《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式讲解
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《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式1．流体的体积压缩系数计算式：β1dρp=-1dVVdp=ρdp 流体的体积弹性系数计算式：E=-VdpdpdV=ρdρ 流体的体积膨胀系数计算式：βdVT=1VdT=-1dρρdT2．等压条件下气体密度与温度的关系式：ρ0t=ρ1+βt，其中β=1273。
3T=±μAdudy 或τ=TduA=±μdy 恩氏粘度与运动粘度的转换式：ν=(0.0731E-0.0631E)⨯10-4f1∂p⎫x-ρ∂x=0⎪fr-1∂p=0⎫⎪ρ∂r⎪⎪4．欧拉平衡微分方程式： f⎪y-1∂pρ∂y=0⎪⎬和fθ-1∂pρ=0⎬ f1∂p⎪r∂θρ∂z=0⎪⎪⎪⎭f1∂p⎪z-z-ρ∂z=0⎪⎭欧拉平衡微分方程的全微分式：dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz) dp=ρ(frdr+fθrdθ+fzdz) 5 fxdx+fydy+fzdz=0frdr+fθrdθ+fzdz=06pγ+z=C 或 p1γ+zp21=γ+z2 或p1+ρgz1=p2+ρgz2相对于大气时：pm+(ρ-ρa)gz=C 或pm1+(ρ-ρa)gz1=pm2+(ρ-ρa)gz27p=p0+γh，其中p0为自由液面上的压力。
8．水平等加速运动液体静压力分布式：p=p0-ρ(ax+gz)；等压面方程式：ax+gz=C；自由液面方程式：ax+gz=0。
注意：p0为自由液面上的压力。
1 9．等角速度旋转液体静压力分布式：p=p0+γ(ω2r22g-z)；等压面方程式：ω2r22-gz=C；自由液面方程式：ω2r22-gz=0。
注意：p0为自由液面上的压力。
10．静止液体作用在平面上的总压力计算式：P=(p0+γhc)A=pcA，其中p0为自由液面上的相对压力。
压力中心计算式：yD=yc+γsinαIxc (p0+γycsinα)AIxcycA或yD-yc=IxcycA。
当自由液面上的压力为大气压时：yD=yc+矩形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=圆形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc11bh3；三角形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=bh3 1236π4=d 6411．静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力计算式：Pz=p0Az+γVP，注意：式中p0应为自由液面上的相对压力。
12∂ux∂ux∂ux∂ux⎫+ux+uy+uz∂τ∂x∂y∂z⎪⎪∂uy∂uy∂uy∂uy⎪+ux+uy+uz直角坐标系：ay=⎬ ∂τ∂x∂y∂z⎪∂u∂uz∂uz∂uz⎪az=z+ux+uy+uz∂τ∂x∂y∂z⎪⎭ax=∂ur∂ur∂ur∂uruθ2ar=+ur+uθ+uz-∂τ∂rr∂θ∂zr∂u∂u∂u∂uuu圆柱坐标系：aθ=θ+urθ+uθθ+uzθ+rθ∂τ∂rr∂θ∂zr∂u∂uz∂uz∂uzaz=z+ur+uθ+uz∂τ∂rr∂θ∂z⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭流体质点的压力、密度等流动参量对时间的变化率计算式：dp∂p∂p∂p∂p=+ux+uy+uzdτ∂τ∂x∂y∂zdρ∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ=+ux+uy+uz∂τ∂x∂y∂z dτ13drrdθdzdxdydz==== 及uxuyuzuruθuz2∂ρ∂(ρux)∂(ρuy)∂(ρuz)14．三维连续性方程式的一般式：+++=0 ∂τ∂x∂y∂z∂ρρur∂(ρur)∂(ρuθ)∂(ρuz)++++=0 ∂τr∂rr∂θ∂z∂ux∂uy∂uz15．