高二人教版数学选修1-1练习：3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

函数的极值与导数填一填1.若函数 y＝ f(x)在点 x＝ a 的函数值 f(a)比它在点 x＝ a 邻近其余点的函数值都小， f′ (a) ＝ 0，并且在点 x＝ a 邻近的左边 f ′ (x)<0，右边 f′ (x)>0. 近似地，函数 y＝ f(x)在点 x＝ b 的函数值f(b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，f′ (b)＝ 0 ，并且在点x＝ b 邻近的左边f′ ( x)>0 ，右边 f′ (x)<0.我们把点 a 叫做函数y＝ f(x)的极小值点，f( a)叫做函数 y＝ f( x)的极小值；点 b 叫做函数y ＝f( x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．极值反应了函数在某一点邻近的大小状况，刻画的是函数的局部性质．2．函数的极值点是导数为零的点，导数为零的点不必定 (填“必定”或“不必定” ) 是函数的极值点．3．一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：解方程 f′ (x) ＝0.当 f′ (x0 )＝0 时：(1)假如在 x0邻近的左边f′ (x)>0，右边 f′ (x)<0 ，那么 f(x0)是极大值；(2)假如在 x0邻近的左边f′ (x)<0，右边 f′ (x)>0 ，那么 f(x0)是极小值；(3)假如 f′ (x)在点 x0的左右双侧符号不变，则f(x0)不是极值 .判一判1.极大值必定比极小值大．(× )分析：由函数的图象简单得出函数的极大值可能比极小值还小，故错误．2．导数值为0 的点必定是函数的极值点．(× )分析：导数值为0 的点不必定是函数的极值点，还要看在这一点左右导数的正负状况，故错误．π3．函数 f(x)＝x＋ 2cos x 在 [0，π]上的极小值点为6.(× )5π分析：因为 f(x)＝ x＋ 2cos x，所以 f′ (x)＝ 1－ 2sin x，令 f′ (x)＝0，得 x＝π5π5π6或 x＝6，由ππf′ ( x)<0 可得6<x<6；由 f′ (x)>0 可得 0≤ x<6或π≥ x> 6，所以函数 f(x)＝ x＋ 2cos x 在区间π 5ππ5π6，6上为减函数，在区间0，6和区间 6 ，π上均为增函数，所以函数f(x)＝ x＋ 2cos x 的5π极小值点为6 .4．函数 f(x)＝x3－3x 的极小值为 2.(× )分析： f′ (x)＝ 3x2－ 3，令 f′ (x)＝ 0，得 x＝±1，当 x<－1或 x>1 时， f′ (x)>0 ，当－ 1< x<1时， f′ (x)<0 ，所以当 x＝ 1 时，函数 f(x)取极小值，且极小值是f(1) ＝ 13－ 3× 1＝－ 2.想想1.怎样认识极值？提示： (1)函数的极值是一个局部性的观点，是仅对某一点的左右双侧地区而言的，极值点是区间内部的点而不是端点．(2)函数 f( x)在某区间内有极值，那么函数f( x)在该区间内必定不是单一函数，即在区间上的单一函数没有极值．2．怎样认识函数取极值的条件？提示： (1) 可导函数的极值点是导函数为0 的点，但导数为0 的点不必定是极值点，即 “ 函数 y ＝ f(x)在一点的导数值为0 是函数y ＝f(x)在这点获得极值的必需条件，不是充足条件．”(2)可导函数y ＝ f(x)在点x 0 处获得极值的充要条件是f ′ (x 0) ＝0，且在点 x 0 左边和右边的f ′ ( x)的符号不一样．假如在x 0 的双侧 f ′ (x)的符号相同，那么 x 0 不是函数 y ＝ f(x)的极值点．3．怎样认识函数的极值点？提示： (1) 函数 y ＝f(x)在某区间内有极值，它的极值点的散布是有规律的，相邻的两个极大值点之间必有一个极小值点，相同相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数y ＝f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数y ＝ f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的．(3)从曲线的切线角度看， 曲线在极值点处的切线斜率为0，并且曲线在极大值左边切线的斜率为正，右边为负；曲线在极小值点的左边的斜率为负，右边为正．思虑感悟：练一练1．已知 a 为函数 f(x) ＝ x 3－12x 的极大值点，则 a ＝ ()A ．－ 4B ．－ 2C ．4D ．2分析： f ′ (x)＝3x 2－ 12＝ 3(x ＋ 2)(x － 2)，令 f ′ (x)＝ 0 得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2，易得 f(x) 在 (－ ∞，－ 2)上单一递加，在 (－2,2)上单一递减，故 f(x)的极大值点为－ 2，即 a ＝－ 2，应选 B. 答案：B2．设函数 f(x)＝ xe x ，则 ( ) A ． x ＝ 1 为 f(x)的极大值点 B ． x ＝ 1 为 f(x)的极小值点 C ． x ＝－ 1 为 f( x)的极大值点 D ． x ＝－ 1 为 f( x)的极小值点分析：由题意得 f ′(x)＝ e x (x ＋ 1)，令 f ′ (x)>0，得 x>－ 1；令 f ′ (x)<0 ，得 x<－ 1，所以 f(x)在(－∞ ，－ 1) 上单一递减，在 (－ 1，＋ ∞ )上单一递加，所以 x ＝－ 1 为 f(x)的极小值点．应选 D.答案： Dx 2＋ a a ＝________. 3．若函数 在 x ＝1 处取极值，则f(x)＝ x ＋ 12x x＋ 1 － x2＋a x2＋ 2x－ a 分析： f′ (x)＝x＋ 1 2＝x＋1 2.∵f ′ (1)＝ 0，∴1＋ 2－a＝ 0，∴a＝ 3.4答案： 34．