沪科版八上数学15.3等腰三角形练习及答案

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2、如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A.1个B.3个C.5个D.无数多个3、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为( )A.9B.12C.16D.184、等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A.7B.6C.5D.45、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A.20B.18C.14D.136、如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（）A.（， 3）B.（，）C.（2，2 ）D.（2， 4）7、如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A.3B.4C.5D.68、如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=（）A.4B.3C.2D.19、下列四个图形中，不是轴对称图案的是（）A. B. C. D.10、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A.28B.20C.14D.1811、如图，三角形纸片ABC中，∠A=80º，∠B=60º，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30º，则∠β的度数是（）A. B. C. D.12、找出下列四句话中不相同的一句（）A.上海自来水来自海上B.有志者事竟成C.清水池里池水清D.蜜蜂酿蜂蜜13、如图，在中，垂直平分交于点交于点.若，则的周长是（）A. B. C. D.14、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是( )A.68°B.112°C.124°D.146°15、如图5，A=80 ，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则BC0的度数是( )A.40B.30C.20D.10二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的值为________．17、如图，三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为AD，则△BED的周长为________cm．18、如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN ∥BC分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为________19、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若∠HOG=80°，则∠CPD=________．20、在三角形纸片中，，，点（不与，重合）是上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若的长度为，则的周长为________．（用含的式子表示）21、如图，D为等边△ABC中边BC的中点，在边DA的延长线上取一点E，以CE 为边、在CE的左下方作等边△CEF，连结AF若AB=4， AF= ，则CF的值为________ 。

15.3《等腰三角形》基础练习第1课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C．100°D．140°2．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2或5 B．3 C．4 D．53．如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°4．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°5．若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°7．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°8．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为．12．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．15．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．第2课时一、选择题1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，52．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50 B．∠A=40°，∠B=60°C．∠A=40°，∠B=70 D．∠A=40°，∠B=80°3．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D在AC上，BC=BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．8 C．9 D．105．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：26．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条 D．8条7．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（）个．A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为．10．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=时，△AOP为等边三角形．11．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有个．12．在△ABC中，∠A=80°，当∠B=时，△ABC是等腰三角形．13．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（填序号）．三、解答题14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若AB=BC=10，求DE的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（）A．10 B．C．5 D．2.52．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则∠A=（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（）A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm4．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB=6，则EC的长为（）A．3 B．4.5 C．1.5 D．7.55．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=3cm，则最长边AB的长为（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2 B．3 C．4 D．67．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠A=30°，则DE等于（）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m二、填空题9．在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=10，则BC=10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交AB 于点D，若CB=4，则BD的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D 和点E，若CE=2，则AB的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为．13．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于．三、解答题14．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD=8cm．求：（1）∠ADG的度数；（2）线段DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，故选：B．2．解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；故选：D．3．解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=65°，∵AD=CD，∴∠DCA=∠CAD=65°，∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．故选：A．4．