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第二章 土壤水分运动基本方程2汇总

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2非饱和水流运动基本方程

2非饱和水流运动基本方程
Darcy’s Law of Soil Water Flow in Unsaturated Zone
非饱和土壤水分运动和饱和土壤水分运动一样，水分从水势高 处向水势低处运动。一般认为，适用于饱和水流动的达西定律 在很多情况下也同样适用于非饱和土壤水分流动。 1931年，Richards最早将达西定律引入非饱和土壤水流动。非 饱和土壤水分流动的达西定律:
Guelph土壤入渗仪
3.2 容水度(或比水容量)
单位基膜势(负压值)变化所引起土壤含水率的变化，一 般称为容水度或比水容量（C)，可以下式表示：
Ch d
dh
表示在单位压力水头降低时自单位体积土壤中所释放 出来的水的体积，它与饱和土壤的给水度相似。 用测水分特征曲线的方法来测定
3.3 土壤水分扩散度D
q K ( m ) 或 q K ( )
饱和土壤水分流动的达西定律:
qKsH
水势组成： 流动准则：
ψg :
饱和流
非饱和流
ψ =ψg +ψp
总水头
高
低
ψ =ψg +之高度
ψp:
至地下水面的高度
ψp= 0
ψm :
ψm = 0
ψm 取决于土壤的干湿程度
在不同的平均负压(吸力)值下，通量与负压梯度成正比，两者 呈直线关系，但其斜率(即水力传导度)随平均负压而变。
k (h)
h=-30cm h=-50cm
h
负压梯度△h/△x
3.1.2 饱和水力传 导度及其测定
双环入渗仪
The assumption is that the soil layer immediately below the ponded area is fully saturated and thus the matric potential is essentially zero. Common Steady Flow Analysis (Unit Gradient): Accounts only for the flow component due to gravity.

土壤水分运动通量法

土壤水分运动通量法

上式由 z* ~ z 积分得 ：q ( z*) q ( z ) * dz z t
z
q z t z
质量守恒定律
q( z*) 和 q( z ) 为高度为 z * 和 z 处的土 式中： 壤水分运动通量。
当时间由 t1 t2 ， Q( z*) 、Q( z )分别为由 t1 t2 时间段内通 设： 过 z * 和 z处单位土壤断面面积上的水量，无源 （汇）项时，则根据水量平衡原理可得：
0 0 z02
z02
z01
z01
即图中a’dd’e的面积。
z

z
b H
c θ
( z, t1 )
z01
a d
ZEP
z02 ( z, t ) 2
0
a’
d’
e
三、表面通量法 是以地表处的入渗通量、蒸发通量作为已知通 量的界面，求地下任一深度Z处通量的方法。
Q( z) Qs ( z, t2 )dz ( z, t1 )dz
如何确定某一断面处的通量？ 零通量面法
表面通量法 定位通量法
统称为土壤水分运动通量法
二、零通量面与零通量面法 1.零通量面： 土壤中任一点土壤水分的通量
q k ( m ) z
∵
k ( m ) 0
0 时， q 0 z
∴当
称 q 0 的水平面为零通量面ZFP，记为Z0。
z z
H
H
式中：H为地表距潜水面的垂直距离，潜水位埋深； 当 时， Q( z) z 0 为时段内潜水面处单位面积上流过（补给或潜 水蒸发）的水量。
四 、定位通量法 该方法是在地下某一位置 z1 z2 用实测方 法求得其中间点的通量，作为已知通量，据此， 可求得任一位置Z处的通量 Q。 ( z) 如： ①在Z1、Z2处用负压计测基质势m1 和 m2 ； ②求得该处 K K(m ) 的函数关系 ；

第二章 土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即()H h k q ∇= （2-2-1）式中：H ∇——为水势梯度；k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。

Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zhk zH k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。

若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。

但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。

在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。

因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD hk =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ x D q x ∂∂-=θθ)( y h k q y ∂∂-=)(θ yD q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。

土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出t y x z z v v t z x y y v v z zy y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y y v y ∆∂∂，z zvz ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。

第二章 土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即（2-2-1）()H h k q ∇=式中：——为水势梯度；H ∇ k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。