已知函数 f(x)＝ 2xln x－ x2＋ 2ax，此中 a>0， g(x)是 f(x)的导函数，则函数g(x)的极大值为 ________．2－2x 分析：由题可得 g(x)＝ f ′(x)＝2ln x＋ 2－ 2x＋2a(x>0)，则 g′(x)＝(x>0) ，易得函数xg(x) 在(0,1) 上单一递加；在 (1，＋∞ ) 上单一递减，所以函数g(x)的极大值为g(1)＝ 2a.答案： 2a知识点一函数极值的观点1.对于函数的极值，以下说法正确的选项是()A．导数为零的点必定是函数的极值点B．函数的极小值必定小于它的极大值C． f( x)在定义域内最多只好有一个极大值一个极小值D．若 f(x)在区间 (a， b)内有极值，那么f( x)在 (a，b)内不是单一函数分析：易知选项 A ， B， C 均不正确．对于 D ，不如设x0是 f(x)在区间 (a，b)内的极小值点，则在x0邻近，当x<x0时， f(x)>f(x0)，当 x>x0时， f(x)> f(x0) ，故在 x0邻近函数f(x)不但一，即 f(x)在区间 (a， b)内不是单一函数，应选 D.答案： D2．以下四个函数中，能在x＝ 0 处获得极值的是()①y＝x3；② y＝ x2＋ 1；③ y＝ cos x－ 1；④ y＝2x. A ．①② B ．②③C．③④ D ．①③分析：①④ 为单一函数，不存在极值．答案： B知识点二求函数的极值3.函数 y＝ x3－ 3x2－ 9x(－ 2<x<2) 的极值状况是 ()A ．极大值为 5，极小值为－ 27B．极大值为 5，极小值为－ 11C．极大值为 5，无极小值D．极小值为－ 27，无极大值分析： y′＝ 3x2－6x－ 9＝ 3(x＋ 1)(x－ 3)，令 y′＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 3.当－ 2< x<－ 1 时， y′ >0；当－ 1< x<2 时， y′ <0.所以当 x＝－ 1 时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．答案： C4．函数 f(x)＝－11取极小值时， x 的值是 () 3x3＋ x2＋ 2x2A．2 B．2，－ 1C．－ 1 D．－3分析：f′( x)＝－ x2＋ x＋ 2＝－ (x＋ 1)(x－ 2)，则知在区间 (－∞，－1) 和 (2，＋∞ )上，f′(x)<0 ，在区间 (－ 1,2)上， f′ (x)>0，故当 x＝－ 1 时， f(x)取极小值．答案： C5．已知函数f(x)＝ x4＋ 9x＋ 5，则 f(x)的图象在 (－ 1,3)内与 x 轴的交点的个数为________．分析：因为 f′ (x)＝ 4x3＋ 9，当 x∈ (－1,3)时， f′ (x)>0 ，所以 f(x)在 (－ 1,3)上单一递加．又f(－ 1)＝－ 3<0 ， f(0)＝ 5>0，所以 f( x)在 (－ 1,3)内与 x 轴只有一个交点．答案： 1知识点三已知函数极值求参数6.若函数 y＝－ x3＋ 6x2＋ m 的极大值等于13，则实数 m 等于 ________．分析： y′＝－ 3x2＋12x，由 y′＝0，得 x＝ 0 或 x＝ 4，易得出当 x＝ 4 时函数获得极大值，所以－ 43＋6× 42＋ m＝ 13，解得 m＝－ 19.答案：－ 197．若函数 f(x)＝ 2x3－ 6x＋ k 在 R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．分析： f(x)＝ 2x3－6x＋ k，则 f ′ (x)＝ 6x2－ 6，令 f ′ (x)＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 1，可知 f(x)在 (－ 1,1)上是减函数，f(x)在 (－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上是增函数，f(x)的极大值为f(－ 1)＝ 4＋ k，f(x)的极小值为f(1)＝－ 4＋ k.要使函数f(x) 只有一个零点，只要 4＋ k<0 或－ 4＋ k>0( 以下图 )，即 k<－ 4 或 k>4.∴k 的取值范围是(－∞，－ 4)∪ (4，＋∞ )．8．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋a2在 x＝1 处取极值10，求 f(2) 的值．分析： f′ (x)＝3x2＋ 2ax＋ b.f 1 ＝ 10，a2＋ a＋b＋ 1＝ 10，由题意，得即f′ 1 ＝ 0，2a＋b＋ 3＝ 0，a＝ 4，a＝－ 3，解得或b＝－ 11b＝ 3.11当 a＝ 4， b＝－ 11 时，令 f′ (x)＝ 0，得 x1＝ 1， x2＝－3 .当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化状况以下表：111111 1(1，＋∞ )x －∞，－ 3－ 3－ 3 ， 1f ′ (x) ＋0 －0 ＋f(x)Z 极大值]极小值Z明显函数 f(x) 在 x ＝ 1 处取极小值，切合题意，此时f(2)＝ 18.当 a ＝－ 3，b ＝ 3 时， f ′ (x)＝ 3x 2－ 6x ＋ 3＝ 3(x － 1)2≥ 0，∴f(x)没有极值，不切合题意．综上可知 f(2) ＝ 18.基础达标一、选择题1．函数 f(x)的定义域为 R ，导函数 f ′ (x)的图象如图，则函数 f( x)( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点分析： 设函数图象与 x 轴的交点从左到右挨次为a ，b ，c ，d ；函数的单一性以下：(－ ∞，a)增， (a ， b)减， ( b ，c)增， (c ， d)减， (d ，＋ ∞ )增，所以在 x ＝ a ，x ＝ c 处获得极大值，在x＝ b ， x ＝d 处获得极小值，所以有两个极大值点，两个极小值点，故C 正确．答案： C2．已知函数 f(x)， x ∈ R ，且在 x ＝ 1 处， f(x)存在极小值，则 ( )A ．