解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．5．解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．6．解：①若顶角的外角等于140°，那么顶角等于40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．故选：D．7．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．8．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD=AE（已知），∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°﹣∠ADE=15°．故选：C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．10．解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．11．解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为：50°或80°．12．解：∵AD=AC，点E是CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°﹣∠CAE=74°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵AD=BD，∴2∠B=∠ADC=74°，∴∠B=37°，故答案为37°．13．解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．14．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．15．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）；（2）∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，∴∠CDF=30°，∵CF=4，∴DC=8，∵AD=CD，∴AC=16，∴△ABC的周长=3AC=48．第2课时1．解：A、∵1+1=2，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；B、∵1+1＜3，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；D、∵2+2＜5，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；故选：C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°所以D选项错误．故选：C．3．解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，△ABC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠ABD=∠EDB=∠A，∴AD=BD，EB=ED，即△ABD和△EBD是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，即△AED是等腰三角形．∴图中共有5个等腰三角形．故选：C．4．解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．5．解：A、∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c=2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．6．解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．7．解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．8．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：B．9．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°，当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×40°=20°，当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=×（180°﹣40°）=70°，当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°﹣40°×2=100°，∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．故答案为：20°或40°或70°或100°．10．解：∵AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．11．解：如图，满足△EAB是等腰三角形的点E有5个，故答案为：5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故答案为：②14．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠EBD．∴BE=DE．（2）∵AB=BC，BD是△ABC的角平分线，∴AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连接BC．∵AB=AC（已知），∴∠1=∠2（等边对等角）．又∠ABD=∠ACD（已知），∴∠ABD﹣∠1=∠ACD﹣∠2（等式运算性质）．即∠3=∠4．∴BD=DC（等角对等边）．第3课时1．解：∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POA，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，∴PE=PC=10，∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，∴PD=10×=5．故选：C．2．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，即BC=AB，∴∠A=30°，故选：B．3．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，故选：B．4．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，AC=AB=BC=6，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴CD=AC=3，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=CD=1.5．故选：C．5．解：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．故选：D．6．解：∴CD是高，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=AB=×8=4，∴∠BCD=30°，∴BD=BC=2，故选：A．7．解：如图，作BH⊥AC于H，则∠ABH=180°﹣∠BAC=30°，在Rt△ABH中，BH=AB=10，所以S△ABC=×10×30=150，所以购买这种草皮至少需要150a元．故选：C．8．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∵D是AB中点，∴AD=BD，∴AE：CE=AD：BD，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，在Rt△ABC中，BC=AB=3，∴DE=1.5．故选：A．9．解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴BC=AC=5，故答案为：5．10．解：如图，过C点作BD的垂直平分线交BD于点E，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴∠BCE=∠A=30°，BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为：4．11．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，∴AD==2，∴AB=2AD=4．故答案为：4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠B=15°，AB=AC，∴∠DAC=30°，∵CD为AB上的高，AC=8cm，∴CD=AC=4cm．故答案为：4cm．13．解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∵DE⊥AB，∴∠AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，故答案为4．14．解：（1）∵在△ABC中，已知BA=BC，∴∠A=∠C（等边对等角）；又∵∠B=120°，∴∠A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ADG=90°﹣30°=60°；（2）连接BD．∵AB的垂直平分线DG交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=90°；由（1）知∠A=∠C=30°，∴BD=CD（30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1）过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD=90°﹣60°=30°且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7（海里）．（2）作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＞3，∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．。

