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数值分析全册完整课件

0
解：将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法；有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰，黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华大学出版社；

数值分析第一章PPT

1.1.2 计算数学与科学计算现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等

取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天，需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。

数值分析课件

辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适应数值积分方法，能够根据函数性质自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过逐步逼近的方式求解近似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过构造龙格-库塔曲线来逼近解。
03
阿达姆斯-图灵方法
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过构造阿达姆斯-图灵曲线来逼近解。
04
自适应步长控制方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长控制方法，能够根据误差自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，同时也可以帮助我们更好地理解和应用数学理论。

数值分析ppt

例如：建立积分
1 xn
In
dx 0 x5
n 0,1, , 20
的递推关系式，研究它的误差传递。
解：由
In 5In1
1
xn
5xn1 dx
0 x5
1 xn1dx 1
0
n
和
I0
1 1 dx ln 6 ln 5 0 x5
可建立递推公式
1 In 5In1 n
n 1, 2, , 20
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在四中误差中，模型误差和观测误差是客观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍入误差。
例如在计算机上计算级数
sin x x 1 x3 1 x5 1 x7 3! 5! 7!
取前三项计算 sin x 的近似值
e*( y) y*
( f )* x1
x1* y*
er*
(
x1)
(
f x2
)*
x2* y*
er*(x2 )
（2）
利用（1）、（2）两式，可以得到两数和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播的估计式.
e* (x1 x2 ) e* (x1) e*(x2 )

数值分析 PPT课件

n1
(
x
)
这里（a,b）且依赖于 x。
第12页/共51页
第13页/共51页
定理表明： (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近, 插值误差一般情况下越小。 (2) 若被插值函数 f(x) 本身就是不超过 n 次的多项式, 则有 f(x)≡g(x)。
第14页/共51页
y1
)
(
(y y1
y0 )( y y0 )( y1
y2 )( y y y2 )( y1
3) y3
)
f
1 ( y2 )
( y y0 )( y y1 )( y y3 ) ( y2 y0 )( y2 y1 )( y2 y3 )
f
1
(
y3
)
(
(y y3
y0 )( y y0 )( y3
定理2 设 f (n)( x) 在 [a,b] 上连续，f (n1)( x) 在 (a,b) 内存在，节点
a x0 x1 xn b, Ln( x) 是满足拉格朗日插值条件的多项式，则对任何 x [a,b], 插值余项
Rn ( x)
f ( x) Ln( x)
f ( (n1) )
(n 1)!
2.1 引言
许多实际问题都用函数 y=f(x) 来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f(x) 在某个区间 [a,b] 上存在、连续，但只能给出 [a,b] 上一系列点的函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数 f(x) 的特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用 P(x) 近似 f(x)。这就引出了插值问题。

数值分析PPT

A为待定系数，利用导数条件 P3'(x1) m1 ，求出A，但求出的 P3(x)通常为3次多项式，
一般情况下 P3(x) 也有可能为二次多项式，
原来方法更加准确。
（2）求余项: R(x)=f(x)－P3(x)
易知: x0, x2是R(x)的一重零点，x1 为R(x)的二重零点,
∴ R(x)可写为
多项式，则对任何 x a,b 有:
Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
Wn
1
(
x)
n
其中 Wn1(x) (x xi ), (a,b) ，且与x有关。 i0
证明：考虑插值节点上有 Rn (xi ) 0 (i 0,1,,n)
∴ 这些节点是 Rn (x) 的零点,
可设 Rn (x) k(x) Wn1(x)
∴ K(x) 1 f 4 ( )
4!
∴插值余项为R(x) =
1 4!
f
4 (
)(x
x0
)(x
x1 )2
(x
x2
)
在插值区间内与x有关.
4.5 埃尔米特插值（Hermite 法国数学家）
有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求其导数的值与原函数的值相同，即要求
H2n＋1(xi)=f (xi)， H’2n＋1(xi)=f ’(xi) i=0、1、…、n
1 i k lk (xi ) 0 i k
n
则插值多项式为: Ln (x) yi li (x) i0
lk (x) 构造过程：
上式表明：n 个点 x0 , x1, xk1, xk1, xn 都是 lk (x) 的零点。
lk (x) Ak (x x0 )(x x1) (x xk1)(x xk1) (x xn )

数值分析-第一章ppt课件

3. 高效性: 它应该具有计算量小、占用存储单元少、计算过程简单、规律性强等优点.
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4
《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本概念和理论——误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计算的能力.
似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±*。例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即
| V–V*| 2(V)
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11
二、相对误差与相对误差限
对于两个数值
x1=100±2, x2=10±1
[4] Rainer Kress. Numerical Analysis. New York:
Springer-Verlag, 2003.
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1
实际问题
否
解释实际问题
是
结束
抽象
建立数学模型
简化
类方型法
结果分析求解计算
应用于实践
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2
数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近似解法——数值方法, 是从数学模型(由实际问题产生的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个计算过程.
值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*),
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12

