高中数学 直线参数方程导学案 新人教A版选修44

三 直线的参数方程学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)教材整理 直线的参数方程 阅读教材P 35～P 39，完成以下问题．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M —→|.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59、(8,0) [解析] 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.[答案] B直线参数方程的简单应用【例1】 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，那么该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？[思路探究] 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[自主解答] 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，代入圆方程x 2＋y 2＝9， 得⎝⎛⎭⎪⎫1＋25t ′2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋15t ′2＝9，整理，有5t ′2＋8t ′－45＝0. 由根与系数的关系，t ′1＋t ′2＝－85，t ′1·t ′2t ′的几何意义．|t ′1－t 2′|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．此题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，无视了参数t 的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，那么弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，那么点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．1．在极坐标系中，圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] (1)由得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos π6，3sin π6，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3.参数方程与极坐标的综合问题【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，假设点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. [思路探究] (1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A 、B 的坐标，也可考虑利用t 的几何意义求解．[自主解答] (1)由ρ＝25sin θ， 得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0，(*) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根， ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4， ∴t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 2．此题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．2．曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，那么S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．直线的参数方程[探究问题]1．假设直线l 的倾斜角α＝0，那么直线l 的参数方程是什么？[提示] 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0(t 为参数)．2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上；②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合． 【例3】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)假设点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．[思路探究] 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .[自主解答] (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)， ∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．3．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程； (2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.[解] (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 5π6＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 5π6＝3＋t 2(t 为参数)．(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义， 知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°[解析] 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，应选B. [答案] B 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)[解析] 直线表示过点(1，－2)的直线． [答案] A3．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，那么直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－22[解析] 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. [答案] B4．假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，那么常数k ＝________.[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直， ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，∴k ＝－6. [答案] －65．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．[解] 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t ，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝(x ＋3)2＋(y －1)22.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．。

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

2.1 参数方程的概念【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。

说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

（3）平抛运动：为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。

（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。

分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。

学生练习。

反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。

三直线的参数方程学习目标 1. 理解并掌握直线的参数方程.2. 能够利用直线的参数方程解决相关问题．知识点直线的参数方程思虑 1如图，π直线 l 过定点 M0( x0， y0)且倾斜角为α α ≠ 2，那么直线的点斜式方程是什么？答案y－ y0＝tanα( x－x0)．思虑 2在思虑1中，若令x－x0＝t cosα( t 为参数)，那么直线l 的参数方程是什么？x＝x0＋ tcos α，答案( t为参数 ) ．y＝y0＋ tsin α梳理(1) 直线的参数方程①过点 M( x ，y )，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为x＝ x0＋tcos α，( t为参数 ) ；000y＝ y0＋tsin α②由α 为直线的倾斜角知，当0<α <π时， sin α>0.(2)直线参数方程中参数 t 的几何意义参数 t 的绝对值表示t 对应的点 M到 M0的距离．①当――→与 e(直线的单位方向向量) 同向时，t取正数；M0M②当――→与 e 反向时， t 取负数，当M与 M0重合时， t ＝0. M0M(3) 重要公式：设，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为tA，B，则|| ＝ |tBA t AB －t A|＝错误! .种类一直线的参数方程与一般方程的互化例 1(1) 化直线l 1的一般方程x＋ 3 －1＝ 0 为参数方程，并说明|t| 的几何意义；y(2) 化直线l2x＝－ 3＋ t ，的参数方程( t为参数 ) 为一般方程，并求倾斜角，说明 | t | y＝ 1＋ 3t的几何意义．