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、数学课上，小丽用尺规这样作图：（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于D，E两点；（2）分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；第三部，作射线OC并连接CD，CE，下列结论不正确的是（）A.∠1=∠2B.S△OCE =S△OCDC.OD=CDD.OC垂直平分DE2、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为MN，若AB=2，BC=4，那么线段MN的长为（）A. B. C. D.23、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两根，则m的值是（）A.16或25B.16C.25D.5或84、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A.2B.3C.4D.无法确定5、如图，在正方形中，是边上的动点，于点于点，则的值为（）A. B. C. D.6、下列选项中的图形有一个为轴对称图形，判断此形为何？（）A. B. C. D.7、如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个8、小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.三角形三条垂直平分线的交点到三个定点的距离相等9、如图，在ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将ABC绕点A旋转到的位置．使得，则旋转角为（）A.30°B.40°C.50°D.80°10、下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）.A. B. C. D.11、如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当DE=AE时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是（）A.②③B.②④C.①③④D.②③④12、如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.13、如图,已知△,按以下步骤作图:①分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、；②作直线交于点，连接，若，则下列结论中不一定成立的是（）A. B.△是等边三角形 C.点D是AB的中点 D.14、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=48°，则∠2的度数是( )A.64°B.65°C.66°D.67°15、下列说法中不正确的是（）A.线段有1条对称轴B.等边三角形有3条对称轴C.角只有1条对称轴D.底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处．17、如图，在中，的垂直平分线交于点，若，，则的度数为________．18、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝9，AB＝15，则DE＝________．19、如图OC是⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，点E在⊙O上，EB恰好经过圆心O．连接EC．若∠B＝∠E，OD＝，则劣弧AB的长为________．20、如图，已知直线l1∥l2， l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4 ，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=________．21、如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠BDF＝________°.22、如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数=________．23、等腰锐角三角形的一个内角是40°，则这个三角形其余两个内角的度数是________。

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2．5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A.4.5cmB.5.5cmC.6.5cmD.7cm2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A.AE＝BEB.AC＝BEC.CE＝DED. ∠CAE＝∠B3、一个两边平行的纸条，如图那样折叠一下，则∠1的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.60°4、如图甲骨文中，不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.5、已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是30cm和19cm，则△ABC的腰和底边长分别为（）A.11cm和8cmB.8cm和11cmC.10cm和8cmD.12cm和6cm6、下列说法正确的是（）A.完全重合的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.所有的等边三角形全等D.形状相同的两个三角形全等7、如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（）A. B. C. D.8、已知等腰的两边分别是方程的两个根，则的周长为（）A.17B.13C.11D.13或179、如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，则的值为（）A.2B.4C.D.10、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C.D.11、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）A. ：1B. ：1C.5：3D.不确定12、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个农贸市场，使农贸市场到三个小区的距离均相等，则超市应建在（）A.在三个内角角平分线的交点处B.在三条高线的交点处C.在三条中线的交点处D.在三条边垂直平分线的交点处13、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC=12，DB=13，点D到AB的距离是（）A.5B.6C.4D.314、如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（）A. cmB. cmC. cmD.8cm15、已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A.40°B.100°C.40°或100°D.70°或50°二、填空题(共10题，共计30分)16、已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM+BM最小时，点M的坐标为________．17、如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是边AB点，且BD=3,点P是边BC 上一动点，作°，PE交边AC于点E，当CE=________时，满足条件的点P有且只有一个。

