平行线的判定 (3)

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 2．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90° 3．下列命题中，真命题的是（ ） A ．同旁内角互补，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．同位角相等D ．直角三角形两个锐角互补4．如图，在ABC 中，100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，D 是AB 上一点，将ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．55°5．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（ ）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；（5）∠5＝∠DA ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．BD ∠=∠ D ．12180B ∠+∠+∠=︒7．如图，要得到AB ∥CD ，只需要添加一个条件，这个条件不可以．．．是（ ）A ．∠1＝∠3B ．∠B ＋∠BCD ＝180°C ．∠2＝∠4D ．∠D ＋∠BAD ＝180°8．如图，能判定AD ∥BC 的条件是（ ）A ．∠1＝∠2B ．∠2＝∠3C ．∠1＝∠4D ．∠3＝∠4 9．如图，//AB EF ，C 点在EF 上，EAC ECA ∠=∠，BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥．下列结论：①AC 平分DCE ∠；②//AE CD ；③190B ∠+∠=︒；④BDC 21∠=∠．其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF 11．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6812．如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，80A ∠=︒，40ABC ∠=︒，那么BDC ∠=（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒二、填空题13．如图，点P 是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100︒，则∠BAC=_________．14．如图，将△ABC 沿着DE 对折，点A 落到A ′处，若∠BDA ′+∠CEA ′＝70°，则∠A ＝_____．15．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，若∠B ＝72°，∠DAE ＝16°，则∠C ＝_____度．16．命题“若11a b=，则a b =”，这个命题是_____命题．（填“真”或“假”）17．如图，下列能判定//AB CD 的条件有_______个．①180B BAD ∠+∠=°；②12∠=∠；③34∠=∠；④5BAD ∠=∠．18．如图，已知△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ，若∠BGC =115°，则∠A =______．19．如图，C 是线段AB 上一点，∠DAC ＝∠D ，∠EBC ＝∠E ，AO 平分∠DAC ，BO 平分∠EBC ．若∠DCE ＝40°，则∠O ＝______°．20．如图，∆ABC 中，∠A= 82︒ ，∆ABC 的两条角平分线交于点 P ，∠BPD 的度数是_____；三、解答题21．如图，已知点E 在直线DC 上，射线EF 平分AED ∠，过E 点作EB EF ⊥，G 为射线EC 上一点，连接BG ，且90EBG BEG ︒∠+∠=．（1）求证：DEF EBG ∠=∠；（2）若EBG A ∠=∠，求证：//AB EF ．22．如图所示，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，BP 平分ABC ∠交AD 于点P .（1）求APB ∠的度数.（2）若56ADC ∠=︒，求ABP ∠的度数.23．已知：直线GH 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，并且//EM FN ．（1）如图1，求证：//AB CD ；（2）如图2，2AEF CFN ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135︒．24．如图，//AD BC ，∠1=∠C ，∠B =60°，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，试说明//AB DE ．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵//AD BC ，（已知）∴∠1=∠ =60°．（ ）∵∠1=∠C ，（已知）∴∠C =∠B =60°．（等量代换）∵//AD BC ，（已知）∴∠C +∠ =180°．（ ）∴∠ =180°-∠C =180°-60°=120°．（等式的性质）∵DE 平分∠ADC ，（已知）∴∠ADE =12∠ADC =12×120°=60°．（ ） ∴∠1=∠ADE ．（等量代换）∴//AB DE ．（ ）25．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 延长线上的点，连接EF ，分别交AD 、BC 于点G 、H ．若12∠=∠，A C ∠=∠，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．补全解答过程．猜想：AB 与CD 的位置关系是 ① ．证明：∵12∠=∠（已知），1AGH ∠=∠（②），∴2AGH ∠=∠（③）．∴ ④ （同位角相等，两直线平行）．∴ADE C ∠=∠（⑤），∵A C ∠=∠（已知），∴ ⑥ （等量代换）．∴ ⑦ （⑧）．26．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥．若40BAD ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】若甲说的是真话，则乙是假话，丙说的是真话，和已知不符合．故甲说的是假话，不是乙获奖；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，和已知不符合．故乙说的是假话，不是丙获奖．显然丙说的是真话，丁说的是假话，则是丁获奖．【详解】解：本题可分三种情况：①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符； ②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符； ③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意．在③的条件下，丁说了假话，因此丁才是真正获奖的人．故选D ．