Richards 方程垂向一维方程为)1)(()(±∂∂-=∂∂-=zhk z H k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。

若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。

但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。

在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。

因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：根据（K=C ×D ）得：()()θθθD hk =∂∂x hk q x ∂∂-=)(θx D q x ∂∂-=θθ)( yhk q y ∂∂-=)(θyD q y ∂∂-=θθ)()1)((±∂∂-=zhk q z θ)]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。

土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为，由于该立方体很小，z y x ∆∆∆在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为，在t ～t+Δt 时段内，流入立方z y x v v v 、、体的质量为（3个面流入）：ty x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：tz y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出 （2-2-3）t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ式中：ρ––––水的密度；––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；z y x ∆∆∆,,，，––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变x x v x ∆∂∂y y v y ∆∂∂z zvz ∆∂∂化值。

第2章 土壤水的保持和运动3

第2章 土壤水的保持和运动3

∂v y + dy ) dxdzdt ∂y
∂vy vy + dy ∂y
dz
vx +
∂vx dx ∂x
ρ (v x +
dy
∂vx x dx ) dydzdt ∂x
dx
vz
y
流入和流出单元体的质量差
流入
m i = ρ v x dydzdt + ρ v y dxdzdt + ρ v z dydxdt
流出
以含水率θ为变量的基本方程
∂θ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂ ⎡ ∂h ⎤ ∂K (θ ) = K (θ ) ⎥ + K (θ ) ⎥ + ⎢ K (θ ) ⎥ + ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎢ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣ ⎣
dz
vx +
∂vx dx ∂x
x
dy
dx v z
y
达 西 定 律（Darcy’s Law）
∂ϕ v x = − K (θ ) ∂x
∂ϕ v y = − K (θ ) ∂y
∂ϕ v z = − K (θ ) ∂z
非饱和导水率（水力传导度） (Hydraulic Conductivity)
水力传导度是指单位水头差作用下，单位断面 积上流过的水流通量，它是土壤含水率或土壤 基质势的函数。由实验测定。
饱和土壤水流
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂z ∂y
拉普拉斯方程
Richards方程
∂v y ∂v z ∂v ∂θ = −( x + ) + ∂t ∂x ∂y ∂z
∂ϕ ∂x
根据达西定律 ∂θ 有： =

第4讲 土壤水份运动基本方程

第4讲 土壤水份运动基本方程

What is hydraulic conductivity?
K is a property of both media and fluid. Experiments show: K is the intrinsic permeability (L2), a property of media only. ρ is the mass density (M/L3) μ is the dynamic viscosity (M/LT) and measures the resistance of fluid to shearing that is necessary for flow.
导水率K
综合反映了多孔介质对流体流动的阻碍作用
多孔介质的基质特征：质地、结构… 流体物理性质：粘滞性、密度…
实验室测定 现场测定
双环入渗试验 Guelph渗透仪 抽水试验
Darcy定律的微分形式：
微分形式与差分 形式有区别吗？
dH q = −K s dL
Return to fluid potential equation, Neglect velocity (kinetic) term, and substitute for p
m
)
θ方程（扩散型方程）：
引入扩散率D：
D (θ ) = K (θ ) = K (θ C (θ )
)
dθ dψ m
∂ψ m dψ m ∂θ ∂θ = K (θ ) = D(θ ) K (θ ) ∂x dθ ∂x ∂x
∂θ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂K (θ ) = D(θ ) ⎥ + ⎢ D(θ ) ⎥ + ⎢ D(θ ) ⎥ ± ∂t ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣

第2章_土壤水动力学基本方程


2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.3非饱和导水率的数学表达
含水量为 s Δ ，最大半径为 R1的毛管排空。 2 2 Δ M 1Δ M 1 i 1,2,, M 1 对一般情况 K s iΔ K s Δ 2 w g j 2 w g j i 1 h2 2 h2 j j 2 M M M 又
K s iΔ K s i M2 K s i 1,M , M 1 2, 1 Ks Δ1 M 1 例题2.1 2 2 j 1 h 2 2 w g j 1 h j j j 1 h j
j i 1 h 2 j
Δ 1 1 1 g 2 j i 1 h2 2 i h j w j j
H h z h 1 J w K h K h K h z z z
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律
Buckingham-Darcy通量定律也可写成： 符号相反, 向下为正
非饱和流与饱和流的比较： 共同之处：都服从热力学第二定律，都是从水势高的地 方向水势低的地方运动。 不同之处： ①土壤水流的驱动力不同。 饱和流的驱动力是重力势和压力势；
非饱和流的是重力势和基质势。
②导水率差异 非饱和导水率远低于饱和导水率；当基质势从0降低到 -100kpa时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导 水率的十万分之一。 ③土壤空隙的影响土壤。在高吸力下，粘土的非饱和导 水率比砂土高。
16~40cm/d
〉100cm/d
中
很高
40~100cm/d
高
2.3非饱和土壤水运动的达西定律
绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处 在非饱和状态。非饱和流研究为土壤物理学最 活跃的研究领域之一。 2.3.1 非饱和流与饱和流的比较

节土壤水分运动基本微分方程

∵基质势 m 可用负压水头表示， ∴上式中的 m 可换为负压水头 h 。(h m ) 注意：以基质势为因变量的基本方程可用于统 一系统的饱和－非饱和流动、分层土壤水分运 动的求解。 m 随 k 或 变化太大，对计算结果敏感。 缺点：
2.以 为因变量的基本方程：
引入参数：非饱和土壤水的扩散率 D ( ) （ D ( ) 由实验测 量）
2-2 土壤水分运动 基本微分方程
一、方程的推导（质量守恒定律）：
z
B
A A’
B’
1 qx qx dx 2 x
D
C
z
C’
qx
1 qx dx 2 x
x
D’ y x
y
O
注意： qx 为土壤水分运动通量：单位时间、单位面积上通过 的水体积。
讨论在dt时间内，微分单元体中的水均衡问题 沿x方向流入的土壤水质量为：
此方程即非饱和土壤水运动的基本微分方 程（二阶非线性）
二、基本微分方程的各种形式
1.以基质势为因变量的基本方程：
d 引入比水容量：c d m
。
m d m c(m ) t dm t t
m m m c( m ) k ( m ) k ( m ) t x x y y m k ( m ) k ( m ) z z Z
q r k ( ) r
1 q k ( ) （水平面上的夹角） r sin
1 q k ( ) r （垂直方向的夹角）
r


以基质势为因变量的基本微分方程： m m 1 1 (r k ) (k ) 2 t r r r (r sin ) m 1 k sin k 2 (k ) cos r r r

第2章 土壤水的保持和运动3


饱和土壤水流
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂z ∂y
拉普拉斯方程
Richards方程
∂v y ∂v z ∂v ∂θ = −( x + ) + ∂t ∂x ∂y ∂z
∂ϕ ∂x
根据达西定律 ∂θ 有： =
∂t
v x = − K (θ )
∂ϕ ⎤ ∂ ⎡ ∂ϕ ⎤ ∂ ⎡ ∂ϕ ⎤ ∂ ⎡ K (θ ) ⎥ + ⎢ K (θ ) ⎥ + ⎢ K (θ ) ⎥ ∂x ⎢ ∂x ⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ⎣
∂v y + dy ) dxdzdt ∂y
∂vy vy + dy ∂y
dz
vx +
∂vx dx ∂x
ρ (v x +
dy
∂vx x dx ) dydzdt ∂x
dx
vz
y
流入和流出单元体的质量差
流入
m i = ρ v x dydzdt + ρ v y dxdzdt + ρ v z dydxdt
流出
ψm = 0
ks ，渗透系数 k s = const.
ks ≥ k (θ )
θ ↗⇒ k (θ ) ↗
k(θ ) 随θ 的减小而减小的原因： a、 when θ↘， 孔隙的实际进水断面面积↘， 因而单位时间内通过单位土壤 面积的水量q 也随之减小，由（2.1）式可知，k(θ ) 亦随之减小。 b、when θ↘，较大的孔隙排水，水分在较小的孔隙中流动，因而所受阻力 ↗，导致孔隙中水流的真实流速降低，因此， k(θ ) 亦随之减小。 c、when θ↘，水分将趋于在小孔隙中流动，流程愈弯曲，导致实际的水流梯 度愈小（<<1） 。因此， k(θ ) 亦随之减小。上述三个方面的影响同时存在。

农田水分状况与土壤水分运动


可使地下水位上升，可能使耕层毛管水增加， 也可能造成渍害
二、旱作物对农田水分状况的要求 （续）
¾ 地下水位不允许上升至根系吸水层内 ¾ 农田的地面水和地下水必须适时适量地转化为作物 根系吸水层的土壤水分，才能被作物吸收利用。 ¾ 因此地下水位必须维持在根系吸水层以下一定深度 处，此时地下水可通过毛细管作用上升至根系吸收 层，供作物利用。
膜状水的移动方式：
• 毛管水
9在毛管作用下土壤所能保持的水分，或 在重力作用下，不易排除的水分超出吸 着水的部分
¾上升毛管水（地下水位的影响） ¾悬着毛管水（灌水入渗）
水 沿 着 毛 管 上 升
毛管作用力范围： 0.1-1mm 有明显的毛管作用 0.05-0.1mm 毛管作用较强 0.05-0.005mm 毛管作用最强 〈0.001mm 毛管作用消失
• 通过土壤的水流大小与水头梯度和导 水率成比例，其运动方向与水头梯度 的方向一致
△H
∆H v=q=k L
L
L
q-单位时间内通过单位横截面-水头梯度 L
∆H v=q=k L
二、达西定律在非饱和土壤中的应用
• 假定达西定律同样适用于非饱和土壤水分运动，则在 水平和垂直方向的水流通量可分别写成：
（三）相对含水量（%）
土壤含水量 土壤相对含水量＝ 田间持水量
（三）土壤贮水量
1、水深（DW）
DW=θV·h 或 Dw,100 = ∑θ 1 • h
i =1
n
i
2、水方（ m3）
mm
V 方 / 公顷 = 10 D w
V方/亩＝2/3Dw
土壤水的有效性
• 无效水
– 小于最大分子持水率的水分，即汽态水与吸 着水为无效水 – 凋萎系数：当土壤含水率降至吸湿系数的 1.5-2.0倍时，作物吸水很困难，将会凋 萎。此时的含水率称为凋萎系数
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第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即()H h k q ∇= （2-2-1）式中：H ∇——为水势梯度；k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。

Richards 方程垂向一维方程为)1)(( )(±∂∂-=∂∂-=zhk zH k q z θθ注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。

若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。

但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。

在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。

因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：根据()()θθθD hk =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ xD q x ∂∂-=θθ)(y h k q y ∂∂-=)(θ y D q y ∂∂-=θθ)( )1)((±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk zD q z ±∂∂-=第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。

土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）：t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+=ρ出t y x z z v v t z x y y v v z z y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；x x v x ∆∂∂，y yv y ∆∂∂，z z v z ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。

由式(2一2－2）、式（2－2－3）之差可求得流入和流出立方体的质量差：出入m m m -=∆ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z v y v xv z y x ρt z y x ∆∆∆∆⨯ （2—2—4） 设θ为立方体内土壤含水率，则在Δt 时间内立方体内质量变化又可写为t z y x tm ∆∆∆∆∂∂=∆θρ（2—2—5） 根据质量平衡原理（流入量－流出量＝储存量变化量），式（3－2－4）、式（3—2—5）应相等，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂z v y v xv t z y x θ（2-2-6） 根据达西定律得：()x H k v x ∂∂-=θ，()yHk v y ∂∂-=θ，()z H k v z ∂∂-=θ （2-2-7） 式中k （θ）––––土壤水力传导度，为含水率的函数；H ––––总土水势，为基质势与重力势之和（H ＝h ＋z ）。

因此，式（2－2—6）可以写作以下形式：()()()zz H k y y H k x x H k t ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂θθθθ （2-2-8）上式可以简写为()[]H k t∇∇=∂∂θθ（2-2-9） 式（2－2－8）或式（2－2－9）为土壤水分运动基本方程。