中科院数值分析课件

中科院数值分析课件一、概述数值分析简单来说，就是研究数字世界的学问。

大家可能觉得数学都是高深莫测的，但数值分析其实与我们日常生活息息相关。

当我们用手机计算距离、用计算器解方程时，背后都有数值分析的影子。

那么今天我们就来聊聊《中科院数值分析课件》这个话题带大家走进数字的世界。

这个课件到底讲了些啥？其实它主要介绍了数值分析的基本概念、方法和应用。

别看它内容高大上，但其实都是实用又接地气的东西。

我们学习数值分析，就是为了解决实际问题，更好地服务于生活和工作。

所以大家在学习的时候，不要觉得它遥不可及，其实它就在我们身边。

让我们一起探索这个神奇的世界吧！1. 介绍数值分析的重要性和应用领域数值分析是现代科学研究的基础工具之一，在现实生活中，我们常常遇到各种问题，比如天气预报、工程建设、经济预测等。

这些问题的解决往往离不开数值分析技术，它可以模拟复杂现象的变化趋势，帮助我们更准确地预测未来可能出现的情况。

可以说没有数值分析，很多现代科技领域的发展都会受到极大的限制。

2. 简述中科院数值分析课件的背景和目的随着科技的飞速发展，数值分析在各个领域的应用越来越广泛。

为了更好地满足教学和科研的需求，中科院制作了一系列的数值分析课件。

这些课件不仅为我们提供了丰富的理论知识和实践方法，还帮助我们更深入地理解数值分析的重要性和应用场景。

通过学习和使用这些课件，我们可以更高效地掌握数值分析的方法和技巧，为未来的工作和学习打下坚实的基础。

同时这些课件也有助于我们更好地理解和应用各种数学模型，从而更好地解决实际问题。

因此中科院数值分析课件的出现，无疑为我们提供了一个宝贵的学习资源和工具。

二、数值分析的基本概念数值分析听起来好像很高大上，但其实它是数学的一个分支，专门研究如何解决问题的一种实用方法。

它就像是一把钥匙，能打开解决各种实际问题的大门。

今天我们就来聊聊数值分析的基本概念，先让大家有个简单的认识。

数值分析的核心思想是把复杂的问题转化为简单的数学问题，然后利用计算机进行计算。

《数值分析》课程PPT (2)

数值分析
第二章矩阵分析基础
第一节线性空间第二节赋范线性空间第三节内积空间第四节矩阵代数基础第五节矩阵的三角分解第六节矩阵的正交分解第七节矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节线性空间
一、线性空间的定义二、线性空间的性质三、线性空间的基与维数四、元素在给定基下的坐标五、线性空间的同构六、基变换公式与过渡矩阵七、坐标变换公式八、线性空间的子空间
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．
例６正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
P[ x]n 对运算封闭.
数值分析
数值分析
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间. 0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
数乘
A (aij )mn Rmn , R
所以Rmn是线性空间。
数值分析
数值分析
例2 次数不超过n的多项式的全体,记作P[ x]n ,即
P[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
数值分析
数值分析
(3)Rn中定义的加法和数乘运算满足代数运算的八条公理：
1. x y y x

数值分析课件(第1章)

计算机专业基础课程: 计算方法
使用教材:数值分析华南理工大学出版社韩国强林伟健等编著
数值分析
林伟健
制作
华南理工大学计算机学院
本课程介绍的内容：使用计算机来解决某些数学问题的近似方法。
《数值分析》目录
第 1 章误差第 2 章代数插值与数值微分第 3 章数据拟合第 4 章数值积分第 5 章解线性代数方程组的直接法第 6 章解线性代数方程组的迭代法第 7 章非线性方程和非线性方程组的数值解第 8 章矩阵特征值和特征向量的数值解法第 9 章常微分方程初值问题的数值解法
2
从而得到
p n 3
而
3.1415 0.31415101 p 1
近似值 3.1415 的误差限为该值小数点后
第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，
具有4位有效数字。顺便指出，准确值我们通常称它具有无穷多位有效
数字。
4. 有效数字与误差限的关系
设准确值 x 的近似值为 x* ，且将 x* 表示为
x 0.1 2 m 10 p（p为整数，1,2,,m
3.1416 1 104
2 3.14159
1 105
2
2
这个数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差
限是它末位的半个单位。
可以证明：对任何数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。
定义1-3 若近似值x*的误差限为该值的某一位的半个单位，
例如， 0.045678 0.0457 3 位具有3 位有效数字又如， 8.0005 8.00 3 位具有3位有效数字
例1-2 若的近似值为 3.141，5 则有多少位有效数字?

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