福建福州市10-11学年高一下学期期末模块考试试卷(4)(数学)扫描版

2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题1．在ABC 中，3a =，1b =，60A =︒，则B =（）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【答案】A【分析】由正弦定理求得sin B ，再结合边的关系即可得解．【详解】由正弦定理sin sin a b A B=，所以31sin 12sin 23b A B a ⨯===，又a b >，所以A B >所以30B = ．故选：A.2．已知水平放置的ABC 按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，2A O ''=，那么ABC 的周长为（）A ．6B ．222+C ．2215+D ．2217+【答案】D【分析】根据斜二测画法的规则作出原图ABC ，求出各个边长即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则作出原图ABC 如图：由直观图中1B O C O ''''==，2A O ''=，可得ABC 中，1BO CO ==，4AO =，因为AO BC ⊥，则224117AB AC ==+=，又底边2BC =，所以ABC 的周长为2217+.故选：D.3．某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计.将所得成绩分成5组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.则第4组的学生人数为（）A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】A【分析】先根据频率分布直方图中小矩形面积之和等于1，求出m 的值，再由第四个小矩形面积乘以100即可求解.【详解】由图可得:()0.010.020.060.0751m ++++⨯=，解得0.04m =，所以第四组的人数为0.04510020⨯⨯=.故选：A.4．设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）①//m α，//αβ，则//m β；②m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ；③m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥；④n β⊂，m α⊥，//m n ，则αβ⊥.A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D【分析】根据线面平行和面面平行的性质可判断①②；根据线面垂直和面面垂直的性质可判断③④，由此可得选项.【详解】解：①若//m α，//αβ，则//m β或m β⊂，故①错误；②若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n 或m 与n 异面，故②错误；③若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，又n β⊥，则m n ⊥，故③正确；④若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，m α⊥，可得αβ⊥，故④正确.故选：D.5．设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（）A ．89B ．223C ．63D ．23【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，求得圆锥的侧面积和底面积，即可得出母线长和半径的关系，然后利用勾股定理即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由题意得23rl r ππ=，解得3l r =，又222l r h =+，则22h r =，223h l =．故选：B.6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，3CO CE →→=，BE 的延长线与CD 交于点F .若→→=AB a ，AD b →→=，则EF →=（）A ．6176a b→→-B ．11306a b→→-+C ．11306a b→→+D ．61+76a b→→【答案】B【分析】根据向量的线性运算律进行运算.【详解】解：如图所示：由3CO CE →→=得15CE EA =，由//DC AB 得EFC ∽EBA △，∴15CF CE AB EA ==，又∵DC AB =，∴15CF DC =，111111116565306306EF EC CF AC CD DC DA DC DC DA a b →→→→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=--=--=-+ ⎪⎝⎭，故选：B.7．已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，体积为23，M 为1A B 中点，则点M 到平面11A B C的距离为（）A ．217B ．455C ．77D ．233【答案】A【分析】根据三棱柱的体积求出棱长，设M 到平面11A B C 的距离为d ，利用1111M A B C C A B M V V --=以及棱锥的体积公式即可求解.【详解】直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，设棱长为a ，因为体积为23，所以213234ABC V S AA a a =⋅=⋅= ，解得：2a =，设点M 到平面11A B C 的距离为d ，因为112A B =，1122CB CA ==，所以11A B C 中，11A B 边上的高为()222217-=，则1112772CA B S =⨯⨯= ，取AB 的中点H ，连接CH ，则CH AB ⊥，因为1AA ⊥面ABC ，CH ⊂面ABC ，所以1AA ⊥CH ，因为1AA AB A = ，所以CH ⊥面11ABB A ，在ABC 中，3CH =，由1111M A B C C A B M V V --=，即11111133B M CA B A d S CH S ⋅⋅=⋅⋅ ，即1117321332d ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，解得：217d =，故点M 到平面11A B C 的距离为217，故选：A.8．下列四个命题正确的个数为（）①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为16；②现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；③新高考改革实行“312++”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为12.A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】对于①，利用列举法分析判断，对于②，利用百分位数的定义求解即可，对于③，利用列举法分析判断【详解】①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为6636⨯=种，向上点数之和不小于10的基本事件有()4,6，()5,5，()5,6，()6,4，()6,5，()6,6共6种，所以所求事件的概率61366P ==，故①正确，②：因为775% 5.25⨯=，所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68，故②错误，③：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为246C =，选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）共3种，所以所求事件的概率3162P ==，故③正确，故选：B.