2019-2020学年河南省新乡市高一下期末数学试卷(有答案)(已审阅)

新乡市高一下学期期未考试数学考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A版必修三、必修四.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知一个扇形的圆心角为5π6，半径为3．则它的弧长为A．5π3B．2π3C．5π2D．π22．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，303．已知向量a＝(2，0)，|b|＝1，a·b＝－1，则a与b的夹角为A．π6B．π4C．π3D．2π34．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为A．5.6 B．3.56 C．1.4 D．0.355．已知cos(2α－π6)＝－725，α∈(0，π2)，则cos(α－π12)＝A．－35B．35C．45D．－456．已知f (x )＝2sin(π3x ＋π6)，x ∈N ，则f (x )的值域为 A ．{12，－12} B ．{12，－12，－1} C ．{12，－12，1，－1} D ． {12，－1} 7．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和一带一路”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为A ．2800B ．3000C ．3200D ．34008．如图，在△ABC 中，若AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，用a ，b 表示AD →为( )A. AD →＝14a ＋14bB. AD →＝54a ＋14b C ．AD →＝34a ＋14b D ．AD →＝54a －14b9．已知函数f (x )＝5tan(2x ＋φ)(0＜φ＜π2)，其函数图像的一个对称中心是(π12，0)，则该函数的单调递增区间可以是 A ．(－5π6，π6) B ．(－π6，π3) C ．(－π3，π6) D ．(－5π12，π12) 10．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是A ．i ＜4？B ．i ＜5？C ．i ＜6？D ．i ＜7？11．已知函数f (x )＝a sin x ＋b tan x c cos x＋x 2＋1，若f (10)＝100，则f (－10)＝ A ．－100 B ． 98 C ．－102 D ．10212．已知向量a ＝(2sin α2，2cos 2 α2－22)，b ＝(cos α2，m )，若对任意的m ∈[－1，1]，a ·b ＞12恒成立，则角α的取值范围是 A ．(2k π＋5π12，2k π＋7π12)(k ∈Z) B ．(2k π＋7π12，2k π＋13π12)(k ∈Z) C ．(2k π－π12，2k π＋5π12)(k ∈Z) D ．(2k π－π12，2k π＋7π12)(k ∈Z)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f (x )＝(x 2－4x )cos x ，x ∈[－π2，π2]，该函数零点的个数为_______4 14．已知关于两个随机变量x ,y 的一组数据如下表所示，且x ,y 成线性相关.其回归方程为y ^＝a ^＋2.2x ，则当变量x ＝10时，变量y 的预测值应该是_________23.215．已知函数f (x )＝5sin(2x －π4)(x ∈R)，对于下列说法：①要得到函数g (x )＝5sin2x 的图象，只需将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度即可；②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3π8对称；③y ＝f (x )在[－π，π]内的单调递减区间为[3π8，7π8]上；④y ＝f (x ＋5π8)为奇函数.则上述说法中正确的是_____________(填入所有正确说法的序号) ②④16．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，若→AP ＝14→AB ＋12→AC ，则S △APC S △APB ＝________12三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知f (θ)＝sin(θ＋52π)cos(32π－θ)cos(θ＋3π)cos(－π2－θ)sin(－32π－θ). （1）化简f (θ)；（2）若sin θ＝35，且θ∈[π2，π]，求f (θ)的值. 18.（12分）已知向量a ＝(3，4)，b ＝(4，2).（1）当k 为何值时，ka ＋2b 与2a －b 垂直？（2）若→AB ＝2a ＋b ，→BC ＝a ＋μb ，且A ，B ，C 三点共线，求μ的值.19.（12分）某校从高一（1）班和（2）班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示（试卷满分为100分）。

5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 的部分图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案．
C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖
D．买一张彩票中奖的可能性是
【答案】D
【解析】
【分析】
彩票中奖的概率为 ，只是指中奖的可能性为
【详解】
彩票中奖的概率为 ，只是指中奖的可能性为 ，
不是买10000张彩票一定能中奖，
概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.
