(2,1)．直线y=−x+b过点(2,1)，则1=−2+b，解得：b=3，∴t=3．故点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．故答案为：2或3(答一个即可)．找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．19.【答案】解：原式=1+4−2+√3π−3=π+√3．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：方程两边同乘以(x+2)(x−2)得：16=(x+2)2−(x−2)，整理得：x2+3x−10=0，解此方程得：x1=−5，x2=2，经检验x1=−5是原方程的解，x2=2是增根(舍去)，所以原方程的解是：x=−5．【解析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形DFGH为顶点在△ABD边长的正方形，且边长为4，∴GF//BD，GF=DF=4，∴GFBD =AFAD，∵AD=12，∴AF=8，则4BD =812，解得：BD=6；(2)∵BC=11，BD=6，∴CD=5，在直角△ADC中，AC2=AD2+DC2，∴AC=13，∵E是边AC的中点，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ACD，∴cos∠EDC=cos∠ACD=513．【解析】(1)由四边形DFGH为边长为4的正方形得GFBD =AFAD，将相关线段的长度代入计算可得；(2)先求出CD、AC的长，再由E是边AC的中点知ED=EC，据此得∠EDC=∠ACD，再根据余弦函数的定义可得答案．本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质、勾股定理、三角函数的应用及直角三角形的性质等．22.【答案】解：(1)由题意可得，选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：y=10x+150，选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：y=20x；(2)当10x+150=20x时，得x=15，当10x+150=600时，得x=45，答：当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算．【解析】(1)根据题意可以直接写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)根据函数图象和(1)中的函数解析式可以分别求得普通票消费和银卡消费相等的情况，银卡消费和金卡消费相等的情况，再根据图象即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23.【答案】证明：(1)由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ=EQ∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF//EC，∵AE//FC，∴四边形AECF为平行四边形；(2)∵AF//EC，∴∠APB=∠EQB=90°，由翻折性质∠EPC=∠EBC=90°，∠PEC=∠BEC，∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP=EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP=∠AEP=60°，∠CEP=∠CEB=180°−60°2=60°，在△ABP和△EPC中，{∠BAP=∠CEP ∠APB=∠EPC AP=EP，∴△ABP≌△EPC(AAS)．【解析】(1)由折叠的性质得到BE=PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE= EB=PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；(2)根据三角形AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP =EB ，利用AAS 即可得证．此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24.【答案】解：(1)依题意得：{4m +4+n =39m +6+n =0， 解得：{m =−1n =3， ∴抛物线的表达式是y =−x 2−2x +3．(2)∵抛物线y =−x 2−2x +3与y 轴交点为点C ，∴点C 的坐标是(0,3)，又点B 的坐标是(−3,0)，∴OC =OB =3，∠CBO =45°，∴∠DBO =30°或60°．在直角△BOD 中，DO =BO ⋅tan ∠DBO ，∴DO =√3或3√3，∴CD =3−√3或3√3−3．(3)由抛物线y =−x 2−2x +3得：对称轴是直线x =−1，根据题意：设P(−1,t)，又点C 的坐标是(0,3)，点B 的坐标是(−3,0)，∴BC 2=18，PB 2=(−1+3)2+t 2=4+t 2，PC 2=(−1)2+(t −3)2=t 2−6t +10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2−6t +10，解之得：t =−2，②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2−6t +10=4+t 2，解之得：t =4，③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2−6t +10=18，解之得：t 1=3+√172，t 2=3−√172．综上所述P 的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或(−1,3+√172)或(−1,3−√172)．【解析】(1)将点A 和点B 坐标代入解析式求解可得；(2)先求出点C 坐标，从而得出OC =OB =3，∠CBO =45°，据此知∠DBO =30°或60°，依据DO =BO ⋅tan ∠DBO 求出得DO =√3或3√3，从而得出答案；(3)设P(−1,t)，知BC 2=18，PB 2=4+t 2，PC 2=t 2−6t +10，再分点B 、点C 和点P 为直角顶点三种情况分别求解可得．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．25.【答案】解：(1)过点O 作ON//BC 交AM 于点N ，如图1∴AOAB =ONBM，ONMC=OECE，∵AO=BO=12AB∴AOAB=ONBM=12∵点M是弦BC的中点∴BM=MC∴OECE =ONBM，∴OE：CE=1：2；(2)联结OM，如图2∵点M是弦BC的中点，OM经过圆心O ∴OM⊥BC，∠OMC=90°，∵AM⊥OC，∴∠MEO=90°∴∠OMC=∠MEO=90°又∠MOC=∠EOM ∴△MOC∽△EOM；∴OMOE =OCOM，∵OE：CE=1：2∴OM=√33OC，∵OB=OC∴∠ABC=∠OCM在直角△MOC中，sin∠OCM=OMOC =√33∴sin∠ABC=√33；(3)探究一：如图3，过点D作DL⊥DF交BO于点L，取BC中点M，连接OM∵DF⊥OC，∴DL//OC，∴∠LDB=∠C=∠B ∴BL=DL，∵AB=10，AB：BC=5：4，∴BC=8，OC=5，∵BM=CM=4，∴cos∠OCM=MCOC=CHCD=45∵DL//OC，∴BLOB=BDBC设BD=x，则CD=8−x，∴BL=DL=58x，CH=45(8−x)，OH=OC−CH=5−45(8−x)，∵OH//DL，∴OHLD =OFFL，∴45x−7558=yy+5−58y；∴y关于x的函数解析式是y=207x−5定义域是74≤x<72，探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，∴OF=OD，∵DF⊥OC，∴OC垂直平分DF，FO=OL，∴y=5−58x，∴207x−5=5−58x，解得：x=11219，∴BD=11219．【解析】(1)如图1，过点O作ON//BC交AM于点N，根据三角形的中位线的性质得到ON=12BM，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；(2)如图1，连接OM，根据垂径定理得到OM⊥BC，根据余角的性质得到∠OME=∠MCE，根据相似三角形的性质得到ME2=OE⋅CE，设OE=x，则CE=2x，ME=√2x，解直角三角形即可得到结论；(3)探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，根据平行线的性质得到∠LDB=∠C=∠B，根据等腰三角形的判定定理得到BL=DL，设BD=x，则CD=8−x，BL=DL=58x，CH=45(8−x)，OH=OC−CH=5−45(8−x)，根据平行线成线段成比例定理得到y=20x−357(其中74≤x<72)；探究二：根据题意得到OF=OD，根据等腰三角形的性质得到DF⊥OC，根据直角三角形的性质得到FO=OL，列方程即可得到结论．本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．。

上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C．=m D．=m3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣24．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形D．等腰梯形5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（）成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 4 2 6 3A．2 B．3 C．8 D．96．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（）A．5 B．10 C．36 D．72二、填空题7．计算：=．8．写出的一个有理化因式：．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是．10．函数y=+x的定义域是．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么=（用表示）．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m=．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．三、解答题19．计算：．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM 的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC （如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列等式成立的是（）A．=±2 B．=πC．D．|a+b|=a+b【考点】实数的运算；绝对值．【专题】推理填空题；实数．【分析】A：根据求一个数的算术平方根的方法计算即可．B：分别把、π化成小数，判断出它们的大小关系即可．C：根据8=23，可得=，据此判断即可．D：①当a+b是正有理数时，a+b的绝对值是它本身a+b；②当a+b是负有理数时，a+b的绝对值是它的相反数﹣（a+b）；③当a+b是零时，a+b的绝对值是零．【解答】解：∵=2，∴选项A不正确；∵≈3.142857，π≈3.1415927，∴≠π，∴选项B不正确；∵8=23，∴=，∴选项C正确；当a+b是正有理数时，|a+b|=a+b；当a+b是负有理数时，|a+b|=﹣（a+b）；当a+b是零时，|a+b|=0；∴选项D不正确．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．2x=m B．x2=m C．=m D．=m【考点】无理方程；一元一次方程的解；根的判别式；分式方程的解．【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A.2x=m，一定有实数解；B．x2=m，当m＜0时，无解；C.=m，当m=0或﹣时无解；D.=m，当m＜0时，无解；故选A．【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有关知识点进行判断．3．下列函数中，图象经过第二象限的是（）A．y=2x B．y=C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．【解答】解：A、∵y=2x的系数2＞0，∴函数图象过一三象限，故本选项错误；B、∵y=中，2＞0，∴函数图象过一、三象限，故本选项错误；C、在y=x﹣2中，k=1＞0，b=﹣2＜0，则函数过一三四象限，故本选项错误；D、∵y=x2﹣2开口向上，对称轴是y轴，且函数图象过（0，﹣2）点，则函数图象过一、二、三、四象限，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置．4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形D．等腰梯形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可．【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点是解题的关键．5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（）成绩（环） 6 7 8 9 10次数 1 4 2 6 3A．2 B．3 C．8 D．9【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两数的平均数即可．【解答】解：∵共16次射击，∴中位数是第8和第9的平均数，分别为9环、9环，∴中位数为9环，故选：D．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．6．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n为（）A．5 B．10 C．36 D．72【考点】正多边形和圆．【分析】设正多边形的中心角的度数是x，根据弧长公式即可求得x的值，然后利用360度除以x即可得到．【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x，根据题意得：=π，解得：x=10．则n==36．故选C．【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式，正确求得中心角的度数是关键．二、填空题7．计算：=﹣1．【考点】分式的加减法．【分析】把原式化为﹣，再根据同分母的分式相加减进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．8．写出的一个有理化因式：+b．【考点】分母有理化．【分析】根据这种式子的特点：﹣b和+b的互为有理化因式解答即可．【解答】解：的一个有理化因式：+b；故答案为：+b．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．9．如果关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是4．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，列出m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4×m=0，且m≠0，解得m=4．故答案是：4．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．函数y=+x的定义域是x≠2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2﹣x≠0，解得x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．如果函数y=x2﹣m的图象向左平移2个单位后经过原点，那么m=4．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），再利用点平移的规律得到把点（0，﹣m）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣m），接着利用顶点式写出平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，然后把原点坐标代入可求出m的值．【解答】解：函数y=x2﹣m的顶点坐标为（0，m），把点（0，﹣m）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣m），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣m，把点（0，0）代入=（x+2）2﹣m得4﹣m=0，解得m=4．故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．