二、多选题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是11,A D BD 的中点，则（）A ．四点A ，M ，N ，C 共面B ．MN ∥CDC ．1AD ∥平面1BCD D ．若1MN =，则正方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为12π【答案】BD【分析】连接1AD 和1BC ，由此可知点A ，M ，N 在平面11ABC D 中，而点C 不在平面11ABC D 中，即可判断选项A ；由已知得MN 为△1ABD 的中位线，利用中位线的性质即可判断选项B ；由已知得点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,1A D 与平面11A BCD 相交，即可判断选项C ；由1MN =即可求得正方体的棱长为2，则可以求出正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径，即可判断选项D .【详解】对于选项A ，连接1AD 和1BC ，由此可知点A ，M ，N 在平面11ABC D 中，点C ∉平面11ABC D ，则四点A ，M ，N ，C 不共面，即选项A 不正确；对于选项B ，由正方体的性质结合条件可知M ，N 分别是11,AD BD 的中点，所以MN ∥AB ,又因为CD ∥AB ,所以MN ∥CD ，即选项B 正确；对于选项C ，点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,所以1A D 与平面1BCD 相交，即选项C 不正确；对于选项D ，因为MN 为△1ABD 的中位线，且1MN =，所以正方体的棱长为2，设正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为R ,则2221112=23R D A AA AB ++=,即3R =，则外接球的表面积为24π12πS R ==,即选项D 正确；故选：BD .10．已知复数13z i =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z=，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为32i 【答案】ABC【分析】对选项,A 求出13=22w i -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为32,判断得解.【详解】对选项,A 由题得13,z i =--213(13)22313=42213(13)(13)i i i w i ii i -----+∴===-+-+-+--.所以复数w 对应的点为13(,)22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为13144w =+=，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为32,所以选项D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A ．甲与乙互斥B ．乙与丙互斥C ．甲与乙独立D ．甲与乙对立【答案】BC【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项.【详解】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A 错误.事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B 正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A 表示事件甲，用B 表示事件乙，()()()111,,224P A P B P AB ===，则()()()P AB P A P B =，所以甲与乙独立，C 正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.故选：BC12．设△ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，若2cos sin cos sin ac A B b B C =，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理与二倍角的正弦公式可得A B =或2A B π+=，从而可得正确的选项.【详解】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===知：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，由2cos sin cos sin ac A B b B C =知：2224sin sin cos sin 4sin cos sin R A C A B R B B C=所以sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，而(),,0,A B A B π+∈，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=所以△ABC 是等腰三角形，或直角三角形，故选：AC.三、填空题13．已知一组数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3（其中a R ∈），则中位数为．【答案】3.5【分析】首先根据平均数求出参数a ，即可一一列出数据，再求出数据的中位数即可；【详解】解：因为数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3，所以32451936a a -+++-++=⨯，解得2a =，所以则组数据分别是3,4,4,3,1,9-，按从小到大排列分别为3,1,3,4,4,9-，故中位数为343.52+=故答案为：3.514．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =.【答案】22【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为.【答案】2764【分析】直接利用二项分布的概率公式即可求解【详解】由题意，甲每轮获胜的概率都是34，且各轮比赛结果互不影响，所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为223332714464C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2764.16．已知正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为.