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对称操作和对称元素(教学PPT)

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914708-结构化学-第四章

914708-结构化学-第四章

(x‘, y’, z‘) 的变换, 可用下列矩阵方程表达:
x' a b c x
y'
d
e
f
y
z' g h i z
图形是几何形式 矩阵是代数形式
x ' ax by cz
y
'
dx
ey
fz
z ' gx hy iz
8
恒等元素 E 和恒等操作 Ê
此操作为不动动作，也称主操作或恒等操作。任何分 子都存在恒等元素。恒等操作对向量（x, y, z）不产生任何 影响。对应单位矩阵。
Cˆ64 Cˆ32
11
旋转操作是实动作，可以真实操作实现。 若将 z 轴选为旋转轴，旋转操作后新旧坐标间的关系为:
y
(x', y')
x'
x cos sin 0 x
α
(x, y)
y'
Cˆ
(
)
y
sin
z'
z 0
cos
0
0
y
1 z
x
x ' x cos y sin
3.存在一恒等元素 若AG, E G,则EA AE A E为恒等元素
4.每个存在逆元素 若AG,则必存在B G,且AB BA E B为A的逆元素，记作A1 B
37
4.2.2 群的乘法表
以NH3分子为例
c
b
y
x
a
1. 写出所有对称操作：表头，表列
C3v E C31 C32 a b c
一个Cn轴包含n个旋转操作 ：
Cˆn
,
Cˆn2
,
Cˆn3
,

对称性.PPT

对称性.PPT

1.2 分子的点群
分子对称性是联系分子结构和分子性质的重要桥 梁之一。
在化学研究中，我们经常要确定一个分子、离子或 原子簇所属的对称点群。
如果分子M所具有的对称元素的所有对称操作形成 一个完全集合G，我们就说分子M的对称性属于点群G。
分子点群的种类
点群
典型类型
C n群
C1
C2
C3
C nv群
C 2v
同核双原子分子H2、N2、O2等， 或中心对称的线型分子 CO2、CS2、C2H2、Hg2Cl2等 属于D∞h对称性。
N2
D∞h
H H
H
Dnd 点群
Dn群的对称元素系 通过Cn有平分2个C2轴的夹角的n个σd 若Cn奇数轴， 对称元素系中含有i
D3d
H H
H
Dnd 点群
Sn 点群
分子中只含有一个映转轴Sn的点群
C 3v
C∞v
C nh群
C 1h
C 2h
C 3h
D n群
D3
D nh群
D 2h
D 3h
D 4h D 6h D ∞ h
D nd群
D 2d
D 3d
Sn群
S2
T d群
Td
O h群
Oh
下一页
Cn 点群
只有1个Cn对称轴。 独立对称操作有n个。 阶次为n。
F H Br
C1
Cl
Cn 点群
H OO H
C2
Br H
(1) S1=σ，故S1群相当于Cs群。 对称元素仅有一个对称面。
(2) S2=i,故S2群亦记为Ci群。 对称元素仅有一个对称中心。
Cl
Br
H
H

点对称操作群(点群) §3.1 对称操作与对称元素

点对称操作群(点群) §3.1 对称操作与对称元素

v(2)
0 0 1 0 1 0 1 0 0
v(3)
0 1 0 1 0 0 0 0 1
Γr
C3v
E
1 2 3 2 0
C31
3 2 1 2 0 0 0 1
C32
旋转——第一类对称操作，或实际操作；
反映、反演、旋转－反映只能在想象中实现，称 作第二类对称操作或虚操作；
3.1.6 同类对称元素与同类操作
如果一个操作能使一个对称元素变成另一个对 称元素，那么这些对称元素就是同一类对称元素。 如：NH3分子中3个v反映面属于同一类； H2O分子中两个对称面不属于同一类； 对于旋转，把等价而并不恒等的旋转操作归属 于同一类，称为同类操作。 如：NH3分子中C31，C32，C33(E)中，前两个属 于同一类，2就是C3操作的阶； CH4分子中4个C3操作属于同一类；
3.4.2 分子的对称性与旋光性
分子有无旋光性就看它是否能跟它的镜像重合。 如果二者能重合，则该分子没有旋光性；反之，分 子就有旋光性。
称不具备任意次旋转－反映轴Sn的分子为不对
称分子，所有不对称分子都具有旋光性。
于C3v点群，类似的如CHCl3，NF3等。
3.2.2 主要点群
1. C1点群
H C F
Br
Cl
HCBrClF分子，无任何对称元素(除C1外)，属 于C1点群，该类化合物称为非对称化合物。如： SiFClBrI、POFClBr等；
2. Cn点群
C2
H O O
H
仅含有一个Cn轴。如：H2O2仅含有一个C2轴， 该轴平分两个平面的夹角，并交于O－O键的中点， 所以，该分子属于C2点群；类似的结构如：N2H4等

