浙江省杭州市某校高一（下）周练数学试卷一、选择题1. 设a>b>0，下列各数小于1的是（）A.2a−bB.(ab )12 C.(ab)a−b D.(ba)a−b2. 若a>1，0<b<1，则下列不等式中正确的是（）A.a b<1B.b a>1C.log a b<0D.log b a>03. 若a>b>c，a+2b+3c=0，则（）A.ab>acB.ac>bcC.ab>bcD.a|b|>c|b|4. 若集合M={y|y=x2, x∈Z}，N={x∈R|3x−1x−9≤1}，则M∩N的真子集的个数（）A.7B.8C.15D.165. 函数y=√log12(x2−1)的定义域是（）A.[−√2, −1)∪(1, √2]B.(−√3, −1)∪(1, √2)C.[−2, −1)∪(1, 2]D.(−2, −1)∪(1, 2)6. 设函数f(x)={2x+1,x≥1x2−2x−2,x<1，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−∞, −1)∪[1, +∞)C.(−∞, −3)∪(1, +∞)D.(−∞, −3)∪[1, +∞)7. 在R上定义运算：x∗y=x(1−y)，若不等式(x−y)∗(x+y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是（）A.−12<y<32B.−32<y<12C.−1<y<1D.0<y<28. 设变量x，y满足约束条件{x−y+2≥0，x−5y+10≤0，x+y−8≤0，则目标函数z=3x−4y的最大值和最小值分别为()A.3，−11B.−3，−11C.11，−3D.11，39. 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x, y)|x+y≤1, 且x≥0, y≥0}，则平面区域B＝{(x+y, x−y)|(x, y)∈A}的面积为（）A.2B.1C.12D.1410. 已知向量m→=(a−2b, a)，n→=(a+2b, 3b)，且m→，n→的夹角为钝角，则在aOb平面上，点(a, b)所在的区域是（）A. B. C. D.二、填空题若1<α<3，−4<β<2，则α−|β|的取值范围是________．已知a+b>0，则ab2+ba2与1a+1b的大小关系是________．若关于x的方程x2+ax+a2−1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．已知x、y满足不等式组{y≥xx+y≤2x≥a，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=________．已知数列{a n}，新数列a1，a2−a1，a3−a2，…，a n−a n−1，…为首项为1，公比为13的等比数列，则a n=________．三、解答题关于x的不等式{x2−x−2>02x2+(2k+5)x+5k<0的整数解的集合为{−2}，求实数k的取值范围．家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序．己知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时．又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元．根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？设数列{a n}的首项a1＝a≠14，且a n+1={12a n(n)a n+14(n)，记b n＝a2n−1−14(n＝1, 2, 3…)．（1）求a2，a3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，（1）求a1、d满足的不等关系；（2）求a4的最大值．参考答案与试题解析浙江省杭州市某校高一（下）周练数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】由指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象和性质进行判断．【解答】解：y=a x(a>0且a≠1)．当a>1，x>0时，y>1，当0<a<1，x>0时，0< y<1．∵a>b>0，∴a−b>0，ab >1，0<ba<1由指数函数性质知，D成立．故选D．2.【答案】C【考点】不等式性质的应用指数式、对数式的综合比较不等式比较两数大小【解析】取a=2，b=13，用特殊值分别代入四个备选答案，能够得到正确答案．【解答】解：取a=2，b=13，则a b=213>1，故A不正确．b a=(13)2<1，故B不正确．log a b=log213<0，故C正确．log b a=log132<0，故D不正确．故选C．3.【答案】A【考点】不等式的概念与应用【解析】根据a+2b+3c=0和>b>c，得a>0，c<0，然后进行判断即可．【解答】解：因为a>b>c，a+2b+3c=0，所以a>0，c<0，又b>c，a>0，故A正确．故选A．4.【答案】A【考点】交集及其运算子集与真子集【解析】分别求出M，N集合，求出M∩N，确定元素的个数，进而确定真子集的个数．【解答】解：若集合M={y|y=x2, x∈Z}={0, 1, 4, 9, 16...}；N={x∈R|3x−1x−9≤1}={x|−4≤x<9}；故M∩N={0, 1, 4}，真子集的个数为23−1=7故选A．5.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法对数的运算性质【解析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2−1>0，且x2−1≤1；解可得答案．【解答】解：{x2−1>0log12(x2−1)≥0⇔{x2>1x2−1≤1⇔{x2>1x2≤2⇔{x>1或x<−1−√2≤x≤√2⇔−√2≤x<−1或1<x≤√2．