【点睛】
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，是否中奖是随机事件．
河南省新乡市2019-2020学年高一下期末联考数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意得圆心为 ，半径为 ．
圆心到直线的距离为 ，
由直线与圆有公共点可得
A． B．6C．3D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由 可得 ,即可求得 ,再对 平方处理,进而求解
【详解】
因为 ,所以 ,则 ,
所以 ,
则 ,
故选:A
【点睛】
本题考查向量的模,考查向量垂直的数量积表示,考查运算能力
10．已知无穷等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 ，下列条件中，使得 恒成立的是（）

2019-2020学年河南省新乡市新乡县第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．()sin 150-︒的值为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】A【解析】利用诱导公式可得所求的三角函数值. 【详解】()1sin 150sin150sin 302-︒=-︒=-︒=-, 故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，此类问题属于基础题.2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可 【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.故选：C【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题3．现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查；③从某社区100户高收人家庭，270户中等收人家庭，80户低收人家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（）A．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样【答案】D【解析】根据系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念判断．【详解】在①中，由于总体个数较少，故采用简单随机抽样即可；在②中，由于总体个数较多，故采用系统抽样较好；在③中，由于高收入家庭、中等收入家庭和低收人家庭的消费水平差异明显，故采用分层抽样较好.故选：D．【点睛】本题考查抽样的概念，掌握系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念是解题关键．4．据市场调查的数据可知，某商品受季节影响，各月的价格波动比较大，2019年1月到12月，该商品价格的涨跌幅度的折线图如图所示.根据折线图，下列结论错误的是（）A．2019年1月该商品价格涨幅最大B．2019年12月该商品价格跌幅最大C．2019年该商品2月的价格低于1月的价格D．2019年从9月开始该商品的价格一直在下跌 【答案】C【解析】根据折线图的变化情况判断涨幅、跌幅、上涨、下降等情况判断各选项． 【详解】根据折线图可知1，2019年1月该商品价格涨幅最大，12价格跌幅最大，从9月开始该商品的价格一直在下跌，2月的价格虽然涨幅小于1月的涨幅，但是价格仍在上涨， 故选：C. 【点睛】本题考查统计图，正确认识理解折线图是解题基础．5．已知扇形的圆心角为θ，其周长是其半径的3倍，则下列不正确的是（ ） A ．sin 0θ> B ．sin20θ>C ．cos30θ<D ．tan30θ>【答案】D【解析】由周长得到弧长也是半径长，此时圆心角就是1弧度的圆心角，再计算1、2的正弦，3弧度的余弦、正切，分别估算他们的正负可得到答案. 【详解】由题可知23l r r +=，则l r =，1θ=，又sin10>，sin 20>，cos30<，tan30<，故D 项错误. 故选：D. 【点睛】本题主要考查弧度制定义，并估算1、2、3弧度的三角函数值.6．执行如图所示的程序框图，若输入的()0,2x ∈，则输出的y ∈（ ）A ．（0，6）B ．（0，3]C ．（3，6）D ．（1，7）【答案】A【解析】由程序框图，判断程序功能是求分段函数的值域，分段求解即可得． 【详解】由程序框图可知24,01,3,12,x x x y x x ⎧-+<≤=⎨<<⎩，即求分段函数的值域.当01x <≤时，03y <≤；当12x <<时，36y <<. 综上可知，6()0,y ∈. 故选：A ． 【点睛】本题考查程序框图，解题方法是根据程序框图，确定程序功能，根据其所确定的数学函数求解．7．已知函数()f x 满足()()f x f x π=-，若函数sin y x =与()y f x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，66,()x y ⋅⋅⋅，则126x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0B ．3πC ．32π D ．6π【答案】B【解析】根据()f x 与sin y x =的图象都关于直线2x π=可对称即可以得出结果.【详解】()f x 与sin y x =的图象都关于直线2x π=可对称，所以两图象的交点也必然关于直线2x π=对称，所以126632x x x ππ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B. 【点睛】本题考查函数的对称性及三角函数的图象与性质，着重考查数形结合的数学思想，属于中档题.8．已知()()2310102a b =，则a b +=（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由进位制得a 为0或1，b 为1或2，再把它们化为十进制数后，可求得,a b ，得出结论． 【详解】由题知，a 为0或1，b 为1或2，因为()01232101122021229a a a ⨯+⨯+⨯+⨯=+=，()0123022303392b b b =⨯+⨯+⨯=+，所以2992a b +=+，则1a b ==，所以2a b +=故选：C ． 【点睛】本题考查进位制，掌握各个进位制数与十进制之间的转化是解题关键．.9．已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ） A ．25-B ．