【点睛】此题主要考查命题的真假推理，解题的关键是用假设的方法，进行分析排除． 2．C解析：C【分析】根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．【详解】解：∵将A ∠沿DE 翻折，∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，解得102.5ADE ∠=︒，∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．3．A解析：A【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；B 、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；C 、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；D 、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．4．C解析：C【分析】先求出60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，得出ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒．【详解】∵100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，∴60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，∴ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可得出结论．【详解】解：当12∠=∠时，//AD BC ，不符合题意；当34∠=∠时，//AB CD ， 符合题意；当5B ∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当180B BCD ∠+∠=︒时，//AB CD ；符合题意；当5D ∠=∠时，//AD BC ；不符合题意；综上所述，能判定//AB CD 的条件有（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．6．B解析：B【解析】A不可以；∵∠1=∠3，∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB∥CD，∴A不可以；B可以；∵∠2=∠4，∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B可以；C、D不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB∥CD；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB∥BC；∴C、D不可以；故选B.7．A解析：A【分析】根据B、D中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB∥CD，根据C中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，而根据A中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC．由此即可得出结论．【详解】解：A．∵∠1=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；B．∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；C．∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；D．∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键．8．B解析：B【分析】根据平行线的判定方法进行分析即可．【详解】A、∠1＝∠2不能判定AD∥BC，故此选项错误；B、∠2＝∠3能判定AD∥BC，故此选项正确；C 、∠1＝∠4可判定AB ∥CD ，不能判定AD ∥BC ，故此选项错误；D 、∠3＝∠4不能判定AD ∥BC ，故此选项错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．9．D解析：D【分析】根据平行线的性质及角度的计算，等腰三角形的性质即可进行一一求解判断.【详解】根据//AB EF ， BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥可得∠1+∠BCD=90°，∠BCD=12∠DCF ， 又∠DCF+∠ECD=180°，∴∠1=12∠ECD ，故AC 平分DCE ∠，①正确； ∵AC 平分DCE ∠，∴∠1=∠ECA,∵EAC ECA ∠=∠∴EAC ∠=∠1，∴//AE CD ，②正确；∵EF ∥AB ，∴∠FCB=∠B ，∴∠B=∠DCB ，∵∠1+∠DCB=90°，∴190B ∠+∠=︒，③正确；∵EF ∥AB ，∴∠ECA=∠CAD ，∵∠1=∠ECA∴∠1=∠CAD∵∠CDB 是△ACD 的一个外角，∴∠CAD=∠1+∠CAD=2∠1，④正确；故选D【点睛】此题主要考查平行线的角度计算，解题的关键是根据图像的特点进行求解.10．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D 、∵∠D=∠DCF ，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．11．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．12．D解析：D【分析】根据三角形的内角和得出∠ACB 的度数，再根据角平分线的性质求出∠DCA 的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BDC 的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝12∠ACB=30°（角平分线的性质）， ∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°（三角形外角的性质）．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的知识，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，难度适中．二、填空题13．【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=故可得到∠ABC+∠ACB=即可得出答案【详解】在△BPC 中∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P 是三角形三条角平分线的交点∴∠ABC=2∠PBC ∠解析：20︒【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=80︒，故可得到∠ABC+∠ACB=160︒，即可得出答案．