当 x ∈ ( －∞， 1)时， f ′ (x)>0；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′(x)<0B ．当 x ∈ (－∞， 1)时， f ′ (x)>0 ；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′ (x)>0C ．当 x ∈ (－∞， 1)时， f ′ (x)<0 ；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′ (x)>0D ．当 x ∈ ( －∞， 1)时， f ′ (x)<0；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′(x)<0分析： ∵ f(x)在 x ＝ 1 处存在极小值， ∴ x<1 时， f ′(x)<0 ，x>1 时， f ′ (x)>0. 应选 C.答案： C13．函数 f(x)＝x ＋ x 在 x>0 时有() A ．极小值 B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在分析： ∵ f ′ (x)＝ 1－ x 12，由 f ′ (x)>0 ，2019-2020学年数学人教A 版选修1-1同步检测：3.3.2函数的极值与导数Word 版含解析得 x>1 或 x<－1，又 ∵ x>0， ∴ x>1.f ′ x <0， 由得 0< x<1，即在 (0,1)内 f ′ (x)<0，x>0.在(1 ，＋ ∞ )内 f ′ (x)>0，∴f(x)在 (0，＋ ∞ )上有极小值．应选 A.答案： A4．函数 f(x)的定义域为 区间 (a ， b)内有极小值点 (A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个(a ，b)，导函数)f ′ (x)在 (a ，b)内的图象以下图，则函数f(x) 在开分析： f(x)的极小值点左边有f ′(x)<0 ，极小值点右边有f ′ (x)>0 ，所以由 f ′ (x)的图象知只有 1 个极小值点．应选A.答案： A5．已知函数 f(x)＝ ax 3＋ bx 2＋ 1 在 x ＝ 1 处获得极大值 3，则 f(x)的极小值为 ( )A ．－ 1B ．0C ．1D ．2分析： 由题意知 f(1) ＝ a ＋ b ＋ 1＝3，即 a ＋b ＝ 2.① 因为 f ′( x)＝ 3ax 2＋ 2bx ， f ′ (1)＝ 0， 所以 3a ＋ 2b ＝ 0.②由①② 得 a ＝－ 4， b ＝6.所以 f ′( x)＝－ 12x 2＋ 12x ＝ 0， 解得 x ＝ 0 或 x ＝ 1.易知在 x ＝ 0 处 f(x)取极小值 1.应选 C. 答案： C6．函数 f(x)＝x 3－3bx ＋ 3b 在(0,1) 内有且只有一个极小值，则 ()A ． 0<b<1B ．b<11C ． b>0D ． b<2分析： f ′ (x)＝3x 2－ 3b ，要使 f(x)在 (0,1)内有极小值，则f ′ 0 <0 － 3b<0 f ′ 1 >0，即，3－ 3b>0解得 0<b<1.应选 A.答案： A7．已知 f(x)＝x 3＋ax 2 ＋(a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ()A ．－ 1<a<2B ．－ 3< a<2C ． a<－ 1 或 a>2D ． a<－ 3 或 a>6 分析： ∵ f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋a ＋ 6，∴f ′ (x)的图象是张口向上的抛物线，只有当＝4a 2－ 12(a ＋ 6)>0 时，图象与 x 轴的左交点双侧 f ′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右双侧 f ′ (x)的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．∴4a 2 －12(a ＋ 6)>0 得 a>6 或 a<－3.应选 D.答案： D 二、填空题8．函数 f(x)＝3x 2＋ ln x － 2x 的极值点的个数是 ________个．分析： f ′ (x)＝ 6x ＋1－ 2＝ 6x 2－ 2x ＋ 1 －2x ＋ 1＝ 0，该方程无解，因 x，由 f ′ (x)＝ 0 可得 6x 2x此函数 f(x)＝ 3x 2＋ ln x － 2x 无极值点．答案： 09．已知函数 f(x)＝ 2ln x － x 2，则函数 f(x)的极大值为 ________．分析： 因为 f(x)＝ 2ln x － x 2，所以 f ′( x)＝ 2 1＋ x 1－ x x (x>0) ．当 0< x<1 时， f ′ (x)>0 ， f(x)单一递加；当 x>1 时， f ′ (x)<0 ， f(x) 单一递减．故当 x ＝ 1 时， f(x)取极大值 f(1) ＝－ 1. 答案： －110．函数 f(x) ＝ax 3＋ bx 在 x ＝1 处有极值－ 2，则 a 、 b 的值分别为 ________、 ________. 分析： 因为 f ′ (x)＝ 3ax 2＋ b ，所以 f ′(1) ＝ 3a ＋ b ＝ 0. ①又 x ＝ 1 时有极值－ 2，所以 a ＋ b ＝－ 2. ②由①② 解得 a ＝ 1， b ＝－ 3. 答案： 1－311．设 a ∈ R ，若函数 y ＝e x ＋ ax ，x ∈ R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是 ________．分析： 因为 y ＝ e x ＋ ax ，x ∈ R ，所以 y ′＝ e x ＋ a ，由题意知， e x ＋ a ＝ 0 有大于 0 的实根，可得 a ＝－ e x ，因为 x>0 ，所以 e x >1，所以 a<－ 1.答案： (－∞，－ 1)12．函数 f(x)＝ x 3－ 3a 2x ＋ a(a>0) 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．