解 (1) 直线l1与 x 轴交于点 M(1,0)，3又 k＝tanα＝－3，31∴ cos α＝－2， sin α＝2，3x＝ 1－2 t ，∴直线 l 1的参数方程为( t为参数 ) ．1y＝2t| t | 表示t对应的点M( x，y) 到M的距离．(2) 方程组变形为x＋ 3＝ t ，①y－ 1＝ 3t，②①代入②消去参数t ，y－1＝3( x＋3) ，可得k＝tan α＝π得直线的点斜式方程3，倾斜角α＝3，一般方程为 3x－y＋3 3＋ 1＝ 0.又∵①②两式平方相加，得(x ＋3) 2＋ (y－ 1)2＝ 42，t∴ | t | ＝错误 ! ，| t | 是定点M1( －3,1)到 t对应的点 M( x，y)的有向线段错误!的长的一半．反省与感悟(1) 一条直线能够由定点M( x ， y )，倾斜角α(0≤ α<π)独一确定，直线000上动点 M( x， y)的参数方程为x＝x0＋ tcosα ，( t为参数 ) ，这是直线参数方程的标y＝y0＋ tsin απx＝ x0，( t为参数 ) ．准形式，特别地，当α＝2时，直线的参数方程为y＝ y0＋ tb参数t 的几何意义也不相同，过定点 M 0( x 0，y 0) ，斜率为 的 ax ＝ x0＋ at ， 直线的参数方程是( a ， b 为常数， t 为参数 ) ．y ＝ y0＋ btx ＝－3＋3t ，追踪训练 1 已知直线 l ：2( t 为参数 ) ．1y ＝ 2＋ 2t(1) 分别求 t ＝ 0,2 ，－ 2 时对应的点 M ( x ，y ) ；(2) 求直线 l 的倾斜角；(3) 求直线 l 上的点 M ( － 3 3， 0) 对应的参数 t ，并说明 t 的几何意义．3解 (1) 由直线 l ：x ＝－3＋ 2 t ，( t 为参数 ) 知，当 t ＝ 0,2 ，－ 2 时，分别对y ＝ 2＋1t2应直线 l 上的点 ( －3， 2) ，(0,3) ，( －2 3，1) ．x ＝－ 3＋3t ，32(2) 方法一化直线 l ：1( t 为参数 ) 为一般方程为y － 2＝ 3 ( xy ＝ 2＋2t＋ 3) ，3设直线 l 的倾斜角为α，则 k ＝tan α ＝ 3 (0 ≤α <π ) ，π解得 α ＝.π故直线 l 的倾斜角为6 .x ＝－ 3＋ tcosπ6 ，方法二 易知直线 l ：( t 为参数 ) ，y ＝ 2＋ tsinπ 6π则直线 l 过定点 M 0( － 3， 2) ，且倾斜角为6 ，π故直线 l 的倾斜角为. (3)由 (2) 可知直线l的单位向量e ＝ cosπ， sinπ＝31，且0(－3，2) ，662，2M又已知 M(－33， 0) ，――→31∴ M0M＝(－2 3，－2)＝－4 2，2＝－ 4e，∴点 M(－33， 0) 对应的参数t＝－ 4，几何意义为 |――→――→M0M | ＝4，且M0M 与e方向相反．种类二直线参数方程的应用命题角度1求弦长 | AB| 问题例 2 已知抛物线y2＝ 8x的焦点为F，过F且斜率为 2 的直线交抛物线于A， B 两点．(1)求| AB| ；(2)求 AB的中点 M的坐标及| FM|.解抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，x＝ 2＋1t ，依题意，设直线AB的参数方程为5( t为参数 ) ，其中 cosα＝1，25 y＝ t5sin α＝2，α为直线 AB的倾斜角．51x＝ 2＋t ，5将代入 y2＝8x，整理得 t 2－25t－ 20＝0.y＝2t5设 A， B 对应的参数值为t 1， t 2，则 t＋t＝ 25，t t＝－ 20.1212(1)|AB|＝| t－t |＝错误!＝错误!＝10.21→ →(2) 设AB的中点为M( x，y) ，则 AM＝ MB，→→→→∴ FM－ FA＝ FB－FM，→ 1→→ t1 ＋ t25e ，∴ FM ＝ (FA ＋FB) ＝ 2 e ＝2故点 M 对应的参数为 5，x ＝ 2＋ 5cos α，得 M (3,2) ，| FM | ＝t1 ＋ t2由2＝ 5.y ＝ 5sin αx ＝ x0＋ tcos α，( t 为参数 ) ，反省与感悟设二次曲线 C ： F ( x ， y ) ＝ 0，直线 l ：αy ＝ y0＋ tsin若是 l 与 C 订交于 A ，B 两点，那么将 l 的方程代入 F ( x ，y ) ＝0 后，可得 at 2＋ bt ＋ c ＝ 0，则该方程有两个不等实数根t 1，t 2，此时 ――→ ――→α ，sin α ) ， M0A ＝t 1e ， M0B ＝ t 2e ，e ＝ (cos 于是易得以下两个常有的公式： (1)| | ＝ | t1－ 2| ； (2) 线段 AB 的中点 M 对应的参数tABt＝ t1 ＋ t2 ，且 | 0 | ＝|t1＋ t2| .2MM2π22追踪训练 2直线 l 过点 P 0( － 4,0) ，倾斜角 α ＝ 6 ，l 与圆 x ＋ y ＝7 订交于 A ，B 两点．(1) 求弦长 | AB | ；(2) 求 A ， B 两点坐标．，倾斜角 α＝ π， 解 (1) ∵直线 l 过点 P ( － 4,0)6x ＝－ 4＋3t ，∴可设直线 l 的参数方程为2( t 为参数 ) ，ty ＝ 2，3212t代入圆方程，得－ 4＋ 2 t ＋ 2＝ 7.