25C ．35D ．35【答案】D【解析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ=+， 则cosϕ=，sin ϕ=， 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.10．如图所示的程序框图是为了求出1111135719-+-+⋅⋅⋅-的值，那么在□和◇两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．()121iS S i -=+-和10?i >B ．()121iS S i -=+-和11?i >C ．()1121i S S i --=+-和10?i >D ．()1121i S S i --=+-和11?i >【答案】C【解析】根据程序框图与其求1111135719-+-+⋅⋅⋅-值的目的，判断即可. 【详解】在□和◇两个空白框中应分别填入()1121i S S i --=+-和“10?i >”.按照程序框图运行程序，0S =，1i =，则1S =，2i =，不满足10i >，循环；113S =-，3i =，不满足10i >，循环；11135S =-+，4i =，不满足10i >，循环；以此类推，1111135719S =-+-+⋅⋅⋅-，11=i ，满足10i >，则输出S .故1111135719S =-+-+⋅⋅⋅-.故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，属于基础题.11．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．22【答案】B【解析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.12．已知函数()[]()()cos 0,0,f x x ωϕωϕπ=->∈为奇函数，且在区间[]0,2π上存在不相等的两个实数1x 和2x ，使()()122f x f x +=，则ω的取值范围为（ ） A ．（0，1] B ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,+∞D ．5,4⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】根据函数奇偶性，可得2ϕπ=，由()()122f x f x +=，得2π内至少有2个最大值1即可得答案. 【详解】因为函数()[]()()cos 0,0,f x x ωϕωϕπ=->∈为奇函数，所以2ϕπ=，即()sin f x x ω=， 又()()122f x f x +=，所以当1x x =和2x x =时，()()12f x f x ，均取得最大值1， 且[]0,2x ωπω∈，所以522ππω≥，即54ω≥， 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和奇偶性、周期性.二、填空题13．一位男同学和两位女同学随机排成一列，则男同学不站在中间的概率为______. 【答案】23【解析】一位男同学编号为A ，两位女同学编号为,a b ，用列举法写出排列的所有基本事件，并得出所求事件中含有的基本事件，计数后可得概率． 【详解】一位男同学编号为A ，两位女同学编号为,a b ，则他们排成一列的事件有：,,,,,Aab Aba aAb abA bAa baA 共6个，其中男同学不站在中间的有,,,Aab Aba abA baA 共4个基本事件，故所求概率为4263=.故答案为：23．【点睛】本题考查古典概型，用列举法写出所有基本事件是解题的基本方法．14．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，2DE EC =，若BE x AB y AC =+，则x y -=______.【答案】32-【解析】先用BD DE 、表示BE ，再用AB AC 、表示BD DE 、，即可得到答案. 【详解】()121252232363BE BD DE AB DC AB AC AD AB AC =+=-+=-+-=-+，所以523632x y -=--=-. 故答案为：32-. 【点睛】本题主要考查向量的分解、线性运算.15．2cos802cos 501cos35cos 65cos55cos155︒︒︒︒︒︒-+=+ ______. 【答案】2-【解析】用余弦的二倍角公式，诱导公式，两角差的正弦公式化简可得． 【详解】原式()()2cos802cos 501cos80cos1002cos802sin 55cos65cos55sin 65sin 5565sin 10︒-︒+︒-︒︒====-︒︒-︒︒︒-︒-︒. 故答案为：2-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，解题中用到余弦的二倍角公式，诱导公式，两角差的正弦公式，属于中档题．16．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图所示的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.设1tan 2BEC ∠=，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE △中（阴影部分）的概率是______.【答案】59【解析】在Rt BCE 中，根据1tan 2BEC ∠=，解得sin BEC ∠，cos BEC ∠，然后用c ，分别表示a ，b ，得到三角形CDE 和梯形ABCD 的面积，代入几何概型的概率公式求解. 【详解】在Rt BCE 中，因为1tan 2BEC ∠=，所以sin BEC ∠=，cos BEC ∠=，cos a c BEC =∠，sin b c BEC =∠， 所以()()22222152=19cos sin 2CDE ABCDc S c P S c BEC BEC a b ===∠+∠+梯形△. 故答案为：59【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题.三、解答题17．已知点(1,)P m 是角α终边上的一点，且tan 3α=. （1）求m 的值； （2）求sin cos 2sin 3cos m αααα++的值.【答案】（1）3；（2）23. 【解析】（1）由正切函数的定义可以得到m 的值； （2）分子分母同时除以cos α，将tan α代入即可得结果. 【详解】（1）根据题意知tan 31mα==，所以3m =. （2）原式sin 3cos tan 322sin 3cos 2tan 33αααααα++===++.