大班科学活动《对称》PPT课件

大班科学活动《对称》PPT课件

THANK YOU
感谢聆听
根据对称元素的不同组合 ，将分子结构分为不同的 对称性类别。
化学反应中对称性变化
反应前后对称性比较
分析反应物和生成物的对称性，探讨反应过程中对称性的变化。
对称性破缺
某些化学反应可能导致对称性的破缺，如手性分子的生成。
对称性保持
在特定条件下，化学反应可能保持或恢复对称性，如环加成反应。
对称性在晶体结构中应用
80%
节日庆典中的对称
在节日庆典中，人们常用对称的 布置和装饰来表达喜庆和庄重， 如春节的对联、中秋的月饼等。
对称在建筑与艺术中的应用
建筑中的对称
许多著名建筑都采用了对称设 计，如故宫、天安门广场等， 彰显出庄重与和谐之美。
绘画和雕塑中的对称
艺术家在创作过程中也常运用 对称原则，使作品呈现出平衡 与和谐的美感，如达芬奇的《 最后的晚餐》、米开朗基罗的 雕塑等。
04
对称在物理学领域应用
镜像对称在光学中应用
01
02
03
平面镜成像
当光线照射到平面镜上时 ，遵循反射定律，形成与 物体关于镜面对称的虚像 。
光学仪器设计
利用镜像对称原理，设计 制造望远镜、显微镜等光 学仪器，提高成像质量和 观测效果。
干涉和衍射现象
在波动光学中，光的干涉 和衍射现象也表现出镜像 对称的特点，如双缝干涉 实验中的明暗条纹分布。
03
对称在数学领域应用
几何图形中对称性应用
对称轴
对称图形
在平面几何中，对称轴是一条直线，，即高所在 的直线。
具有对称性的图形称为对称图形。例 如，圆、正方形、等边三角形等都是 对称图形。
对称中心
在平面几何中，对称中心是一个点， 使得图形关于这个点对称。例如，正 方形有一个对称中心，即两条对角线 的交点。

第三章分子的对称性与点群PPT课件

第三章分子的对称性与点群PPT课件

C1 C2v
CCs1h
D3 D2h D2d
CSi2
Td Oh
典型类型
C2
C3
C3v
C∞v
C2h
C3h
D3h D3d
S4
D4h
D6h
D ∞h
1. Cn 点群
Cn群只有1个Cn 旋转轴。独立对称操作有n个。阶 次为n。
若分子只有n重旋转轴，它就属于Cn群，群元素为 {E，Cn1，Cn2…Cnn-1}。这是n阶循环群。
III. 1,3,5-三甲基苯
1,3,5-三甲基苯 （图III）是C3点 群的例子，若不考 虑甲基上H原子， 分子的对称性可以 很高，但整体考虑， C6H3(CH3)3只有C3 对称元素。C3轴位 于苯环中心，垂直 于苯环平面，分子 绕C3轴转动120°， 240°都能复原。
IV. CH3CCl3
如甲烷分子，一个
经过Ｃ原子的四次映转
轴S4，作用在分子上，H
１旋转到1’的位置后，
1’
经平面反映到H4的位置，
同时H2旋转到2’的位置
再反映到H3的位置……
整个分子图形不变，
S1 h ; S2 i ;
S C ; S 独立，包含C ;
3
3
h
4
2
S C ; S C i
5
5
h
6
3
即只有S4是独立的点群， 其余Sn 可化为 i, h 或 Cn i,Cn h
左图为D2对称性分子， C2主轴穿过联苯轴线，经过 2个O为水平面上的C2轴， 还有一个C2轴与这两个C2轴 垂直。
双乙二胺NH2CH2-CH2-NH2CH2-CH2-NH2可 对Co3+离子3配位 螯合，2个双乙二 胺与Co3+形成 Co(dien)2配合物， 具有D2对称性。 (右图）