整理得 t 2－ 4 3t ＋ 9＝ 0. ①设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，由根与系数的关系，得t 1＋ t 2＝ 4 3， t 1t 2＝ 9，∴ | AB | ＝ | t 2－t 1| ＝错误 ! ＝ 2错误 ! .(2) 解①得 t 1 ＝3 3， t 2＝ 3，代入直线参数方程x ＝－ 4＋3t ，21y ＝2t ，3 3 5 3 5 33 3得A 1，2 ，B － ，或A － ，， B1，.2222 222命题角度 2求积 ||·|0 | 问题MAMB1022例 3 过点 P 2 ， 0 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x ＋12y ＝ 1 交于点 M ，N ，求 | PM | ·|PN |的最小值及相应的 α 值．x ＝10π＋ tcos α ，解设直线为2(0 ≤ α < 2 ， t 为参数 ) ，y ＝ tsin α代入曲线 x 2＋ 12y 2＝ 1，并整理得 (1 ＋11sin 2α ) t 2＋ ( 10cos α ) t ＋3＝ 0.221由≥ 0 得， sin α ≤19，设 M ，N 对应的参数为 t 1，t 2，32∴ t 1t 2＝ 1＋ 11sin2 α ，323∴ | PM |·|PN | ＝ | t 1t 2| ＝1＋ 11sin2 α ＝ 2＋ 22sin2 α.21 19∴当 sin α ＝19时， | PM |·|PN | 获取最小值，且最小值为 20.反省与感悟 利用直线的参数方程，能够求一些距离问题，当求直线上某必然点到直线与曲线交点的距离时，依照直线参数方程中参数的几何意义解题更加方便．π追踪训练 3 已知直线 l 经过点 P (1,1)，倾斜角 α＝ 6 ，(1) 写出直线 l 的参数方程；(2) 设 l 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 订交于两点 A ， B ，求点 P 到 A ， B 两点的距离之积．π解(1) 因为直线 l 过点 P (1,1) ，倾斜角为6 ，πx＝ 1＋ tcos 6 ，因此直线的参数方程为( t为参数 ) ，πy＝ 1＋ tsin，3x＝ 1＋2 t ，即( t为参数 ) 为所求．1y＝1＋2t(2) 因为点，都在直线l 上，因此可设它们对应的参数为t1 和t2，则点，B的坐标分A B A 别为3131A 1＋2t1，1＋2t1，B 1＋2t2，1＋2t2，把直线 l的参数方程代入圆的方程x2＋ y2＝4，整理获取 t 2＋(3＋ 1)t －2＝0，①因为 t 1和 t 2是方程①的解，进而 t1t 2＝－2.因此 | PA| ·|PB| ＝ |t t |＝|－ 2| ＝2.12种类三直线参数方程的综合应用2x＝－ 4＋2 t ，例 4已知曲线C1：( t为参数 ) ，2y＝2 tx＝－ 2＋ cos θ，C2：( θ为参数 ) ．y＝ 1＋sin θ(1)化 C1， C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若曲线 C1和 C2订交于 A， B 两点，求| AB|.2(1) 由曲线x＝－ 4＋2t ，t y＋ 4，解1：消去参数，得＝C2xy＝，t2因此曲线 C1表示一条直线．x＝－ 2＋ cos θ，由曲线 C2：消去参数θ，y＝ 1＋ sin θ，得 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，因此曲线 C 表示以 ( － 2,1)为圆心， 1 为半径的圆．2(2) 方法一 2到直线 x － y ＋4＝ 0 的距离为 d ＝| －2－1＋4| 2圆心 C ( －2,1) 2＝ 2 ，因此 || ＝ 2 r2 －d2＝ 21－ 1＝ 2.AB22x ＝－ 4＋ 2 t ，方法二将直线的参数方程 C 1：( t 为参数 )y ＝2t2222代入曲线 C ： ( x ＋ 2) ＋ ( y － 1) ＝1，整理得 t 2－ 3 2 ＋4＝ 0.t设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，则 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1t 2＝ 4，因此 | | ＝ | t 1－ t 2|＝错误!＝错误!.AB引申研究1．若点 P ( －4,0) 是曲线 C 上的定点，本例其余条件不变，求| PA | ＋ | PB | 的值．1解 由曲线 C 2： x ＝－ 2＋ cos θ，知，y ＝ 1＋sin θ2 2曲线 C 是圆 ( x ＋2) ＋ ( y －1)＝ 1.2因为点 P ( －4,0) 在圆 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1 外，2x ＝－ 4＋ 2 t ，将直线的参数方程2y ＝ 2 t代入曲线 C 2： ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，得 t 2－ 32t ＋ 4＝ 0，设 A ， B 对应的参数为 t 1， t 2，则 t 1 ，t 2 同号，且 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t 1| ＋| t 2| ＝ | t 1＋t 2| ＝ 3 2.2．