∴y=√log12(x2−1)的定义域为[−√2, −1)∪(1, √2]．答案：A6.【答案】B【考点】其他不等式的解法【解析】分x0≥1和x0<1两种情况考虑，分别将相应的函数解析式代入不等式中求出相应的解集，找出两解集的并集即为所求x0的取值范围．【解答】当x0≥1时，f(x0)＝2x0+1，代入不等式得：2x0+1>1，解得：x0>0，此时x0的范围为x0≥1；当x0<1时，f(x0)＝x02−2x0−2，代入不等式得：x02−2x0−2>1，解得：x0>3或x0<−1，此时x0的范围为x0<−1，综上，x0的取值范围是(−∞, −1)∪[1, +∞)．7.【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】由题意可得，(x−y)∗(x+y)=(x−y)(1−x−y)<1对于任意的x都成立，即y2−y<x2−x+1对于任意的x都成立，构造函数g(x)=x2−x+1，只要y2−y<g(x)min即可【解答】解：由题意可得，(x−y)∗(x+y)=(x−y)(1−x−y)<1对于任意的x都成立即y2−y<x2−x+1对于任意的x都成立设g(x)=x2−x+1=(x−12)2+34≥34所以，g(x)min=34所以y2−y<34解可得，−12<y<32故选：A8.【答案】A【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x−4y=0，平移直线观察最值．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如图所示，可知当直线z =3x −4y 平移到点B(5, 3)时， 目标函数z =3x −4y 取得最大值3； 当直线z =3x −4y 平移到点A(3, 5)时， 目标函数z =3x −4y 取得最小值−11. 故选A ． 9.【答案】 B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 对数的运算性质【解析】求平面区域B ＝{(x +y, x −y)|(x, y)∈A}的面积为可先找出B 中点的横纵坐标满足的关系式，故可令x +y ＝s ，x −y ＝t ，平面区域A ＝{(x, y)|x +y ≤1, 且x ≥0, y ≥0}得出s 和t 的关系，画出区域求面积即可． 【解答】令x +y ＝s ，x −y ＝t ，由题意可得平面区域B ＝{(s, t)|s ≤1, s +t ≥0, s −t ≥0}， 平面区域如图所示S △OAB ＝2×1÷2＝1 10.【答案】 A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 数量积表示两个向量的夹角 【解析】由m →，n →的夹角为钝角，知m →⋅n →<0，再转化为向量的坐标关系，从而得a 与b 的不等关系，由此关系可得不等关系表示的平面区域． 【解答】解∵ m →，n →的夹角为钝角， ∴ m →⋅n →<0，得(a −2b, a)⋅(a +2b, 3b)=a 2−4b 2+3ab =(a +4b)(a −b)<0， ∴ {a +4b >0a −b <0…①，或{a +4b <0a −b >0…②．以a 为横坐标，b 为纵坐标，则不等式组①表示直线a+4b=0右上方与直线a−b=0左上方的公共区域，不等式组②表示直线a+4b=0左下方与直线a−b=0右下方的公共区域，故选：A．二、填空题【答案】−3<α−|β|<3【考点】不等式的基本性质不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】∵ 4<β<2，∴ 0≤|β|<4．∴−4<−|β|≤0．∴−3<α−|β|<3．【答案】a b2+ba2≥1a+1b【考点】不等式比较两数大小【解析】用作差法比较它们的大小即可．【解答】解：因为ab2+ba2−(1a+1b)=a−bb2+b−aa2=(a−b)(1b2−1a2)=(a+b)(a−b2)a2b2．∵a+b>0，(a−b)2≥0，∴(a+b)(a−b2)a2b2≥0，∴ab2+ba2≥1a+1b．故答案为：ab2+ba2≥1a+1b．【答案】−1<a<1【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】先看二次函数的开口方向，利用0的函数值的符号确定a的范围．【解答】令f(x)＝x2+ax+a2−1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f(0)<0，即a2−1<0，∴−1<a<1．【答案】13【考点】简单线性规划【解析】由题意大致确定a的取值，作出平面区域，由图找到最大值与最小值，从而解出a．【解答】解：依题意可知a <1．作出可行域如图所示，z =2x +y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由{x =a y =x 得A(a, a)，由{x +y =2y =x 得B(1, 1)．∴ z max =3，z min =3a ．∴ a =13． 故答案为13．【答案】32(1−13n ) 【考点】等比数列的性质 【解析】利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可得出结论． 【解答】解：∵ 数列a 1，a 2−a 1，a 3−a 2，…，a n −a n−1，…为首项为1，公比为13的等比数列，∴ a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1)=a n =1−13n 1−13，∴ a n =32(1−13n )． 故答案为：32(1−13n )． 三、解答题【答案】解：由x 2−x −2>0可得x <−1或x >2． ∵ {x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解为x =−2，又∵ 方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52．