分析： ∵ f ′ (x)＝ 3x 2－ 3a 2 (a>0)，∴ f ′ (x)>0 时得： x>a 或 x<－ a ，f ′ (x)<0 时，得－ a<x<a.∴当 x ＝ a 时， f(x)有极小值， x ＝－ a 时， f(x)有极大值．a 3－ 3a 3＋ a<0，2－ a 3＋ 3a 3＋ a>0 ，解得 a> 由题意得：2 .a>0答案：2，＋∞2三、解答题13． 求以下函数的极值． (1)f(x)＝ x 3－ 12x ；－x .(2)f(x)＝ xe分析： (1) 函数 f(x)的定义域为 R . f ′ (x)＝ 3x 2－ 12＝3(x ＋2)( x － 2)． 令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2.当 x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x (－∞，－ 2)－2 (－ 2,2)2 (2 ，＋∞ )f ′ (x) ＋0 －0 ＋f(x)Z 极大值] 极小值Z从表中能够看出，当x ＝－ 2 时，函数 f(x)有极大值，且 f( － 2)＝(－2) 3－ 12× (－ 2)＝ 16；当 x ＝ 2 时，函数 f( x)有极小值， 且 f(2)＝ 23－ 12×2＝－ 16. (2)f ′ (x)＝(1 －x)e－x.令 f ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 1.当 x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x (－∞， 1)1 (1，＋∞ )f ′(x) ＋ 0 －f(x)Z 极大值 ]1函数 f(x)在 x ＝ 1 处获得极大值 f(1) ，且 f(1) ＝ e . 14．已知函数 f(x)＝ x(x ＋ a)－ ln x ，此中 a 为常数． (1)当 a ＝－ 1 时，求 f(x)的极值；1，1 内的单一函数，务实数a 的取值范围．(2)若 f(x)是区间 2分析： (1) 当 a ＝－ 1 时， f ′ (x)＝ 2x － 1－1＝ 2x 2－ x － 1 2x ＋ 1 x －1 ( x>0) ， x ＝x x所以 f(x)在区间 (0,1) 上单一递减，在 (1，＋ ∞ )上单一递加，于是 f(x)有极小值 f(1) ＝ 0，无极大值．1 1 (2)易知 f ′ (x)＝ 2x ＋ a － x 在区间 2， 1 上单一递加，11又由题意可得 f ′(x)＝ 2x ＋ a － x ＝0 在 2， 1 上无解．1即 f ′ 2 ≥ 0 或 f ′ (1) ≤ 0，解得 a ≥ 1 或 a ≤ － 1，即 a 的取值范围为 (－ ∞ ，－ 1]∪ [1，＋ ∞).能力提高15.设函数 f(x) ＝x 3－ 9x 2＋ 6x － a.2(1)对于随意实数 x ， f ′ (x)≥ m 恒建立，求 m 的最大值； (2)若方程 f(x)＝ 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围． 分析： (1)f ′ (x)＝ 3x 2－ 9x ＋ 6.因为 x ∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )， f ′ (x)≥ m ， 即 3x 2－9x ＋ (6－ m)≥ 0 恒建立，3所以＝ 81－ 12(6－m)≤ 0，解得 m ≤ － 4，3即 m 的最大值为－ 4.(2)因为当 x<1 时， f ′ (x)>0；当 1< x<2 时， f ′ (x)<0 ；当 x>2 时， f′ (x)>0.5所以当 x＝ 1 时， f(x)取极大值f(1) ＝2－ a；当 x＝ 2 时， f(x)取极小值 f(2)＝ 2－a，故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时， f(x)＝ 0 仅有一个实根．解得a<25或 a>2.16．已知函数f(x)＝ (x－ a)2(x－ b)(a， b∈ R， a<b)．(1)当 a＝ 1， b＝ 2 时，求曲线y＝ f(x)在点 (2 ，f(2)) 处的切线方程；(2)设 x1， x2是 f(x)的两个极值点，x3是 f(x)的一个零点，且x3≠ x1， x3≠ x2.证明：存在实数x4，使得 x1，x2， x3，x4按某种次序摆列后组成等差数列，并求x4.分析： (1) 当 a＝ 1， b＝ 2 时， f(x)＝ (x－ 1)2(x－ 2)，因为 f′( x)＝ (x－ 1)(3x－ 5)，故 f ′ (2)＝ 1，又 f(2) ＝ 0，所以 f(x)在点 (2,0)处的切线方程为y＝ x－ 2.(2)证明：因为 f′ (x)＝ 3(x－ a) x－a＋ 2b，3因为 a<b，故 a<a＋ 2b3，所以 f(x)的两个极值点为x＝ a， x＝a＋ 2b3.不如设 x1＝ a， x2＝a＋ 2b3，因为 x3≠ x1， x3≠ x2，且 x3是 f(x)的零点，故 x3＝ b.a＋ 2b a＋ 2b又因为3－ a＝ 2 b－3，1a＋ 2b2a＋ bx4＝2a＋3＝3，2a＋b a＋ 2b此时 a，3，3， b 挨次成等差数列，x4知足题意，且x4＝2a＋ b所以存在实数3.。

