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![数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解](https://img.taocdn.com/s1/m/9edd6ad82f60ddccdb38a082.png)
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。
1。
1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。
我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。
这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1） 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。
数值微分计算方法数值微分是微积分中的一个重要概念，用于近似计算函数的导数。
它在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值求解微分方程、优化问题以及实时数据处理等领域。
数值微分最基本的思想是通过两个离得很近的点，利用函数值的变化情况来估计导数的变化情况。
常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。
有限差分法是一种简单且直接的数值微分方法，常用的有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
前向差分法用于近似计算函数的导数，通过函数在特定点上和该点之后的一点的差值来估计导数的值。
设函数在点x处的导数为f'(x)，则前向差分法的计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为一个小常数，表示两个点之间的距离。
后向差分法与前向差分法的思想类似，只是对应的计算公式稍有不同。
后向差分法通过函数在特定点上和该点之前的一点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h中心差分法是一种更加精确的数值微分方法，通过函数在特定点的前后两点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法来说，误差更小，计算结果更稳定。
除了有限差分法，插值法也是一种常用的数值微分方法。
它通过利用已知点的函数值来估计未知点上的函数值，从而近似计算函数的导数。
常见的插值法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法通过构造一个次数为n的多项式来逼近给定的函数，然后求该多项式的导数。
牛顿插值法则是通过利用已知点的函数值来构造一个插值多项式，然后求该多项式的导数。
插值法在实践中广泛应用，能够提供更精确的数值微分结果。
总的来说，数值微分是一种基于离散点求导数的近似计算方法，可以通过有限差分法和插值法来进行计算。
不同的方法在精度和稳定性上有所差异，具体的选择需根据实际情况进行考虑。
数值微分在科学计算和工程应用中具有重要的地位和作用，是了解和掌握的必备技巧之一。
第五章 数值微积分一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。
（一） 数值微分1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二）数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
（三）等距节点的求积公式1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes系数。
2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式。
要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。
3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3；并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。
（四）复化求积公式1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。
2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。
3、简介事后估计和自适应Simpson方法。
（五）R omberg求积法1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求积公式的方法，是一种快速、有效的求积法。
2、阐明Romberg公式的建立过程：利用事后估计的思想，从复化梯形公式建立一整套递推算法，进而得到Romberg公式，整个过程实际上是一个加速的过程。
3、可通过例子验证Romberg求积法的加速效果。
（六）G auss型求积公式1、Gauss型求积公式也是一种高精度的插值型求积公式，但它的节点不是等距的，因而Gauss型求积公式不属于Newton-Cotes公式的范畴。
2、阐明Gauss型求积公式的代数精度是插值型求积公式的最大值，介绍Gauss点的概念，并说明Gauss点实际上是某个正交多项式的零点。
3、讲清楚Gauss型求积公式的求积系数的特殊构造，并由此证明Gauss型求积公式是稳定的，以及Gauss型求积公式的收敛性。
4、介绍几种Gauss型求积公式：古典Gauss公式、Gauss-Tchebyshev公式、Gauss-Laguerre公式和Gauss-Hermite公式。
让学生了解上述四中Gauss型求积公式的表达式、表达式中的权函数、定积分的上、下限以及求积系数，并通过2—3个例子具体阐述上述Gauss型求积公式是如何求数值积分的，并和以前的方法比较它们的精度。
本章结束时，建议安排一次上机实习，让学生自己动手，根据书中的算法，编程计算各种数值积分的例子，加深和巩固学生对本章内容和方法的了解和掌握。
