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清华第五版数值分析第4章课件

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数值分析第4章(2)

数值分析第4章(2)

~ 4.3 ^ SOR S “ { § S 4.3 (msor.m) ) ‚ 5 • § |
12/14

0.76 −0.01 −0.14 −0.16 x1 −0.01 0.88 −0.03 0.05 x 2 −0.14 −0.03 1.01 −0.12 x3 −0.16 0.05 −0.12 0.72
Back Close
“g ê N , ˜ k := 0.
(2) d ª (4.16) ½ ª (4.18) O Ž x(k+1). (3) e b − Ax(k+1) / b
C q ).
ε, K Ê Ž, Ñ Ñ x(k+1) Š • • § |
(4) ˜ x(k) := x(k+1), k := k + 1, = Ú ½ (2).
(I − ω D −1L)x(k+1) = [(1 − ω )I + ω D −1U ]x(k) + ω D −1b,
=
9/14
(D − ω L)x SOR S “
(k +1)
= [(1 − ω )D + ω U ]x
(k )
+ ω b.
OŽ‚ª•
x(k+1) = (D − ω L)−1 [(1 − ω )D + ω U ]x(k) + ω b ,
Š â Ž { 4.3, ? › MATLAB § S X e.
11/14
• SOR S “ { MATLAB § S %§ S4.3--msor.m function [x,iter]=msor(A,b,omega,x,ep,N) if nargin<6, N=500; end if nargin<5, ep=1e-6; end if nargin<4, x=zeros(size(b)); end if nargin<3, omega=1.2; end
数值分析第四章课件

数值分析第四章课件


xk
1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
f (xk)的符号
+ + + -
14
f ( x0 ) f ( x0 h ) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h作为根 的初始近似。
4

例1：考察方程 f ( x) x3 x 1 0 注意到f (0)< 0, f (+)>0，知f (x)至少有一个 正的实根。 设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行 根的扫描，下表记录各个结点上函数值的符号， 我们发现，在区间（1, 1.5）内必有实根，因此可 取x0 = 1或x0 = 1.5作为根的初始近似值。
第四章 方程求根
§4.1 二分法 §4.2 迭代法 §4.3牛顿法 §4.4弦截法
1
我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的高 次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法， 也是精确法。但在实际中，有许多方程问题无法求出 公式解。例如超越方程

tgx x 0 0.25 tgx 4.8889 sin x 0

9
由于
1 xk x (bk a k ) bk 1 a k 1 2
*
（1）
只要有根区间[ak+1, bk+1]的长度小于预先给定的误差， 那么就可以取
xk 1 1 ( ak bk ) 2
作为所求根x*的第k+1次近似值。其误差估计为： 1 * x xk 1 k 1 ( b a ) 2 综上所述，设f (x)在[a, b]上存在一阶导数且不变号， 如果f (a)f (b)＜0，则由（1）所知，当k时， x* - xk0，即xkx*。
数值分析第四章

数值分析第四章


考察其代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1：ab1dx梯b形a公=式b2a[11] f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
xdx
a
b2
a2 2
=
b2a[ab]
a
b
代入
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3a3 3
b2a[a2 b2]
代数精度 = 1
10
n
注：形如 Ak f (xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该
………………
23
< ?
R1 = T3(0)
➢ 理查德森外推法 /* Richardson外推法 */
利用低阶公式产生高精度的结果。 i 与 h 无关
设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由
Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + …
项式
n
Ln(x)f
(xk)lk(，x)即得到
k0
b
n
b
f(x)dx
a
f(xk)alk(x)dxAk
k0
误差 R[ f ]
b
n
f ( x )dx a
Ak f ( xk )
k0
b
b
b
Ak a
jk
(xxj ) (xkxj )
d
x由与节f (点x)
决定， 无关。
[
a
f
(x)
Ln ( x )]dx
是精确的，但对m次1多项式不精确，则称（1） 具有 m次代数精度。
清华第五版数值分析第4章课件