第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝( )A.1ln 2 B ．－1ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2解析：y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＝0，∴x ＝－1ln 2.答案：B2．函数f (x )＝sin x ＋x2，x ∈(0，π)的极大值是( )A.32＋π6 B ．－32＋π3C.32＋π3D ．1＋π4解析：f ′(x )＝cos x ＋12，x ∈(0，π)，由f ′(x )＝0得cos x ＝－12，x ＝2π3.且x ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3时f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫2π3，π时f ′(x )<0， ∴x ＝2π3时，f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫2π3＝32＋π3. 答案：C3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10， ∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.故选C.答案：C4.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：依题意，记函数y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点的横坐标自左向右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，当a <x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x 2<x <x 4时，f ′(x )≥0；当x 4<x <b 时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )分别在x ＝x 1，x ＝x 4处取得极大值，选B. 答案：B5．已知f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)，则f (x )的极值情况是 ( ) A ．极大值为f (13)，极小值为f (1)B ．极大值为f (1)，极小值为f (13)C ．极大值为f (13)，没有极小值D ．极小值为f (1)，没有极大值解析：把(1,0)代入f (x )＝x 3－px 2－qx 得1－p －q ＝0.① ∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由题意知f ′(1)＝3－2p －q ＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2q ＝－1∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0得x 1＝1或x 2＝13.由f ′(x )的图象知当x ∈(－∞，13)和x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0当x ∈(13，1)时，f ′(x )＜0，故极大值为f (13)，极小值为f (1)．答案：A6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：依题意f ′(x )＝3ax 2＋2bx . 由图象可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝c . 答案：c7．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－6b .当b ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )无极值．当b >0时，令3x 2－6b ＝0得x ＝±2b .由函数f (x )在(0,1)内有极小值，可得0<2b <1， ∴0<b <12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 8．(2015·高考陕西卷)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．解析：y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入y ＝x e x 得极值点的坐标为(－1，－1e )，又极值点处的切线垂直y 轴，即其斜率为0，故所求切线方程为y ＝－1e .答案：y ＝－1e9．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．解析：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x <－2时，g ′(x )<0；当－2<x <1时，g ′(x )>0，故－2是g (x )的极值点． 当－2<x <1或x >1时，g ′(x )>0，故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．[B 组 能力提升]1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )解析：因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案：D2．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x解析：三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2b ＋c ＝0，f ′(3)＝27＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)·(x －3)．当x ＝1时，函数f (x )取得极大值4，当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件． 答案：B3．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3. 答案：34．设f (x )＝3e x3＋4x 2，则f (x )的极大值点和极小值点分别是________．