不可压缩流体的三维连续性方程式：++=0 ∂x∂y∂zur∂ur∂uθ∂uz+++=0∂rr∂θ∂z r16M=ρ11A1=ρ22A2对于不可压缩流体： Q=1A1=2A2∂u∂u∂u⎫1∂p∂ux=+uxx+uyx+uzx⎪ρ∂x∂τ∂x∂y∂z⎪∂uy∂uy∂uy⎪1∂p∂uy=+ux+uy+uz17f y-⎬ρ∂y∂τ∂x∂y∂z⎪1∂p∂uz∂u∂u∂ufz-=+uxz+uyz+uzz⎪ρ∂z∂τ∂x∂y∂z⎪⎭fx-1∂p∂ur∂ur∂ur∂uruθ2fr-=+ur+uθ+uz-ρ∂r∂τ∂rr∂θ∂zr∂u∂u∂uuu1∂p∂uθ=+urθ+uθθ+uzθ+rθ fθ-ρr∂θ∂τ∂rr∂θ∂zr1∂p∂uz∂u∂uz∂ufz-=+urz+uθ+uzzρ∂z∂τ∂rr∂θ∂z⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭∂z∂u∂u1∂p⎫+g++u=0⎪ρ∂s∂s∂τ∂s⎪18．沿流线的欧拉运动微分方程式：⎬2∂zu1∂p⎪+g=⎪ρ∂r∂rr⎭对于稳定流动： dpρ+gdz+udu=01ρu2=C 219p+ρgz+或p1+ρgz1+112ρu12=p2+ρgz2+ρu2 22112相对于大气时：pm1+(ρ-ρa)gz1+ρu12=pm2+(ρ-ρa)gz2+ρu2 22∑Fx=ρ2A2un2ux2-ρ1A1un1ux1⎫⎪20∑Fy=ρ2A2un2uy2-ρ1A1un1uy1⎬⎪∑Fz=ρ2A2un2uz2-ρ1A1un1uz1⎭∑Fx=ρQ(ux2-ux1)⎫⎪或∑Fy=ρQ(uy2-uy1)⎬∑Fz=ρQ(uz2-uz1)⎪⎭21．稳定流的动量矩方程式：M=∑F⨯r=ρQ(u2⨯r2-u1⨯r1)或M=∑Fτr=ρQ(u2τr2-u1τr1)⎫1∂uz∂uθ1∂uz∂uy⎫ω=(-)ωx=(-)⎪r⎪2r∂θ∂z2∂y∂z⎪⎪∂u⎪1∂u1∂u∂u⎪22ωy=(x-z)⎬及ωθ=(r-z)⎬ 2∂z∂r2∂z∂x⎪⎪1uθ∂uθ∂ur⎪1∂uy∂ux⎪ωz=(+-)⎪ωz=(-)⎪2r∂rr∂θ⎭2∂x∂y⎭⎫∂uz∂uy⎫∂uz∂uθ-ξ=-⎪r⎪∂y∂z⎪r∂θ∂z⎪∂u∂u⎪∂u∂u⎪流体微团的涡量计算式：ξy=x-z⎬及ξθ=r-z⎬ ∂z∂r∂z∂x⎪⎪uθ∂uθ∂ur⎪∂uy∂ux⎪ξz=+-ξz=-⎪⎪r∂rr∂θ⎭∂x∂y⎭ξx=23εx=∂uy∂ux∂u，εy=，εz=z ∂x∂y∂z∂ux∂uy∂uz流体微团的体积变形率计算式：ε=εx+εy+εz= ++∂x∂y∂z1∂uz∂uy⎫θx=(+)⎪2∂y∂z⎪1∂u∂u⎪24θy=(x+z)⎬ 2∂z∂x⎪1∂u∂u⎪θz=(y+x)⎪2∂x∂y⎭25 dxωx=dyωy=dzωz26．涡管的旋涡强度定义式：I=⎰sA rotu⋅dA=⎰ξ⋅dA=⎰ξxdAx+ξydAy+ξzdAz AA 27．速度环量定义式：Γ=u⋅ds=uxdx+uydy+uzdz s28ux=∂ψ∂ψ ，uy=-∂y∂x dψ=-uydx+uxdy 4对于圆柱坐标系：ur=1∂ψ∂ψ，uθ=- r∂θ∂rdψ=-uθdr+urrdθ29ux=∂ϕ∂ϕ∂ϕ，uy=，uz=∂x∂y∂z dϕ=uxdx+uydy+uzdz 对于圆柱坐标系：ur=∂ϕ1∂ϕ∂ϕ，uθ=，uz= ∂rr∂θ∂z dϕ=urdr+uθrdθ+uzdz30．平行于x轴的均匀直线流的流函数和速度势函数的表达式：ψ=u0y⎫ϕ=u0x⎬⎭QQ-1y⎫θ=±tg⎪⎪2π2πx31．源流与汇流的流函数和速度势函数的表达式：⎬QQϕ=±lnr=±lnx2+y2⎪⎪2π2π⎭ψ=±ΓΓ⎫lnr=-lnx2+y2⎪⎪2π2π32．涡流（点涡）的流函数和速度势函数的表达式：⎬ΓΓ-1y⎪ϕ=θ=tg⎪2π2πx⎭ψ=-33．偶极流的流函数和速度势函数的表达式：ψ=-MsinθMy =-222πr2πx+yϕ=McoθsMx =2πr2πx2+y234Re=ρulul= μν对于圆截面管道：Re=ρdd= μν对于绕流平板：Re=ρu∞xu∞x =μν对于绕流圆柱体及球体：Re=ρu∞du∞d =μνp12u12p2u2=+z2+α2+hw 35+z1+α1γ2gγ2g1222或p1+γz1+α1γ=p2+γz2+α2γ+∆pw 2g2g1222相对于大气时：pm1+(γ-γa)z1+α1γ=pm2+(γ-γa)z2+α2γ+∆pw 2g2gl2l2l136hf=λ 或∆pf=γhf=λγ=λρ2 d2gd2gd222137．