在研究 1 条件不变的情况下，求11|PA| ＋ |PB| 的值．解 由研究 1 知， t 1＋ t 2＝ 3 2 ，t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t ＋ t | ＝ 3 2，1 2| |·| |＝|1t 2|＝4.PAPBt11|PA| ＋ |PB|3 2因此|PA| ＋|PB| ＝|PA| ·|PB| ＝ 4 .反省与感悟(1) 参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，能够经过方程组求出参数值，再依照参数值得出交点坐标．(2) 解题时若是波及求直线被曲线截得的线段的长度或许直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都能够利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决．3x ＝ 5＋ 2 t ，追踪训练 4 已知直线 l ：( t 为参数 ) ．以坐标原点为极点，x 轴的1y ＝3＋ 2t正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ ＝ 2cos θ .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点 M 的直角坐标为 (5 ，3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为A ，B ，求 | MA |·|MB | 的值；11(3) 求 |MA| －|MB| 的值．解 (1) 曲线 C 的极坐标方程 ρ＝ 2cos θ 化为直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 2x ＝ 0.3(2) 将x ＝ 5＋ 2t ， 2＋2－2 ＝0，代入1xyxy ＝ 3＋ 2t得 t 2 ＋5 3t ＋ 18＝ 0.设这个方程的两个实根分别为t ，t ，12则由参数 t 的几何意义可知，| MA |·|MB |＝ | t t | ＝ 18.12(3) 由 (2) 知 t 1，t2为同号，| |MB| － |MA| | ＝ | |t2| － |t1| | ＝| t 2－ t 1| ＝错误 ! ＝错误 ! ，1 1 | |MB| － |MA| | 3∴ |MA|－ |MB|＝|MA| ·|MB|＝ 18.x＝ 2＋ 3t ，( t为参数 ) 上对应t＝ 0，t＝ 1 两点间的距离是 () 1．直线y＝－ 1＋ tA．1B.10C． 10D． 22答案B剖析因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不拥有几何意义，故不能够直接由 1－ 0＝1 来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程获取两点坐标(2 ，－ 1) 和 (5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即错误!＝错误!.x＝－ 3＋ tcos α，π2．直线y＝ 2＋ tsin α( t为参数，α＝6 ) 不经过 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案Dx＝ 1－2t ，( t为参数 ) 与直线l2：x＝ s，( s为参数 ) 垂直，则k3．若直线l1：y＝ 2＋kt y＝ 1－ 2s＝________.答案－ 1k剖析由－2· ( － 2) ＝－ 1，得k＝－ 1.5π4．设直线l过点A(2 ，－ 4) ，倾斜角为6，则直线 l 的参数方程为________．x＝ 2－3 t ，答案2( t为参数 )1y＝－ 4＋2t剖析∵α ＝5π，∴ cos α＝－3， sin α＝1，622 x＝ 2－3t ，∴ l 的参数方程为2( t为参数 ) ．1y＝－ 4＋2t5．素来线过点0(3,4) ，倾斜角α＝π，求此直线与直线 3＋2 ＝6 的交点M与0 之间P4x y P的距离．2x＝ 3＋2 t ，解设直线的参数方程为( t为参数 ) ，2y＝ 4＋t ，2将它代入已知直线3x＋2y－ 6＝0，22得 3 3＋2 t ＋ 2 4＋2 t ＝6，解得 t ＝－1125，∴| 0| ＝|t | ＝11 2.MP51．经过点M( x，y ) ，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋ tcos α，( t为参000y＝ y0＋ tsin α数 ) ．其中t表示直线l上以定点M为起点，随意一点M( x，y) 为终点的有向线段――→M0M 的数量，能够为正、为负，也能够为零．2．直线l：x＝ x0＋ tcos α，( t为参数 ) 与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参y＝ y0＋ tsin α数为 t，t .则| AB|＝ | t－t|.但 | MA| ＋ | MB| 与 | AB| 不完好相同，当t与 t异号时， | MA| 121200120＋| M0B| ＝ | AB| ＝ | t1－t2| ；当t1与t2同号时， | M0A| ＋ | M0B| ＝ | t1＋t2| ≠ | AB|.3．要注意差异直线参数方程可否为标准形式，若不是标准形式，则参数t 就不拥有相应的几何意义．一、选择题x＝ 1＋ 2t ，1．若直线的参数方程为( t为参数 ) ，则直线的斜率为 ()y＝ 2－3t23A. 3B．－232C. 2D．－3答案 B剖析x ＝ 1＋ 2t ， 3 7 3 直线的一般方程为 y ＝－ x ＋ ，因此直线的斜率为－ .y ＝ 2－ 3t222x ＝ 1＋ tcos α ， ( α 为参数， 0≤a <π ) 必过点 ()2．直线y ＝－ 2＋ tsin αA ．(1 ，－ 2)B ． ( －1,2)C ．( － 2,1)D ． (2 ，－ 1)答案Ax ＝ 1，剖析当 t ＝0 时，y ＝－ 2，因此直线必过点 (1 ，－ 2) ．3．已知直线 l 过点 A (2,1) ，且与向量 a ＝ ( －1,1) 平行，则点 P ( － 1，－ 2)到直线 l 的距离是 ( )A. 2B ．2 2C ．3 2D ． 2答案Cx ＝ 2－ t ， ( t 为参数 ) ．因为直线上的随意一点 M剖析 由已知得直线 l 的参数方程为y ＝ 1＋ t的坐标可表示为 (2 － t, 1＋ t ) ，因此 | PM |＝错误 ! ＝错误 ! ，当 t ＝ 0 时， | PM | 有最小值，最小值是 3 2，此时 | PM |为点 P 到直线 l 的距离．π4．直线 l 经过点 M 0(1,5) ，倾斜角为 3 ，且交直线 x － y － 2＝ 0 于点 M ，则 | MM 0| 等于 ()A. 3＋ 1B ． 6(3＋ 1)C ．6＋3D ． 6 3＋1答案B1x ＝ 1＋ 2t ，剖析由题意可得直线l的参数方程为( t 为参数 ) ，代入直线方程xy ＝ 5＋3t213 － y － 2＝ 0，得1＋2t－5＋ 2 t－ 2＝ 0，解得 t ＝－ 6(3＋ 1) ．依照 t的几何意义可知| MM |＝6(3＋1) ．5．若x ＝ x0－ 3λ ， x ＝ x0＋ tcos α ， y ＝ y0＋ 4λ( λ 为参数 ) 与( t 为参数 ) 表示同一条直线，y ＝ y0＋ tsin α则 λ 与 t 的关系是 ()A ．λ ＝ 5tB ． λ＝－ 5tC ．t ＝ 5λD ． t ＝－ 5λ答案 C剖析由 x －x 0，得－ 3λ ＝ t cos α ，由 y － y 0，得 4λ＝ t sin α，消去 α 的三角函数，得25λ 2＝ t 2，得 t ＝±5λ ，借助于直线的斜率，可除去t ＝－ 5λ ，因此 t ＝5λ .1x ＝ 1＋2t ，6．直线( t 为参数 ) 和圆2＋ y 2＝ 16 交于 ， B 两点，则的中3xAABy ＝－ 33＋ 2 t点坐标为 ()A ．(3 ，－ 3)B ． ( － 3，3)C ．( 3，－ 3)D ． (3 ，－ 3)答案Dt3t2剖析将 x ＝1＋ 2， y ＝－ 3 3＋ 2 t 代入圆方程，得1＋2 ＋ － 3 3＋2 －8t ＋ 12＝0，则 t ＝2， t＝ 6，∴ t12因此 AB 的中点 M 对应参数 t ＝ t1 ＋ t2＝ 4，2 1 3∴ x ＝ 1＋ × 4＝ 3， y ＝－ 3 3＋ × 4＝－ 3，22故中点 的坐标为 (3 ，－ 3) ．AB M二、填空题7．已知直线 lx ＝ 1＋3t ，( t 为参数 ) 与直线 l 2：2 x － 4 ＝5 订交于点 1：yy ＝ 2－4t则 | AB | ＝ ________.3t 2＝ 16，2B ，且点 A (1,2) ，答案52剖析x＝ 1＋ 3t ，代入 2－4 ＝5，得15，0 .又(1,2) ，因此 |5将x t＝，则B 2| ＝ .y＝ 2－ 4t y2A AB 2 2x＝ 2＋2 t ，2 且在点M下方的8．直线( t为参数 ) 上到点M(2 ，－ 3) 的距离为2y＝－ 3－t2点的坐标是 ________．答案(3 ，－ 4)x＝2－2t ，剖析直线参数方程的标准式为2( t为参数 ) ，2y＝－ 3＋2 t则 M对应的参数为 t ＝－2，∴错误 !∴点 M的坐标为(3，－4)．9．已知直线l的参数方程为x＝－ 1＋ t ，为参数 ) ，以坐标原点为极点，x 轴的正( ty＝1＋ t半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为23π5πρ cos2θ＝ 4ρ>0，<θ <，则44直线 l 与曲线 C的交点的极坐标为________．答案(2 ，π)x＝－ 1＋ t ，剖析因为直线 l 的参数方程为y＝ 1＋t ，因此直线 l 的一般方程为y＝ x＋2.因为曲线 C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝ 4 ρ >0，3π<θ <5π，44可得曲线 C的直角坐标方程为 x2－y2＝4( x<0)．联立错误 ! 解得交点坐标为 ( －2,0) ，因此交点的极坐标为(2 ，π ) ．10．