【详解】在△BPC 中，∠BPC=100︒，∴∠PBC+∠PCB=80︒，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB=2∠PCB ，∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160︒，∴∠BAC=180()20ABC ACB ︒-∠+∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键．14．35°【分析】先根据折叠性质可求得∠A′DE ＝∠ADE ∠A′ED ＝∠AED 再和平角性质可求得根据平角定义和已知可求得∠ADE+∠AED ＝145°然后利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数【详解】解解析：35°【分析】先根据折叠性质可求得∠A′DE ＝∠ADE ，∠A′ED ＝∠AED ，再和平角性质可求得根据平角定义和已知可求得∠ADE+∠AED ＝145°，然后利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数．【详解】解：∵将△ABC 沿着DE 对折，A 落到A′，∴∠A′DE ＝∠ADE ，∠A′ED ＝∠AED ，∴∠BDA′+2∠ADE ＝180°，∠A′EC+2∠AED ＝180°，∴∠BDA ′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED ＝360°，∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，∴∠ADE+∠AED ＝145°，∴∠A ＝180°-（∠ADE+∠AED ）=180°-145°=35°,故答案为：35°．【点睛】本题考查了折叠的性质、平角定义和三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解答的关键．15．40【分析】根据三角形的内角和得出再利用角平分线得出利用三角形内角和解答即可【详解】是高是角平分线故答案为40【点睛】本题考查了三角形的内角和定理熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于是解题的 解析：40【分析】根据三角形的内角和得出18BAD ∠=，再利用角平分线得出68BAC ∠=，利用三角形内角和解答即可．【详解】 AD 是高，72B ∠=，18BAD ∴∠=，181634BAE ∴∠=+=， AE 是角平分线，68BAC ∴∠=，180726840C ∴∠=--=．故答案为40.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180是解题的关键．16．真【分析】根据题意判断正误即可确定是真假命题【详解】解：命题若则a=b 这个命题是真命题故答案为：真【点睛】本题考查了命题与定理的知识解题的关键是当判断一个命题为假命题时可以举出反例难度不大解析：真【分析】根据题意判断正误即可确定是真、假命题．【详解】解：命题“若11a b=，则a=b”，这个命题是真命题， 故答案为：真．【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是当判断一个命题为假命题时可以举出反例，难度不大．17．1【分析】利用判定平行的条件分别判断各个条件是否满足即可【详解】①仅能判断BC ∥AD 错误；②仅能判断BC ∥AD 错误；③可通过内错角相等判断AB ∥CD 正确；④无法判断平行错误故答案为：1个【点睛】本题解析：1【分析】利用判定平行的条件，分别判断各个条件是否满足即可．【详解】①仅能判断BC ∥AD ，错误；②仅能判断BC ∥AD ，错误；③可通过内错角相等，判断AB ∥CD ，正确；④无法判断平行，错误故答案为：1个．【点睛】本题考查平行的判定，需要注意题干中告知的条件到底能判定哪一组线段平行．18．50°【分析】根据三角形内角和定理求出∠GBC+∠GCB根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB根据三角形内角和定理计算即可【详解】解：∵∠BGC=115°∴∠GBC+∠GCB=180°﹣115°=解析：50°【分析】根据三角形内角和定理求出∠GBC+∠GCB，根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠BGC=115°，∴∠GBC+∠GCB=180°﹣115°=65°，∵BE，CF是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=130°，∴∠A=180°﹣130°=50°，故答案为50°．19．125【分析】利用平角的定义可得由角平分线的性质易得由三角形的内角和定理可得结果【详解】解：平分平分故答案为：125【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：125【分析】利用平角的定义可得180********ACD BCE DCE，由角平分线的性质易得11()1105522OAB OBA DAC CBE，由三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：40DCE，180********ACD BCE DCE，DAC D，EBC E∠=∠，221802140220DAC CBE，110DAC CBE，AO平分DAC∠，BO平分EBC∠，∴11()1105522OAB OBA DAC CBE，180()18055125O OAB OBA，故答案为：125．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练运用定理是解答此题的关键．20．49°【分析】由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+ACB)=49°再由三角形的外角性质即可得出结果【详解】∵△ABC 中∠解析：49°【分析】由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+ACB)=49°，再由三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】∵△ABC 中，∠A=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，∵△ABC 的两条角平分线交于点P ，∴∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+ACB)=1982⨯︒=49°， ∴∠BPD=∠PBC+∠PCB=49°，故答案为：49°．【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及三角形的外角性质；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意得到90FEB ∠=︒，再根据等量代换的方法求解即可；（2）通过已知条件证明A AEF ∠=∠，即可得到结果；【详解】（1）∵EB EF ⊥，∴90FEB ∠=︒，∴1809090DEF BEG ∠+∠=︒-︒=︒．又∵90EBG BEG ︒∠+∠=，∴DEF EBG ∠=∠．（2）∵EF 平分AED ∠，∴AEF DEF ∠=∠．∵EBG A ∠=∠，DEF EBG ∠=∠，∴A DEF ∠=∠．