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信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
附 录 A 常 用 数 学 公 式A.1 三角函数公式j e cos jsin t t t ωωω=+ j e e (cos jsin )t t t σωσωω+=+j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+j j 1sin (e e )2jt t t ωωω-=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=sin22sin cos ααα=2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++双曲正弦：e e sh 2x xx --=双曲余弦：e e ch 2x xx -+=A.2 微积分公式d()d Cu C u =，C 为常数（下同）d()d d u v u v ±=±，u 、v 为t 的函数（下同） d()d d uv v u u v =+ 2d d d u v u u v v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭d d Cu t C u t =⎰⎰()d d d u v t u t v t ±=±⎰⎰⎰信号与系统288d d u v uv v u =-⎰⎰()d ()()()()d ()bb baaau t v t u t v t v t u t =-⎰⎰A.3 数列求和公式（1）等比数列123,,,,N a a a a 的通项为11n n a a q -=，q 为公比，前n 项的和为 111(1)11NN N N n n a a q a q S a q q =--===--∑（2）等差数列123,,,,N a a a a 的通项为1(1)n a a n d =+-，d 为公差，前n 项的和为111()(1)22NN N n n N a a N N dS a Na =+-===+∑附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式B.1 连续时间信号的卷积121221()()()()d ()()d x t x t x x t x x t ττττττ∞∞-∞-∞*=-=-⎰⎰B.2 离散时间信号的卷积121221()()()()()()m m x n x n x m x n m x m x n m ∞∞=-∞=-∞*=-=-∑∑B.3 连续时间三角形式的傅里叶级数0000011()[cos()sin()]cos()kk kkk k x t a ak t b k t A A k t ωωωϕ∞∞===++=++∑∑0000001()d t T t a A x t t T +==⎰000002()cos()d 1,2,t T k t a x t k t t k T ω+==⎰， 000002()sin()d 1,2,t T k t b x t k t t k T ω+==⎰，1,2,k A k = arctan 1,2,k k k b k a ϕ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，B.4 连续时间指数形式的傅里叶级数FS000j 01()e d t T k t k t X x t t T ω+-=⎰0j 0()()ek tk x t X k ωω∞=-∞=∑信号与系统290B.5 连续时间傅里叶变换FTj (j )()e d t X x t t ωω∞--∞=⎰j 1()(j )e d 2πt x t X ωωω∞-∞=⎰B.6 双边拉普拉斯变换()()e d st X s x t t ∞--∞=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰B.7 单边拉普拉斯变换0()()e d st X s x t t ∞--=⎰j j 1()()e d 2πjst x t X s s σσ+∞-∞=⎰，0t ≥B.8 离散时间傅里叶级数DFS2πj 1()()ekn NN N n N X k x n N -=<>=∑，0,1,2,k =±±2πj()()ekn NN N k N x n X k =<>=∑，0,1,2,n =±±B.9 离散时间傅里叶变换DTFTj j (e )()enn X x n ΩΩ∞-=-∞=∑j j 2π1()(e )e d 2πn x n X ΩΩΩ=⎰B.10 离散傅里叶变换DFT1()()01N knNn X k x n Wk N -==-∑≤≤，附 录 B 常 用 信 号 与 系 统 公 式29111()()01N kn Nk x n X k Wn N N--==-∑≤≤，B.11 双边Z 变换b ()()nn X z x n z∞-=-∞=∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰B.12 单边Z 变换s 0()()nn X z x n z∞-==∑11()()2n cx n X z z dzj π-=⎰习题参考答案第1章1.1（a）确定信号、连续时间信号、非周期信号、能量信号、非因果信号。
常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。
2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。
信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n nat t a a δδ=001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x ∙=∙+∙=∙+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=∙+∙⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法。
线性时不变的微分和积分特性。
第二章微分方程的经典解：()()()()()()h p y t y t y t =+完全解齐次解特解 齐次解 ()(1)(1)110()()...()()0n n n yt a y t a y t a y t --++++＝特解的函数形式与激励函数的形式有关。
初始状态和初始值。
零输入和零状态响应 ()()()x f y t y t y t =+()()()()()()(0)(0)(0)(0)(0)(0)j j j j j j x f x f y y y y y y -=-+-+=+++()()()(0)(0)(0)j j j x x y y y +=-=- ()(0)0j f y -=冲激响应 ()[{0},()]h t T t δ= 卷积 1212()()()()f t f t f f t d τττ∞-∞*=-⎰1221()()()()f t f t f t f t *=* 1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+* 123123[()()]()()[()()]f t f t f t f t f t f t **=**卷积积分特性1.()()()()()f t t t f t f t δδ *=*=2.()'()'()f t t f t δ *= ()()()()()n n f t t f t δ*= ()3.()(()())tf t d f d f t t τεττττε∞∞∞*-=⎰⎰－－＝卷积微分特性121221()()1.[()()]()()n n nn n n d f t d f t d f t f t f t f t dt dt dt *=*=* 1212122.()()[()]()()[()]t ttf f d f d f t f t f d τττττττ∞∞∞*=*=*⎰⎰⎰－－－(1)(1)1212123.()0()0()()'()()f f f t f t f t f t -- -∞=∞=*=*在或时，卷积的时移性质1212121212121212()()()()()()()()()()f t f t f t f t f t t t t t t t f t f t f t f t f t t t --- =**=----*=*=-若，则第四章周期信号f(t)的傅立叶级数011()cos()sin()2n n n n a f t a n t b n t ∞∞===+Ω+Ω∑∑/2/22()cos()T n T a f t n t dt T -=Ω⎰ /2/22()sin()T n T b f t n t dt T -=Ω⎰a n 是n 的偶函数，b n 是n 的奇函数01()cos()2n n n A f t A n t ϕ∞==+Ω+∑00A a =n A =arctannn nb a ϕ=- n n A n n ϕ是的偶函数，是的奇函数 cos sin ,1,2,...n n n n n n a A b A n ϕϕ =- ==波形的对称性与谐波特性1. f(t)为偶函数－－对称纵坐标：b n =0，展开为余弦级数。
2. f(t)为奇函数－－对称原点：a n =0，展开为正弦级数。
3. f(t)为奇谐函数()(/2)f t f t T =-±：a 0=a 2=…=b 2=b 4=…=04. f(t)为偶谐函数()(/2)f t f t T =±：a 1=a 3=…=b 1=b 3=…=0傅立叶级数的指数形式1()2n j jn t n n f t A e e ϕ∞Ω=-∞=∑ 000000j j t A A e e ϕϕΩ= =，12n nj j n n n A e F e F ϕϕ== ()jn t n n f t F e ∞Ω=-∞=∑ /2/21()T jn t n T F f t e dt T -Ω-=⎰F 0=A 0/2为直流分量周期信号的功率—Parseval 等式222200111()22T n n n n A f t dt A F T ∞∞==-∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰ 0,/2n n n F A ≥=时 幅度为1，脉冲宽度为τ，周期为T 的矩形脉冲频谱：()(),0,1,2,...2n n n F Sa Sa n TT TτττπτΩ===±± 傅立叶变换()lim ()j t n T F j F T f t e dt ωω∞--∞→∞==⎰1()()2j t f t F j e d ωωωπ∞-∞=⎰(0)()F f t dt ∞-∞=⎰1(0)()2f F j d ωωπ∞-∞=⎰常用函数的傅里叶变换傅立叶变换的性质（见第五章）奇偶性：()()()F j R jX ωωω=+()F j ω=()()arctan ()X R ωϕωω⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)()(),()()()(),()()R R X X F j F j ωωωωωωϕωϕω =- =--=- =--(2)()(),()0,()()()(),()0,()()f t f t X F j R f t f t R F j jX ωωωωωω=-= ==--= =若则若则周期信号的傅立叶变换2()()()()T n n t n n Tπδδωδωδω∞∞Ω=-∞=-∞↔-Ω=Ω-Ω=Ω∑∑普通周期信号的傅立叶变换：00()()()()()n F j F j F jn n ωδωωδω∞Ω=-∞=Ω=ΩΩ-Ω ∑无失真传输：y(t)=Kf(t-t d ) ()()dj t Y j KeF j ωωω-=实现无失真传输，对系统的要求：()()d h t K t t δ=-()()/()dj t H j Y j