分子点群 ppt课件

分子点群 ppt课件

操作： E ˆ ,C ˆ n k ( k 1 , n 1 )n ˆ ,v
阶数：2n
H
C2
O H
H2O
C3
N H HH
NH3
O
Cl
Cl
O
H
H
CC
Cl
Cl
F O
Xe
F
F
F FF F
F v
4.3. 分子点群
3) Cnh群 产生：Cn + h
元素：Cn群＋h (Cn,h)(Sn)(n为even i)
n
E
(n为偶数）
（n为奇数）
4.1. 对称操作和对称元素
3. 反演操作与对称中心，i (inversion)
iˆ
x y
x y
z z
表示矩阵
iˆ
1 0
0 1
0 0
0 0 1
Cl
H
H
二氯乙烷
C2H4Cl2
H
H
iˆ 2 n Eˆ , iˆ 2 n 1 iˆ
Cl
in
E
(n为偶数)
v’ C2 v
属4阶群
4.2. 群的基本概念
例：NH3 ,对称元素，C3， va， vb , vc 对称操作 E ˆ,C ˆ3 1,C ˆ3 2,ˆva,ˆv b,ˆvc
C3 vb
vc
va
属6阶群
C 3 v E ˆ C ˆ3 1 C ˆ3 2 ˆv a ˆv b ˆv c
E ˆ Eˆ
Cˆ
1 3
Cn C2 C2
z
x
乘积： （1）两个旋转的乘积必为另一个旋转 两个C2的乘积（交角为）是一个垂直于 C2轴 平面的转动Cn（n=2/2 ）。 推论：Cn＋垂直的C2 n个C2

对称操作和对称元素(教学PPT)

对称操作和对称元素(教学PPT)
In n为偶数 ⅰ非4倍数，属Cn/2 h点群 ⅱ4的倍数，属Sn点群
n为奇数，属Cnh点群
Sn n为偶数
ⅰ非4倍数，属Cn/2 i点群
ⅱ4的倍数，属Sn点群
28
H3C CH3
N CH3
S4
H3C
Ci
29
5.Dn点群
除主轴Cn外,还有n条垂直主轴的C2副轴,但无镜面
C2 C3
C2
C2
[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+ D3点群
I4是个独立的对称元素，有4个操作I41，I42，I43，I44 E
I5 C5 i
I6 C3 h
n为奇，2n个操作，Cn＋i n为偶 4倍数，In（Cn/2）
非4倍数，Cn/2＋ h
12
复原
i
C
1 4
13
五、旋转反映操作Ŝn和映轴Sn
1.以某一轴进行旋转操作后，再以垂直于该轴的平 面进行反映，而能使分子复原的复合操作称为旋 转反映操作Ŝn，进行旋转反映所凭借的轴称为映 轴Sn或像转轴
bc
ab
c
C
2 3
C
3 3
6
二 1.当、分反子演中操存作在一iˆ对和称对中称心中i,心从i分子中任一原子至这
对称中心连一直线，并将此线延长，必可在和对称 中心等距离的另一侧找到另一相同原子。和对称中
心相应的操作叫作反演操作 iˆ .
7
1 0 0
2 . 反演操作的表示矩阵i 0 1 0
Ih
Cs
Ci
S4
点点点点点点点点点点点点点
群群群群群群群群群群群群群
40
直线型
分子图形 非直线型
有i 无i 有多个高次轴 无Cn或Sn轴

分子的对称操作与对称元素

分子的对称操作与对称元素

3. 群的定义是广义的 群的乘法是广义的 群中元素的数目成为群的阶 子群：群众某些元素构成的群
G= {Eˆ , Cˆ2}
三、 分子点群
由分子中所有对称操作构成的群
分子点群的分类：5 类，16 个群
1. 无轴群 —无Cn轴或Sn轴的群，
如 C1，Ci，Cs群
H
H
Cl
F
Br
C
F
Br FClFra bibliotekClCl
H
C6H6 D6h
重叠式C2H6 D3h
3) Dnd群 Dn+nd
d ：平分相邻两个C2轴之间的夹角
H C2
H
H
丙二烯
H
H
H
D2d 反式乙烷
D3d
D3d : 乙烷交错型
D4d ：单质硫
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
4. 高对称群 —含有二个以上高次轴Cn(n2) Td, Th, Oh, Ih
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
Sn是虚轴. 对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都 独立存在；若n等于偶数，则有Cn/2与Sn共轴，但Cn 和与之垂直的σ并不一定独立存在.
(1) 重叠型二茂铁具有 S5， 所以, C5和与之垂直 的σ也都独立存在；
(2) 甲烷具有S4，所以, 只有C2与S4共轴，但C4和与 之垂直的σ并不独立存在.
C2
O
{Eˆ,Cˆ2,ˆv,ˆv'}
C2v
H
H
C3
N H HH
{E ˆ,C ˆ3,C ˆ32, ˆv, ˆv', ˆv"} C3
v
O
Cl
Cl
O