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A. B. C. D.2、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A.3B.4C.5D.63、如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥ BC，然后作△ABC 关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP＋PB的最小值是（）A.4B.3C.2D.2＋4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠CDE度数为（）A.71°B.64°C.80°D.45°5、如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A.140°B.100°C.50°D.40°6、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( )A.C点B.D点C.E点D.F点7、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A.13B.15C.17D.198、已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9、如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A.正四边形B.正六边形C.正八边形D.正十边形10、如图，Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为（）A.40°B.30°C.20°D.10°11、如图，在△ABC中，∠A=105º，AC的垂直平分线MN交BC于点E，AB＋BE=BC，则∠B的度数是（）A.45ºB.50ºC.55ºD.60º12、如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A. B. C. D.13、如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使B落在E处，AE交CD于点F，则下列结论中不一定成立的是（）A.AD=CEB.AF=CFC.△ADF≌△CEFD.∠DAF=∠CAF14、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A.36°B.60°C.72°D.108°15、三角形ABC的三条内角平分线为AE，BF，CG，下面的说法中正确的个数有（）①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等②三角形的三条内角平分线交于一点③三角形的内角平分线位于三角形的内部④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM,ON上各取一点B,C，分别连接A,B,C三点组成三角形，则ΔABC最小周长为 ________ 。

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，为的直径，直线与相切于点，直线交于点、交于点，连接、，则下列结论错误的是（）A.若，则平分；B.若平分，则； C.若，则平分； D.若，则．2、如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A 重合，折痕分别交BC，AB于点D，E．如果AC=5cm，△ADC的周长为17cm，那么BC的长为（）．A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，则⊙O的半径为（）A.5 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm4、视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A.平移B.旋转C.对称D.相似5、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（）A.三条中线的交点,B.三条角平分线的交点C.三条高线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点6、已知两点M（3，5），N（1，－1），点P是x轴上一动点，若使PM＋PN最短，则点P的坐标应为（）．A.（，－4）B.（，0）C.（，0）D.（，0）7、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（）A. B.6 C.4 D.58、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（）．A.①②③B.①④⑤C.①②⑤D.②⑤⑥9、已知一个等腰三角形一底角的度数为80°．则这个等腰三角形顶角的度数为（）A.20°B.70°C.80°D.100°10、下面四个“艺术字”中，轴对称图形的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以12、如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（）A.5B.2C.2D. +113、下列图形中不是轴对称图形的是（）A.线段B.角C.等腰三角形D.平行四边形14、如图，△ABC和△A′B′C′关于MN对称，且AB＝5，BC＝3，则A′C′的取值范围是（）A.2＜A′C′＜8B.A′C′＝8C.A′C′＝5D.A′C′＝215、如图，∠MCN=42°，点P在∠MCN内部，PA⊥CM，PB⊥CN，垂足分别为A、B，PA=PB，则∠MCP的度数为( ).A.21°B.24°C.42°D.48°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为________.17、在平面直角坐标系中，已知，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向下运动，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，过点作的平行线交于点，当的值最小时，此时________秒.18、如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2 ，将扇形OAB沿过点B 的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积是________．19、如图，在中，∠A=60°，D是边AC上一点，且BD=BC.若CD=2，AD=3，则AB=________.20、如图，在△，ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8cm．若F是高AD和BE的交点，则BF的长是________．21、如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=130°，则∠2=________度．22、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=________ cm．23、直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．24、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=________．25、如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF 的度数为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．27、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC＝x，请用x表示线段AD的长；（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．②G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG＋HC 的最小值，并将此最小值用x表示．28、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．29、如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．30、如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边中点，求证：AB=2DE．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、D4、D5、B6、C7、B8、B9、A10、B11、A12、B13、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。

15.3 等腰三角形专题一 等腰三角形知识的应用1.如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点.2.如图,已知△ABC 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,并且使AE =BD ,连结CE 、DE .求证:EC =ED .专题二 等腰三角形操作题3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等．4.东风汽车公司冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，如图1，其中AB=AC ，该冲压厂为了降低汽车零件的成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形。

现在要把如图1所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割次数最多两次（切割的损失忽略不计）。