二、补充例题例1 用三点公式求21()(1)f x x =+在 1.0,1.1,1.2x =处的导数值，并估计误差，()f x 的函数值由下表给出：1.0 1.1 1.2()0.2500000.2267570.206612i i x f x .解 三点求导公式为取上表中0121.0, 1.1, 1.2x x x ===，再分别将有关数值代入上式，即可得导数的近似值。
因为551.0 1.21.0 1.24!4!()max ()max 0.75(1)2i x x f f x x ξ≤≤≤≤''''''≤=-==+，所以可得误差估计及导数值如下表： 例2 从地面发射一枚火箭，在最初80秒内，记录其加速度如下表。
试求火箭在第80秒时的速度。
分析：速度对时间t 的导数等于加速度，因此已知加速度求速度，只需把速度看作是加速度的原函数即可。
若设速度为()v t ，则0()(0)()tv t v a t dt =+⎰，于是800(80)(0)()v v a t dt =+⎰.这样就把问题转化为求积分的问题。
解 应用复化Simpson 求积公式计算。
此题中积分区间的长度是80，有9个节点，故4,80420n h ===.由于火箭从地面向上发射，因此(0)0v =. 于是火箭在第80秒时的速度为 808000(80)(0)()()v v a t dt a t dt =+=⎰⎰例3 计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有5位有效数字。
分析：这是一个求周长的问题，因此要用到线积分中的弧长公式。
在估计误差时，由于弧长公式中含有根式，其高阶导数较复杂，故可用事后误差估计的方法来做；另外还必须把误差与有效数字结合起来使用。
解 由于在直角坐标系下求弧长表达式较复杂，因此采用极坐标来求解。
令2cos ,sin x y θθ==，则椭圆弧长为444l d d d θθθ=⨯=⨯=⨯，因为222I d ππθπ<=<⨯=，所以I 有一位整数。
故若要求结果有5位有效数字，则必须使截断误差41102-≤⨯. 列表计算如下：故可取8 2.4221I T ≈=可使I 有5位有效数字，从而49.6884l I =⨯≈.例4 用反证法证明：不存在,(0,1,2,,)k k A x k n =L ，使得求积公式的代数精度超过21n +次。
分析：只要能找到一个22n +次的多项式，使求积公式两边不相等即可。
而具有21n +次代数精度的求积公式的节点是[,]a b 上带权()x ρ的正交多项式的零点(0,1,2,,)k x k n =L ,可考察22n +次的多项式2210()()nn i i x x x ω+==-∏.解 构造多项式221()()()nn i i K x x x x ω+===-∏，并令()()f x K x =，代入上述求积公式，则左端有()()()()0b ba a x f x dx x K x dx ρρ=>⎰⎰；右端有0()()0n nk k k k k k A f x A K x ====∑∑； 即左端≠右端。
这说明：不存在具有22n +次代数精度的求积公式。
故Gauss 型求积公式是具有最高次代数精度的求积公式。
例5 设5000()[2,2],0,,(),0,1,2k k k f x C x h x h h x x kh f f x k ∈-+>=+==±±，求证：(1)4021121()(88)()12f x f f f f O h h--'=-+-+； (2) 2010121()(2)()f x f f f O h h-''=-++. 证 本题用Taylor 公式来证。
(1) 因为 230000011(2)()2()(2)()(2)()2!3!f x h f x h f x h f x h f x ''''''±=±⨯+⨯⨯±⨯⨯ 4(4)501(2)()()4!h f x O h +⨯⨯+， 4(4)501()()4!h f x O h +⨯⨯+， 所以500000(2)()8()(2)12()()f x h f x h f x h f x h h f x O h '---++-+=⨯+，即 4021121()(88)()12f x f f f f O h h--'=-+-+. (2) 利用(1)中0()f x h ±的展开式，得2010121()(2)()f x f f f O h h-''=-++.例6 确定常数,,,A B C D （均用分数精确表示），使求积公式()()If I f ≈%，其中 23()()()d ,()[()()][()()]ba I f x a f x x I f h Af a Bfb h Cf a Df b ''=-=+++⎰%具有尽可能高的代数精确度，并指出代数精确度是多少？其中h b a =-.解 设该求积公式对23()1,,(),()f x x a x a x a =---精确成立，得2231()[11][00]2b a x a h A B h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 3231()[0][11]3b a x a h A B h h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 42231()[0][02]4b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 523321()[0][03]5b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 化简得解得3711,,,.20203020A B C D ====- 例7寻找合适的数值求积公式，计算出积分31x ⎰的准确值。
解因为3121-121(2)2x t xt t t =++=+⎰⎰⎰令2211121111(2)()d 222t t t f t t ⎡⎤=++==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， 其中2()(2)f t t t =+，权函数()x ρ=Gauss-Tchebyshev 求积公式11()d ()nk k k f t t A f x =≈∑⎰，其中,1,2,,k A k n nπ==L . ()*又因为2()(2)f t t t =+是3次多项式，且()*具有21n -次代数精度，所以取2n =，可计算出积分3111()d 2x f t t =⎰⎰的准确值。