【答案】92π【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.【详解】设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为45，∴21421452b ⨯⨯⨯-=，解得6b =，∴正四棱锥P ABCD -的高622h =-=，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在正四棱锥P ABCD -的高所在直线上，如图，设球O 的半径为R ，则()()22222R R -+=，解得32R =，则球O 的体积为334439R 3322V πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：92π.四、解答题17．已知函数()2332sin cos 3sin cos 222f x x x x x =+--．(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)若θ为锐角，π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos θ的值．【答案】(1)511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)255【分析】（1）利用三角变换公式可得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用整体法可求单调减区间.（2）利用两角差的余弦可求cos θ的值.【详解】（1）()223sin 23sin 2cos sin 23cos 22sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+-⨯=-=- ⎪⎝⎭，令3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，则511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数()f x 的单调递减区间为511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得10sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因θ为锐角，故444πππθ-<-<，而sin 04πθ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故044ππθ<-<，所以310cos 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而2241025cos cos cos sin 442442105ππππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.18．已知平面向量a →，b →满足()1,3a →=，102b →=.（1）若//b a →→，求b →的坐标；（2）若25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求32a b →→-的值；（3）若a →在b →上的投影向量为2b →-，求a →与b →的夹角.【答案】（1）13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）310；（3）34π.【分析】（1）由题意设()1,3b λ→=，解方程2210132λ+=即得解；（2）根据25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出56a b →→⋅=，利用22329124a b a a b b →→→→→→-=-⋅+求解；（3）设a →与b →的夹角为θ，[0,]θπ∈，解方程cos 2ba b b θ→→→→⋅⋅=-得解.【详解】解：（1）由题意设()1,3b λ→=，2210132b λ→=+=，解得12λ=±，即13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，（2）∵25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴250a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222950a a b b →→→→-⋅-=，即()22102139504a b →→⨯+-⋅-⨯=，故56a b →→⋅=，所以22329124*********a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=-+=，（3）设a →与b →的夹角为θ，[0,]θπ∈，则cos 2b a b b θ→→→→⋅⋅=-，即10cos 2102b b θ→→⋅⋅=-，即2cos 2θ=-，因为[0,]θπ∈，所以34πθ=.所以a →与b →的夹角为34π.19．某大学为调研学生在A 、B 两家餐厅用餐的满意度，从在A 、B 两家都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分为6组：[010)，、[10)20，、[20)30，、[30)40，、[40)50，、[5060]，，得到A 餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：（1）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（2）从对B 餐厅评分在[020)，范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[010)，范围内的概率.（3）如果从A 、B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.【答案】（1）20人；（2）35；（3）选择B 餐厅用餐，理由见解析.【分析】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图得频率，从而得人数；（2）对B 餐厅评分在[010)，范围内的有2人，记为m 、n ，对B 餐厅评分在[10)20，范围内的有3人，记为a 、b 、c ，用列举法写出任选2人可能，计数后可计算出所求概率；（3）由（1）（2）比较得分低于30分的人数可得结论．【详解】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30分的频率为：(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，∴对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=人，（2）对B 餐厅评分在[010)，范围内的有2人，设为m 、n ，对B 餐厅评分在[10)20，范围内的有3人，设为a 、b 、c ，从这5人中随机选出2人的选法为：mn 、ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc 、ab 、ac 、bc ，共10种，其中恰有1人评分在[010)，范围内的选法包括：ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc ，共6种，故2人中恰有1人评分在[010)，范围内的概率为63105P ==，（3）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看，由（1）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20，∴A 餐厅评分低于30分的人数所占的比例为20%，B 餐厅评分低于30分的人数为23510++=，∴B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%，∴会选择B 餐厅用餐.20．