2018-2019学年厦门市高二下期末数学试卷(理)含答案解析

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。

3．考试结束，监考教师将答题卡收回。

第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的代号为A．B．C．D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知复数，若为纯虚数，则A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【详解】由已知得：，所以解得：故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.2.焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案。

【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得。

解得。

所以双曲线的方程为，故答案选A。

【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上。

3.设，，若，则的最小值为A. B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。

【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。

厦门市2018-2019学年度第一学期高二年级质量检测数学(理科)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题“”为真，“”为真，则下列说法正确的是（）A. 真真B. 假真C. 真假D. 假假【答案】B【解析】【分析】根据逻辑或真假判断的真值表， p是假命题，又“”为真命题，进而可得q是真命题．【详解】解：命题“”和命题“非”均为真命题，为假命题，为真命题，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键．2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．【详解】解：双曲线即，其中a=2，b=1，故其渐近线方程是：．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．3.记为等差数列的前项和，若，，则的公差等于（）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式可得，解可得，又由，可得，由等差数列的通项公式分析可得答案．【详解】解：根据题意，等差数列中，若，即，则，又由，则，则等差数列的公差；故选：D【点睛】本题考查等差数列的性质以及前项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题．4.若实数，满足约束条件则的最大值是（）A. -7B. -1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，解得，代入目标函数得．即目标函数的最大值为1．故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.若，且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】根据基本不等式，,又a b,;由a>b，易知a+b<a+a=2a,故.故选：A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于简单题．6.如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的几何运算可得结果．【详解】根据向量的三角形法则得到.故选：A.【点睛】本题考查空间向量以及线性运算，属于基础题.7.在中，，，，则的面积是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】先根据正弦定理求出角，从而求出角，再根据三角形的面积公式进行求解即可．【详解】解：由，，，根据正弦定理得：，为三角形的内角，或，或在中，由，，或则面积或．故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．8.已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据是的必要条件，列不等式方程确定实数的取值范围．【详解】解：设满足p的实数集合为M,满足q的实数集合为N，是的必要条件，即解得.故选：D.【点睛】本题考查必要条件的定义，属于基础题.9.已知，则的最小值是（）A. 4B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】进行等式变换后，根据基本不等式求解.【详解】由，根据基本不等式，.当且仅当，即时有最小值9.故选：C.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用．属于基础题.10.记为数列的前项和，若，，则的最大值为（）A. -1B.C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由，将已知项变形得=，同除以，可得出为等差数列，从而得出，再利用单调性即可得解.【详解】解：=，等号两侧同除以，得到,又,是以11为首项，以-2为公差的等差数列.故，，由单调性可知，当n=6时，的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查了数列与的关系和运算能力，考查了函数单调性，属于中档题.11.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是棱的中点，与平面交于点，设,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将平面ABE延展,再利用三角形相似得出点F位置，从而得解.【详解】解：过点D作垂直于平面ABCD的直线交AE延长线于点M，连接MP、MB，由题意知平面，PA=AD,且E为DP中点，所以四边形MPAD为正方形，,M,P,B,C四点共面，MB与PC交与点F.,F为PC三等分点(靠近点C)又，.故选：C.【点睛】本题考查平面延展和三角形相似，属于中档题.12.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系.【详解】解：如图，由双曲线定义得：①，由椭圆定义得：②，②-①得：；所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为；由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以，所以.所以.故选：B.【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.