对称操作和对称元素课件

对称操作和对称元素课件
根据对称轴，将对象进行 复制或翻转，以实现对称 效果。
调整位置和方向
在复制或翻转后，可能需 要对对象的位置和方向进 行调整，以符合整体设计 需求。
使用软件实现对称操作的方法
选择工具
在软件中选择适当的工具，如“对称”工具或“ 镜像”工具。
设定对称轴
在软件中设定对称轴的位置，可以选择预设的对 称轴或自定义轴。
02 对称元素介绍
对称元素的定义
对称元素是图形中具有对称性质的元 素，即图形经过某种对称操作后，能 够与原图形重合。
对称元素可以是点、线、面等几何元 素，也可以是更复杂的组合体。
对称元素的分类
01
02
03
点对称元素
以某一点为中心，图形关 于这一点进行对称，如圆 心、重心等。
线对称元素
以某一直线或平面为对称 轴或平面，图形关于这条 直线或平面进行对称，如 轴对称、面对称等。
在自然界中，对称的元素广泛存 在，如蝴蝶的翅膀、花朵的花瓣
、蜂巢的结构等。
在艺术中，对称的元素也被广泛 应用，如绘画、雕塑、音乐等艺 术形式中都可以看到对称的元素
。
对称的元素在自然界和艺术中的 应用，可以创造出和谐、平衡、 美丽的艺术效果，使人们感受到
自然和艺术的魅力。
THANKS 感谢观看
中心对称
包括平移和旋转，保持图形形状不变 。
图形关于某一点旋转180度后与原图 形重合。
镜面对称
图形关于某一直线或平面进行反射， 产生对称。
对称操作的应用场景
建筑设计
利用对称操作设计建筑外观，增 强视觉美感。
艺术创作
在绘画、雕塑等艺术作品中运用对 称操作，提升作品的艺术价值。
自然科学
自然界中许多物体和现象都存在对 称性，如晶体结构、生物形态等。

第二章2ppt - 第二章晶体结构中的对称元素和对称操作

第二章2ppt - 第二章晶体结构中的对称元素和对称操作

( 4 ) x x x 10 0 0 1 0 x y ( 4 ) 5 y 3 ( S ) y 1 ( i ) 3 ( C ) y 0 1 0 1 1 0 y x y 6 3 ( 4 ) z z z z 0 0 1 001 z

' 1 0 x x 1 x '6 [ 001 ] y y 1 0 0 y z ' z 0 0 1 z
六角坐标系中两个等效点位置
易知
1 1 0 6[001 ] 1 0 0 0 0 1
等效点坐标为(x,y,z), (-y, x, z), (-x, -y, z), (y, -x, z). 4（C4）是4阶。
4（C4）投影图的图示表示
4.3 6（C6）旋转轴
结晶学总是在六角坐标系中讨论3，6重 轴. 六角坐标系中X，Y轴交角为1200，且与 Z轴垂直.

6（C6）旋转轴永远与z轴平行。 任意点（x, y, z）在6（C6）的作用下， 运动到（x-y, x, z）的位置，如下图 所 示。即
等效点坐标为(x,y,z), (-x, -y, z).
2 (C2) 投影图的图示表示如图
4.2 4（C4）旋转轴

除非特别说明，我们所讨论的4（C4）旋 转轴总是与 z 轴平行。
4（C4）的矩阵表示为
( 1 ) x 0 10 y x x ( 1 ) y 4 [ 001 ] 1 0 0 y y x ( 1 ) z z z z 0 0 1