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,2,45b c B ==∠= .（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB Ð=，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2）2525.【解析】（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出5sin 5C =，再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解.【详解】在ABC 中，因为5b =，2c =，45B ∠= ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍）所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，得52sin 45sin C= .所以5sin 5C =在ADC △中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ，所以C ∠为锐角故225cos 1sin 5C C =-=因为4cos 5ADC ∠=-，所以22431cos 155sin ADC ADC ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪⎝⎭，()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ，sin cos cos sin ADC C ADC C=∠∠+∠∠3254525555525=⨯-⨯=【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出4cos 5ADC ∠=-，可得ADC ∠为钝角，从而C ∠为锐角，可确定cos C 的值.21．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求三棱锥1C C DE -的体积；（2）求异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【答案】（1）43；（2）25.【解析】（1）因为11C C DE C CDE V V --=，由正四棱柱1111ABCD A B C D -，可知1CC 为点1C 到平面CDE 的高，结合已知，即可求得答案；（2）取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQ ，证明//NQ MB 且NQ MB =，可得1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角)，求解三角形可得115,17,25DE C E C D ===再由余弦定理可得异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【详解】（1） 1113C C DE C CDE CDE V V S h --∆==，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中∴1CC ⊥平面ABCD ，即1CC 为点1C 到平面CDE 的高111111421432323C C DE V CD CE CC -∴=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（2）取AD 的中点Q ，连接NQ ，BQN 为1A D 的中点∴1//NQ AA 且112NQ AA =， M 为1BB 的中点，∴1//MB AA ，且112MB AA =∴//NQ MB 且NQ MB=∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ 且MN BQ=同理可证//DE BQ 且DE BQ=∴//MN DE 且MN DE=∴1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角).在正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 中点∴115,17,25DE C E C D ===∴22211112cos 25DE DC C C D E E DC DE +-∠==⋅⋅.∴异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值为25.【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解.22．如图，平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，3AB AD BC ===，23BD =，以BD 为折痕将ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且6PC =.（1）若E 为棱PD 中点，求异面直线CE 与PB 所成角的余弦值；（2）证明：平面BCD ⊥平面PBC ；（3）求二面角P BD C --的平面角的正弦值.【答案】（1）13；（2）证明见解析；（3）306.【分析】（1）取DB 的中点M ，连接ME ，MC ，CE ，证明出MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角，分别求出NE 、EC 、CM ，在MEC 中，由余弦定理求出异面直线CE 与PB 所成角的余弦值；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明平面BCD ⊥平面PBC ；（3）解：在平面PBC 内，过点P 作PF BC ⊥于F ，连接MF ，证明出PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角，求出PF ，PM ，在Rt PFM △中，可以求出二面角P BD C --的平面角的正弦值.