对任意，都有，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式转化为方程，根据判别式求解.【详解】根据题意，m需满足方程=0无解，即，故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题.14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为______米.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．【详解】解：由题意可知，，，，．故答案为：.【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．15.已知点，，分别是轴、轴上的动点，且满足.若点满足，则点的轨迹方程是______.【答案】【解析】【分析】设点M,N,P三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果.【详解】解：设点M坐标（a,0），N坐标（0，b），点P坐标（x,y）,则=（-1，b），=（-a,b），，而=,=,,代入可得.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.16.记为数列的前项和，若，，，则等于______. 【答案】131【解析】【分析】根据计算得出，再依次计算出的值，遂得出的值.【详解】解：根据，，，，，从而，.故答案为：131.【点睛】本题考查了数列递推式的运用和运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角所对的边分别是，.（1）求角的大小；（2）是边上的中线，若，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由于，可得：，结合范围，可求的值．（2）由三角形面积公式可求，进而利用余弦定理可得，即可解得的值．【详解】解：（1）在中，，由正弦定理得，∵，∴，∴，即，∵，∴.（2）在中，，，，∴，∴，∵是的中线，∴，在中，由余弦定理得.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.记为等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得到的值，再利用得出q的值，进而得到的值，即得到数列的通项；（2）由（1）可得到，再利用错位相减，可得解.【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∴，即，∴数列的通项公式为.（2）由得，即，∴，∴，①，②由①-②得，∴.【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题.19.如图，四边形是矩形，，，且，，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理，求得AC长度，结合FA,FC长度，从而证明FA AC，又由FA BA,故FA 平面ABCD;（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面和平面的法向量，利用法向量夹角余弦值可得二面角余弦值.【详解】解：（1）∴，∴，即，∴，即.∵四边形为矩形，∴.∵，，，∴.（2）∵，，∴，∵，，∴，∴，，两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，∴，∵，∴平面的一个法向量设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考査直线与平面位罝关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考査数形结合思想、转化与化归思想.20.设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，若与圆相切，求的面积【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）结合已知条件，根据抛物线定义列出方程可得解；（2）设出直线方程，与抛物线联立，结合面积公式和韦达定理即可得解.【详解】解：（1）由抛物线定义，点到准线的距离①∵点在抛物线上，∴②由①②解得，∴抛物线方程为.（2）设直线方程为，，，∵直线与圆相切，∴，即由，得，∴.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与标准方程，直线与抛物线、圆的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、函数与方程思想，属于基础题.21.某公司计划在办公大厅建一面长为米的玻璃幕墙.先等距安装根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为米的玻璃造价为元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为元（总造价=立柱造价+玻璃造价）.（1）求关于的函数关系式；（2）当时，怎样设计能使总造价最低？【答案】（1）且；（2）安装8根立柱时，总造价最小. 【解析】【分析】（1）分析题意，建立函数关系模型，即可得出函数关系式；（2）由（1）将函数解析式变形，根据基本不等式，即可求出最值.【详解】解：（1）依题意可知，所以，（2）∵，且，∴.∴，当且仅当，即时，等号成立，又∵，∴当时，.所以，安装8根立柱时，总造价最小.【点睛】本题主要考查函数、基本不等式等知识：考查运算求解能力、数学应用意识；考查函数与方程、化归转化等数学思想，属于中档题.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，.（1）求的方程；（2）过点且与轴不重合的直线与交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，且以为直径的圆过点.（ⅰ）求的方程；（ⅱ）记，的面积分别为，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可；（2）（ⅰ）设M,N坐标分边为，，直线的方程为，结合椭圆方程可得BM、BN方程，并得出点P、Q坐标的表达式，根据圆过点，故向量，列方程可得m的值；（ⅱ）由（ⅰ），将，的面积，转换为、的表达式，相比可得出的取值范围.【详解】解：（1）依题意得，即，∴，解得，∴椭圆的方程为.（2）（ⅰ）设，，直线的方程为.由得，显然，且，，直线方程为，直线方程为，令，得，，∵以为直径的圆过点，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴的方程为.（ⅱ）由（ⅰ），，∴.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位罝关系、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力：考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想.。

2018-2019高二数学下学期期末考试试题文（含解析）第I卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

）1.已知集合（）A. {2}B. {2，3}C. {1,,3 }D. {1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因 ,所以选C.2.计算的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，可得，即可求解.【详解】由，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.为了得到函数，只需要把图象上所有的点的 ( )A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变B. 横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变D. 纵坐标缩小到原来的倍，横坐标不变【答案】A【解析】【详解】为了得到函数，只需要把图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，选A4.当输入的值为，的值为时，下边程序运行的结果是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序，根据，即可得到运算的结果，得到答案.【详解】由题意，当输入的值为，的值为时，则，此时输出，故选B.【点睛】本题主要考查了程序的运行、计算输出问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.同时掷两个骰子，则向上的点数之积是的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由同时掷两个骰子有种结果，再列举出点事之积为3所含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意可知，同时掷两个骰子，共有种结果，其中向上的点数之积为3的有，共有2中情形，根据古典概型及其概率的计算公式，可得概率为，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据试验得到基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.在中，、、所对的边长分别是、、，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】在中，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【详解】在中，由余弦定理可得，故选B.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的余弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.向量，则（）A. B.C. 与的夹角为60°D. 与的夹角为30°【答案】B【解析】试题分析：由，可得，所以，故选B．考点：向量的运算．8.已知等差数列中，，，则的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】由等差数列的性质得，，，故选A.9.已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的方程，求得直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系，即可求解.【详解】由题意，直线的点斜式方程是，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则且，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了直线的点斜式方程，以及直线的斜率与倾斜角的求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10.已知实数x、y满足，则的最小值等于（）A. 0B. 1C. 4D. 5【答案】A【解析】由上图可得，故选A.11.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，利用圆锥体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，则圆锥的高为，所以该圆锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.12..函数的零点所在的区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式，求得，利用零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，即，根据零点的存在定理，可得函数零点所在的区间是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中熟记函数零点的存在定理，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题..第II卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假2．双曲线x2﹣4y2＝1的渐近线方程为（）A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．2x±y＝1 D．x±2y＝13．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝25，a3+a7＝18，则{a n}的公差d等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．35．若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（）A．2＜a+b＜2a B．a+b＜2a＜2 C．a+b＜2＜2a D．2＜2a＜a+b6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，设＝，＝，＝，则＝（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2或C．2或D．28．已知p：﹣1≤x＜2，q：2a≤x≤a2+1，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．﹣1＜a≤﹣C．﹣＜a≤1 D．﹣≤a＜1 9．已知0＜a＜1，则的最小值是（）A．4 B．8 C．9 D．1010．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝，a n+1＝2S n+1•S n，则S n的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．211．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB＝BC ＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．12．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ′构成，一光线从左焦点F1发出，依次经Γ′与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ′去掉，此光线从点F1出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，若t2＝4t1，则Γ与Γ′的离心率之比为（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．3：4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．对任意x∈R，都有x2+x+m＞0，则实数m的取值范围是．14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60°和30°，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC为米．15．已知点A（1，0），M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足•＝0．若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝3，a2n＝2n﹣1+a n，a2n+1＝2n﹣a n，则S12等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a cos B＝b sin A．（1）求角B的大小；（2）AD是BC边上的中线，若AD⊥AB，AB＝2，求AC的长．18．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1+a3＝10，S4＝30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，四边形ABEF是矩形，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3．（1）证明：AF⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣DF﹣C的余弦值．20．设O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（a，4）在C上，|MF|＝4．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，若l与圆H：（x﹣1）2+y2＝相切，求△AOB 的面积．21．某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为（50m+100m2）元，假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元（总造价＝立柱造价+玻璃造价）．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当a＝56时，怎样设计能使总造价最低？22．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右顶点为B（2，0），|BF1|＝b．（1）求Γ的方程；（2）过点F1且与x轴不重合的直线l与Γ交于M，N两点，直线BM，BN分别与直线l'：x＝m（m＜0）交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过点F1．（i）求l'的方程；（ii）记△BMN，△F1PQ的面积分别为S1，S2，求的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【分析】命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q 真；由已知条件然后逐项判断即可．解：命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；∵￢p也为真命题，⇒p为假命题，q为真，￢q为假命题，由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可．故选：B．2．双曲线x2﹣4y2＝1的渐近线方程为（）A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．2x±y＝1 D．x±2y＝1【分析】根据双曲线渐近线方程的求法，结合题意，直接计算可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣4y2＝1，则其渐近线方程为x2﹣4y2＝0，化简可得x±2y＝0．故x2﹣4y2＝1的渐近线方程为：x±2y＝0．故选：B．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝25，a3+a7＝18，则{a n}的公差d等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．解：等差数列{a n}中，S5＝25，a3+a7＝18，∴，解可得，d＝2．故选：D．4．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，把最优解的坐标代入得答案．解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图：联立，解得A（1，﹣1）化z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值3．故选：D．5．若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（）A．2＜a+b＜2a B．a+b＜2a＜2 C．a+b＜2＜2a D．2＜2a＜a+b【分析】可使用特殊值代入判断．解：不妨设令a＝2，b＝，则2a＝4＞a+b＝＞2，故BCD错，选A．故选：A．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，设＝，＝，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据空间向量的几何运算、向量的三角形法则可得结果．解：根据向量的三角形法则得到：＝＝＝＝﹣．故选：A．7．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2或C．2或D．2【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积•AB•AC•sin A，即可得出结论解：∵△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，∴＝，∴sin C＝，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin A＝2或．故选：C．8．已知p：﹣1≤x＜2，q：2a≤x≤a2+1，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．﹣1＜a≤﹣C．﹣＜a≤1 D．﹣≤a＜1 【分析】根据题中给的充要性，判断集合的包含关系，解出参数．解：p：﹣1≤x＜2，对应的集合为A，q：2a≤x≤a2+1，对应的集合为B，若p是q的必要条件，则B⊆A，则，解之得：﹣，故选：D．9．已知0＜a＜1，则的最小值是（）A．4 B．8 C．9 D．10【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：0＜a＜1，则＝（）[（1﹣a）+a]，＝5+≥5+4＝9，当且仅当即a＝时取等号，此时取得最小值9．故选：C．10．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝，a n+1＝2S n+1•S n，则S n的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．2【分析】由数列的递推式：a n+1＝S n+1﹣S n，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的单调性，可得所求最大值．解：a1＝，a n+1＝2S n+1•S n，可得a n+1＝S n+1﹣S n＝2S n+1•S n，即有﹣＝﹣2，可得{}为首项为11，公差为﹣2的等差数列，可得＝11﹣2（n﹣1）＝13﹣2n，即S n＝，当1≤n≤6时，S n递增，且S n＞0，n≥7时，S n＜0，且n＝6时，S n最大，且为1，故选：C．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB＝BC ＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝λPC，可得λ＝，故选：C．12．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ′构成，一光线从左焦点F1发出，依次经Γ′与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ′去掉，此光线从点F1出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，若t2＝4t1，则Γ与Γ′的离心率之比为（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．3：4【分析】利用椭圆与双曲线的定义求解即可．解：在图1中：由椭圆定义可得：BF1+BF2＝2a1①；由双曲线定义可得：AF2﹣AF1＝2a2②；①﹣②得：AF1+AB+BF1＝2a1﹣2a2；∴△ABF1的周长为：2a1﹣2a2；在图2中：∵光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；∴直线AB过F2；∴△ABF1的周长为：4a1；又∵两次时间分别为t1，t2；且t2＝4t1；∵光线速度相同；∴；∴；∵椭圆与双曲线焦点相同，∴c1＝c2；∴；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．对任意x∈R，都有x2+x+m＞0，则实数m的取值范围是．【分析】利用一元二次不等式的图象即可求解．解：由于对任意x∈R，都有x2+x+m＞0，即函数f（x）＝x2+x+m的图象在x轴上方，与x无交点；即△＝1﹣4m＜0；∴m；故答案为：．14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60°和30°，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC为20米．【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．解：由题意可知∠C＝30°，∠BAC＝30°，∠DAB＝30°，AD＝30m，∴BC＝AB＝＝20．故答案为：20．15．已知点A（1，0），M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足•＝0．若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是y2＝﹣x．【分析】先求出M、N两点横纵坐标之间的关系，再利用＝2，则可求出点P的轨迹方程．