在分别写有数字﹣1，0，2，3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为．【考点】列表法与树状图法；点的坐标．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所得点落在第一象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所得点落在第一象限的有4种情况，∴所得点落在第一象限的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，且AM：MB=CN：NA=1：2，如果，那么=﹣（用表示）．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，由AM：MB=CN：NA=1：2，可表示出与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵AM：MB=CN：NA=1：2，∴AM=AB，AN=AC，∵，∴=，=，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅锤方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1：m，那么m=．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据在一个斜面上前进13米，铅锤方向上升了5米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在自动扶梯上前进13米，在铅锤方向上升了5米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+52=132，解得，x=12（舍去负值），故该斜坡坡度i=5：12=1：m．所以m=．故答案为：m=．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是0.05．【考点】频数（率）分布直方图．【分析】利用1减去其它组的频率即可求得．【解答】解：m=1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.075=0.05．故答案是：0.05．【点评】本题考查了频率分布直方图，了解各组的频率的和是1是关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】开放型．【分析】先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．17．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点O为边AD的中点，如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意画出图形，当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，再利用△ODE∽△BDA，求出答案．【解答】解：如图所示：当以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，则OE⊥BD，且OE=r，∵∠OED=∠A=90°，∠ADE=∠EDO，∴△ODE∽△BDA，∴=，∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴=，解得：EO=．故答案为：．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ODE∽△BDA是解题关键．18．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么的值是．【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断△BAE∽△BDA，利用相似比可得=，然后证明AD=BD即可得到的值．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD的中点，∴∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，∵EF∥AG，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，∴AB2=BD2，∴=，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABD，∴∠ABD=∠DAB，∴DB=DA，∴=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，三、解答题19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：=1+9+6×﹣||=10﹣2=10【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．20．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整数解即可．【解答】解：，解①得x＜2，解②得x＞﹣．则不等式组的解集是：﹣＜x＜2．则非负整数解是：0，1．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．21．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM 的中点．（1）求证：；（2）求∠NCD的余切值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）过M作MN⊥AB于H，由直角三角形的性质得到CN=AN=AB，由等腰三角形的性质得到∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点N分别是边AB的中点，点D是线段BM的中点，∴=，=，∴；（2）过M作MN⊥AB于H，∵点N分别是边AB的中点，∴CN=AN=AB，∴∠ACN=∠A=30°，∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA，∴设BC=2k，则MA=k，MH=k，HB=4k﹣k=k，∴cos∠NCD===．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，期间小李离开M处的路程y米与离开M处的时间x分（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y关于x的函数解析式，并写出定义域：（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2：3，试求点C的纵坐标．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由OA过原点O，故设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，将点A的坐标代入函数解析式得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出函数解析；（2）根据比例关系设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3am/min，结合路程=速度×时间，得出关于a的一元一次方程，解方程可求出a的值，再根据路程=速度×时间可得出C点的纵坐标．【解答】解：（1）设上山时y关于x的函数解析式为y=kx，根据已知可得：600=20k，解得：k=30．故上山时y关于x的函数解析式为y=30x（0≤x≤20）．（2）设下山前18分钟内的平均速度为2am/min，后8分钟内的平均速度为3a/min，由已知得：18×2a+8×3a=600，解得：a=10．故8×3a=8×3×10=240（米）．答：点C的纵坐标为240．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据数量关系列出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，（1）没有难度；（2）巧用比例关系设未知数，解该类型题目时，由数量关系列出方程（或方程组）是关键．23．已知：如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF为正方形；（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的判定；等腰梯形的判定．【分析】（1）由题意知，AD=DE，易证四边形AFED是矩形，继而证得四边形AFED是正方形；（2）由BG与CD平行且相等，可得四边形BCDG是平行四边形，即证得CB=DG，在正方形AFED中，易证△DAG≌△EFG，则可得DG=EG=BC，即四边形GBCE是等腰梯形．【解答】（1）证明：∵DC∥AB，∠A=90°，∴∠ADE=90°，由折叠的性质可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF，∵四边形ADEF为矩形，∴四边形ADEF为正方形；（2）连接EG，DG，∵BG∥CD，且BG=CD，∴四边形BCDG是平行四边形．∴CB=DG．∵四边形ADEF是正方形，∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．∵G是AF的中点，∴AG=FG．在△DAG和△EFG中，，∴△DAG≌△EFG（SAS），∴DG=EG，∴EG=BC．∴四边形GBCE是等腰梯形．【点评】此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定．注意证得四边形BCDG是平行四边形与△DAG≌△EFG是关键．24．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=∠ABD，求△ABG的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可；（2）先确定出直线AB解析式，再由DP∥AB确定出直线DP解析式，利用方程组确定出交点坐标；（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底）．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣8ax+3=a（x﹣4）2+3﹣16a，∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3），∴AB=5，∵AB=BD，∴BD=5，∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B，∴3﹣16a=BD=5，∴a=﹣，∴y=x2+x+3，（2）∵B（4，0），A（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，∵DP∥AB，设直线DP解析式为y=﹣x+b，∵D（4，5）在直线DP上，∴b=8，∴直线DP解析式为y=﹣x+8，由，∴x1=10，x2=4（舍），∴P（10，）；（3）如图①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G1，∵BG=AB，∴∠BAG1=∠BG1A，∴∠AGB=∠ABD，∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4，∴G1（4，﹣5），∴S△ABG1=×BG1×AH=×5×4=10；②以A为圆心，AG1为半径作圆，交BD延长线于G2，过点A作AH⊥BD于H，∴HG2=HG1=BH+BG1=8，∴BG2=11，∴G2（4，11），S△ABG2=×BG2×AH=×11×4=22；即：S△ABG=10或22，【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式．25．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC （如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得，由此即可解决．【解答】解；（1）如图1中，连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=2，∴可以假设AC=2k，BC=k，∵AB=6，AB2=AC2+BC2，∴36=8k2+k2，∵k＞0，∴k=2，BC=2．（2）如图2中，∵△MBC与△MOC相似，∴∠MBC=∠MCO，∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，∵OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，在△OBC和△OCD中，，∴△OBC≌△OCD，∴BC=CD=2．（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．∵BC∥OD，∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，∴BO=BG=3，∵tan∠HBG=，设GH=2a，HB=a，∵BG2=GH2+HB2，∴8a2+a2=9，∴a2=1，∴a=1，HB=1，GH=2，OH=2，OG==2，∵GC∥DO，∴=，∴ON=×=．【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．。

上海市杨浦区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE 为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（）A．1324﹣4 B．72﹣4 C．6﹣524D．3252．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（）A．随点C的运动而变化B．不变C．在使PA=OA的劣弧上D．无法确定3．如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（）A．9πB．10πC．11πD．12π4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°5．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC 的长为（ ）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π6．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知：如图，在扇形OAB 中，110AOB ∠=︒，半径18OA =，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的长为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π8．如图，已知直线 PQ ⊥MN 于点 O ，点 A ，B 分别在 MN ，PQ 上，OA=1，OB=2，在直线 MN 或直线 PQ 上找一点 C ，使△ABC 是等腰三角形，则这样的 C 点有（ ）A ．3 个B ．4 个C ．7 个D ．8 个9．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．圆C ．等边三角形D ．正六边形10．已知二次函数y ＝ax 1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 1﹣4ac ＝0；③a ＞1；④ax 1+bx+c ＝﹣1的根为x 1＝x 1＝﹣1；⑤若点B （﹣14，y 1）、C （﹣12，y 1）为函数图象上的两点，则y1＞y1．其中正确的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．5 11．下列计算，结果等于a4的是（）A．a+3a B．a5﹣a C．（a2）2D．a8÷a212．下列二次根式中，为最简二次根式的是（）A．45B．22a b+C．12D． 3.6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．关于x的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k的取值范围是▲ ．14．分解因式:34a a-= ．15．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为_____m．16．若关于x的方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝_____．17．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝34x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．18．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）20．（6分）已知一次函数y ＝x+1与抛物线y ＝x 2+bx+c 交A （m ，9），B （0，1）两点，点C 在抛物线上且横坐标为1．