局部阻力计算公式：hf=K 或∆pj=γhj=Kγ=Kρ2 2g2g238．圆管层流切应力计算式：τ=39u=11Rmr=γJr 22∆pf4μl(R2-r2)=γJ22(R-r) 4μ40．哈根—泊肃叶公式：Q=γJγJπR4=πd4 8μ128μuumaxy=()n R14142．层流区阻力系数λ计算式：λ=64 Re0.316435 （4×10<Re<10） 0.25Re∆68粗糙管区阿尔特索里阻力系数λ计算式：λ=0.11(+)0.25 dRed阻力平方区尼古拉兹阻力系数λ计算式：λ=(1.74+2lg)-2 2∆光滑管区布拉修斯阻力系数λ计算式：λ=43=ϕ2g(H0+p0-pbγ)Q=μ2g(H0+对于敞口液体容器：=ϕgHQ=μ2gH 对于密闭气体容器：=ϕ2g(pg-pa)=ϕ2∆pp0-pbγ) γρQ=μA2g(pg-p a)γ=μA6 2∆pρ2gH(a-g)244．零压面位于炉底的炉门逸气量计算公式：Q=μBH 3γg对于斜壁炉门：Q=2gH(γa-γg)sinα2 μBH3γg8(λ45SH=ll+∑K)8ρ(λ+∑K) 或S=P2424πdgπd hw=SHQ2 或∆pw=SPQ2146hw=SH(Qz2+QzQt+Qt2) 31或 hw=SH(Q2-QQt+Qt2) 3τxy=τyx=μ(47τyz∂uyτzx∂x∂u=τzy=μ(z∂y∂u=τxz=μ(x∂z⎫∂ux)=2μθz⎪∂y⎪∂uy⎪+)=2μθx⎬ ∂z⎪∂uz+)=2μθy⎪⎪∂x⎭+⎫∂ux2-μdivu⎪∂x3⎪∂u2⎪48σyy=-p+2μy-μdiv⎬ ∂y3⎪⎪∂u2σzz=-p+2μz-μdivu⎪∂z3⎭σxx=-p+2μdux∂2ux∂2ux∂2ux⎫1∂p=fx-+ν(2++)⎪dτρ∂x∂x∂y2∂z2⎪duy∂2uy∂2uy∂2uy⎪1∂p=fy-+ν(2++)⎬ 49dτρ∂y∂x∂y2∂z2⎪duz1∂p∂2uz∂2uz∂2uz⎪=fz-+ν(2++)⎪dτρ∂z∂x∂y2∂z2⎭dδdδ∂p2ρudy-uρudy=-(δ+τw) 50x∞xdx⎰0dx⎰0∂x对于绕流平板的情况：dδρux(u∞-ux)dy=τw ⎰0dx51．平板层流附面层的解析计算结果：(1)平板层流附面层厚度δ的计算式：δ=5.0xRex -12(其中Rex=u∞xν) 72(2)平板表面上x处摩擦切应力τw的计算式：τw=0.332ρu∞Rex -12(3)平板表面上x处摩擦阻力系数Cfx的计算式：Cfx=τw12ρu∞2=0.664Rex -122(4)平板单侧面上总摩擦阻力Ff的计算式：Ff=0.664BLρu∞ReL -12(5)平板总摩擦阻力系数Cf的计算式：Cf=Ff12ρu∞BL215=1.328ReL (其中ReL=-12u∞Lν) 52．平板紊流附面层的近似计算结果： (1)平板紊流附面层厚度δ的计算式：δ=0.382xRex(2)平板表面上x处摩擦切应力τw的计算式：τw=0.0297ρuRex(3)平板表面上x处摩擦阻力系数Cfx的计算式：Cfx=2∞-15-τw12ρu∞22∞=0.0594Rex -15(4)平板单侧面上总摩擦阻力Ff的计算式：Ff=0.037BLρuReL (5)平板总摩擦阻力系数Cf的计算式：Cf=Ff12ρu∞BL2=0.074ReL (3×105≤ReL≤107) -15-15当ReL>107时，Cf=0.455(lgReL)2.58(106≤ReL≤109)0.074A-0.2ReLReL53．平板混合附面层总摩擦阻力系数CfM计算式：CfM= 0.455A-(lgReL)2.58ReL(3⨯105≤ReL≤107)；CfM=(106≤ReL≤109)54．粘性流体绕流其他物体时的阻力系数CD的定义式：CD=FD2ρu∞A224 Re55．绕流球体的斯托克斯阻力计算公式：FD=3πdμu∞；阻力系数计算式：CD=56．球体自由沉降速度计算式：uf=4gdρs-ρ 3CDρ对于非球形物体：uf=8gV0ρs-ρ4gdeΩρs-ρ 或uf= 3CDρA0CDρ8。