清华第五版数值分析第4章课件


3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章 数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx

F ( x)
b a

F (b)

F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分

数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分



b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值分析第四章4-1

数值分析第四章4-1


2011-10-31
2
引例与问题综述(续)
表4.1.1 函数表
x f(x)
x0 f(x0)
x1 f(x1)
… …
xn f(xn)
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3
引例与问题综述(续)
• • •
需要通过这组实验观测数据 (xi , yi ) (i =0, 1,2,…, n) 揭示自变量x与因变量y之间的关系。 一般地，可以用一个近似的函数关系式y = f(x)来表示 自变量x与因变量y之间的关系。 函数 f(x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异， 通常可采用两种方法：插值与数据拟合。
2011-10-31
20
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是 必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据 拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使 所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据 通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果 往往较差。
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4
一、引例 引例1 海水温度问题 已经测得在北纬 32.3° 海洋不同深度处的温度如下表：
表4.1.2 海水温度表
深度x (m) 水温y (C°)
466 7.04
714 4.28
950 3.40
1422 2.54
1634 2.13
根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如 500米、 600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来 解决，这是一个被称为插值的问题。
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21
问题综述（续）
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法

高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法


例1 求 න
解
‫) ( ׬ = ׬‬′ = − ‫)(׬‬′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2

න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+ ‫׬‬

2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴ ‫ ׬‬

= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
‫( ׬‬2 + 1) = (2 + 1)-‫( ׬‬2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
‫ ׬‬2 = ‫ ׬‬2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − ‫) ׬‬
= − + .
例3 求‫ ׬‬
解 令 = , = =
2
,
2
课件-数值分析(第五版)1-3章

课件-数值分析(第五版)1-3章

2017/3/12
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x

xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12

1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(1)

数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(1)

1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051

y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
数值分析第五版

数值分析第五版

数值分析第五版第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=≈ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=.当*100x =时，若(*)1A ε≤,则21(*)102x ε-≤故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x xl x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。

数值分析第五版

数值分析第五版


1 , ( 2 1)6
(3 2 2)3 ,
6
1 ， 99 70 2 。 (3 2 2)3
解：设 y ( x 1) ， 若x
1 2 ， x* 1.4 ，则 x* 101 。 2
若通过
1 计算 y 值，则 ( 2 1)6
5
y*
设 u 899, y f (30) 则 u
*
1 u* 4 2
故
6
y*
u * * u
1 u * 0.0167 3
若改用等价公式
ln( x x 2 1) ln( x x 2 1)
1 x* 7 ( x 1)
*
6 y* x* 7 ( x 1)
*
y* x*
若通过 (3 2 2)3 计算 y 值，则
y* (3 2 x* ) 2 x* 6 y* x* * 3 2x y* x*
则二次拉格朗日插值多项式为
L2 ( x) yk lk ( x)
k 0
2
3l0 ( x) 4l2 ( x) 1 4 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 1) 2 3 5 3 7 x2 x 6 2 3
2．给出 f ( x) ln x 的数值表
x0 1, x1 1, x2 2, f ( x0 ) 0, f ( x1 ) 3, f ( x2 ) 4; l0 ( x) l1 ( x) l2 ( x ) ( x x1 )( x x2 ) 1 ( x 1)( x 2) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 2 ( x x0 )( x x2 ) 1 ( x 1)( x 2) ( x1 x0 )( x1 x2 ) 6 ( x x0 )( x x1 ) 1 ( x 1)( x 1) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 3

数值分析第五版全答案chap4

第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);101h2h(2)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);10 1 2h1(3)f(x)dx[f(1)2f(x)3f(x)]/3;121h2(4)f(x)dx h[f(0)f(h)]/2ah[f(0)f(h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101 h令f(x)1，则2h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则2 3322h h A h A11从而解得4A h31A h131A h13令3f(x)x，则h h3f(x)dx x dx0 hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。