（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明； （2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足H图①图②E什么条件？专题三等腰三角形探究题5.下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题:学习等腰三角形后，庞老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．”同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝”，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．．(1)假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示)6.已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA 上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．（1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．【知识要点】1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边.3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【温馨提示】1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论.2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角.3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质.【方法技巧】1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析.2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.4.平行于等边三角形一边的直线截其它两边或其延长线,得到的三角形仍是等边三角形,解决等边三角形问题时常用这个结果作辅助线.参考答案1.证明:因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点, 所以∠1＝21∠ABC . 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E . 所以∠ACB ＝2∠E, 即∠1＝∠E .所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M , 所以M 是BE 的中点.2.证法一:延长BD 到F ,使DF =BC ,连结EF ,如图2.则BE =AE +AB =BD +DF =BF ,故△BEF 为等边三角形,从而可证△BCE ≌△FDE ,所以EC =ED .证法二:过E 作EF ∥AC ,交BD 的延长线于F ,如图2,则△BEF 为等边三角形,以下同证法一.证法三:在AE 上截取EF =BC ,如图3.则AF =CD ,故AC ∥DF ,从而△BDF 是等边三角形,DF =BF =AE ,可证△ACE ≌△FED ,所以EC =ED .证法四:过D 作DF ∥AC 交AE 于F 点,如图3,以下同证法三.证法五:作EF ∥BC 交CA 的延长线于F ,如图4.则△AEF 是等边三角形,从而可证 △CEF ≌△EDB ,所以EC =ED .证法六:作DF ∥AB 交AC 的延长线于F ,连结EF ,如图5.则△CDF 是等边三角形,故AF =AC +CF =BC +CD =BD =AE ,从而∠AEF =∠AFE =30O ,∠DFE =30O,即EF 是等腰△CFD 的顶角平分线,所以EF 垂直平分CD ,由此得EC =ED .证法七:作EF ⊥BD ,垂足为F ,如图6.则∠BEF =30O,BE =2BF ,即AB +AE =2BC +2CF ,从而有BC +2CF =AE =BD =BC +CD ,即CD =2CF ,有CF =DF ,EF 为CD 的垂直平分线,所以有CE =ED .3.以下答案仅供参考4.方案一：如图1（1）所示。

沪科版八年级数学等腰三角形经典题汇编一、 选择题1.若等腰三角形的周长为10 cm ，其中一边长为2 cm ，则该等腰三角形的底边长为( )A. 2 cmB. 4 cmC. 6 cmD. 8 cm2.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC.若以点B 为圆心、BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( )A. AE ＝ECB. AE ＝BEC. ∠EBC ＝∠BACD. ∠EBC ＝∠ABE第2题 第3题3. 如图，在△ABC 中，以点B 为圆心、BA 长为半径画弧交边BC 于点D ，连接AD.若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的度数是( )A. 70°B. 44°C. 34°D. 24°4. 如图，在△AEF 中，分别以点E ，F 为圆心、大于12EF 长为半径作弧，两弧相交于G ，H 两点，作直线GH ，交EF 于点O ，连接AO ，则下列结论正确的是( )A. AO 平分∠EAFB. AO 垂直平分EFC. GH 垂直平分EFD. GH 平分AF第4题 第5题5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP ＋EP 的最小值的是( )A. BCB. CEC. ADD. AC6. 如图，AB ∥CD ，E 为CD 上一点，射线EF 经过点A ，EC ＝EA.若∠CAE ＝30°，则∠BAF 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第6题第7题7.某城市几条道路的位置关系如图所示，AB ∥CD ，AE 与AB 的夹角为48°.若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( )A. 48°B. 40°C. 30°D. 24°8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的度数为( )A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°第8题第9题9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°10. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A. (1，1)B. (3，1)C. (3，3)D. (1，3)第10题第12题11. 已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作 EF⊥BC 于点F，过点F作FG⊥AB于点G.当点G与点D重合时，AD的长是( )A. 3B. 4C. 8D. 912. 如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个13. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是( )A. 153海里B. 30海里C. 45海里D. 303海里第13题第15题14.已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题16. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．17. 等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．18. 如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________°.第18题19.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线．若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为________．第19题 第20题20.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD.若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为________．21. 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3…在直线l 上，点B 1，B 2，B 3…在x 轴的正半轴上．若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 的顶点B n 的横坐标为________.第21题 第23题22.在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝________．23.如图，在Rt △ABE 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，BE ＝10，D 是线段AE 上的一动点，过点D 作CD 交BE 于点C ，并使得∠CDE ＝30°，则CD 长度的取值范围是__________.24. 在等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD ＝12BC ，则△ABC 的顶角的度数为________． 25. 如图，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x ＋4，P 是边OB 上的点，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是________________．