【详解】（1）解：取DB 的中点M ，连接ME ，MC ，CE ，因为E 为PD 的中点，则//ME PB ，则MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角，在PCD 中，6PC =，3CD =，3PD =，则222PD PC CD =+，所以PCD 为直角三角形，则1322CE PD ==，在MEC 中，1322ME PB ==，132MC BD ==，32CE =，由余弦定理可得，222993144cos 3323222ME CE MC MEC ME CE +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，故异面直线CE 与PB 所成角的余弦值为13；（2）证明：由（1）可知，CD PC ⊥，又CD BC ⊥，PC BC C ⋂=，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，又CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面PBC ；（3）解：在平面PBC 内，过点P 作PF BC ⊥于F ，连接MF ，由（2）可知，平面BCD ⊥平面PBC ，又平面BCD 平面PBC BC =，所以PF ⊥平面BCD ，因为PM BD ⊥，由三垂线定理可得，MF BD ⊥，则PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角，在PBC 中，由余弦定理可得2229962cos 22333PB BC PC B PB BC +-+-===⋅⋅⨯⨯，在Rt PBF 中，2cos 33BF BF B PB ===，所以2,945BF PF ==-=，在等腰PBD △中，22936PM PB BM =-=-=，在Rt PFM △中，530sin 66PF PMF PM ∠===，故二面角P BD C --的平面角的正弦值为306.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1)直接法；(2)等体积法；(3)补形法；(4)向量法.。

福建省福州市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·龙岩期中) 若的角的终边上有一点 ,则的值是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·南阳期中) 学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为，则这组数据的平均数不可能为（）．A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·哈尔滨期末) 已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·黑龙江模拟) 设是所在平面内的一点，，则（）A .B .C .D .5. （2分）cos1200°=（）A .B .C .D .6. （2分）(2016·潮州模拟) 对∀α∈R，n∈[0，2]，向量 =（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知一组样本数据点用最小二乘法求得其线性回归方程为若的平均数为，则（）A .B . 12C .D .8. （2分）对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（）A . 互斥不对立B . 对立不互斥C . 互斥且对立D . 不互斥也不对立9. （2分）已知角α的终边经过点P（2，﹣1），则=（）A . 3B .C . -D . -310. （2分）(2017·长春模拟) 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A . 图1B . 图2C . 图3D . 图411. （2分） (2016高一下·宜春期中) 右面的程序框图中，若输出S的值为126，则图中应填上的条件为（）A . n≤5B . n≤6C . n≤7D . n≤812. （2分）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A . ω=2B .C . 函数f（x）的图象关于（﹣， 0）对称D . 函数f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinωx的图象二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2016高一下·石门期末) 给出下列命题：（1）函数y=tanx在定义域内单调递增；（2）若α，β是锐角△ABC的内角，则sinα＞cosβ；（3）函数y=cos（ x+ ）的对称轴x= +kπ，k∈Z；（4）函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin（2x+ ）的图象．其中正确的命题的序号是________．14. （1分）某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为________．15. （1分）已知向量若，则m=________．16. （1分） (2015高三上·苏州期末) 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为________ ．17. （1分） (2016高三上·厦门期中) 向量，满足| |=1，| |= ，（ + ）⊥（2 ﹣），则向量与的夹角为________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2016高一下·天水期末) 已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥ ，求| ﹣ |（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．19. （10分）已知函数f（x）=sin（2x+ ）﹣ sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[﹣， ]时，试求f（x）的最值，并写出取得最值时自变量x的取值．20. （5分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．21. （15分） (2016高二上·孝感期中) 某制造厂商10月份生产了一批乒乓球，从中随机抽取n个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[39.95，39.97）6P1[39.97，39.99）120.20[39.99，40.01）a0.50[40.01，40.03）b P2合计n 1.00（1）求a、b、n及P1、P2的值，并画出频率分布直方图（结果保留两位小数）；（2）已知标准乒乓球的直径为40.00mm，直径误差不超过0.01mm的为五星乒乓球，若这批乒乓球共有10000个，试估计其中五星乒乓球的数目；（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是40.00）作为代表，估计这批乒乓球直径的平均值和中位数．22. （10分）已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2016年福州市高一第二学期期末质量检测数 学 试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.终边落在第二象限的角组成的集合为 ( ) A ．{|,}2k k k Z παπαπ<<+∈ B ．{|,}2k k k Z παπαππ+<<+∈C ．{|22,}2k k k Z παπαπ<<+∈ D ．{|22,}2k k k Z παπαππ+<<+∈2.AB BC AD +-= ( )A ．ADB ．DAC ．CD D ．DC3.若α为第四象限角，3cos ,5α=则tan α=( ) A ．43- B ．43 C ．34- D ．344.sin63cos33sin 27sin33︒︒-︒︒= ( )A ．0B ．12．15.点O 为正六边形ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 （ ） A ．,OA BC B ．