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及齐次式值的求法，属于基础题.18．某校高一年级举行“抗击新冠肺炎”在线知识问答比赛，现将60名参赛学生的成绩（满分100分）统计如下：分组频数频率[50，60）180.30[60，70）240.40[70，80）90.15[80，90）60.10[90，100]30.05（1）根据上面的统计表，作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这60名参赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数.【答案】（1）直方图见解析；（2）67分，65分.【解析】（1）由统计表算出各频率，作出频率分布直方图；（2）取各组数据中间值乘以频率再相加可得总平均值，求出频率0.5对应的成绩（此成绩在[60，70）之间]．【详解】（1）根据统计表，作出这些数据的频率分布直方图如图：（2）由表中数据可知，这60名参赛学生成绩的平均数550.3650.4750. 15850.1950.0567x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.因为这60名参赛学生成绩在[50，60）的频率为0.30.5<，成绩在[50，70）的频率为0.70.5>，所以这60名.参赛学生成绩的中位数在[60，70）之间.设这60名参赛学生成绩的中位数为x ，则()0.04600.2x ⨯-=，解得65x =， 故这60名参赛学生成绩的中位数为65分． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图求均值和中位数．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题． 19．已知向量(cos(),sin())66a x x ππ=--，向量(3,1)b =-，函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最大值； （2）若()f α-，52f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭是关于x 的方程225100x x t -+=的两根，且(0,)απ∈，求sin tan tan 1ααα-cos 1tan αα+-及t 的值.【答案】（1）2； （2）15，48-.【解析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合三角函数的最值，即可求解；（2）利用方程的根，推出三角函数的关系式，然后转化求解表达式的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量(cos(),sin())66a x x ππ=--，向量(3,1)b =-，可得函数3cos()sin()2cos()2cos 66()66x x x x f x a b ππππ=---=⋅-+==， 因为1cos 1x -≤≤，所以函数()f x 的最大值为2.（2）由（1）可得()2cos f αα-=，5()2sin 2f παα-= 因为()f α-，5()2f πα-是关于x 的方程225100x x t -+=的两根， 即2cos α，2sin α是关于x 的方程225100x x t -+=的两根，且(0,)απ∈，所以22cos 2sin ,4cos sin 525t αααα+==， 因为2(cos sin )12sin cos αααα+=+，所以112550t =+，解得48t =-， 所以sin tan tan 1ααα-22cos sin cos 1sin cos 1tan sin cos sin cos 5αααααααααα+=-=+=---.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及两角和与差的三角函数及三角函数的化简求值，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 20．已知函数()22cos 4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求()f x 图象的对称中心；（2）若动直线,42x t t ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭与函数()f x 和函数()1x g x =+的图象分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的取值范围. 【答案】（1）(),12k Z k π⎛⎫⎪⎭∈⎝；（2）[1，2]. 【解析】（1）先把函数化简，得()sin 21f x x =+，令()2x k k Z π=∈，从而可求得其对称中心；（2）由题意可得()()MN f t g t =-，把函数代入化简，再利用正弦函数的性质求得结果 【详解】（1）()1cos 2sin 212f x x x π⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭， 令()2x k k Z π=∈，则()2k x k Z π=∈，所以()f x 图象的对称中心为(),12k Z k π⎛⎫⎪⎭∈⎝. （2）()()sin 2121sin 222sin 23MN f t g t t t t t t π⎛⎫=-=+-==- ⎪⎝⎭， 因为,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363t πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,2MN ∈，即线段MN 的长度的取值范围为[1，2] 【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质，考查三角函数恒等变换公式的应用，属于中档题 21．“城管喊你摆地摊啦!”为了释放地摊经济活力，为市民提供灵活多样化的便民服务，某地区为市民在城区设置了流动摊贩临时摆放点.小张为参与地摊创业，调查了该地区甲、乙两个行业地摊摊主5年内的年收人，制作了如下统计数据表（1）根据表格，对比甲、乙两个行业摊主这5年的年收入情况（已知甲、乙两个行业的年收入的5个数据的方差分别为2.852，7.232），判断小张在这两个地摊行业中选择哪个创业更合适；（2）根据甲行业摊主这5年年收入的数据，求其年收入y 关于年份x 的线性回归方程，并据此估计甲行业摊主在2020年的年收入.