又∵DEF AEF ∠=∠，∴A AEF ∠=∠，∴//AB EF ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，结合角平分线的性质和垂直的性质证明是解题的关键． 22．（1）135︒；（2）11︒【分析】（1）根据角平分线性质可得∠PAB +∠PBA ＝45°，即可解题；（2）由(1)可知135APB ∠=︒，可得45BPD ∠=︒，然后根据三角形外角性质得出PBD BPD ADC ∠+∠=∠，即可求解；【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒且180ACB ABC CAB ∠+∠+∠=︒，∴90ABC CAB ∠+∠=︒，∵AD 、BP 分别平分CAB ∠、ABC ∠， ∴()1452PBA PAB ABC CAB ∠+∠=∠+∠=︒ ∵180PBA PAB APB ∠+∠+∠=︒∴135APB ∠=︒（2）∵180BPD APB ∠+∠=︒，135APB ∠=︒∴45BPD ∠=︒∵56ADC ∠=︒，且PBD BPD ADC ∠+∠=∠∴564511PBD ∠=︒-︒=︒∵BP 分别平分ABC ∠，∴PBD ABP ∠=∠即11ABP ∠=︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理及推论,角平分线的定义及三角形外角的性质,难度适中. 23．（1）见解析；（2）AEM ∠，GEM ∠，DFN ∠，HFN ∠【分析】（1）根据平行线的性质和判定可以解答；（2）由已知及（1）的结论可知∠CFN=45°，然后结合图形根据角度的加减运算可以得到解答．【详解】（1）证明：∵//EM FN ，∴EFN FEM ∠=∠．∵EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，∴2CFE EFN ∠=∠，2BEF FEM ∠=∠． ∴CFE BEF ∠=∠．∴//AB CD ．（2）由（1）知AB //CD ，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE ，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，∴度数为135°的角有：AEM ∠、 GEM ∠、 DFN ∠、 HFN ∠．【点睛】本题考查平行线的判定和性质及角平分线的综合运用，熟练掌握平行线的判定和性质定理及角平分线的意义是解题关键．24．B ；两直线平行，同位角相等；ADC ；两直线平行，同旁内角互补；ADC ；角平分线性质；内错角相等，两直线平行．【分析】利用平行线的性质和判定，角平分线的性质去进行填空．【详解】解∵//AD BC ，（已知）∴∠1=∠B=60°．（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠C ，（已知）∴∠C =∠B =60°．（等量代换）∵//AD BC ，（已知）∴∠C +∠ADC=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠ADC=180°-∠C =180°-60°=120°．（等式的性质）∵DE 平分∠ADC ，（已知）∴∠ADE =12∠ADC =12×120°=60°．（角平分线性质） ∴∠1=∠ADE ．（等量代换）∴//AB DE ．（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． 25．①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD ∥BC ，进而得到∠ADE=∠C ，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB ∥CD ．【详解】猜想：AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ．证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠AGH （对顶角相等）∴∠2=∠AGH （等量代换）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）∴∠ADE=∠C （两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠C （已知）∴∠ADE=∠A （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）故答案为：①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．26．20°【分析】由题意，先求出30B ∠=︒，然后得到60=︒∠BAE ，即可求出答案．【详解】解：如图：AD 平分BAC ∠224080BAC BAD ∴∠=∠=⨯︒=︒70C ∠=︒30B ∴∠=︒AE BC ⊥于点E90AED ∴∠=︒903060BAE ∴∠=︒-︒=︒604020DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．。

北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式 整 式 多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项 几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：a m﹒a n =am+n(m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（am）n=amn(m,n 都是正整数）； 3、积的乘方：（ab ）n=a n bn(n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：am÷a n=am-n(m,n 都是正整数,a ≠0) ；整 式 的 运算六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。

七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

（2）推理的过程要步步有据.
（3）在推理的过程中，已经推出的结论可以作为后面继续推证的依据.
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一.选择题
1.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线，有且只有一个公共点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）
又∵EF∥AB（已知），
∴∠EFC＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∴∠ADE＝∠EFC（等量代换）.
评析：本题关键是利用平行线的性质，来证明角度相等，要注意角的位置.
例4.如图所示，直线MN分别和直线AB、CD、EF相交于G、H、P，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，求证：AB∥EF.