在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。

水力传导度也为常量，常称渗透系数，则方程（2－2－8）可写为0222222=∂∂+∂∂+∂∂zHy H x H （2－2－10） 或写作02=∇H （2－2－10‘）2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ （2－2－11）式中：▽2––––拉普拉斯算子。

式（2－2－10）或式（2－2－10‘）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。

二、基本方程的不同形式为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。

为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。

（一）以含水率θ为变量的基本方程由式（2－2－8）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂z H k z t θθ （2－2－12） 式中：H ––––总土水势；z ––––为水流方向坐标，取z 向上为正。

因为H=h 十z ，所以上式可写作()()zk z h k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθ （2－2－13） 式(2－2－13）为以θ为变量的基本方程，将zh z h ∂∂∂∂=∂∂θθ代入式（2－2－13）得： ()()z k z h k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∂∂θθθθθ 令()()θθθD hk =∂∂，则式（2—2—13）可以写成（一维垂向土壤水分运动方程）： ()()zk z D z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ （2－2－14） 在水平运动的情况下，重力项等于0，所以()xD v x ∂∂-=θθ，其形式与Fick 扩散定律相同。

式（2－2－14）具有扩散方程的形式，故将D （θ）称为扩散度。

()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂x D x t θθθ （2－2－14‘） Fick 定律：自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick 定律：xc DJ ∂∂-= 式中：J 为溶质的扩散通量； D 为溶质的扩散系数；xc∂∂为溶质的浓度梯度。

（二）以基质势h 为变量的基本方程 由于()th h c t h h t ∂∂=∂∂∂∂=∂∂θθ ，则式（2－2－14）可以写成： ()()()zh k z h h k z t h h c ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂ （2－2－15） 式中：c （h ）––––比水容量（也称容水度），c （h ）=h∂∂θ，表示单位基质势变化时含水率变化。

（三）以参数v 为因变量的基本方程采用Kirchhoff 变换，令()()()⎰⎰⎰-∞==ccch hh hh d k Vd k d k v ττττττ1则()h k Vh v 1=∂∂ ()⎰∞=ch d k V ττ由式（2-2-15）得：()()zh k z z h h k t h h ∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂∂∂θ()()zv v h h h k z z v v h h k t v v h h ∂∂∂∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂θ()()()()()zv h k V h h k z z v h k V h k t v h k V h ∂∂∂∂-∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂∂∂θ()()zvv X z v t v v Y ∂∂+∂∂=∂∂22 （2－2－16） 式中h c ––––土壤的进气值，即土壤含水率开始小于饱和含水率时的负压值。

另外，()()()()()h k h c h D h h k v Y ==∂∂=11θ；()()()hh k h k v X ∂∂=1在非饱和区：()01<=⎰hh cd k Vv ττ在饱和区：()01>=⎰hh cd k Vv ττ且因为 ()0=∂∂=h h c θ，()0=∂∂hh k 所以 ()0=v Y ；()0=v X则方程式（2－2－16）为：022=∂∂zv（四）以位置坐标z 为变量的土壤水运动方程以z 为变量，则z 为θ、t 的函数，z （θ，t ）为未知函数。

已知θ=θ（z ，t ），当0≠∂∂zθ处，可以解出z= z （θ，t ），即[14]()()0,,≡-t t z z z θ对z ，t 分别求导数：01=∂∂∂∂-z z θθ，0=∂∂-∂∂∂∂-tzt z θθ于是 θθ∂∂=∂∂z z 1及θθ∂∂∂∂-=∂∂z t zt 将以上式子代入方程（2－2－14）得：()()zk z D z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ ()z k z z D z t z∂∂∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∂-θθθθθθθ()zk z z D z t z ∂∂∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∂-θθθθθθθ ()θθθθθ∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂-kz z D t z （2－2－17）（五）以参数u 为因变量的土壤水运动方程 定义()()()⎰⎰⎰==θθθθθθθθθθθθisiid D Ud D d D u 1式中：i θ––––初始含水率；()⎰=θθθθid D U ；s θ—饱和含水率。

由式（2-2-14）得：()()zk z k z t ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθ()t uu k z u u D z t u u ