2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。
做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。
1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