①若−k <−52，则不等式组的整数解集合就不可能为{−2}；②若−52<−k ，则应有−2<−k ≤3．∴ −3≤k <2．综上，所求k 的取值范围为−3≤k <2． 【考点】二元一次不等式组 【解析】由已知不等式{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0我们易给出x 2−x −2>0的解集为{x|x <−1或x >2}，而方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52．我们分类讨论−k 和−52的关系，又由不等式{x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解的集合为{−2}，我们不难求出实数k 的取值范围． 【解答】解：由x 2−x −2>0可得x <−1或x >2． ∵ {x 2−x −2>02x 2+(2k +5)x +5k <0的整数解为x =−2，又∵ 方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为−k 和−52． ①若−k <−52，则不等式组的整数解集合就不可能为{−2}；②若−52<−k ，则应有−2<−k ≤3．∴ −3≤k <2．综上，所求k 的取值范围为−3≤k <2． 【答案】每天应生产桌子200张，椅子900张才能获得最大利润． 【考点】求线性目标函数的最值 【解析】先设每天生产桌子x 张，椅子y 张，利润总额为P 千元，根据题意抽象出x ，y 满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数P =15x +20y ，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可． 【解答】解：设每天生产桌子x 张，椅子y 张，利润总额为p ，目标函数为：p =15x +20y试卷第11页，总12页则{4x +8y ≤80002x +y ≤1300x ≥0y ≥0作出可行域：把直线l:3x +4y =0向右上方平移至l ′的位置时，直线经过可行域上的点B ，此时p =15x +20y 取最大值，解方程{4x +8y =80002x +y =1300得B 的坐标为(200, 900)．p =15×200+20×900=21000．【答案】∵ 数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n) ， ∴ a 2＝a +14，a 3=12a 2=12a +18； a 4=12a +38，a 5=14a +316，∴ b 1＝a 1−14=a −14，b 2＝a 3−14=12a −18，b 3＝a 5−14=14a −116，猜想数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．证明如下：b n+1＝a 2n+1−14=12a 2n −14=12(a 2n−1+14)−14=12(a 2n−1−14)=12b n ， ∴ 数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．【考点】 数列递推式 等比数列的性质 【解析】（1）利用数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n)，代入计算，可求a 2，a 3； （2）计算数列{b n }的前几项，猜想数列{b n }是等比数列，再利用递推式进行证明即可． 【解答】∵ 数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n+1={12a n (n)a n +14(n) ， ∴ a 2＝a +14，a 3=12a 2=12a +18；试卷第12页，总12页a 4=12a +38，a 5=14a +316，∴ b 1＝a 1−14=a −14，b 2＝a 3−14=12a −18，b 3＝a 5−14=14a −116， 猜想数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．证明如下：b n+1＝a 2n+1−14=12a 2n −14=12(a 2n−1+14)−14=12(a 2n−1−14)=12b n ， ∴ 数列{b n }是以a −14为首项，12为公比的等比数列．【答案】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得4a 1+4×32d ≥10，即2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得5a 1+5×42d ≤15，即a 1+2d ≤3．综上可得，2a 1+3d ≥5，且a 1+2d ≤3．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，因此a 4的最大值为4．【考点】等差数列的性质 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得a 1+2d ≤3，综上可得a 1、d 满足的不等关系．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，可得a 4的最大值． 【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，依题意S 4≥10，可得4a 1+4×32d ≥10，即2a 1+3d ≥5；由S 5≤15可得5a 1+5×42d ≤15，即a 1+2d ≤3．综上可得，2a 1+3d ≥5，且a 1+2d ≤3．（2）根据a 4=a 1+3d =−(2a 1+3d)+3(a 1+2d)≤−5+3×3=4，因此a 4的最大值为4．。