分析：要证AB∥EF，可先证AB∥CD和EF∥CD.根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥EF.
（1）∵CE∥AB（已知），
∴∠1＝∠B（）
（2）∵CE∥AB（已知），
∴∠2＝∠A（）
（3）∵∠1＝∠B，∠2＝∠A（已证），
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠A（）
即∠ACD＝∠B＋∠A（）
（4）∵BCD是一直线（已知），
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°（），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（）.
*2.如图所示，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG∥BA.
5.提示：因为∠BAC是△ACD的一个外角，所以∠BAC＞∠1.因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2.因为∠2是△BCD的一个外角，所以∠2＞∠B.所以∠BAC＞∠B.
3.提示：因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4.因为MG∥NH，所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠2.
4.提示：过点E作EF∥AB，所以∠B＋∠BEF＝180°，因为AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠D＋∠DEF＝180°，所以∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.

浙教版七年级下 1.3平行线的判定同步练习一．选择题1．（2021秋•文山市期末）下列图形中,由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（）A．B． C．D．2．（2020秋•盐田区期末）如图,点E在射线AB上,要AD∥BC,只需（）A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°3．（2021秋•于洪区期末）如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°4．（2021秋•肇源县期末）如图,下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．45．（2020春•岳西县期末）有下列说法：①对顶角相等；②内错角相等；③平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④平面内过一点有且只有一条直线平行于已知直线,其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．（2021春•柳南区校级期末）如图,下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°7．（2021春•孟村县期末）木工师傅用图中的角尺画平行线,他依据的数学道理是（）A．同位角相等,两直线平行B．内错角相等,两直线平行C．同旁内角互补,两直线平行D．以上结论都不正确8．（2021•香坊区校级开学）如图,下列条件中能判定AB∥CD的是（）A．∠AEC＝∠BFD B．∠CEF＝∠BFE C．∠AEF+∠CFE＝180°D．∠C＝∠BFD 9．（2021春•高州市月考）如图所示,已知直线c与a,b分别交于点A、B且∠1＝120°,当∠2＝（）时,直线a∥b．A．60°B．120°C．30°D．150°10．（2021春•瑶海区期末）下列说法中,错误的是（）A．平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线最短C．经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线D．同位角相等,两直线平行二．填空题11．（2021•桂林）如图,直线a,b被直线c所截,当∠1 ∠2时,a∥b．（用“＞”,“＜”或“＝”填空）12．（2021春•思明区校级月考）结合图（不能自己标角）,用符号语言表达“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式：∵,∴．13．（2021春•兴宾区期末）如图,将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动,可知直角边AB∥CD,依据是．14．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图,不添加辅助线,请写出一个能判定AD∥BC的条件．15．（2021春•呼和浩特期末）如图,下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．能判定AB∥CD的条件为．16．（2020春•夏邑县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°,∠ABC＝30°）按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°,∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有．（填序号）三．解答题17．（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图,∠1＝30°,∠B＝60°,AB⊥AC．求证：AD∥BC．证明：∵AB⊥AC（已知）,∴∠＝90°（）,∵∠1＝30°,∠B＝60°（已知）,∴∠1+∠BAC+∠B＝（）,即∠+∠B＝180°,∴AD∥BC（）．18．（2021春•普陀区校级月考）如图,点G在CD上,已知∠BAG+∠AGD＝180°,EA平分∠BAG,FG 平分∠AGC,请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（）,∠AGC+∠AGD＝180°（）,所以∠BAG＝∠AGC（）．