（1）写出抛物线的函数表达式；（2）判断△ABC 的形状，并证明你的结论；（3）平面内是否存在点Q 在直线AB 、BC 、AC 距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q 的坐标，如果不存在，说说你的理由．21．（6分）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ． （1）证明：∠BAC=∠DAC ．（2）若∠BEC=∠ABE ，试证明四边形ABCD 是菱形．22．（8分）如图，平面直角坐标系中，直线y 2x 2=+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数k y (x 0)x=>的图象交于点()M a,4． ()1求反比例函数k y (x 0)x=>的表达式； ()2若点C 在反比例函数k y (x 0)x =>的图象上，点D 在x 轴上，当四边形ABCD 是平行四边形时，求点D 的坐标．23．（8分）把0，1，2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字．放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字．请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率．24．（10分）如图，已知()()()3,3,2,1,1,2A B C ------是直角坐标平面上三点.将ABC ∆先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形111A B C ∆；以点()0,2为位似中心，位似比为2，将111A B C ∆放大，在y 轴右侧画出放大后的图形222A B C ∆；填空：222A B C ∆面积为 .25．（10分）在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于E .过点E 的切线交OD 的延长线于F ．求证：BF 是O e 的切线．26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，1），B （4，0），C （4，4）．按下列要求作图：①将△ABC 向左平移4个单位，得到△A 1B 1C 1；②将△A 1B 1C 1绕点B 1逆时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1．求点C 1在旋转过程中所经过的路径长．27．（12分）如图,在直角坐标系中,矩形的顶点与坐标原点重合,顶点分别在坐标轴的正半轴上, ,点在直线上,直线与折线有公共点.点的坐标是；若直线经过点，求直线的解析式；对于一次函数，当随的增大而减小时，直接写出的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】∵O的直径AB=2，∴∠C=90°，∵C是弧AB的中点，∴»»，AC BC∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，∴∠AEB=180°−12(∠BAC+∠CBA)=135°，连接EO，∵∠EAB=∠EBA，∴EA=EB，∵OA=OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，∴S△ABC=12(AB+AC+BC)⋅EO=12AC⋅BC，∴2−1，∴AE2=AO2+EO2=122−1)22，∴扇形EAB的面积135(422)π-9(22)-△ABE的面积=12AB⋅2−1，∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积22132-，∴阴影部分的面积=12O的面积−弓形AB的面积=32−(221324-)=1324−4，故选：A.2．B【解析】【分析】因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP=∠OCP，所以∠DCP=∠OPC，则CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA=PB．从而可得出答案．【详解】解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线，∴∠DCP=∠OCP，又∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC，∴∠DCP=∠OPC，∴CD∥OP，又∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴¼¼AP BP，∴PA=PB．∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点，∴当C在⊙O上运动时，点P不动．故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦．3．B【解析】【分析】由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案．【详解】由题意可得此几何体是圆锥，底面圆的半径为：2，母线长为：5，故这个几何体的侧面积为：π×2×5=10π，故选B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．4．B【解析】试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．5．B【解析】【分析】连接OA 、OC ，然后根据圆周角定理求得∠AOC 的度数，最后根据弧长公式求解．【详解】连接OA 、OC ，∵∠ADC=60°，∴∠AOC=2∠ADC=120°，则劣弧AC 的长为：=4π．故选B ．【点睛】 本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式180n r l π=． 6．D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D ．7．D【解析】【分析】如图，连接OD ．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB 是等边三角形，则易求∠AOD=110°-∠DOB=50°；然后由弧长公式弧长的公式180n r l π=来求»AD 的长 【详解】解：如图，连接OD ．解：如图，连接OD ．根据折叠的性质知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=110°，∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°，∴»AD的长为5018180π⨯=5π．故选D．【点睛】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．8．D【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．9．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.【详解】选项A 、平行四边形是中心对称图形；选项B 、圆是中心对称图形；选项C 、等边三角形不是中心对称图形；选项D 、正六边形是中心对称图形；故选C ．【点睛】本题考查了中心对称图形的判定，熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.10．D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】 解：①由抛物线的对称轴可知：02b a -<， ∴0ab >，由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，∴0c >，∴0abc >，故①正确；②抛物线与x 轴只有一个交点，∴0∆=，∴240b ac -=，故②正确；③令1x =-，∴20y a b c =-++=， ∵12b a-=-， ∴2b a =，∴220a a c -++=，∴2a c =+，∵22c +>，∴2a >，故③正确；④由图象可知：令0y =，即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；故选D ．【点睛】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.11．C【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】A ．a+3a=4a ，错误；B ．a 5和a 不是同类项，不能合并，故此选项错误；C ．（a 2）2=a 4，正确；D ．a 8÷a 2=a 6，错误．故选C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．12．B【解析】【分析】最简二次根式必须满足以下两个条件:1.被开方数的因数是（整数）,因式是（ 整式 ）（分母中不含根号）2.被开方数中不含能开提尽方的（ 因数 ）或（ 因式 ）.【详解】A.不是最简二次根式；B. ，最简二次根式；C. 1 2=22,不是最简二次根式；D. 3.6=610,不是最简二次根式.故选：B【点睛】本题考核知识点：最简二次根式.解题关键点：理解最简二次根式条件.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．k＜14且k≠1．【解析】根据一元二次方程kx2-x+1=1有两个不相等的实数根，知△=b2－4ac＞1，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：∵2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，∴△=1－4k＞1，且k≠1，解得，k＜14且k≠1．14．a（a+2）（a-2）【解析】【详解】()2344=a a+a-a aa a-=-（2）（2）15．（7+63）【解析】【分析】过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt△AEF中利用DF的长，求得线段AF的长；在Rt△BCE中利用CE的长求得线段BE的长，然后与AF、EF相加即可求得AB的长．【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，∵坝顶部宽为2m，坝高为6m，∴DC=EF=2m，EC=DF=6m，∵α=30°，∴BE=tan30EC =︒（m ）， ∵背水坡的坡比为1.2：1， ∴ 1.2 1.21DF AF AF ==， 解得：AF=5（m ），则（m ，故答案为（m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解． 16．1【解析】【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣8）2﹣4m ＝0，然后解关于m 的方程即可．【详解】△＝（﹣8）2﹣4m ＝0，解得m ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 17．285【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM ∽△ABO ，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P 作PM ⊥AB ，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．18．28【解析】设这种电子产品的标价为x元，由题意得：0.9x−21=21×20%，解得：x=28，所以这种电子产品的标价为28元．故答案为28.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（2）23 3π【解析】【分析】（1）连接OD，先根据切线的性质得到∠CDO=90°，再根据平行线的性质得到∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，又因为OB=OD，所以∠OBD=∠ODB，即∠AOC=∠COD，再根据全等三角形的判定与性质得到∠CAO=∠CDO=90°，根据切线的判定即可得证；（2）因为AB=OC=4，OB=OD，Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，从而得到∠DOB=60°，即△BOD为等边三角形，再用扇形的面积减去△BOD的面积即可.（1）证明：连接OD ，∵CD 与圆O 相切，∴OD ⊥CD ，∴∠CDO=90°，∵BD ∥OC ，∴∠AOC=∠OBD ，∠COD=∠ODB ，∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB ，∴∠AOC=∠COD ，在△AOC 和△DOC 中，OA OD AOC COD OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△EOC （SAS ），∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC 与圆O 相切；（2）∵AB=OC=4，OB=OD ，∴Rt △ODC 与Rt △OAC 是含30°的直角三角形，∴∠DOC=∠COA=60°，∴∠DOB=60°，∴△BOD 为等边三角形，图中阴影部分的面积=扇形DOB 的面积﹣△DOB 的面积, =26021223336023ππ⨯-⨯=n ． 【点睛】本题主要考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，扇形的面积公式等，难度中等，属于综合题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.20．（1）y ＝x 2﹣7x+1；（2）△ABC 为直角三角形．理由见解析；（3）符合条件的Q 的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【分析】（1）先利用一次函数解析式得到A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先利用抛物线解析式确定C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，证明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝，BN＝，从而得到∠ABC ＝90°，所以△ABC为直角三角形；（3）利用勾股定理计算出AC＝，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt△ABC的内切圆的半径＝，设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，则AI、BI为角平分线，BI⊥y轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI×＝4，则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y＝2x﹣7，直线AP的解析式为y＝﹣12x+13，然后分别求出P、Q、G的坐标即可．【详解】解：（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，则A（8，9），把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得64+8+91b cc=⎧⎨=⎩，解得-71bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+1；故答案为y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由如下：当x＝1时，y＝x2﹣7x+1＝31﹣42+1＝﹣5，则C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，∵B（0，1），A（8，9），C（1，﹣5），∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝1，∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝，BN＝，∴∠ABC＝90°，∴△ABC为直角三角形；（3）∵AB＝BN＝，∴AC＝，∴Rt△ABC的内切圆的半径＝2设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，∵I为△ABC的内心，∴AI、BI为角平分线，∴BI⊥y轴，而AI⊥PQ，∴PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，它们到直线AB、BC、AC距离相等，BI×＝4，而BI⊥y轴，∴I（4，1），设直线AI的解析式为y＝kx+n，则41 89k nk n+=⎧⎨+=⎩，解得27 kn=⎧⎨=-⎩，∴直线AI的解析式为y＝2x﹣7，当x＝0时，y＝2x﹣7＝﹣7，则G（0，﹣7）；设直线AP的解析式为y＝﹣12x+p，把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，∴直线AP的解析式为y＝﹣12x+13，当y＝1时，﹣12x+13＝1，则P（24，1）当x＝0时，y＝﹣12x+13＝13，则Q（0，13），综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键．