课时作业12

课时作业12[基础演练]1．下列加点字的读音都相同的一项是()A．载．货登载．刊载．转载．B．落．伍落．选落．枕落．炕C．直角．画角．口角．角．色D．喷．壶喷．泉喷．射喷．嚏解析：D项中的“喷”都读pēn；A项“载货”中的“载”读zài，其余都读zǎi；B项前两组中的“落”都读luò，后两组中的“落”都读lào；C项前两组中的“角”都读jiǎo，后两组中的“角”都读jué。

答案：D2．下列各组词语中没有错别字的一组是()A．辉煌嬉戏耸入云天眉目传情B．枯竭忌讳转瞬即失活灵活现C．横亘伶俐扭转乾坤洗耳躬听D．翌日引擎不可逾越谈笑风声解析：B项“转瞬即失”的“失”应为“逝”；C项“洗耳躬听”的“躬”应为“恭”；D项“谈笑风声”的“声”应为“生”。

答案：A3．依次填入下列各句横线处的词语，正确的一项是()①上午9时整，随着一声惊天动地的巨响，巨型运载火箭喷射出一团橘红色的烈焰，________着载人飞船拔地而起，直刺九霄……②苏联成功发射人造卫星的消息，________了最早具有飞天梦想的中国人。

③1992年9月21日，中共中央政治局常委召开会议，作出________中国载人航天工程的战略决策。

④1970年，19位优秀的飞行员被列入了预备航天员的名单。

他们都经过了近乎________的各种身体测试。

A．托举震惊实行苛刻B．带着震动实行苛求C．托举震动实施苛刻D．带着震惊实施苛求解析：①“托举”把火箭推动飞船飞上天的状态很形象地表达出来，而“带着”则应是火箭在前，飞船在后，这不符合实际情况，用词不准确。

②“震动”(重大的事情或消息等)使人心不平静；“震惊”则是使大吃一惊的意思。

③“实施”虽也有实行(法令、政策等)的意思，但它比“实行”更正规一些，它后面往往跟的是“法令”“政策”等。

④“苛求”后面往往有宾语，而“苛刻”一般没有。

答案：C4．下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是()A．这一恶性案件发生后，上级领导马上下达了限期破案的指令，公安机关立即倾巢而出．．．．，设卡排查，不久，就抓获了几个主要的犯罪分子。

§2.4 抛物线2．4.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 2．若抛物线y 2＝ax 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的左焦点重合，则a 的值为( ) A ．－4 B ．2 C ．－8 D ．43．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于点A .若|AF |＝3，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±22)D ．(1，±2)6．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)二、填空题7．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________．8．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________． 9．已知抛物线y 2＝2x 上一点P (m,2)，则m ＝________，点P 到抛物线的焦点F 的距离为________．10．已知抛物线y 2＝4x 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是________．三、解答题11．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．12．某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米．一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．答案精析1．B [由y ＝4x 2得x 2＝14y ，∴开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116.] 2．C [由椭圆可知左焦点坐标为(－2,0)，∴抛物线开口向左且p 2＝2，∴p ＝4， 故方程为y 2＝－8x ，∴a ＝－8.]3．C [抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，它与圆相切，所以必有 3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2.] 4．D [a 2x 2＋b 2y 2＝1，可化为x 21a 2＋y 21b 2＝1， 因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，其表示焦点在y 轴上的椭圆；而ax ＋by 2＝0可化为y 2＝－a bx ，其表示开口向左的抛物线，故应选D.]5．C [∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，∴A 点的横坐标为2，代入抛物线方程中得纵坐标为±22，故选C.]6．B [抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题设知－p 2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.]7．y 2＝－4x解析 由题意可设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)，则有－p 2＝－1，得p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝－4x .8．y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1， ∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p 2＝4，即p ＝8，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x . 9．2 52解析 将(m,2)代入抛物线中得4＝2m ，得m ＝2，由抛物线的定义可知点P 到抛物线的焦点F 的距离为2＋12＝52. 10．2解析 设AB 中点为M ，准线为x ＝－1，焦点F (1,0)，过M 作准线的垂线MN ，作AC 垂直准线于C ，BD 垂直准线于D ，则：MN ＝AC ＋BD 2， 由抛物线的性质 ：AC ＝AF ，BD ＝BF ，所以MN ＝AF ＋BF 2， AF ＋BF ≥AB ，当AB 过F 点时，满足AF ＋BF ＝AB ，所以，MN ≥AB 2，又AB ＝6， 所以，MN ≥3，设M 到y 轴的距离为d ，显然有：d ＝MN －1，所以，d ≥2，即AB 中点M 到y 轴最短距离为2.11．解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1，由此知道双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1. 12.解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系(如图)．设抛物线的方程是x 2＝－2py (p >0)，由题意知(4，－5)在抛物线上，故：16＝－2p ×(－5)，所以p ＝85， 则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)， 设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于B ，B ′时，木船开始不能通航，设B (2，y ′)，所以22＝－165y ′⇒y ′＝－54，即水面与拱顶相距为0.75＋54＝2(米)，故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船不能通航．13．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8， 即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2 ＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4.从而抛物线方程为y 2＝8x .。