因为EA平分∠BAG,所以∠1＝（）．因为FG平分∠AGC,所以∠2＝,得∠1＝∠2（）,所以AE∥GF（）．19．（2021春•平谷区校级期中）已知：如图,∠1＝∠2,∠A＝∠2．求证：DF∥AC．20．（2021春•东台市月考）如图,∠CDA＝∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,且∠1＝∠2,试说明DE∥FB．21．（2021春•甘州区校级月考）已知：∠A＝∠C＝120°,∠AEF＝∠CEF＝60°,求证：AB∥CD．答案与解析一．选择题1．（2021秋•文山市期末）下列图形中,由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（）A．B． C．D．【解析】解：A、∠1＝∠2,AB∥CD,符合题意；B、∠1+∠2＝180°,AB∥CD,不符合题意；C、∠1＝∠2,得不出AB∥CD,不符合题意；D、∠1＝∠2,得不出AB∥CD,不符合题意；故选：A．2．（2020秋•盐田区期末）如图,点E在射线AB上,要AD∥BC,只需（）A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°【解析】解：要AD∥BC,只需∠A＝∠CBE,故选：A．3．（2021秋•于洪区期末）如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°【解析】解：A、当∠1＝∠3时,有a∥b,故A不符合题意；B、当∠2+∠3＝180°时,有a∥b,故B不符合题意；C、当∠1＝∠4时,∵∠3＝∠4,∴∠1＝∠3,∴a∥b,故C不符合题意；D、当∠1+∠4＝180°时,不能判定a∥b,故D符合题意．4．（2021秋•肇源县期末）如图,下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：（1）利用同旁内角互补,判定两直线平行,故（1）正确；（2）利用内错角相等,判定两直线平行,∵∠1＝∠2,∴AD∥BC,而不能判定AB∥CD,故（2）错误；（3）利用内错角相等,判定两直线平行,故（3）正确；（4）利用同位角相等,判定两直线平行,故（4）正确．故选：C．5．（2020春•岳西县期末）有下列说法：①对顶角相等；②内错角相等；③平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④平面内过一点有且只有一条直线平行于已知直线,其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①对顶角相等是正确的；②内错角相等不一定相等,原来的说法错误；③平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线是正确的；④平面内过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线,原来的说法错误．故选：B．6．（2021春•柳南区校级期末）如图,下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°【解析】解：当∠1＝∠2时,AC∥EF,故选项A不符合题意；当∠4＝∠C时,AC∥EF,故选项B不符合题意；当∠1+∠3＝180°时,BC∥DE,不能判断AC∥EF,故选项C符合题意；当∠3+∠C＝180°时,AC∥EF,故选项D不符合题意；7．（2021春•孟村县期末）木工师傅用图中的角尺画平行线,他依据的数学道理是（）A．同位角相等,两直线平行B．内错角相等,两直线平行C．同旁内角互补,两直线平行D．以上结论都不正确【解析】解：木工师傅用图中的角尺画平行线,他依据的数学道理是同位角相等,两直线平行, 故选：A．8．（2021•香坊区校级开学）如图,下列条件中能判定AB∥CD的是（）A．∠AEC＝∠BFD B．∠CEF＝∠BFE C．∠AEF+∠CFE＝180°D．∠C＝∠BFD 【解析】解：A．由∠AEC＝∠BFD,不能判定AB∥CD,故本选项不符合题意；B．由∠CEF＝∠BFE,可判定CE∥BF,不能判定AB∥CD,故本选项不符合题意；C．由∠AEF+∠CFE＝180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”能判定AB∥CD,故本选项符合题意；D．由∠C＝∠BFD,可判定CE∥BF,不能判定AB∥CD,故本选项不符合题意；故选：C．9．（2021春•高州市月考）如图所示,已知直线c与a,b分别交于点A、B且∠1＝120°,当∠2＝（）时,直线a∥b．A．60°B．120°C．30°D．150°【解析】解：∵∠1＝120°,∠1与∠3是对顶角,∴∠1＝∠3＝120°,∵∠2＝∠3＝120°,故选：B．10．（2021春•瑶海区期末）下列说法中,错误的是（）A．平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线最短C．经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线D．同位角相等,两直线平行【解析】解：A．在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线,该选项说法正确,故该选项不符合题意；B．在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短,该选项说法错误,故该选项符合题意；C．经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线,该选项说法正确,故该选项不符合题意；D．同位角相等,两直线平行,该选项说法正确,故该选项不符合题意；故选：B．二．填空题11．（2021•桂林）如图,直线a,b被直线c所截,当∠1 ＝∠2时,a∥b．（用“＞”,“＜”或“＝”填空）【解析】解：要使a∥b,只需∠1＝∠2．即当∠1＝∠2时,a∥b（同位角相等,两直线平行）．故答案为＝．12．（2021春•思明区校级月考）结合图（不能自己标角）,用符号语言表达“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式：∵∠2+∠4＝180°,∴a∥b．【解析】解：∵∠2+∠4＝180°,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）．