重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年重庆市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B．C．D．

【考点】复数代数形式的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数

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故选C

【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．

2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】计算题．

【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．

【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，

“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．

∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．

故选A．

【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．

3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6

【考点】极限及其运算．

【专题】计算题．

【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．

【解答】解：原式=

=（分子分母同时除以x2）

=

==2

∴a=6

故选：D．

【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．

4．（3分）（2011•重庆）（1+3x ）n （其中n ∈N 且n≥6）的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x 5与x 6的系数，列出方程求出n ． 【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r ∴展开式中x 5与x 6的系数分别是35C n 5，36C n 6 ∴35C n 5=36C n 6 解得n=7 故选B

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（ ） A ．（﹣∞，1]

B ．

C ．

D ．（1，2）

【考点】对数函数的单调性与特殊点．

【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．

【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，

∴f（x）=

根据复合函数的单调性我们易得

在区间（﹣∞，1]上单调递减

在区间（1，2）上单调递增

故选D

【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．

6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1 D．

【考点】余弦定理．

【专题】计算题；解三角形．

【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab 即可求得答案．

【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，

∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，

又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，

∴2ab﹣4=﹣ab，

∴ab=．

故选：A．

【点评】本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．

7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）

A．B．4 C．D．5

【考点】基本不等式．

【专题】计算题．

【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．

【解答】解：∵a+b=2，

∴=1

∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）

故选C

【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．

8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）

A．B．C．D．

【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．

【专题】数形结合；直线与圆．

【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．

【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，

根据题意画出图象，如图所示：

由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，

所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．

故选B．