101令4f(x)x，则h h452f(x)dx x dx h hh52A f(h)A f(0)A f(h)h10135故此时，hh f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101具有3次代数精度。

2h （2）若2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101令f(x)1，则4h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则16 3322h h A h A11从而解得4A h38A h138A h13令3f(x)x，则2h2h3f(x)dx x dx0 2h2hA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 2h故2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。

数值分析_清华李庆杨第五版第四章_数值积分

梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，辛卜生公
式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证

b
a
ba f (a) f (b) f ( x) dx 2
b
取f(x)=1时， a 1dx b a, 取f(x)=x时,
1 2 2 a xdx 2 (b a ),
b
ba (1 1) b a 2
两端相等
ba 1 2 2 (a b) (b a ) 2 2
两端相等
取f(x)=x2 时,

b
a
1 3 ba 2 1 2 3 2 x dx (b a ), (a b ) (a b 2 )( b a) 3 2 2
2
两端不相等
所以梯形公式只有1次代数精度。
例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
y y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式 把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度 2
a a
(a+b)/2 (a+b)/2
b b
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (
a b ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积 分方法。
n j k
x xj
这里
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取

b
a
f ( x)dx 的近似值，即

b
a
P( x)dx 作为

b
a
f ( x)dx
n

数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(2)

30 x
1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101
1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104
1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101

稳定性 /* Stability */
例：考察初值问题
2.2 单步法的稳定性
y( x ) 30 y( x ) 在区间[0, 0.5]上的解。 y ( 0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
节点 xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 欧拉显式 欧拉隐式 改进欧拉法 精确解 小扰动引起了质的改变 ! ye
其中2阶方法
yi 1 yi hK 1 K f (x h , y h K ) 1 i i 1 2 2
Img
的绝对稳定区域为
而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定 Img 区域为
k=4 - 3
0
Re
k=1
k=3 k=2
-2 -1
-3
-2
-1
Re
无条件阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i 1 K1 K2 K3 K4
yi h ( K1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 f ( xi , yi )
h f ( xi h , y K1 ) i 2 2 h f ( xi h , y K2 ) i 2 2
1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107

数值分析课件第4章


二、复合梯形公式
将 区 间 [a, b] 等 分 为 n 个 小 区 间 [ xk , xk1], 其 中
xk a kh,
(h b a ,k 0,1, n
, n 1),
并在每个小区间上应用梯形公式, 则得复合梯形公式
I
b
n 1
f ( x )d x
a k0
xk 1 xk
f ( x )d x
第四章 数值积分和数值微分
内容提要 4.1 引言 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分
工科研究生公共课程数学系列
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4.1 引言
一、数值求积的基本思想
对定义在区间［a,b］上的定积分
b
Iaf(x)dxF(b)F(a)
b f ( x )d x S b a [ f (a ) 4 f ( a b ) f (b )]
a
6
2
当 n 4时 , 得到 柯特斯(cotes) 公式
C
b a [7 90
f
(x0 )
32
f
( x1 ) 12
f
(x2 )
32
f
(x3 )
7
f
( x 4 )],
其中 xk
a kh, h
机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列将区间等分为个小区间其中并在每个小区间上应用梯形公式则得复合梯形公式称为复合梯形公式余项为二复合梯形公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列的中点为在每个小区间上应用辛普森公式则得复合辛普森公式称为复合辛普森公式三复合辛普森公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列对于函数给出时的函数表试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分181438120997397809896158097672670958851058347809361556090885160841470908414709机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列3sin计算积分若用复合梯形公式问区间应分多少等份才能使误差不超过若取同样的求积节点改用复合辛普森公式截断误差是多少

数值分析4-1 ppt


= a 0 x n + a 1 x n −1 + … + a n
且 ϕ ( x i ) = f ( x i ) = y i (i=0,1,2,…，n) 如何构造 ϕ ( x ) ？
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构造插值基函数
n 引理1 设在区间[a,b]上有n+1个互异节点{ xi }0，如果
n次多项式 l j (x)满足
……..
Ln ( xn ) = l0 ( x n ) y 0 + l1 ( xn ) y1 + ⋅ ⋅ ⋅ + ln ( x n ) y n = y n
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因此所求
y = ϕ ( x ) = Ln ( x ) =
n
∑l
j =0
n
j
( x) y j
n ( x − xi ) =∑ ∏ yj i = 0 ( x j − xi ) j=0 i≠ j
∴C = 1 ④ ( x j − x0 )( x j − x0 ) ⋅⋅ ⋅(x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋅ ⋅⋅(x j − xn )
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④代入③得
l j ( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ⋅⋅ ⋅ ( x − x j −1 )( x − x j +1 ) ⋅⋅⋅(x − xn ) ( x j − x0 )( x j − x0 ) ⋅⋅ ⋅(x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋅⋅⋅(x j − xn )
( x − xi ) =∏ i =1 ( x0 − xi )
n
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k 0
I n ( % Ak %, f) fk
k 0
n
对任给 0, 若存在 0，只要 f) 就有 | I n ( f ) I n ( % | 则称求积公式是稳定的。
max 0k n | f ( xk ) %| f
• 定理：若 Ak 0 证明
，
n
(t k ) dt
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have R[ f ] hn2
n/2 n n / 2
(u n / 2 k ) du 0
k 0
因为被积函数为奇函数。
梯形公式的余项
• 定理 若f(x) C2[a,b] ,则梯形公式余项为
xk
(k 0,L , m)
Ak b a, k 0 m 1 2 Ak xk (b a 2 ) L 2 k 0 m 1 m Ak xk (b m 1 a m 1 ), m 1 k 0
• 2）若系数和节点都不确定，则解关于 xk 和 Ak (k 0,L , m) 的非线性方程 组。 • 3）用简单函数的积分代替被积函数的积分。
Cotes系数性质:
(1) 对称性,即
( ( Ck n ) Cnn )k
(2) Cotes系数之和等于1,即
( Ck n ) 1 k 0 n
证明：令 f ( x) 1 代人求积公式俩边得 到。 3）当 n 8 柯特思系数出现负值。
• 对于n阶的Newton-Cotes求积公式
2） l ( x)dx k
a

b
A l (x ) A
j 0 j k j
n
k
求积公式的余项，收敛性，稳定性
若求积公式代数精度为
b n
m
，则可设
R( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( )
a k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f ( x) xm1 n b 得到 1 m 1 m 1
0 x 3 dx A0 A2 0
1 1

1
1
x 4 dx
2 2 1 [( 1) 4 4 0 14 ]. 5 3 3
所以该求积公式具有3次代数精度。
容易验证: • 梯形公式 • 中矩形公式
1 次代数精度 1 次代数精度
求积公式的构造
• 1）若已经选定求积节点 则解线性方程组 m
余项
解：1）确定代数精度是2. 2）设 f ( x) x3 3）令 R[ f ] kf ''' ( ) 求得
1 1 3 2 1 1 ' 1 k ( x dx ( f (0) f (1) f (0))) 3! 0 3 3 6 72
1 ''' R[ f ] f ( ) 72
则
( Ak (b a)Ck n )
于是 有求积分公式
a
b
( f ( x)dx (b a) Ck n ) f k k 0
n
(2)
称为n阶牛顿 柯特斯(Newton- Cotes)公式 C(kn ) 称为Cotes系数 ， .
C
(n) k
n n (1)n k 0 (t i)dt (k 0,1,L , n) n k !(n k )! i 0 ik
k ( m 1)! ( x
a
dx Ak xk
k 0
)
n 1 1 ( (b m 2 a m 2 ) Ak xkm 1 ) ( m 1)! m 2 k 0
• 梯形公式余项
1 1 3 3 ba 2 1 2 k ( (b a ) (a b )) (b a)3 2 3 2 12
RT [ f ]
b
a
ba (b a)3 f ( x)dx [ f (a) f (b)] f ( ) 2 12
[a, b]
Simpson公式的余项
• 定理 为 若f(x) C4[a,b] ,则Simpson公式余项
ba ab f ( x)dx f (a) 4 f ( 2 ) f (b) 6
收敛性定义
在