故答案为：∠2+∠4＝180°；a∥b．13．（2021春•兴宾区期末）如图,将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动,可知直角边AB∥CD,依据是内错角相等,两直线平行．【解析】解：如图所示：∵∠1＝∠2＝30°,∴AB∥CD（内错角相等,两直线平行）,故答案为：内错角相等,两直线平行．14．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图,不添加辅助线,请写出一个能判定AD∥BC的条件∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°．【解析】解：∵AD和BC被BE所截,∴当∠EAD＝∠B时,AD∥BC,或当∠DAC＝∠C时,AD∥BC,或当∠DAB+∠B＝180°时,AD∥BC,故答案为：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B＝180°．15．（2021春•呼和浩特期末）如图,下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．能判定AB∥CD的条件为①③④．【解析】解：①∠B+∠BCD＝180°,同旁内角互补,两直线平行,则能判定AB∥CD；②∠1＝∠2,但∠1,∠2不是截AB、CD所得的内错角,所不能判定AB∥CD；③∠3＝∠4,内错角相等,两直线平行,则能判定AB∥CD；④∠B＝∠5,同位角相等,两直线平行,则能判定AB∥CD．故能判定AB∥CD的条件为①③④．故答案为：①③④．16．（2020春•夏邑县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°,∠ABC＝30°）按如图方式放置,使A,B两点分别落在直线m,n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°,∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有①⑤．（填序号）【解析】解：①∵∠1＝25.5°,∠ABC＝30°,∴∠2＝∠1+∠ABC＝55.5°＝55°30',所以,m∥n；②没有指明∠1的度数,当∠1≠30°,∠2≠∠1+30°,不能判断直线m∥n,故∠2＝2∠1,不能判断直线m∥n；③∠1+∠2＝90°,不能判断直线m∥n；④∠ACB＝∠1+∠2,不能判断直线m∥n；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1,判断直线m∥n；故答案为：①⑤三．解答题17．（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图,∠1＝30°,∠B＝60°,AB⊥AC．求证：AD∥BC．证明：∵AB⊥AC（已知）,∴∠BAC＝90°（垂直的定义）,∵∠1＝30°,∠B＝60°（已知）,∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系）,即∠BAD+∠B＝180°,∴AD∥BC（同旁内角互补,两直线平行）．【解析】解：证明：∵AB⊥AC（已知）,∴∠BAC＝90°（垂直的定义）,∵∠1＝30°,∠B＝60°（已知）,∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系）,即∠BAD+∠B＝180°,∴AD∥BC（同旁内角互补,两直线平行）,故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补,两直线平行．18．（2021春•普陀区校级月考）如图,点G在CD上,已知∠BAG+∠AGD＝180°,EA平分∠BAG,FG 平分∠AGC,请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）,∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义）,所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）．因为EA平分∠BAG,所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义）．因为FG平分∠AGC,所以∠2＝∠AGC,得∠1＝∠2（等量代换）,所以AE∥GF（内错角相等,两直线平行）．【解析】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）,∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义）,所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）,因为EA平分∠BAG,所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义）,因为FG平分∠AGC,所以∠2＝∠AGC,得∠1＝∠2（等量代换）,所以AE∥GF（内错角相等,两直线平行）．故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等,两直线平行．19．（2021春•平谷区校级期中）已知：如图,∠1＝∠2,∠A＝∠2．求证：DF∥AC．【解析】证明：∵∠1＝∠2,∠A＝∠2,∴∠1＝∠A,∴DF∥AC．20．（2021春•东台市月考）如图,∠CDA＝∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,且∠1＝∠2,试说明DE∥FB．【解析】解：DE∥BF,理由是：∵∠CDA＝∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,∴∠1＝∠ABF,∵∠1＝∠2,∴∠2＝∠ABF,∴DE∥BF．21．（2021春•甘州区校级月考）已知：∠A＝∠C＝120°,∠AEF＝∠CEF＝60°,求证：AB∥CD．【解析】证明：∵∠A＝∠C＝120°,∠AEF＝∠CEF＝60°,∴∠A+∠AEF＝180°,∠C+∠CEF＝180°,∴AB∥EF,CD∥EF,∴AB∥CD．。