第25题三、 解答题26. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点．求证：BE ＝CD.第26题27. 如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在边AC 上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.(1) 求证：△AEC ≌△BED ；(2) 若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．第27题28.如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1) 求证：AC＝CD；(2) 若AC＝AE，求∠DEC的度数．第28题29.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AD＝BC.第29题30.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第30题31.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)第31题32. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1) 判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2) 求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.第32题33.在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1) 如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________°，β＝________°；②求α，β之间的关系式．(2) 是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由．第33题34.已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB，AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F.(1) 当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE－CF；(2) 当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF，CE，CF之间的数量关系，不需要证明；(3) 在(1)(2)的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝________．第34题参考答案一、 1. A 2. C 3. C 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. B 10. D 11. C 12. B 13. B 14.B 15. D二、 16. 15 17. 100° 18. 75 19. 2a ＋3b 20. 32° 21. 2n ＋1－2 22. 2 3 23. 0<CD ≤524. 30°或90°或150°25. x ＝0或x ＝42－4或4<x<4 2三、 26. ∵ ∠ABC ＝∠ACB ，∴ AB ＝AC.∵ D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴ AD ＝12AB ，AE ＝12AC.∴ AD ＝AE.在△ACD 与△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∴ △ACD ≌△ABE.∴ CD ＝BE27. (1) ∵ AE 和BD 相交于点O ，∴ ∠AOD ＝∠BOE.∵ △AOD 和△BOE 的内角和都为180°，∠A ＝∠B ，∴ ∠BEO ＝∠2.又∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠BEO.∴ ∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴ △AEC ≌△BED (2) ∵ △AEC ≌△BED ，∴ EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.∴ ∠C ＝∠EDC.∵ ∠1＝42°，∴ ∠C ＝12(180°－42°)＝69°.∴ ∠BDE ＝∠C ＝69° 28. 如图，∵ ∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∴ ∠3＋∠4＝∠4＋∠5.∴ ∠3＝∠5.在△ABC 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠D ，∠3＝∠5，BC ＝EC ，∴ △ABC ≌△DEC.∴ AC ＝CD (2) ∵ ∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，∴ ∠2＝∠D ＝45°.∵ AE ＝AC ，∴ ∠4＝∠6＝67.5°.∴ ∠DEC ＝180°－∠6＝112.5°第28题29. ∵ AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴ ∠ABC ＝∠C ＝72°.∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°.∴ 在△BDC 中，∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝72°.∴ ∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C.∴ AD ＝BD ，BD ＝BC.∴ AD ＝BC30. 如图，∵ DE ∥AC ，∴ ∠1＝∠3.∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1＝∠2.∴ ∠2＝∠3.∵ AD ⊥BD ，∴ ∠ADB ＝90°.∴ ∠2＋∠B ＝90°，∠3＋∠BDE ＝90°.∴ ∠B ＝∠BDE.∴ BE ＝DE.∴ △BDE 是等腰三角形第30题31. 如图，射线BQ 就是所求作的∠ABC 的平分线．∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB ＝90°.∴ ∠BPD ＋∠PBD ＝90°.∵ ∠BAC ＝90°，∴ ∠AQP ＋∠ABQ ＝90°.由作图，知BQ 平分∠ABC ，∴ ∠ABQ ＝∠PBD.∴ ∠BPD＝∠AQP.∵ ∠BPD ＝∠APQ ，∴ ∠APQ ＝∠AQP.∴ AP ＝AQ第31题32. (1) ∠ABE ＝∠ACD 理由：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴ △ABE ≌△ACD.∴ ∠ABE ＝∠ACD.(2) ∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB.由(1)可知，∠ABE ＝∠ACD ，∴ ∠FBC ＝∠FCB.∴ FB ＝FC.∴ 点F 在线段BC 的垂直平分线上．∵ AB ＝AC ，∴ 点A 在线段BC 的垂直平分线上．∴ 直线AF 垂直平分线段BC33. (1) ① 20 10 ② 设∠ABC ＝x ，∠AED ＝y ，∵ AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴ ∠ACB ＝∠ABC ＝x ，∠AED ＝∠ADE ＝y.∵ ∠AED ，∠ADC 分别是△DEC ，△ADB 的外角，∴ ∠AED ＝∠CDE ＋∠ACB ，∠ADC ＝∠ABC ＋∠BAD.∴ y ＝β＋x ，y ＋β＝α＋x.两式相减，得－β＝β－α，∴ α＝2β (2) 答案不唯一，如图，当点E 在CA 的延长线上、点D 在线段BC 上时，设∠ABC ＝x ，∠ADE ＝y ，∵ AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴ ∠ACB ＝∠ABC ＝x ，∠AED ＝∠ADE ＝y.∵ ∠ADC 是△ADB 的外角，∴ ∠ADC ＝∠ABC ＋∠BAD ，即β－y ＝x ＋α.在△DEC 中，根据三角形内角和定理，得x ＋y ＋β＝180°.将上述两等式相加，得x ＋2β＝x ＋α＋180°，∴ α＝2β－180°第33题34. (1) ∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴ AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°.∴ ∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴ △ABD ≌△ACE.∴ BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ACE.∵ AB ⊥直线l ，∴ ∠ABD ＝90°.∴ ∠ACE ＝90°，∠CBF ＝30°.∵ 点E ，C ，F 在同一条直线上，∠ACB ＝60°，∴ ∠BCF ＝30°.∴ ∠CBF ＝∠BCF.∴ BF ＝CF.∵ BD ＝DF ＋BF ，∴ BD ＝DF ＋CF ＝CE ，即DF ＝CE －CF (2) 图②中，DF ＝CF －CE ；图③中，DF ＝CE ＋CF (3) 2或6。