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
中，若 limn,h0 Ak f ( xk ) f ( x)dx a
b k 0
n
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设
f ( xk ) % k fk
n
I n ( f ) Ak f ( xk ),
1 3 '' R[ f ] (b a) f ( ) 12
• 中矩形公式余项
1 1 3 ab 2 (b a)3 k ( (b a 3 ) (b a)( ) ) 2 3 2 24
(b a)3 '' R[ f ] f ( ) 24
• 例：求 0
1
2 1 1 ' f ( x)dx f (0) f (1) f (0) 3 3 6
解决办法
1)

b
a
f ( x)dx f ( )(b a)
我们用不同的办法近似 f ( ) 可得到不同的 积分公式。 2）用简单曲线的积分代替复杂曲线的积分。
求积公式举例
1）梯形公式

b
a
1 f ( x)dx (b a)( f (a) f (b)) 2
1 f ( ) ( f (b) f (a)) 2
• 例 设有求积公式

1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公 式的代数精度 • 解：（3个未知系数需三个方程） 令求积公式分别对f(x) = 1、x、x2准确成立。即
2 1dx A0 A1 A2
将区间 [a,b]分成 n等分,步长 h b a ,
特殊的求积公式——Newton-Cotes公式
x a时t 0; x b时t n。 因此
n n t i x xi Ak lk ( x)dx dx h dt a a 0 i 0 xk xi i 0 k i b b n ik ik

b
a
f ( x)dx Ln dx I n
a
b a
b
Ak lk ( x)dx,
(k 0,L , )
定理 求积公式至少具有 n 次代数精度的充分必 要条件是它是插值型的。
证明：1） ( f ) ( f ( x) Ln ( x))dx R
a b b a
f ( n 1) ( ) wn 1 ( x)dx (n 1)!
k 0
n
xk 求积节点，Ak 求积系数，也称为节点 xk 的
权，权仅与节点的选取有关，不依赖于被积函数 的具体形式。 这种数值积分方法称为机械求积，特点是积 分问题转变为被积函数值的计算。
求积公式的代数精度 • 定义 若求积公式对所有次数不超过 m 的代数多项 式都精确成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确 成立，则称此求积公式具有m次代数精度. • 上述定义等价于：若求积公式对 f(x)=1,x,x2,…,xm 均 精确成立，而对 f(x)=xm+1 不精确成立,则称此求积公 式具有 m 次代数精度. • 求积公式的代数精度概念是衡量公式逼近好坏的标 准之一.
第四章
数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：

b
a
f ( x)dx F ( x) b F (b) F (a) a
f ( x ) 的原函数。
其中， F ( x ) 是被积函数
要求被积函数f(x)
☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
例1 判别下列求积公式的代数精度
1 1 f x dx 2 f 1 2 f 0 f 1
1
例2 试确定一个具有3次代数精度的公式
f x dx A f 0 A f 1 A f 2 A f 3
3 0 0 1 2 3
2）中矩形公式

b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ) 2
ab f ( ) f ( ) 2
3）一般公式

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
f ( )
A
k 0
n
k
f ( xk )
ba

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式
e.g.
x f(x)
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
2) f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 sin x e.g.， x dx

e dx
2

x
它们的原函数都不是初等函数。
3) f ( x ) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x ) 推导 十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不 便。
• 当n=1时， Newton-Cotes公式(2)为梯形公式

b
a
ba f ( x)dx [ f (a) f (b)] T 2
• 当n=２时， Newton-Cotes公式(2)为辛普森 （Simpson）公式