第2课时 等比数列的性质一、选择题1.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( )A.7B.8C.9D.16答案 B解析 点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8.2.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为( )A.100B.－100C.10 000D.－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106，即a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5. 解得q ＝26或36(舍去)，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32. 4.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13B.3C.±13D.±3 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝1350，又∵数列{a n }各项均为正数，∴a 5＝1650.∴a 4a 5a 6＝a 35＝1250＝5 2. 6.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( ) A.1＋ 2 B.1－2 C.3＋2 2 D.3－2 2答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 7.设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A.230B.210C.220D.215答案 C解析 ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，∴a 301·q 1＋2＋3＋…＋29＝a 301·29302q ⨯＝230，∴a 1＝2722-，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·91032()q ⨯＝(2722-×22)10×(23)45＝220.二、填空题8.设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝ .答案 18解析 由题意，得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18.9.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝ .答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10.已知数列{a n }成等比数列.若a 2＝4，a 5＝－12，则数列{a n }的通项公式是 . 答案 a n ＝4×⎝⎛⎭⎫－12n －2，n ∈N ＋ 解析 由a 5＝a 2q 3，得－12＝4·q 3， 所以q ＝－12. a n ＝a 2q n －2＝4×⎝⎛⎭⎫－12n －2，n ∈N ＋. 11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝ . 答案 8解析 由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27， ∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4.∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质，知b 5＋b 9＝2b 7＝8.三、解答题12.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.解 设{a n }的公差为d ，由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d ).若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1，n ∈N ＋.13.已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列12n b b b a a a ，，…，，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式.解 由题意知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{n b a }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以n b a ＝a 1·3n －1，① 又n b a ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，② 由①②，得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. ∵a 1＝2d ≠0，∴b n ＝2·3n －1－1，n ∈N ＋.四、探究与拓展14.已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n＝ . 答案 32解析 不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的根，则其另一根为4， ∴m ＝4＋12＝92； 对方程x 2－nx ＋2＝0，设其根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则x 1x 2＝2，∴等比数列为12，x 1，x 2，4， ∴q 3＝412＝8，∴q ＝2， ∴x 1＝1，x 2＝2，∴n ＝x 1＋x 2＝1＋2＝3，∴m n ＝92×3＝32. 15.在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；(3)试比较a n 与S n 的大小.(1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数(q ＞0)， 所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1， 因此S n ＝4n ＋n (n －1)2(－1)＝9n －n 22. 又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16， 所以a n ＝25－n (n ∈N ＋).(3)解 显然a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0， 所以n ≥9时，a n ＞S n ；又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18， S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， 所以当n ＝3，4，5，6，7，8时，a n ＜S n ；当n ＝1，2或n ≥9时，a n ＞S n .。

3.2.1 直线的点斜式方程一、选择题1.已知直线方程y -x -4),则这条直线经过的已知点和倾斜角分别是( )A.(4,3);60°B.(-3,-4);30°C.(4, 3);30°D.(-3,-4);60°2.直线y =kx +b 通过第一、三、四象限,则有 ( )A.k >0,b >0B.k >0,b <0C.k <0,b >0D.k <0,b <03.设集合A ={x |x 为直线的斜截式方程},B ={x |x 为一次函数的解析式},那么集合A 与集合B 的关系为 ( )A.A =BB.A ⊆BC.B ⊆AD.以上都不对4.下列四个结论:①方程k =21y x -+与方程y -2=k (x +1)可表示同一直线; ②直线l 过点P (x 1,y 1),倾斜角为π2,则其方程为x =x 1; ③直线l 过点P (x 1,y 1),斜率为0,则其方程为y =y 1;④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4 5.与直线y =2x +1垂直,且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ( )A.y =12x +4 B.y =2x +4 C.y =-2x +4D.y =12-x +4 二、填空题6.直线l 1与直线l 2:y =3x +1平行,又直线l 1过点(3,5),则直线l 1的方程为 .7.直线y =ax -3a +2(a ∈R )必过定点 .8.直线l 的方程为y -a =(a -1)(x +2),若此直线在y 轴上的截距为10,则a = .三、解答题9.已知三角形的顶点坐标是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程.10.求满足下列条件的直线方程:(1)倾斜角为直线y =x -1)的倾斜角的一半,且在y 轴上的截距为-10.(2)在x 轴上的截距为4,而且与直线y =12x -3垂直.11.(能力挑战题)直线l 的斜率为16-,且和两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为3,求直线l的方程.【参考答案】一、选择题1.A【解析】直线过点(4,3),故倾斜角为60°.2.B【解析】由图象知, k >0,b <0.3.C【解析】直线的斜截式方程y =kx +b 中的k 可以为0,一次函数y =kx +b 中k ≠0,故选C.4.B【解析】①中k =21y x -+表示的直线上少一点(-1,2),y -2=k (x +1)则表示整条直线,故不正确;②③正确;直线斜率不存在时,无法用点斜式和斜截式方程表示,故④不正确.5.D【解析】与直线y =2x +1垂直,故斜率为12-,所以要求的直线方程为y =12-x +4. 二、填空题6. y -5=3(x -3)【解析】直线l 1与直线l 2:y =3x +1平行,故其斜率为3,又过点(3,5),所以方程为y -5=3(x -3).7. (3,2)【解析】将直线方程变形为y -2=a (x -3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).8. 4【解析】x =0时,y =3a -2,令3a -2=10,解得a =4.三、解答题9.解：直线AB 的斜率k AB =303(5)----=38-,过点A (-5,0), 由点斜式得y =38-(x +5),即3x +8y +15=0;同理,k BC =2303+-=53-,k AC =2005-+=25, 直线BC ,AC 的方程分别为5x +3y -6=0,2x -5y +10=0.10.解：(1)直线y =(x -1)的斜率为α=得倾斜角α=120°,故所求直线的斜率k =tan 60°直线方程为y x -10.(2)在x 轴上的截距为4,故直线过点(4, 0),与直线y =12x -3垂直,故斜率为-2, 由直线的点斜式得y =-2(x -4).11. (能力挑战题)解：直线l 的斜率为16-,设在y 轴上的截距为b (b >0), 则方程为y =16-x +b ,所以与x 轴的交点为(6b ,0), 所以与两坐标轴围成的三角形的面积S =12·6b ·b =3, 解得b =1,直线l 的方程为y =16-x +1.。