第11讲对称元素与对称操作

第11讲对称元素与对称操作
a
1
21
2
对称元素集合：C3,a ,b ,c
c
对称操作集合：G Eˆ,Cˆ31,Cˆ32,ˆa ,ˆb,ˆc,...?
3）集合G的一些性质
1 Cˆ31Cˆ32 Cˆ32Cˆ31 Eˆ
可交换
2ˆaˆb Cˆ31
ˆaˆb 123 ˆa 321 312 Cˆ31 123
3 ˆaCˆ3 ˆb , Cˆ3ˆa ˆc
iˆ, Eˆ各自成一类
Cˆ31ˆa ˆaCˆ32 ˆc
Cˆ31ˆc ˆaCˆ31 ˆb
习题
4.1, 4.3, A31, A32
第11讲 对称元素与对称操作
问题：为何要讨论分子对称性？
• 原子原子轨道用s,p,d等表示角量子数球对称 • 双原子分子MO用m来区分 角动量Z分量轴对称 • 多原子分子MO如何表征？ 对称性！
1.定义
• 对称操作: 指对物体(分子)施加这样的变换，其最后位 置与最初位置是物理上不可分辨的，同时物体中各对 点的距离保持不变
C2
选定一个C4，有1个h, 4个v
其中2个 v是另外2个C4的 h
更换C 4
,
共多出4个
v
3h : 平行于表面，平分立方体
6v : 过对棱，平分立方体
v包含C2，故不是 d
2.类型(元素.操作)
3）对称中心与反演操作 i iˆ
iˆ : 坐标 x, y, z x, y, z
4）象转轴与旋转反映 Sn Sˆn
共2n个不重复的对称操作;
同时存在Cn和
对称元素
h
(3) n为偶数，Sˆnn Eˆ,因此共有n个不重复的对称操作
注意到Sˆ22k Cˆ22k Cˆk1,因此S2n同时也是Cn
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bc
ab
c
C
2 3
C
3 3
6
二 1.当、分反子演中操存作在一iˆ对和称对中称心中i,心从i分子中任一原子至这
对称中心连一直线，并将此线延长，必可在和对称 中心等距离的另一侧找到另一相同原子。和对称中
心相应的操作叫作反演操作 iˆ .
7
1 0 0
2 . 反演操作的表示矩阵i 0 1 0
面的垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。
NH3
9
1 0 0
3.
反映操作ˆ的表示矩阵为 xy
0
1
0
0 0 1
4 . 反映操作和它的逆操作相等，连续进行反映操作可得：
n
E
n为偶数 n为奇数
5.σv凡包含主轴的镜面
σh凡垂直于主轴的镜面
C2
σd凡包含主轴且等分两个相
邻副轴之间夹角的镜面.
σd
10
分子
σv
σh
σd
交线
H2O
2
0
0
C2
NH3
3
0
0
C3
C6H6
0
1
6
C6
HCl
∞
0
0
C∞
H2
∞
1
0
C∞
11
四、旋转反演操作În和反轴I
1.分子绕某一轴Cn旋转之后，再以经过Cn轴上的某点 进行反演使之复原的复合操作称为旋转反演操作În
Iˆn1 iˆCˆni ，不难看出: I1 i , I2 h , I3 C3 i
3 n
，........
，Cˆ
n n
Eˆ
3.恒等操作：使分子完全复原的操作，
常用E表示，也称为主操作
3
4.若一个分子中有多个旋转轴,则轴次高的为主轴,其余都为副轴.
Eg:BF3 C3
F
C2
C2
B
F F
C2
4
分子中常见的旋转轴：
C2
H2O,H2O2
NH3, HCCl3, CH3Cl C2
C3
PCl5, Fe(CO)5
1.旋转操作:就是将分子绕通过其中心的轴旋转一定
的角度使分子复原的操作。
旋转轴:旋转依据的对称元素，n次旋转轴记作Cn。 轴的基转角α=360o/n
n为使分子完全复原所旋转的次数,有n个操作.
Cˆ
2 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
,
Cˆ
3 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
，Cˆ
2 n
，Cˆ
I4是个独立的对称元素，有4个操作I41，I42，I43，I44 E
I5 C5 i
I6 C3 h
n为奇，2n个操作，Cn＋i n为偶 4倍数，In（Cn/2）
非4倍数，Cn/2＋ h
12
复原
i
C
1 4
13
五、旋转反映操作Ŝn和映轴Sn
1.以某一轴进行旋转操作后，再以垂直于该轴的平 面进行反映，而能使分子复原的复合操作称为旋 转反映操作Ŝn，进行旋转反映所凭借的轴称为映 轴Sn或像转轴
1
3.对称操作:是不改变物体内部任两点间的距离而使 物体复原的操作