在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为x＝ t －3，( t为参数 ) ，以原点O y＝ t为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 ρ2 －4ρ cos θ ＋ 3＝ 0，则圆心 C 到直线 l 的距离为 __________ ．答案522剖析易得直线 l 的一般方程为 x － y ＋ 3＝ 0，圆 C 的直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 4x ＋ 3＝ 0，即 ( x － 2) 2＋y 2＝1，因此圆心到直线的距离 ＝错误!＝错误!.dl 过点 A ( －2,3) ，倾斜角为135°，求直线 l 的参数方程，并且求直线上与点 A 距离为 32的点的坐标．解 直线 l 的参数方程为x ＝－ 2＋tcos135 °， ( t 为参数 ) ，y ＝ 3＋tsin135 °2x ＝－ 2－ 2 t ，( t 为参数 ) ．①即2y ＝ 3＋ 2 t设直线上与点 A 距离为 3 2的点为 B ，且点 B 对应的参数为 t ，则 | AB | ＝ | t | ＝3 2.因此 t ＝±3 2.把 t ＝±32代入①，合适 t ＝ 3 2时，点 B 在点 A 的上方，点 B 的坐标为 ( －5， 6) ；当 t ＝－ 3 2时，点 B 在点 A 的下方，点 B 的坐标为 (1,0) ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝ 1＋ 4cos y ＝ 2＋ 4sinθ ，θ( θ 为参数 ) ，π直线 l 经过定点 P (3,5) ，倾斜角为3 .(1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C 订交于 A ，B 两点，求 | PA | ·|PB | 的值．解 (1) 曲线 C ： ( x － 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16，1x ＝ 3＋2t ，直线 l ：( t 为参数 ) ．3y ＝ 5＋ 2 t三、解答题11．已知直线(2)将直线 l 的参数方程代入圆C的方程，可得t 2＋(2＋3 3) t －3＝0，设 t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，因此 | PA|| PB| ＝ | t1|| t2| ＝ | t1t2| ＝ 3.13．在极坐标系中，已知圆心 C 3，π，半径r ＝1. 6(1)求圆的直角坐标方程；3(2)x＝－ 1＋2 t ，( t为参数 ) 与圆交于A，B两点，求弦AB的长．若直线1y＝2t(1) 由已知得圆心C333 3 2 3 2解23，2，半径为 1，圆的方程为x－2＋y－2＝ 1，即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0.3(2) 由x＝－ 1＋2t ，( t为参数 ) ，得直线的直角坐标方程为x－3y＋1＝0，1y＝2t3333－＋ 1圆心到直线的距离221＝＝，d22因此|AB|2＋d2＝1，解得 | AB| ＝ 3. 2四、研究与拓展2x＝－ 4＋2 t ，14．设直线的参数方程为( t为参数 ) ，点P在直线上，且与点M0( －2y＝t24,0)2，若将该直线的参数方程改写成x＝－ 4＋ t ，的距离为( t为参数 ) ，则在这个y＝ t方程中点 P 对应的 t 值为________．答案±12x＝－ 4＋2 t ，剖析由 | PM| ＝ 2知，t＝± 2，将其代入得点 P的坐标为(－02y＝2t ，3,1)x＝－ 4＋ t ，得 t ＝1或 t ＝－1.或 ( － 5，－ 1) ，将点P的坐标代入y＝ t ，15．在极坐标系中，曲线F的极坐标方程为4cos θ. 以极点为原点，极轴为x 轴正半ρ ＝θsin2轴成立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l 1， l 2均过点 F(1,0)，且 l 1⊥l 2，直线 l 1的倾斜角为α .(1)写出曲线 F 的直角坐标方程和 l 1， l 2的参数方程；(2)设直线 l 1和 l 2分别与曲线 F 交于点 A， B 和 C， D，线段 AB，CD的中点分别为 M， N，求 | MN|的最小值．解 (1)：y 2＝4x，1：x＝ 1＋tcos α，t为参数)，(F l y＝ tsin αx＝ 1－tsinα ，( t为参数 ) ．l ：2y＝ tcos α(2) 将lx＝ 1＋ tcos α，1：代入 y2＝4x，y＝tsin α得 t 2sin2α －4t cosα －4＝0，①tA ＋ tB2cos αM2＝sin2 α.则 t ＝将l 2 ：x＝ 1－tsin α，y2＝4 ，代入x y＝ tcos α得 t 2cos2α＋4t sinα －4＝0，②则 t N＝tC ＋ tD＝－2sin α，2cos2α于是 || ＝ |FM|2 ＋|FN|2 ＝t2M＋ t2NMNcos2αsin2 α 2 242＝ 2sin4 α＋cos4 α≥|sinαcos α |＝|sin2α|≥ 4 2，因为α ∈ [0 ，π ) ，因此当且仅当α＝π时，等号成立．4且此时知足方程①②的鉴别式均大于零，故 | MN|的最小值为 4 2.。