21．证明见解析【解析】试题分析：由AB=AD，CB=CD结合AC=AC可得△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC，再证△ABF≌△ADF即可得到∠AFB=∠AFD，结合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE；（2）由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC结合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC，由此可得AD=CD结合AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四边形ABCD是菱形.试题解析：（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．22．（1）y=4x（1）（1，0）【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后将点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k 的值即可；（1）根据平行四边形的性质得到BC∥AD且BD＝AD，结合图形与坐标的性质求得点D的坐标．【详解】解：（1）∵点M（a，4）在直线y=1x+1上，∴4=1a+1，解得a=1，∴M（1，4），将其代入y=kx得到：k=xy=1×4=4，∴反比例函数y=kx（x＞0）的表达式为y=4x；（1）∵平面直角坐标系中，直线y=1x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴当x=0时，y=1．当y=0时，x=﹣1，∴B（0，1），A（﹣1，0）．∵BC∥AD，∴点C的纵坐标也等于1，且点C在反比例函数图象上，将y=1代入y=4x，得1=4x，解得x=1，∴C（1，1）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD且BD=AD，由B（0，1），C（1，1）两点的坐标知，BC∥AD．又BC=1，∴AD=1，∵A（﹣1，0），点D在点A的右侧，∴点D的坐标是（1，0）．【点睛】考查了反比例函数与一次函数交点问题．熟练掌握平行四边形的性质和函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键，难度适中．23．见解析，49. 【解析】【分析】 画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4， 所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率＝49． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．24．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6.【解析】【分析】（1）分别画出A 、B 、C 三点的对应点即可解决问题；（2）由（1）得111A B C ∆各顶点的坐标，然后利用位似图形的性质，即可求得222A B C ∆各点的坐标，然后在图中作出位似三角形即可．（3）求得222A B C ∆所在矩形的面积减去三个三角形的面积即可.【详解】（1）如图，111A B C ∆即为所求作；（2）如图，222A B C ∆即为所求作；（3）222A B C ∆面积=4×4-12×2×4-12×2×2-12×2×4=6.【点睛】本题主要考查了利用平移变换作图、位似作图以及求三角形的面积，作图时要先找到图形的关键点，把这几个关键点按平移的方向和距离确定对应点后，再顺序连接对应点即可得到平移后的图形.25．证明见解析．【解析】【分析】连接OE ，由OB=OD 和AB=AC 可得ODB C ∠=∠，则OF ∥AC ，可得BOD A ∠=∠，由圆周角定理和等量代换可得∠=∠EOF BOF ，由SAS 证得∆≅∆OBF OEF ，从而得到=90∠∠=︒OBF OEF ，即可证得结论．【详解】证明：如图，连接OE ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，∵OB OD =，∴ABC ODB ∠=∠，∴ODB C ∠=∠，∴//OF AC ，∴BOD A ∠=∠∵»»=BEBE ∴2BOE A ∠=∠，则2∠+∠=∠BOD EOD A ，∴2∠+∠=∠BOD EOD BOD ，∴∠=∠EOD BOD ，即∠=∠EOF BOF ，在OBF ∆和OEF ∆中，∵OB OE BOF EOF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()∆≅∆OBF OEF SAS ，∴OBF OEF ∠=∠∵FE 是O e 的切线，则OE FE ⊥，∴90OEF ∠=︒，∴90OBF ∠=︒，则OB BF ⊥，∴BF 是O e 的切线．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的性质和判定、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．26．（1）①见解析；②见解析；（1）1π．【解析】【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A1、B1、C1即可；（1）根据弧长公式计算．【详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A1B1C1为所作；（1）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝9042 180ππ⨯=【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．27．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）OA=6，即BC=6，代入，即可得出点B的坐标（2）将点B的坐标代入直线l中求出k即可得出解析式（3）一次函数，必经过，要使y随x的增大而减小，即y值为，分别代入即可求出k的值.【详解】解：∵OA=6，矩形OABC中，BC=OA∴BC=6∵点B在直线上，，解得x=8故点B的坐标为（8，6）故答案为（8，6）（2）把点的坐标代入得，解得：∴（3））∵一次函数，必经过），要使y随x的增大而减小∴y值为∴代入，解得.【点睛】本题主要考待定系数法求一次函数解析式，关键要灵活运用一次函数图象上点的坐标特征进行解题．。

上海市杨浦区2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列说法不正确的是（ ）A ．选举中，人们通常最关心的数据是众数B ．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大C ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S 甲2=0.4，S 乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定D ．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是42．如图，等腰直角三角形的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°3．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．43B ．42C ．6D ．44．如图，点E 是四边形ABCD 的边BC 延长线上的一点，则下列条件中不能判定AD ∥BE 的是（ ）A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．D 5∠∠= D ．B BAD 180∠∠+=o5．如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是( )A ．仅有甲和乙相同B ．仅有甲和丙相同C ．仅有乙和丙相同D ．甲、乙、丙都相同6．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的众数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的平均数是6D ．这组数据的方差是107．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知甲的路线为：A→C→B；乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲8．下列4个点，不在反比例函数图象上的是（）A．（2，－3）B．（－3，2）C．（3，－2）D．（3，2）9．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A． B． C． D．10．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中点，则CM 的长为（）A．32B．2 C．52D．311．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB，AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠DEA=（）A．40°B．110°C．70°D．140°12．在反比例函数1k y x-=的图象的每一个分支上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞1B ．k ＞0C ．k≥1D ．k ＜1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 的最大距离为6，最小距离为2，则⊙O 的半径为_____． 14．计算：1-22的结果是_____． 15．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．16．若不等式组 的解集是x ＜4，则m 的取值范围是_____．17．如图，抛物线2y x 2x 3=-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点C 关于抛物线的对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，则四边形EDFG 周长的最小值为__________．18．如图，在四边形纸片ABCD 中，AB ＝BC ，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝150°.将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD ＝_________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，已知正比例函数y=2x 和反比例函数的图象交于点A （m ，﹣2）．求反比例函数的解析式；观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移5个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．20．（6分）如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．21．（6分）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：⑴补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是度；⑵根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有人；⑶在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或者画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率22．（8分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m ）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.2≤x ＜1.6 a 1.6≤x ＜2.0 12 2.0≤x ＜2.4 b 2.4≤x ＜2.810请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：表中a= ，b= ，样本成绩的中位数落在 范围内；请把频数分布直方图补充完整；该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x ＜2.8范围内的学生有多少人？23．（8分）关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．求m 的取值范围；若m 为符合条件的最小整数，求此方程的根．24．（10分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①② 25．（10分）已知：四边形ABCD 是平行四边形，点O 是对角线AC 、BD 的交点，EF 过点O 且与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，连接EC 、AF ．（1）求证：DF=EB ；（2）AF 与图中哪条线段平行？请指出，并说明理由．26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=8，DE=5，求BC的长．27．（12分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．该项绿化工程原计划每天完成多少米2？该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】试题分析：A、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A选项的说法正确；B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B 选项的说法正确；C 、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S 甲2=0.4，S 乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，所以C 选项的说法正确；D 、数据3，5，4，1，﹣2由小到大排列为﹣2，1，3，4，5，所以中位数是3，所以D 选项的说法错误． 故选D ．考点：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法 2．B 【解析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数． 详解：如图所示：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠BAC=90°，∠ACB=45°， ∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°， ∵a ∥b ，∴∠ACD=180°-120°=60°，∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°； 故选B ．点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD 的度数是解决问题的关键． 3．B 【解析】 【分析】由已知条件可得ABC DAC ~V V ,可得出AC BCDC AC=,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~V V ，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BCDC AC=，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=2, 故选B. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】∵∠1=∠2，∴AB∥CD，选项A符合题意；∵∠3=∠4，∴AD∥BC，选项B不合题意；∵∠D=∠5，∴AD∥BC，选项C不合题意；∵∠B+∠BAD=180°，∴AD∥BC，选项D不合题意，故选A．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．5．B【解析】试题分析：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；则主视图相同的是甲和丙．考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．6．