,OA CD C.,AB CF D ．,AB DE6.点(tan 3,cos3)落在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限7.角α的终边与单位圆交于点43(,)55-，则cos()2πα-=（ ）A ．35B ． C.45 D ．45-8.已知函数()sin 2()f x x ϕ=+，则 （ ） A ．当4πϕ-=时，()f x 为奇函数 B ．当0ϕ=时，()f x 为偶函数 C. 当2πϕ=时，()f x 为奇函数 D ．当ϕπ=时，()f x 为偶函数9.若向量(4,3)a =，(1,2)b =--，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．-2B ．2 C.- D ． 10.为得到cos y x =的图象，只需将sin()6y x π=+的图象 （ ）A ．向左平移6π个单位B ．向右平移6π个单位 C. 向左平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位 11.如图，点P 是半径为1的半圆弧AB 上一点，若AP 长度为x,则直线AP 与半圆弧AB 所围成的图形的面积S 关于x 的函数图象为 （ ）12.将函数()3cos()2f x x π=与()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为123,,,,n A A A A ，若O 为坐标原点，则12n OA OA OA +++=（ ）A ．0B ．1 C.3 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知钝角α满足sin α=，则α= ． 14.如图所示，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，线段AC 与DE 交于点P ，则tan APD ∠= ．15.将函数()sin(2)4f x x π=-的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变）得到()g x 的图象，则()g x = ．16.在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AMMB= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证：AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 18. 已知函数()sin(2)4f x x π=+（1）用“五点法”作出()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）写出()f x 的对称中心与单调递增区间； （3）求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合.19. 已知函数44()cos sin cos cos 22x xf x x x x =-+ （1）求()f x 的周期； （2）若2()23f α=，求()3f πα+的值.20.在△ABC 中，AB=2，AC=23，∠BAC=60°，D 为△ABC 所在平面内一点，2BC CD = （1）求线段AD 的长； （2）求∠DAB 的大小.21.如图，点P 为等腰直角△ABC 内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P 作PQ//AB ，交AC 于点Q ，记,PAB APQ θ∠=∆面积为()S θ (1)求()S θ关于θ的函数;(2)求()S θ的最大值,并求出相应的θ值.22.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<部分图象如图所示,点P 为()f x 与x 轴的交点,点A,B 分别为()f x 的图象的最低点与最高点,2PA PB PA ⋅= (1)求ω的值；(2)若[1,1]x ∈-，求()f x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DDABB 6-10: CBCAC 11、12：AD 二、填空题 13.23π 14. -3 15.sin(4)4x π- 16.1 三、解答题17.解：(1)依题意得，(2,3),(3,2)AB BC =-= 所以23(3)20AB BC ⋅=⨯+-⨯=所以AB BC ⊥.（2）2(33,3)AD m m =++，因为//AD BC所以23(3)2(33)0m m +-+= 整理得2210m m --= 所以，实数m 的值为12-或1. 18.(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图所示：（2）由（1）图象可知， ()f x 图象的对称中心为1(,0),82k k Z ππ-+∈； 单调递增区间为3[,),88k k k Z ππππ-++∈ （3）max ()1f x =，此时x 组成的集合为{|}8x x k k Z ππ=+∈.19.2222()(cos sin )(cos sin )cos f x x x x x x x =+-+cos 222sin(2)6x xx π==+所以()f x 的周期22T ππ==. (2) 因2()2sin()263f απα=+=，所以，令6t πα=+，则6t πα=-，1sin 3t =所以，()2sin[2()]336f πππαα+=++22sin(2)22cos 22(12sin )149t t t π=+==-=20. 解：（1）依题意得：212cos 2323AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯= 因为2BC CD =所以1113()2222AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+ 所以22221319319432412244244923AD AB AC AB AC AB AC =-+=+-⋅=⨯+⨯-⨯=所以1AD =，即AD ＝1 （2）由（1）可知，221313132()212222223AD AB AB AC AB AB AC AB ⋅=-+⋅=-+⋅=-⨯+⨯=-所以，11cos ,122AD AB DAB AD AB⋅-∠===-⨯ 又因0180,DAB ︒<∠<︒ 所以120.DAB ∠=︒21. 解：（1）依题意得，∠CAB ＝4π，如图，过点A 作直线PQ 的垂线，垂足为E. 因为PQ//AB ，所以,,4EPA PAB EQA CAB πθ∠=∠=∠=∠=在RT △APE 中，cos cos ,sin sin EP AP EPA AE AP EPA θθ⋅∠==⋅∠=＝ 在RT △AQE 中，因为,4EQA π∠=所以sin EQ AE θ==所以PE ＝PE －EQ ＝cos sin θθ-， 所以11()(cos sin )sin ((0,))224S PQ AE πθθθθθ=⋅=-∈（2）由（1）得，1()(cos sin )sin 2S θθθθ=-111cos 2sin 24221sin(2)444θθπθ-=-⋅=+-因为(0,)4πθ∈，所以32(,)444πππθ+∈ 所以当242ππθ+=，即8πθ=时，max 1()4S θ=22. 