解：设M（m，0），N（0，n），因为•＝0，所以（﹣1，n）（﹣m，n）＝m+n2＝0，设点P（x，y），因为＝2，所以（x﹣m，y）＝2（x，y﹣n），即有x＝m，y＝n，代入得x+y2＝0，即y2＝﹣x．故点P的轨迹方程为y2＝﹣x．故答案为：y2＝﹣x．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝3，a2n＝2n﹣1+a n，a2n+1＝2n﹣a n，则S12等于131 ．【分析】由已知递推式求得数列的前6项，可得a12，再由条件可得a2n+a2n+1＝3•2n﹣1，计算可得所求和．解：a1＝3，a2n＝2n﹣1+a n，a2n+1＝2n﹣a n，可得a2＝4，a3＝﹣1，a4＝6，a5＝0，a6＝3，a12＝32+3＝35，可得a2n+a2n+1＝3•2n﹣1，则S12＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a10+a11）+a12＝3+3（1+2+4+8+16）+35＝131．故答案为：131．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a cos B＝b sin A．（1）求角B的大小；（2）AD是BC边上的中线，若AD⊥AB，AB＝2，求AC的长．【分析】（1）由已知结合正弦定理可求tan B，进而可求B，（2）Rt△ABD中，可知AB＝2，B＝，进而可求∠ADB，AD，BD，在△ADC中，结合余弦定理可求．解：（1）∵a cos B＝b sin A，∴sin A cos B＝sin A sin B，∵sin A≠0，∴cos B＝sin B，即tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝，（2）∵AD是BC边上的中线，且AD⊥AB，∴Rt△ABD中，AB＝2，B＝，∴∠ADB＝，AD＝2，BD＝4，∴△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC＝，∴AC＝＝2．18．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1+a3＝10，S4＝30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）等比数列{a n}的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝n•（）n，数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）等比数列{a n}的公比设为q，a1+a3＝10，S4＝30，可得a1+a1q2＝10，a1+a1q+a1q2+a1q3＝30，解得a1＝q＝2，则a n＝2n；（2）由a n＝，可得2n＝2，即b n＝n•（）n，前n项和T n＝1•+2•+3•+…+n•（）n，T n＝1•+2•+3•+…+n•（）n+1，相减可得T n＝+++…+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化简可得T n＝2﹣（n+2）•（）n．19．如图，四边形ABEF是矩形，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3．（1）证明：AF⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣DF﹣C的余弦值．【分析】（1）连接AC，通过计算AC2+AF2＝FC2，推出AF⊥AC，结合四边形ABEF是矩形，得到AF⊥AB，然后证明AF⊥平面ABCD；（2）以AD，AB，AF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADF的一个法向量，平面DFC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】（1）证明：连接AC，因为AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3．所以AC＝＝2，满足AC2+AF2＝FC2，所以AF⊥AC，四边形ABEF是矩形，所以AF⊥AB，AB∩AC＝A，所以AF⊥平面ABCD；（2）解：以AD，AB，AF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），C（2，2，0），可知平面ADF的一个法向量为＝（0，1，0），设平面DFC的法向量为＝（x，y，z），＝（﹣1，0，1），＝（1，2，0），所以，取x＝2，则y＝﹣1，z＝2，所以＝（2，﹣1，2）．二面角A﹣DF﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．20．设O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（a，4）在C上，|MF|＝4．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，若l与圆H：（x﹣1）2+y2＝相切，求△AOB 的面积．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点满足抛物线方程，解得p，可得抛物线方程；（2）求得F的坐标，设直线l的方程y＝k（x﹣2），求得圆H的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d＝r，解方程可得斜率k，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算可得所求值．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，点M（a，4）在C上，|MF|＝4，可得a+＝4，2pa＝16，解得p＝4，则C的方程为y2＝8x；（2）由（1）可得F（2，0），设直线l的方程为y＝k（x﹣2），圆H：（x﹣1）2+y2＝的圆心H（1，0），半径为，l与圆H：（x﹣1）2+y2＝相切，可得＝，解得k＝±，则直线l的方程为y＝±（x﹣2），联立抛物线方程y2＝8x；可得x2﹣28x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝28，可得|AB|＝x1+x2+4＝28+4＝32，又O到直线AB的距离为d＝＝1，则△ABO的面积为×1×32＝16．21．某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为（50m+100m2）元，假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元（总造价＝立柱造价+玻璃造价）．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当a＝56时，怎样设计能使总造价最低？【分析】（1）根据条件建立函数关系即可．（2）利用基本不等式的性质进行求解解：（1）由题意得＝x﹣1，则m＝，则y＝6400x+[+100（）2]（x﹣1）＝6400x+50a+，（x∈N•且x≥2）．（2）y＝6400x+50a+＝100[64（x﹣1）+]+50a+6400，∵x∈N•且x≥2，∴x﹣1＞0，∴y≥200+50a+6400＝1650a+6400，当且仅当64（x﹣1）＝，即x﹣1＝，即x＝+1时取等号，∵a＝56，∴x＝+1＝7+1＝8时，取得最小值，即等距安装8立柱时，总造价最低．22．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右顶点为B（2，0），|BF1|＝b．（1）求Γ的方程；（2）过点F1且与x轴不重合的直线l与Γ交于M，N两点，直线BM，BN分别与直线l'：x＝m（m＜0）交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过点F1．（i）求l'的方程；（ii）记△BMN，△F1PQ的面积分别为S1，S2，求的取值范围．【分析】（1）由题意得a，a+c与b的关系和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（2）（i）设直线l的方程及M，N的坐标联立与椭圆的方程，求出两根之和与之积，再写出直线BM，BN的方程，与直线x＝m联立求出P，Q的坐标，用以PQ为直径的圆过点F1．得数量积为零，求出m的值；（ii）由上一问得面积用坐标表示写出比值，由t的范围求出比的范围．【解答】解（1）由题意得，a＝2，a+c＝b，b2＝a2﹣c2，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：＝1；（2）i）显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x＝ty﹣1，M（x，y），N（x'，y'），联立与椭圆的方程整理的：（4+3t2）y2﹣6ty﹣9＝0，y+y'＝，yy'＝，x+x'＝t（y+y'）﹣2＝，xx'＝t2yy'﹣t（y+y'）+1＝，所以直线BN：y＝（x﹣2），令x＝m，所以y＝，即Q的坐标（m，），同理可得P（m，），由题意得＝0，∴（m+1）2+＝0，即（m+1）2+＝0∴（m+1）2＝，m＜0，解得：m＝﹣4．所以l'的方程x＝﹣4．ii）S△BMN＝|BF2|•|y﹣y'|＝•|y﹣y'|；S＝•[﹣1﹣（﹣4）]•|y P﹣y Q|＝•3•＝|y ﹣y'|，∴＝∈（0，3]，即面积之比的范围（0，3]．。