A【解析】【分析】根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析.【详解】数据由小到大排列为1，2，6，6，10，它的平均数为15（1+2+6+6+10）=5，数据的中位数为6，众数为6，数据的方差=15[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=10.1．故选A．考点：方差；算术平均数；中位数；众数．分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2，图3中的三角形都和图1中的三角形相似．而且图2三角形全等，图3三角形相似．详解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE．∵AE=BE=12AB，∴AD=EF=12AC，DE=BE=12BC，∴甲=乙．图3与图1中，三个三角形相似，所以JKAI=JBAJ=BK AIIJ AC，=AJAB=IJBC．∵AJ+BJ=AB，∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC，∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故选A．点睛：本题考查了的知识点是平行四边形的性质，解答本题的关键是利用相似三角形的平移，求得线段的关系．8．D【解析】分析：根据得k=xy=-6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于-6，就在函数图象上．解答：解：原式可化为：xy=-6，A、2×（-3）=-6，符合条件；B、（-3）×2=-6，符合条件；C、3×（-2）=-6，符合条件；D、3×2=6，不符合条件．故选D．9．B【解析】试题解析：选项,,A C D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.故选B.【分析】延长BC 到E 使BE＝AD，利用中点的性质得到CM＝12DE＝12AB，再利用勾股定理进行计算即可解答.【详解】解：延长BC 到E 使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AB，∵BC＝3，AD＝1，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝12DE＝12AB，∵AC⊥BC，∴AB＝22AC BC＝224+3=5，∴CM＝52，故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.11．B【解析】【分析】先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补，并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE的度数，进而得到∠DEA的度数．【详解】∵AB∥CD，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°﹣40°=140°，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=12∠BAC=12×140°=70°，∴∠DEA=180°﹣∠BAE=110°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．12．A【解析】【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．【详解】解：根据题意，在反比例函数1kyx-=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，即可得k﹣1＞0，解得k＞1．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x 的增大而增大．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2或1【解析】【分析】点P可能在圆内．也可能在圆外，因而分两种情况进行讨论.【详解】解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是（6-2）÷2=2；当点在圆内时，则这个圆的半径是（6+2）÷2=1．故答案为2或1.【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决.14【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可，132222222-=-= 考点：二次根式的加减15．233π- 【解析】【分析】连接BD ，易证△DAB 是等边三角形，即可求得△ABD 的高为3，再证明△ABG ≌△DBH ，即可得四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，由图中阴影部分的面积为S 扇形EBF ﹣S △ABD 即可求解.【详解】如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴△ABD 3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ， 在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD ＝2602360π⨯﹣12×2×3＝233π- 故答案是：233π- 【点睛】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积是解题关键．16．m≥1．【解析】∵不等式组的解集是x＜1，∴m≥1，故答案为m≥1．17258＋【解析】【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），从而得到四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据勾股定理可得答案.【详解】如图，在y＝﹣x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0,3），∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x－1）2＋4，∴对称轴为x＝1，顶点D（1,4），则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2,3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1,4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3）,连结D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′＝DE＋D′E′2222－＋－＋﹣－＋＋(12)(43)(12)(43)＋258＋.∴四边形EDFG258【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，利用数形结合得出答案.18．4+23或23+【解析】【分析】根据裁开折叠之后平行四边形的面积可得CD的长度为23+4或2+3．【详解】如图①，当四边形ABCE为平行四边形时，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T.∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，∴∠NAD＝60°，∴∠AND＝90°.设BT＝x，则CN＝x，BC＝EC＝2x.∵四边形ABCE面积为2，∴EC·BT＝2，即2x×x＝2，解得x＝1，∴AE＝EC＝2，EN＝22-=，213∴AN＝AE＋EN＝2＋3，∴CD＝AD＝2AN＝4＋23.如图②，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°.∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠ADB＝15°，∴∠AEB＝30°.设AB＝y，则DE＝BE＝2y，AE∵四边形BEDF的面积为2，∴AB·DE＝2，即2y2＝2，解得y＝1，∴AE DE＝2，∴AD＝AE＋DE＝2综上所述，CD的值为4＋2.【点睛】考核知识点：平行四边形的性质，菱形判定和性质．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）2 yx =（2）﹣1＜x＜0或x＞1．（3）四边形OABC是平行四边形；理由见解析．【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为kyx=（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式．（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且OABC是平行四边形，再证明OA=OC【详解】解：（1）设反比例函数的解析式为kyx=（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1．∴A（﹣1，﹣2）．又∵点A 在k y x=上，∴k 21-=-，解得k=2．， ∴反比例函数的解析式为2y x =． （2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围为﹣1＜x ＜0或x ＞1． （3）四边形OABC 是菱形．证明如下：∵A （﹣1，﹣2），∴OA =．由题意知：CB ∥OA 且CB=OA ．∴四边形OABC 是平行四边形．∵C （2，n ）在2y x=上，∴2n 12==．∴C （2，1）．∴OC OC=OA ．∴平行四边形OABC 是菱形．20．（1）（1，﹣4a ）；（2）①y=﹣x 2+2x+3；②M （52，74）、N （32，154）；③点Q 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣）．【解析】分析: （1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D 的坐标．（2）①以AD 为直径的圆经过点C ，即点C 在以AD 为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD 是个直角三角形，且∠ACD ＝90°，A 点坐标可得，而C 、D 的坐标可由a 表达出来，在得出AC 、CD 、AD 的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a 的值．②将△OBE 绕平面内某一点旋转180°得到△PMN ，说明了PM 正好和x 轴平行，且PM ＝OB ＝1，所以求M 、N 的坐标关键是求出点M 的坐标；首先根据①的函数解析式设出M 点的坐标，然后根据题干条件：BF ＝2MF 作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q 与直线CD 的切点为G ，连接QG ，由C 、D 两点的坐标不难判断出∠CDQ ＝45°，那么△QGD 为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q 的坐标，然后用Q 点纵坐标表达出QD 、QB 的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q 的坐标．详解:（1）∵y=ax 2﹣2ax ﹣3a=a （x ﹣1）2﹣4a ，∴D （1，﹣4a ）．（2）①∵以AD 为直径的圆经过点C ，∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax 2﹣2ax ﹣3a=a （x ﹣3）（x+1）知，A （3，0）、B （﹣1，0）、C （0，﹣3a ），则：AC 2=9a 2+9、CD 2=a 2+1、AD 2=16a 2+4由勾股定理得：AC 2+CD 2=AD 2，即：9a 2+9+a 2+1=16a 2+4，化简，得：a 2=1，由a ＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+3，D （1，4）．∵将△OBE 绕平面内某一点旋转180°得到△PMN ，∴PM ∥x 轴，且PM=OB=1；设M （x ，﹣x 2+2x+3），则OF=x ，MF=﹣x 2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF ，∴x+1=2（﹣x 2+2x+3），化简，得：2x 2﹣3x ﹣5=0解得：x 1=﹣1（舍去）、x 2=52. ∴M （52，74）、N （32，154）． ③设⊙Q 与直线CD 的切点为G ，连接QG ，过C 作CH ⊥QD 于H ，如下图：∵C （0，3）、D （1，4），∴CH=DH=1，即△CHD 是等腰直角三角形，∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD 2=2QG 2；设Q （1，b ），则QD=4﹣b ，QG 2=QB 2=b 2+4；得：（4﹣b ）2=2（b 2+4），化简，得：b 2+8b ﹣8=0，解得：b=﹣4±6； 即点Q 的坐标为（1，426-+1，426--．点睛: 此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题题目的关键．21．（1）72；（2）700；（3）23． 【解析】试题分析：（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，用360度乘以体育类人数所占比例即可得；（2）用样本估计总体的思想解决问题；（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．试题解析：（1）调查的学生总数为60÷30%=200（人），则体育类人数为200﹣（30+60+70）=40，补全条形图如下：“体育”对应扇形的圆心角是360°×40200=72°；（2）估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有：2000×70200=700（人），（3）将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2，树状图如图所示：所以P（2名学生来自不同班）=82 123．考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；用样本估计总体．22．（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．【解析】【分析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；（2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整；（3）用1000乘以样本中该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生比例即可得.【详解】（1）由统计图可得，a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；（2）由（1）知，b=20，补全的频数分布直方图如图所示；（3）1000×1050=200（人）， 答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x ＜2.8范围内的学生有200人．【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数等，读懂统计图与统计表，从中找到必要的信息是解题的关键.23．（1）m ＞94-；（2）x 1=0，x 2=1． 【解析】【分析】解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式．（1）求出△＝5+4m ＞0即可求出m 的取值范围；（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可．【详解】解：（1）△＝1+4（m ＋2）＝9+4m ＞0 ∴94m >-． （2）∵m 为符合条件的最小整数， ∴m=﹣2．∴原方程变为2=0x x -∴x 1＝0，x 2＝1．考点：1．解一元二次方程；2．根的判别式．24．原不等式组的解集为﹣4＜x≤1，在数轴上表示见解析．【解析】分析：根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案详解：解不等式①，得x ＞﹣4，解不等式②，得x≤1，把不等式①②的解集在数轴上表示如图，原不等式组的解集为﹣4＜x≤1．点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键． 25．（1）见解析；（2）AF ∥CE ，见解析.【解析】【分析】（1）直接利用全等三角三角形判定与性质进而得出△FOC ≌△EOA （ASA ），进而得出答案； （2）利用平行四边形的判定与性质进而得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，点O 是对角线AC 、BD 的交点，∴AO=CO ，DC ∥AB ，DC=AB ，∴∠FCA=∠CAB ，在△FOC 和△EOA 中FCO EAO CO AOCOF AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FOC ≌△EOA （ASA ），∴FC=AE ，∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB ；（2）AF ∥CE ，理由：∵FC=AE ，FC ∥AE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ∥CE ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△FOC ≌△EOA （ASA ）是解题关键．26．（1）见解析（2）7.5【解析】【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；（2）首先证明AC=2DE=10，在Rt△ADC中，求得DC=6，设BD=x,在Rt△BDC中，BC2=x2+62,在Rt△ABC 中，BC2=(x+8)2-102,可得x2+62=(x+8)2-102,解方程即可解决问题.【详解】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠A=∠ADE；（2）连接CD，∵∠A=∠ADE∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC,∴AE=EC,∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，6=，设BD=x,在Rt△BDC中，BC2=x2+62,在Rt△ABC中，BC2=(x+8)2-102,∴x2+62=(x+8)2-102,解得x=4.5，∴7.5=【点睛】此题主要考查圆的切线问题，解题的关键是熟知切线的性质. 27．(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．。