解：（1）设0(,0),()P x f x 最小正周期为T ，，则0013(,1),(,1)44A x TB x T +-+， 所以13(,1),(,1)44PA T PB T =-= 222311,11616PA PB T PA T ⋅=-=+，解得T ＝4，所以2.2T ππω==（2）由（1）知，()sin()2f x x πϕ=+，T ＝4，由22,222k x k k Z ππππϕπ-+≤+≤+∈ 得221414,k x k k Z ϕϕππ-+-≤≤+-∈所以()f x 的增区间为22[14,14]k k ϕϕππ-+-+-，减区间为22[14,34]()k k k Z ϕϕππ+-+-∈因为0ϕπ<<，所以2141414,k k k k Z ϕπ-+<-+-<+∈当0k =时，2111ϕπ-<-<所以()f x 在区间2[1,1]ϕπ--上为增函数，在区间2[1,1]ϕπ-为减函数，所以当[1,1]x ∈-时，max 2()(1)1f x f ϕπ=-=易知21x ϕπ=-为()f x 图象的一条对称轴.所以当221(1)1(1)ϕϕππ---≤--，即，min ()(1)sin()cos 2f x f πϕϕ==+= 当221(1)1(1)ϕϕππ--->--，即02πϕ<<时，min ()(1)sin()cos 2f x f πϕϕ=-=-+=-综上，当02πϕ<<，()f x 的值域为[cos ,1]ϕ-；当2πϕπ≤<时，()f x 的值域为[cos ,1].ϕ。

高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）3．（5分）如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（）++++根据向量加法的三角形法则可得要求只需求出即可而根据题中条件=3可故只需利用向量的减法求出解析：∵=，∴根据向量减法的定义可得==3=+==3得出4．（5分）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）在向量方向上的投影的定义，我们易得向量在方向上的投影为====在向量方向上的投影为：=在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为5．（5分）已知角α的终边过与单位圆交于点P（，﹣），则•等于何值（），﹣）===．﹣tan60°=化简即可tan20°•tan40°tan20°•tan40°]+﹣tan20°•tan40°+tan20°•tan40°7．（5分）设和为不共线的向量，若2﹣3与k+6（k∈R）共线，则k的2与+6（﹣+6，化为量相等可得解：∵2与+6（﹣+6，，解得8．（5分）在△ABC中，若|+|=||，则△ABC一定是（）+|=||解：∵||=|+|=|||•=|9．（5分）（2012•吉安县模拟）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）．．．，不是最值，可以排除排除不是关于直线10．（5分）如图，ABCD是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且∠EAB=α，∠CAB=β，则α+β的值为（）=，，，=11．（5分）已知，是两个单位向量，且．若点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，（m，n∈R），则=（），是两个单位向量，且．所以=，=mtan30°= =12．（5分）（2011•广州一模）若对任意实数a，函数（k∈N）在区间[a，a+3]上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值为（）个不同的自变量使其函数值为，即，，解得二、填空题：（每小题4分，共20分．请把答案填在答卷上）13．（4分）已知单位向量，的夹角为，那么|﹣|= ．利用向量数量积的性质可得===．故答案为14．（4分）则cosα﹣sinα= ．﹣﹣．15．（4分）已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=，则sinβ的值等于．，=，×﹣×故答案为：16．（4分）已知sin（﹣α）=，则= ．即可得出．﹣==故答案为17．（4分）设max{sinx，cosx}表示sinx与cosx中的较大者．若函数f（x）=max{sinx，cosx}，给出下列五个结论：①当且仅当x=2kπ+π（π∈Z）时，f（x）取得最小值；②f（x）是周期函数；③f（x）的值域是[﹣1，1]；④当且仅当＜x＜2kx+（k∈Z）时，f（x）＜0；⑤f（x）以直线x=kx+（k∈Z）为对称轴．其中正确结论的序号为②④⑤．时，解得时，解得（③由①知函数的最小值为﹣+或，即x=kx+三、解答题：（本大题共6题，满分70分）18．（12分）已知向量=（2，0），=（1，4）．（Ⅰ）求|+|的值；（Ⅱ）若向量k与+2平行，求k的值；（Ⅲ）若向量k+与+2的夹角为锐角，求k的取值范围．+|k，+2的坐标，利用平行的条件，即可求+与+2（Ⅰ）依题意得，∴|=5k=+2=k与+2平行k=，+2k与+2的夹角为锐角，．19．（10分）已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象，并求函数f （x）的单调递减区间．（Ⅱ）若函数f（x）≥，写出满足条件的x的取值集合．≤2x+≤2k，2x++]k）≥++．+≤2k+，]20．（12分）已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），（﹣）⊥，且A为锐角．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．）•﹣cosA==2（Ⅰ）由题意得，向量=，﹣再由（）⊥，可得（）•==1sinA+cosA=2sin﹣）．=A=，所以x+2sinx=﹣sinx=时，，]21．（10分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．15°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=．++sin2，化简可得结果．15°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=．．+++sin﹣sin cos=++（cos60°cos2）﹣sin+cos2+sin2﹣﹣+．22．（12分）如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，边BC在直线MN上，E是线段BC 上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，记∠FEN=α，△EFC的面积为S．（Ⅰ）求S与α之间的函数关系；（Ⅱ）当角α取何值时S最大？并求S的最大值．面积公式其中=，得，即时，因此，当最大，最大面积为23．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象与x 轴交点为（﹣，0），与此交点距离最小的最高点坐标为（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（﹣1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和；（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，]上至多有一个解，求正数k的取值范围．T=4×（+））＜＜T=4×（+T=﹣（2×（﹣）＜＜=2x+）的周期为2x+），故所有实数根之和为）＜k≤．。