4.对称元素:就是对分子施行对称操作时,所依赖的 几何要素(点、线、面及其组合) 对称操作必须借助对称元素才能实现.
5.点操作:对于分子等有限物体,在进行操作时,分子 中至少有一点是不动的，所以叫点操作
2
一、旋转操作Cˆ n和旋转轴Cn
H C F
Br Cl
C1
C2 H2O2
21
H Cl Cl
H HH
Cl C2
H
Cl
H
H
H
22
h点群 就是在Cn点群所含对称元素的基础上又有
一个垂直于主轴Cn的镜面σh,点群阶次为2n.
C2h群: 反式二氯乙烯 N2F2
C4 Ni(CN)2-4 ,SF6,PtCl2-4
C5
Fe(C5H5)2, IF7
C6
C6H6
C∞
H2 , HCl , CO2
H2O2Fe(C5H5)2
5
5.
Cmn 如果n和m有公因子q,则
C
m n
C nm/
/q q
如
: C62
C
1 3
C3
C 63
C
1 2
C2
B
C
1 3
B
C
1 3
B
C
1 3
B
b
c
a
0
0 1
E n为偶数 连续进行反演操作可得：i n
i n为奇数
3.中心对称分子：具有对称中心。
如：C6H6,SF6,CO2,C2H4, Cl C
H C
非中心对称分子：没有对称中心。 H Cl
如：CH4,H2O,NH3,CO等。 8
三、反映操作ˆ 和镜面σ
1.镜面σ是平分分子的平面.
2.反映操作 ˆ是使分子中的每一点都反映到该点到镜
奇数：操作加倍，有两个对称元素； 4倍数：独立操作，只有一个对称元素； 非4倍数 ： 有两个对称元素。 4.如果一个分子中存在Cn轴和垂直于该轴的σh，则必然 有Sn映轴.但分子中有Sn映轴不一定存在Cn轴和σh镜面. 如：CH4
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旋转
复原
反映
等 价
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对称操作与对称元素
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作
2.是旋转和反映的复合操作 S1n=σhC1n σhCn先旋转后反映,
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3 . S1等于镜面， h S3等于C3 h S5等于C5 h
S2等于对称中心，i S4是个独立的对称元素 S6等于C3 i
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n为奇数,Sn=Cn＋ h 有2n个对称操作, n个Cn，n个hCn
n为偶数,有n个对称操作 n为4倍数：Sn独立操作 n为非4倍数：Cn/2+i
§4-1 对称操作和对称元素
☉基本概念 1.对称:是指一个物体包含若干等同部分，这些部分相对
(对等、对应)而又相称(适合、相当)。这些部分能经 过不改变其内部任何两点间距离的对称操作而复原. 分子对称性是通过对称元素和对称操作来描述. 2.复原:对称物体经过某一操作后,物体中每一点都被放在周
围环境与原先相似的相当点上。操作前物体中原来在 什么地方有些什么,操作后那个地方依然相同,无法区 别是操作前的物体还是操作后的物体,这种情况叫复原 复原和完全复原
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§4.2 对称操作群及对称元素的组合
一、 群的定义 1.群:按一定的运算规则,相互联系的一些元素的集
合.其中的元可以是操作、矩阵、算符或数字等. 2.构成群的条件：
(1) 封闭性：若Aˆ G, Bˆ G, 则Aˆ Bˆ Cˆ G; (2) 主操作：Aˆ Eˆ Eˆ Aˆ Aˆ ; (3) 逆操作：Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ Eˆ (4) 结合律：Aˆ (Bˆ Cˆ ) ( Aˆ Bˆ )Cˆ;
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3.群的阶次：群的元的数目． 有限群 无限群
4.点群:一个有限分子的对称操作群. 含义:a.对称操作都是点操作，操作时分子中至 少有一点保持不动． b.分子的所有对称元素至少通过一个公共点.
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§4.3 分子的点群 一、分子点群的分类
点群 对称元素只有Cn轴, 对称操作共有n个 阶次为n, 常见的Cn点群有: