等差数列题目100道
- 格式：doc
- 大小：87.00 KB
- 文档页数：6
等差数列题目100道
一、基础概念类题目
1. 已知数列{a_n}满足a_{n + 1}-a_n = 3，a_1 = 2，求数列{a_n}的通项公式。
- 解析：因为a_{n + 1}-a_n = d = 3（d为公差），a_1 = 2。根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。
2. 在等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_{10}。
- 解析：首先求公差d，d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。由a_3=a_1+(3 - 1)d，即7=a_1 + 2×2，解得a_1 = 3。那么a_{10}=a_1+(10 -
1)d=3+9×2 = 21。
3. 若数列{a_n}为等差数列，且a_2=5，a_6 = 17，求其公差d。
- 解析：根据等差数列通项公式a_n=a_m+(n - m)d，则a_6=a_2+(6 - 2)d，即17 = 5+4d，解得d = 3。
4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=-1，公差d = 2，求该数列的前n项和S_n的公式。
- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，将a_1=-1，d = 2代入可得S_n=-n+(n(n - 1))/(2)×2=n^2 - 2n。
5. 在等差数列{a_n}中，a_1 = 1，a_{10}=19，求S_{10}。 - 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，这里n = 10，a_1 = 1，a_{10}=19，则S_{10}=(10×(1 + 19))/(2)=100。
二、性质应用类题目
6. 在等差数列{a_n}中，若a_3+a_8+a_{13}=12，求a_8的值。
- 解析：因为在等差数列中，若m,n,p,q∈ N^+，m + n=p+q，则a_m +
a_n=a_p + a_q。对于a_3+a_8+a_{13}，3+13 = 8+8，所以a_3+a_{13}=2a_8，则3a_8 = 12，解得a_8 = 4。
7. 已知等差数列{a_n}，a_1+a_9 = 10，求a_5的值。
- 解析：在等差数列中，a_1+a_9 = 2a_5，已知a_1+a_9 = 10，所以2a_5 =
10，解得a_5 = 5。
8. 等差数列{a_n}中，a_4 = 5，a_9 = 15，求a_{14}。
- 解析：根据等差数列的性质，若m,n,p∈ N^+，m + p = 2n，则a_m+a_p
= 2a_n。这里4+14=2×9，所以a_4+a_{14}=2a_9，将a_4 = 5，a_9 = 15代入得5+a_{14}=2×15，解得a_{14}=25。
9. 在等差数列{a_n}中，a_2+a_7+a_{12}=24，求S_{13}。
- 解析：由等差数列性质a_1+a_{13}=a_2+a_{12}=a_3+a_{11}=·s=2a_7。因为a_2+a_7+a_{12}=24，即3a_7 = 24，a_7 = 8。而S_{13}=frac{13(a_1 +
a_{13})}{2}=13a_7 = 13×8 = 104。 三、综合应用类题目
10. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_1 = 10，S_{10}=0，求公差d。
- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，已知a_1 =
10，n = 10，S_{10}=0，则0 = 10×10+(10×9)/(2)d，即100 + 45d=0，解得d=-(20)/(9)。
11. 已知等差数列{a_n}中，a_1 = 3，d = 2，S_n = 21，求n的值。
- 解析：由S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，将a_1 = 3，d = 2，S_n = 21代入得21=3n+(n(n - 1))/(2)×2，化简为n^2+2n - 21 = 0，即(n + 7)(n - 3)=0，解得n
= 3或n=-7（舍去），所以n = 3。
12. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6 = 36，求S_9的值。
- 解析：根据等差数列前n项和的性质S_n，S_{2n}-S_n，S_{3n}-S_{2n}也成等差数列。这里n = 3，S_3 = 9，S_6 = 36，则S_3，S_6 - S_3，S_9 - S_6成等差数列。S_6 - S_3=36 - 9 = 27，设S_9=x，则2×27=9+(x - 36)，解得x = 81，即S_9 = 81。
13. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3 = 5，S_3 = 9，求a_{10}。
- 解析：首先由S_3=(3(a_1 + a_3))/(2)=9，a_3 = 5，可得(3(a_1 +
5))/(2)=9，解得a_1 = 1。又因为a_3=a_1+(3 - 1)d，a_3 = 5，a_1 = 1，则5 =
1+2d，解得d = 2。所以a_{10}=a_1+(10 - 1)d=1+9×2 = 19。
四、实际应用类题目 14. 有一堆钢管，最上层有3根，最下层有13根，共11层，且每层相差1根，求这堆钢管的总数。
- 解析：将这堆钢管的数量看作是一个等差数列的前n项和，a_1 = 3（最上层钢管数），a_{11}=13（最下层钢管数），n = 11。根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，可得S_{11}=(11×(3 + 13))/(2)=88，所以这堆钢管总数为88根。
15. 一个等差数列的首项为10，公差为- 2，从第n项起各项均为负数，求n的值。
- 解析：根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，a_1 = 10，d=-2，则a_n=10+(n - 1)×(-2)=12 - 2n。令a_n<0，即12 - 2n<0，解得n > 6，所以从第7项起各项均为负数。
16. 小明计划在一周内背诵单词，第一天背诵10个单词，以后每天比前一天多背诵3个单词，求他这一周背诵单词的总数。
- 解析：这是一个等差数列问题，a_1 = 10（第一天背诵单词数），d = 3（每天增加背诵的单词数），n = 7（天数）。根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，可得S_7=7×10+(7×6)/(2)×3=70 + 63 = 133，所以他这一周背诵单词总数为133个。
五、数列间关系类题目 17. 已知数列{a_n}和{b_n}都是等差数列，a_1 = 1，b_1 = 3，a_{10}+b_{10}=50，求数列{a_n + b_n}的前10项和S_{10}。
- 解析：因为{a_n}和{b_n}都是等差数列，所以{a_n + b_n}也是等差数列。根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，这里n = 10，a_1 + b_1=1 + 3 =
4，a_{10}+b_{10}=50，则S_{10}=(10×(4 + 50))/(2)=270。
18. 设数列{a_n}是等差数列，a_1 = 2，a_2 = 4，数列{b_n}满足b_n=a_{n+1}-a_n，求数列{b_n}的通项公式。
- 解析：因为{a_n}是等差数列，a_1 = 2，a_2 = 4，则公差d=a_2 - a_1=2。a_n=a_1+(n - 1)d=2+(n - 1)×2 = 2n。b_n=a_{n + 1}-a_n=[2(n + 1)]-2n=2，所以{b_n}的通项公式为b_n = 2。
19. 已知数列{a_n}是等差数列，a_3 = 1，a_7=-9，设b_n=(1)/(a_n· a_{n +
1)}，求数列{b_n}的前n项和T_n。
- 解析：首先求{a_n}的通项公式，公差d=(a_7 - a_3)/(7 - 3)=(-9 - 1)/(4)=-
(5)/(2)，a_1=a_3-(3 - 1)d=1-2×(-(5)/(2))=6，a_n=a_1+(n - 1)d=6+(n - 1)×(-(5)/(2))=(17 - 5n)/(2)。
- 则b_n=(1)/(a_n· a_{n + 1)}=(4)/((17 - 5n)(12 - 5n))，b_n=(4)/(5)((1)/(12
- 5n)-(1)/(17 - 5n))。
- T_n=(4)/(5)[((1)/(7)-(1)/(12))+((1)/(2)-(1)/(7))+·s+((1)/(12 - 5n)-(1)/(17 -
5n))]=(4)/(5)((1)/(12 - 5n)-(1)/(12))。 20. 设数列{a_n}是等差数列，a_1 = 1，a_{n + 1}=a_n+2n，求a_n的通项公式。
- 解析：a_{n + 1}-a_n=2n。
- a_n=(a_n - a_{n - 1})+(a_{n - 1}-a_{n - 2})+·s+(a_2 - a_1)+a_1。
- a_n=2(n - 1)+2(n - 2)+·s+2×1+1。
- 由等差数列求和公式1+2×((n - 1)n)/(2)=n^2 - n + 1，所以a_n=n^2 - n
+ 1。