附：回归方程y bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为21122211()()n ni iii i nniii i x y nx y x x b xnxx x ====--==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）甲行业；（2） 1.192390.23y x =-，13.57万元.【解析】（1）求出两个均值，结合方差可得；（2）根据所给公式计算出回归方程的系数得回归方程，令2020x=可得估值．【详解】（1）根据表格，7.88.61011.112.5105y++++==，6.210.68.2 6.613.495z++++==，2 2.852yS=，27.232zS=，因为y z>，22y zS S<，且甲行业摊主这5年的年收入情况一直呈现递增趋势，因此小张选择甲行业创业更合适. （2）2017x=，()()()()()121()2 2.21 1.40 1.12 2.51.1910()ni iiniix x y ybx x==---⨯-+-⨯-+++⨯===-∑∑，10 1.1920172390.23a y bx=-=-⨯=-，所以年收入y关于年份x的线性回归方程为 1.192390.23y x=-.当2020x=时， 1.1920202390.2313.57y=⨯-=，故甲行业摊主在2020年的年收入估计值为13.57万元.【点睛】本题考查均值与方差的应用，考查线性回归直线方程及应用．考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．22．如图，M为ABC的重心，过点M的直线分别交AB，AC于P，Q两点，设AP xAB=，AQ y AC=，记()y f x=.（1）求11x y+的值；（2）设函数()sin cos sin cos g x x x x x m =+-+，若对任意11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.【答案】（1）3；（2）0,12⎡⎤+⎣⎦.【解析】（1）设D 为BC 的中点，则由已知可得()21113333AM AD AB AC AP AQ x y==+=+，而P ，M ，Q 三点共线，从而可得11133x y+=，进而可得结果； （2）由（1）可得()31xy f x x ==-，再利用函数的单调性求出函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用换元法和二次函数的性质求出()g x 的值域为2122,12m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦，而由已知可知12122,1,122m m ⎡⎤--⎡⎤⊆+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而可求出m 的取值范围 【详解】（1）设D 为BC 的中点.∵过点M 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点， 又∵AP xAB =，AQ y AC =，∴()21113333AM AD AB AC AP AQ x y==+=+， 又∵P ，M ，Q 三点共线，∴11133x y +=，∴113x y+=.（2）由（1）知113x y +=，∴()31xy f x x ==-.∵()11331331x f x x x ==+--在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内是减函数，∴.()()min 112f x f ==，()max 112f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭==，即函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.()sin cos sin cos g x x x x x m =+-+，令sin cos t x x =+，则2112sin cos sin cos 2t t x x x x -=+⇒=. 故()()21sin cos sin cos 2t g x x x x x m h t t m -=+-+==-+，故()()21112h t t m =--++.又sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()h t的值域为2112m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦，∴()g x的值域为2112m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦.由题设得121,1122m m ⎡⎤--⎡⎤⊆+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则211,2211,m m ⎧--≤⎪⎨⎪+≥⎩解得01m ≤≤m的取值范围是0,1⎡+⎣.【点睛】此题考查平面向量共线定理的应用，考查函数值域的求法和函数恒成立问题的应用，考查数学转化思想和运算能力，属于中档题。

二、填空题
13．函数 的最小正周期是__________．
14．从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是__________．
15．在平行四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上（不与端点重合），且 ，则 的取值范围为__________．
A． B． C． D．
11．向边长为1的正方形 内随机投入 粒芝麻，假定这些芝麻全部均匀地落入该正方形中，发现有 粒芝麻离点 的距离不大于1，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（ ）
ห้องสมุดไป่ตู้A． B． C． D．
12．已知函数 ，对任意的 ，方程 有两个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【全国市级联考】河南省新乡市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数，又是周期函数的是（ ）
5．B
【解析】
分析：利用两角和的正切函数，化简求解即可.
详解： ，
即有 ，
故选：B.
点睛：本题考查两角和与差的正切函数，考查计算能力.
6．A
【解析】
分析：计算 ，运用诱导公式，得到 ，由 ，即可得到 .
详解：函数
则 ，
即有 ，
又 ，
则 .
故选：A.
点睛：本题考查函数的奇偶性的运用，求函数值，考查运算能力，属于基础题.