杨浦区2023 学年度第二学期初三质量调研（一）数学学科2024.4 一、选择题1.的同类二次根式是（ ）A .B .C .D .2.已知a b >，下列不等式成立的是（ ）A .a b −>−B .22a b −<−C .22a b <D .0a b −<3.如果k <0,b <0，那么一次函数y kx b =+的图像不经过（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.已知一组数据,2,4,1,6a 的中位数是4，那么a 可以是（ ）A .0B .2C .3D .55.下列命题中，真命题的是（ ）A .四条边相等的四边形是正方形B .四个内角相等的四边形是正方形C .对角线互相垂直的平行四边形是正方形D .对角线互相垂直的矩形是正方形6.如图，在ABC 中，,120AB AC BAC ≠∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转，点A 、B 分别落在点D 、E 处，如果点A 、D 、E 在同一直线上，那么下列结论错误的是（ ）A .∠ADC =60°B .∠ACD =60°C .∠BCD =∠ECD D .∠BAD =∠BCE二、填空题7.计算：3262a a ÷=______________8.在实数范围内因式分解：23x −=______________9.函数y =的定义域是______________10.如果关于x 的方程260x x k −+=有两个实数根，那么k 的取值范围是____________11.布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1,2,3,4,5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是_____________12.已知反比例函数1m y x−=的图像在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________ 13.根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x ，根据题意可列方程_____________14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点，CE 与对角线BD 相交于点F ，设向量AB a =，向量BC b =，那么向量BF =______________（用含,a b 的式子表示）15.近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影，已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份，据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是____________元16.如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，如果BD =4CD ，那么tanB =____________17.如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______________厘米18.已知矩形ABCD 中，AB =5，以AD 为半径的圆A 和以CD 为半径的圆C 相交于点D 、E ，如果点E 到直线BC 的距离不超过3，设AD 的长度为m ，则m 的取值范围是______________三、解答题19.计算：)0112112713−⎛⎫+−−+ ⎪⎝⎭20.解方程组：222124440x y x xy y +=⎧⎨−+−=⎩21.如图，已知在ABC 中，AB =AC =9，cos B =，点G 是ABC 的重心，延长AG 交边BC 于点D ，以G 为圆心，GA 为半径的圆分别交边AB 、AC 于点E 、F .（1）求AG 的长；（2）求BE 的长.22.寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6:00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途径一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速，如图，这是她们离目的地的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图像.根据图像提供的信息回答下列问题：（1）图中的a =______________，b =______________；（2）求提速后y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（3）她们能否在中午12:30之前到达目的地? 请说明理由.23.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，BD =BC ，∠DBC 的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F .（1）求证：四边形BCED 是菱形；（2）联结AC 交BF 于点G ，如果AC CE ⊥，求证：2AB AG AC =⋅.24.定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆，如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆. 阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，OA =4，AP =2，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆.（1）如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是______________（直接写出答案）（2）如图2，以O 为坐标原点，OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y .①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图像上的一点，联结BP 并延长交此函数图像于另一点C ，如果CP :BP =1:4，求点B 的坐标.25.已知以AB为直径的半圆O上有一点C，CD OA⊥，垂足为点D，点E是半径OC上一点（不与点O、C重合），作EF OC⊥交弧BC于点F，联结OF.（1）如图1，当FE的延长线经过点A时，求CDAF的值；（2）如图2，作FG AB⊥，垂足为点G，联结EG.①试判断EG与CD的大小关系，并证明你的结论；②当EFG是等腰三角形，且4sin5COD∠=，求OEOD的值.参考答案一、选择题1.C2. B3. A4. D5. D6. C二、填空题7.3a8. (x x −9.1x >10. 9k ≤11. 1512.m >1 13.()24.321 4.72x +=14. 2233a b −+15. 17.516. 517.618. 2510m ≤≤三、解答题19. 1220. 752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或572x y =⎧⎪⎨=⎪⎩21.（1）4（2）11322.（1）3；320（2）100620y x =−+（3）能，12时12分到达目的地，说明略23.（1）证明略（2）证明略24.（1）52（2）①21254y x x =−+②（0,5）或（8,5）25.（1）12（2）①EG =CD ，证明略②715。

2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷一．选择题（共6小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．2．下列计算中，正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a3）4＝a7C．（ab）4＝ab4D．a6÷a3＝a33．若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（）A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7D．0≤d＜35．如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D．6．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD二．填空题（共12小题）7．分解因式：2mx﹣6my＝．8．函数中自变量x的取值范围是．9．从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是．10．一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是．11．不等式组的解集是．12．方程＝x的根是．13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．14．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC的重心，如果＝，＝，那么＝．（用、表示）15．如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是．16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是．17．定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k 是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是．18．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．20．解方程组：．21．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．22．某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 9585 80 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）分组（分）频数频率60～7040.170～80a b80～90100.2590～100c d100～11080.2分析数据（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）补全频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在（分）范围内的人数最多；（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为人．23．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B （3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．25．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ＝2CP，联结NQ．（1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；（2）如果点P在线段AC上，设线段AP＝x，线段NQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．2．下列计算中，正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a3）4＝a7C．（ab）4＝ab4D．a6÷a3＝a3【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和除法的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：A、a2•a4＝a6≠a8，本选项错误；B、（a3）4＝a12≠a7，本选项错误；C、（ab）4＝a4b4≠ab4，本选项错误；D、a6÷a3＝a3，本选项正确．故选：D．3．若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°【分析】由折叠可得，∠2＝∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ABD＝2∠2．【解答】解：如图，由折叠可得，∠2＝∠ABC，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ABD＝2∠2，故选：A．4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（）A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7D．0≤d＜3【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解答】解：由题意知，两圆内含，则0≤d＜5﹣2，即如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是0≤d＜3，故选：D．5．如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D．【分析】设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，则∠AOB＝＝36°，∴＝18°，AC＝AB＝，∴OA＝＝，故选：C．6．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．【解答】解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．二．填空题（共12小题）7．分解因式：2mx﹣6my＝2m（x﹣3y）．【分析】原式提取公因式即可得到结果．【解答】解：原式＝2m（x﹣3y）．故答案为：2m（x﹣3y）．8．函数中自变量x的取值范围是x＞1．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．9．从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是．【分析】根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．【解答】解：∵1，2，3，4，5，6，7这7个数有4个素数是2，3，5，7；∴抽到素数的概率是．故答案为：．10．一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是．【分析】先求出这组数据的平均数，然后根据方差公式计算得出答案．【解答】解：∵＝（2+2+5+5+6）＝4，∴S2＝[（4﹣2）2+（4﹣2）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣6）2]＝，故答案为：．11．不等式组的解集是．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x；解不等式②，得x≤3；所以原不等式组的解集为：，故答案为：．