解析：对f (x )求导得f ′(x )＝3e x (4x 2－8x ＋3)(3＋4x 2)2. ①若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x(－∞，12)12⎝⎛⎭⎫12，32 32 (32＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．答案：12，325．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ， 由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调递减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，解得a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合图象可知m 的取值范围是(－3,1)． 6．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值．(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解析：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)． 令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，又f (1)＝1， 所以f (x )的极小值为1，无极大值． (2)k (x )＝f (x )－h (x ) ＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x ，令k ′(x )＞0，得x ＞2，令k ′(x )＜0，得0＜x ＜2，所以k (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 要使函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点， 则需⎩⎪⎨⎪⎧k (1)≥0，k (2)＜0，k (3)≥0，所以2－2ln 2＜a ≤3－2ln3。

3.3.2一、选择题1．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析]如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C3．函数y＝2－x2－x3的极值情况是()A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D．既有极大值也有极小值[答案] D[解析]y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，当x >0或x <－23时，y ′<0， 当－23<x <0时y ′>0，∴当x ＝－23时取极小值，当x ＝0时取极大值．4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④[答案] B7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229 C.329D.38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝239.8．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427 C ．极大值为0，极小值为－427 D ．极大值为－427，极小值为0 [答案] A[解析] 由题意，得f (1)＝0，∴p ＋q ＝1① f ′(1)＝3－2p －q ＝0，∴2p ＋q ＝3③ 由①②得p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，f (1)＝0.10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) [答案] A[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意，知1、－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－1＝－2b3a ，b ＝0.二、填空题13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________． [答案] －6[解析] y ′＝1－3x 2，令y ′＝0，得x ＝±33，f (0)＝0，f (2)＝－6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－239，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝33－39＝239， ∴最小值为－6.14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________．[答案] 6[解析] f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，令f ′(2)＝0解得c ＝2或6. 当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)， 故f (x )在x ＝2处取得极小值，不合题意舍去； 当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12) ＝3(x －2)(x －6)，故f (x )在x ＝2处取得极大值． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[分析] 所给函数的非基本函数，故求单调区间和最值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性．及函数定义域的确定．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.。