F K j e ωωωω-==取样定理取样信号f s (t)的频谱为：()(1/2)()()s F j F j S j ωπωω=* 冲激取样：()()()()()ssT s s s s n n s t t t nT n ωδδωδωωδωω∞∞=-∞=-∞==-↔=-∑∑[]()(1/1()()2))(s sn s s s F j T F F n j j ωωωπωωδωω∞=-∞=*=-∑第五章双边拉普拉斯变换对()()st b F s f t e dt ∞--∞=⎰1()()2j st b j f t F s e ds j σσπ+∞-∞=⎰收敛域因果信号：[]Re s σα=>反因果信号：[]Re s σβ=< 双边信号：[]Re s βα>>收敛域的确定方法：lim()0t t f t e σ-→∞=单边拉氏变换0()()defstF s f t e dt ∞--=⎰ 1()()()2defj stj f t F s e ds t j σσεπ+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 常见函数的拉氏变换（单边）单边拉氏变换与傅立叶变换的关系拉普拉斯变换性质（与傅立叶变换性质对比）：初值定理和终值定理0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+== 0()lim ()s f sF s →∞=拉普拉斯逆变换:部分分式展开法 （1） F (s)为单极点（单根）1212()()......()i ni nB s K K K K F s A s s p s p s p s p ==+++++----()()ii i s p K s p F s ==- 11()i p ti L e t s p ε-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1,2()()F s p j αβ=-±特例：包含时共轭复根[]1121()()j s j K s j F s K e A jB K K θαβαβ*=-+=+-==+=11121()()()()()j j K e K e K K F s s j s j s j s j θθαβαβαβαβ-=+=++-+++-++ 11()2cos()()t f t K e t t αβθε-=+ 或 []1()2cos()sin()()t f t e A t B t t αββε-=-(2) F(s)有重极点（重根）1111111211111()(),(/)()()1()()(1)!rrs p s p r r r s p r k s p F s k d ds s p F s d k s p F s r ds===-=-⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦-11111!11()()()!p t nn n n n L t t L t e t s s p n εε-++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦复频域分析 微分方程的变换解11()0000()(0)()n n i m i i p p j i i j i i p j a s Y s a s y b s F s ---====⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ ()()()()()()()()x f M s B s Y s F s Y s Y s A s A s =+=+ 系统函数()()()()()deff Y s B s H s F s A s ==电路的S 域框图电感 电容()()(0)L L U s sLI s Li =-- 1(0)()()CC u U s I s sC s-=+系统的信号流图表示－－梅森公式1()()()mi if i p Y s H s F s =∆==∆∑,,,1...j m n p q r jm np q rL L L L L L ∆=-+-+∑∑∑系统函数与系统特性H(s)的零、极点与时域响应h(t)关系 1、极点在左半平面：在负实轴上：211122()()())t t tke t k s k e k te t αααεαεα---→+→+1k一阶极点：s+k 二阶极点：(s+ i L (t)L +u(t)-+-U(s)Li (0-)I LU(s)或u(t)+-U(s)U (0-)/sU C (s)或不在负实轴上：221122222cos()())()cos()())cos()()t t t ke t t Bs k te t t k te t t αααβθεαββθεαββθε---→++→+⎡⎤+⎣⎦++B(s)一阶极点：(s+二阶极点：(s+ 2、极点在j ω轴上：在原点：()()k t kt t εε→→2k 一阶极点：s k 二阶极点：s不在原点：211222cos()()cos()()cos()()k t t k t t k t t t βθεββθεββθε→++→+⎡⎤+⎣⎦++222B(s)一阶极点：s B(s)二阶极点：s 3、极点在右半平面 在正实轴上：()()()t t e t kt e t ααεαεα→-→-2k 一阶极点：s k 二阶极点：s 不在实轴上：22211222222cos()())cos()())cos()()t t t ke t t k t e t t k e t t αααβθεαββθεαββθε→+-+→+⎡⎤-+⎣⎦++22B(s)一阶极点：(s B(s)二阶极点：(sH(s)的零、极点与h(t)的关系：（1）零点影响h(t)的幅度、相位；（2） 极点决定h(t)的形式a) 左半平面极点对应h(t)，随时间增加，是按指数函数规律衰减的；b) 虚轴上一阶极点对应h(t)是阶跃函数或正弦函数，二阶及二阶以上极点对应h(t)是随时间增加而增大的；c) 右半平面极点对应h(t)都是随时间增加按指数函数规律增加的。