12．方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜1且m≠0．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：m＜1且m≠0．故答案为：m＜1且m≠0．14．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC的重心，如果＝，＝，那么＝．（用、表示）【分析】由DE∥BC推出AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，推出DE＝BC，求出即可解决问题．【解答】解：如图设G是重心，作中线AF．∵DE∥BC，∴AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，∴DE＝BC，∵＝+，∴＝﹣，∴＝（﹣）＝﹣故答案为：﹣．15．如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC、CD、AD的长，然后即可得到△ACD的形状，再利用等积法，即可求得CE的长．【解答】解：连接AD、AC，作CE⊥AD于点E，∵小正方形的边长都为1，∴AD＝＝2，AC＝＝3，CD＝＝，∵（2）2＝（3）2+（）2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴，即，解得，CE＝，即点C到线段AB所在直线的距离是，故答案为：．16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是4．【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（m，n），根据三角形的面积公式得到OA＝，求得A（，0），求得C（，），列方程即可得到结论．【解答】解：过B作BD⊥OA于D，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴设B（m，n），∵△OAB的面积为6，∴OA＝，∴A（，0），∵点C是AB的中点，∴C（，），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴•＝mn，∴mn＝4，∴k＝4，故答案为：4．17．定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k 是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是2．【分析】根据一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，可得：k＝2，故答案为：2．18．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是6或10．【分析】如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．如图2，当点Q落在AD上时，如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴ap＝6+4＝10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，在Rt△APB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴AP＝6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF 是矩形．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．【分析】先化简分式，然后将中a＝+1代入求值．【解答】解：原式＝＝．当时，原式＝＝．20．解方程组：．【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程，即可组成方程组，即可求解．【解答】解：由（2）得（x﹣y）（x﹣2y）＝0．∴x﹣y＝0或x﹣2y＝0．（4分）原方程组可化为（4分）解这两个方程组，得原方程组的解为（2分）另解：由（1）得x＝12﹣2y．（3）（2分）把（3）代入（2），得（12﹣2y）2﹣3（12﹣2y）y+2y2＝0．（2分）整理，得y2﹣7y+12＝0．（2分）解得y1＝4，y2＝3．（2分）分别代入（3），得x1＝4，x2＝6．（1分）∴原方程组的解为（1分）21．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．【分析】（1）联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，利用勾股定理构建方程求解即可．（2）设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，EG＝6﹣3x，在Rt△EGO中，根据EG2+OG2＝OE2，构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵，DC⊥AB，∴AC＝BC，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，∵AB＝8，∴AC＝BC＝4，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，∵OD⊥AB，∴∠ACO＝90°，在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解之得R＝5．答：桥拱所在圆的半径长为5米．（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，∵EF∥AB，OD⊥AB，∴OD⊥EF，∴∠EGD＝∠EGO＝90°，在Rt△EGD中，，∴EG＝3DG，设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，∴EG＝6﹣3x，在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，化简得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝2（舍去），x2＝1，答：水面上升的高度为1米．22．某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 9585 80 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）分组（分）频数频率60～7040.170～80a b80～90100.2590～100c d100～11080.2分析数据（1）填空：a＝6，b＝0.15，c＝12，d＝0.3；（2）补全频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在90～100（分）范围内的人数最多；（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为400人．【分析】（1）根据题中数据即可求得a、c的值，再根据频率＝频数÷数据总数列式计算，即可求得b、d的值；（2）根据（1）中计算结果即可补全频率分布直方图；（3）根据频率分布直方图可知第四组人数最多，利用样本估总体求解即可；（4）利用样本估总体，用800乘以样本中成绩在90分及以上的频率即可．【解答】解：（1）由题意可知：第二组的频数a＝6，第四组的频数c＝12，∴第二组的频率为：6÷40＝0.15，第四组的频率为：12÷40＝0.3．故答案为：6，0.15，12，0.3；（2）如下图即为补全的频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在90～100（分）范围内的人数最多．故答案为：90～100；（4）800×（0.3+0.2）＝400（人）．答：如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为400人．故答案为：400．23．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA＝∠OND，由∠OAM+∠OMA＝90°，∠OAM+∠OND＝90°得出∠AHN＝90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，∵MN∥CD，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴，∵AB∥DC，∴，∴，∴AN2＝NC•AC．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B （3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．【分析】（1）把A（﹣3，0）和点B（3，2）代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；（2）如图1，根据对称的性质得AD＝AC＝5，可得OD＝2，设OH＝a，则HC＝HD＝4﹣a，在Rt△HOD中，根据勾股定理得HD2＝OH2+OD2，列方程可得结论；（3）分两种情况：先说明△AOE是直角三角形，所以△EAF也是直角三角形，根据∠EF A＝90°，画图，由勾股定理列方程可解答．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4过点A（﹣3，0）和点B（3，2），∴，解得，∴；（2）如图1，连接AC，DH，∵点C关于直线AP的对称点D，∴AD＝AC，∵与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣3，0），∴AC＝5，∴AD＝5，∴点D（2，0），设直线AP与y轴交于点H，则HC＝HD，设OH＝a，则HC＝HD＝4﹣a，在Rt△HOD中，HD2＝OH2+OD2，∴（4﹣a）2＝a2+22，∴，∴直线AP的截距为；（3）∵点E是y轴正半轴上一点，∴△AOE是直角三角形，且∠AOE＝90°当△EAO与△EAF全等时，存在两种情况：①如图2，当∠EF A＝∠AOE＝90°，△EF A≌△AOE，∴EF＝OA，∵∠AHO＝∠EHF，∠AOH＝∠EFH＝90°，∴△AOH≌△EFH（AAS），∴AH＝EH，由（2）知：OH＝，∴EH＝AH＝OE﹣，Rt△AHO中，AH2＝AO2+OH2，∴（OE﹣）2＝32+，解得：OE＝或（舍），∴点E的纵坐标是；②如图3，当∠EF A＝∠AOE＝90°，△EF A≌△EOA，∴AF＝AO＝3，EF＝OE，Rt△AHO中，AH＝＝，∴FH＝﹣3，EH＝﹣OE，Rt△EFH中，由勾股定理得：EH2＝FH2+EF2，∴（﹣OE）2＝（﹣3）2+OE2，解得：OE＝3﹣6，∴点E的纵坐标是3﹣6；综上，点E的纵坐标是或3﹣6．25．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ＝2CP，联结NQ．（1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；（2）如果点P在线段AC上，设线段AP＝x，线段NQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．【分析】（1）先利用勾股定理求出AB，进而表示出BM，再判断出△BHM∽△BCA，即可得出结论；（2）先表示出BQ＝2x，过Q作QG⊥AB，垂足为点G，再用三角函数表示出，，再用三角函数表示出，，进而得出，最后用勾股定理建立方程，即可得出结论；（3）先判断出P、E、N在同一直线上，再要判断出∠P AN＝∠ANE和∠NMO＝∠B，进而判断出QA＝QB，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，∴，设⊙M的半径长为R，则，过M作MH⊥BC，垂足为点H，∴MH∥AC，∵MH∥AC，∴△BHM∽△BCA，∴，∵⊙M与直线BC相切，∴MA＝MH，∴，∴，即．（2）如图2，∵AP＝x，∴CP＝4﹣x，∵CQ＝2CP，∴CQ＝8﹣2x，∴BQ＝BC﹣CQ＝8﹣（8﹣2x）＝2x，过Q作QG⊥AB，垂足为点G，∵，∴，∴，同理：，∵PM⊥AB，∴∠AMP＝90°，∴，∵AP＝x，∴，∴，在Rt△QNG中，根据勾股定理得，QN2＝NG2+QG2，∴，∴（0＜x＜4）；（3）当点P在线段AC上，如图3，设以NQ为直径的⊙O与⊙M的另一个交点为点E，连接EN，MO，则MO⊥EN，∴∠NMO+∠ANE＝90°，∵以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，即P、E、N在同一直线上，又∵PM⊥AB，MA＝MN，∴PN＝P A，∴∠P AN＝∠ANE，∵∠ACB＝90°，∴∠P AN+∠B＝90°，∴∠NMO＝∠B，连接AQ，∵M、O分别是线段AN、NQ的中点，∴MO∥AQ∴∠NMO＝∠BAQ，∴∠BAQ＝∠B，∴QA＝QB，在Rt△QAC中，根据勾股定理得，QA2＝AC2+QC2，∴（2x）2＝42+（8﹣2x）2，∴，同理：当点P在线段AC的延长线上，，即线段AP的长为或．。

2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.−66的相反数是()A. −66B. 66C. 166D. −1662.下列计算结果正确的是()A. a3×a4=a12B. a5÷a=a5C. (ab2)3=ab6D. (a3)2=a63.如用一张长方形纸条折成如图所示图形，如果∠1=130°，那么∠2=()A. 20°B. 25°C. 50°D. 65°4.已知两圆的半径分别是3和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 相交D. 内含5.半径为r的圆的内接正六边形边长为()A. 12r B. √32r C. r D. 2r6.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB//DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．则不能使四边形ABCD成为矩形的是()A. ①②③B. ②③④C. ②⑤⑥D. ④⑤⑥二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.分解因式：x2−3x=______．8.函数y=1√x+3的自变量x的取值范围是______．9.九张同样的卡片分别写有数字−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，任意抽取一张，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是______．10.数据3000，2998，3002，2999，3001的方差为____．11. 不等式组{2−x >x x +1<−1的解集是______ ． 12. 方程√2x −4=2的根是______．13. 若关于x 的一元二次方程(m −1)x 2−2mx +(m +2)=0有实数根，则m 取值范围是 ．14. 如图，△ABC 中，过重心G 的直线平行于BC ，且交边AB 于点D ，交边AC于点E ，如果设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示GE ⃗⃗⃗⃗⃗，那么GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．15. 如图在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个三角形ABC ，则三角形ABC 的周长是________(精确到0.001)16. 如图，在平面直角坐标系中，过点M(−3,2)分别作x 轴，y 轴的垂线与反比例函数y =2x 的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为 ．17. 已知正比例函数y =kx(k 是常数，k ≠0)，当−3≤x ≤1时，对应的y 的取值范围是−1≤y ≤13，且y 随x 的减小而减小，则k 的值为______．18. 在▱ABCD 中，AB =5，BC =7，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果将点A 绕着点O 顺时针旋转90°后，点A 恰好落在平行四边形ABCD 的边AD 上，那么AC 的长是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 先化简，再求值：(2a+1−2a+1a 2−1)÷a−1a 2−2a+1，其中a =√3−1．20. 解方程组{x +y =4x 2+xy −2y 2=021. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，C 是AB⏜的中点，AB =8，AC =2√5，求⊙O 半径的长．22.为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年年初某区组织本区900名教师参加“如法网”的法律知识考试，该区A学校参考教师的考试成绩绘制成如下统计图和统计表(满分100分，考试分数均为整数，其中最低分76分)分数人数85.5以下1085.5以上3596.5以上8(1)求A学校参加本次考试的教师人数；(2)若该区各学校的基本情况一致，试估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；(3)求A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比．23.已知，在正方形ABCD中，点E、F在BD上，且AB=BE=DF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若正方形的边长为2，求菱形AECF的面积．24.在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y=mx2−2x+n(m、n是常数)经过点A(−2,3)、B(−3,0)，与y轴的交点为点C．(1)求此抛物线的表达式；(2)点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．25.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若tanA=1，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在(2)的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案与解析】1.答案：B解析：解：−66的相反数是66．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.答案：D解析：解：A、a3×a4=a7，故本选项错误；B、a5÷a=a4，故本选项错误；C、(ab2)3=a3b6，故本选项错误；D、正确；故选：D．根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，即可解答．本题考查了同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方．3.答案：D解析：本题主要考查平行线的性质，折叠问题，掌握平行线的性质是解题的关键，由折叠的性质和平行线的性质可知∠1=∠3+∠2，可得出答案．解：如图，由折叠的性质可知∠2=∠3，∵纸条的对边平行，∴∠1=∠3+∠2=130°，∴∠2=65°．故选D．4.答案：D解析：本题考查了圆和圆的位置关系.两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，：当两圆外离⇔d>R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R−r<d<R+r(R≥r)；两圆内切⇔d=R−r(R>r)；两圆内含⇔d<R−r(R>r)．先计算两圆的半径之差，然后根据圆和圆的位置关系的判定方法可确定这两圆的位置关系．解：∵5−3=2>1，即圆心距小于两半径之差，∴这两圆内含．故选D．5.答案：C解析：解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，则三角形AOB是等边三角形，所以AB=OA=r．故选：C．画出圆O的内接正六边形ABCDEF，连接OA，OB，得到正三角形AOB，可以求出AB的长．本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到正三角形AOB，就可以求出正六边形的边长．6.答案：C解析：此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．解：A、①AB//DC；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；故选：C．7.答案：x(x−3)解析：解：原式=x(x−3)，故答案为：x(x−3)此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．8.答案：x>−3解析：解：根据题意得，x+3>0，解得x>−3．故答案为：x>−3．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．9.答案：13解析：解：∵数的总个数有9个，绝对值小于2的数有−1，0，1共3个，∴任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是39=13；故答案为：13．让绝对值小于2的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．10.答案：2解析：解：x −=15×(3000+2998+3002+2999+3001)=3000，S 2=15×[(3000−3000)2+(3000−2998)2+(3000−3002)2+(3000−2999)2+(3000−3001)2]=15×10=2；故答案为：2．先求出平均数，再根据方差的计算公式进行计算即可．本题考查平均数、方差，属于基础题． 11.答案：x <−2解析：解：{2−x >x①x +1<−1②，由①得，x <1，由②得，x <−2， 故不等式组的解集为：x <−2．故答案为：x <−2．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12.答案：4解析：解：两边平方得到：2x −4=4，解得x =4，经检验：x =4是原方程的解，故答案为4．把无理方程转化为整式方程即可解决问题．本题考查无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验．13.答案：m ≤2且m ≠1解析：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 的关系是解答此题的关键．先根据一元二次方程的定义及根的判别式得出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围即可． 解：∵关于x 的一元二次方程(m −1)x 2−2mx +(m +2)=0有实数根， ∴{m −1≠0△=(−2m)2−4(m −1)(m +2)≥0， 解得m ≤2且m ≠1． 故答案为：m ≤2且m ≠1． 14.答案：13b ⃗ −13a ⃗解析：解：连接AG ，延长AG 交BC 于F ．∵G 是△ABC 的重心，DE//BC ， ∴BF =CF ，AD AB=AE AC=AG AF=23，∵DG BF =AD AB ，GECF =AEAC ， ∴DGBF =GECF ， ∵BF =CF ， ∴DG =GE ，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ̂， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ −23a ⃗ ， ∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −13a ⃗ ，故答案为13b ⃗−13a ⃗ ． 连接AG ，延长AG 交BC 于F.首先证明DG =GE ，再利用三角形法则求出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.答案：8.606解析：本题主要考查的是勾股定理和三角形的周长的有关知识，由题意先利用勾股定理求出AB，然后利用三角形的周长公式进行求解即可．解：由题意得AC=2，BC=3，∴AB=√22+32=√13，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=2+3+√13≈8.606．故答案为8.606．16.答案：8解析：本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，反比例函数图像上的点的坐标特征，关键是设点A的坐标为(a,b)，点B的坐标为(c,d)，根据反比例函数y=2x的图象过A，B两点，所以ab=2，cd=2，进而得到S△AOC=12|ab|=1，S△BOD=12|cd|=1，S矩形MCOD=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD，即可解答．解：如图所示：设点A的坐标为(a,b)，点B的坐标为(c,d)，∵反比例函数y=2x的图象过A，B两点，∴ab=2，cd=2，∴S△AOC=12|ab|=1，S△BOD=12|cd|=1，∵点M(−3,2)，∴S=3×2=6，矩形MCOD∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCOD=1+1+6=8，故答案为：8．17.答案：13解析：此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质来分析．由一次函数的性质，进行运算求解．解：易知k>0时，y随x的减少而减少，∴当x=−3时，y=−1，代入正比例函数y=kx得：−1=−3k，解得k=13．故答案为：1318.答案：4√2或3√2解析：解：如图，过O点作OE⊥AD于E，过C点作CF⊥AD于F，∵将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，∴△AOA′是等腰直角三角形，∴△AA′C是等腰直角三角形，设AA′=x，则CF=x，DF=7−x，在Rt△CDF中，x2+(7−x)2=52，解得x1=4，x2=3，在Rt△CFA中，AC=4√2或3√2．故答案为：4√2或3√2．如图，过O点作OE⊥AD于E，过C点作CF⊥AD于F，根据旋转的性质可得△AOA′是等腰直角三角形，△AA′C是等腰直角三角形，再根据勾股定理可求AA′，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．考查了旋转的性质，平行四边形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．19.答案：解：原式=[2a−2(a+1)(a−1)−2a+1(a+1)(a−1)]÷a−1(a−1)2=−3(a +1)(a −1)⋅(a −1)=−3a+1，当a =√3−1时， 原式=−3√3−1+1=−√3．解析：先把分式化简后，再把a 的值代入求出分式的值． 本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．20.答案：解：{x +y =4 ①x 2+xy −2y 2=0 ②由②得(x +2y)(x −y)=0 所以x +2y =0或x −y =0原方程组化为{x +y =4x +2y =0或{x +y =4x −y =0，所以原方程组的解为{x 1=8y 1=−4，{x 2=2y 2=2．解析：先对②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．21.答案：解：如图，连接OA ，连接OC 交AB 于D.设⊙O 的半径为r ．∵AC⏜=BC ⏜， ∴OC ⊥AB ，∴AD =DB =12AB =4，在Rt △ACD 中，CD =√AC 2−AD 2=2， 在Rt △ADO 中，∵OA 2=AD 2+OD 2，∴r2=(r−2)2+16，解得r=5．∴⊙O的半径为5．解析：如图，连接OA，连接OC交AB于D.设⊙O的半径为r.在Rt△ADC中，求出CD，在Rt△ADC 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.答案：解：(1)由表格中数据可得：85.5以下10人，85.5以上35人，则A学校参加本次考试的教师人数为45人；(2)由表格中85.5以下10人，85.5−90.5之间有：15人；×900=500(人)；故计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数为：10+1545(3)由表格中96.5以上8人，95.5−100.5之间有：9人，则96分的有1人，可得90.5−95.5之间有：35−15−9=11(人)，×则A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比为：15+1+1145 100%=60%．解析：(1)利用表格中数据分布即可得出A学校参加本次考试的教师人数；(2)利用A学校参加本次考试的教师人数与成绩在90.5分以下的人数，即可估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；(3)利用表格中数据可得A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比．此题主要考查了频数分布直方图以及利用样本估计总体和统计表，正确获取正确信息是解题关键．23.答案：解：(1)证明：连结AC，交BD于点O．∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA =OC ，OB =OD ． 又∵BE =DF ，∴BE −BO =DF −DO 即OE =OF ． ∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵AC ⊥EF ， ∴四边形AFCE 是菱形． (2)∵AB =AD =2，∴由勾股定理可知AC =BD =2√2， ∴BF =2√2−2． ∴EF =4−2√2，∴菱形的面积=12EF ⋅AC =12×(4−2√2)×2√2=4√2−4．解析：(1)连结AC ，交BD 于点O ，依据正方形的性质可得到AC ⊥EF ，然后再证明OE =OF ，从而可得到四边形AFCE 为平行四边形，于是可证明它是一个菱形；(2)先求得BF 的长，然后可得到OF 的长，进而可得到EF 的长，依据依据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解即可．本题主要考查的是菱形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握正方形性质、菱形的判定定理是解题的关键．24.答案：解：(1)依题意得：{4m +4+n =39m +6+n =0，解得：{m =−1n =3，∴抛物线的表达式是y =−x 2−2x +3；(2)∵抛物线y =−x 2−2x +3与y 轴交点为点C ， ∴点C 的坐标是(0,3)，又点B 的坐标是(−3,0)， ∴OC =OB =3，∠CBO =45°， ∴∠DBO =30°或60°．在直角△BOD 中，DO =BO ⋅tan∠DBO ， ∴DO =√3或3√3， ∴CD =3−√3或3√3−3；(3)由抛物线y =−x 2−2x +3得：对称轴是直线x =−1， 根据题意：设P(−1,t)，又点C 的坐标是(0,3)，点B 的坐标是(−3,0)，∴BC 2=18，PB 2=(−1+3)2+t 2=4+t 2，PC 2=(−1)2+(t −3)2=t 2−6t +10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2−6t +10，解之得：t =−2， ②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2−6t +10=4+t 2，解之得：t =4， ③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2−6t +10=18，解之得：t 1=3+√172，t 2=3−√172．综上所述P 的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或(−1,3+√172)或(−1,3−√172)．解析：本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点． (1)将点A 和点B 坐标代入解析式求解可得；(2)先求出点C 坐标，从而得出OC =OB =3，∠CBO =45°，据此知∠DBO =30°或60°，依据DO =BO ⋅tan∠DBO 求出得DO =√3或3√3，从而得出答案；(3)设P(−1,t)，知BC 2=18，PB 2=4+t 2，PC 2=t 2−6t +10，再分点B 、点C 和点P 为直角顶点三种情况分别求解可得．25.答案：(1)证明：连结OD ，如图，∵EF =ED ， ∴∠EFD =∠EDF ， ∵∠EFD =∠CFO ， ∴∠CFO =∠EDF ， ∵OC ⊥OF ，∴∠OCF+∠CFO=90°，∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE，∵OA=OD ∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DEAE =BEDE=BDAD，∵Rt△ABD中，tanA=BDAD =12∴DEAE=BEDE=12∴AE=2DE，DE=2BE∴AE=4BE∴AB=3BE；(3)设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x∵OF=1，∴OE=1+2x在Rt△ODE中，由勾股定理可得：(32x)2+(2x)2=(1+2x)2，∴x=−2(舍)或x=2，9∴圆O的半径为3．解析：(1)先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；(2)先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定(3)设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32理即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解本题的关键．。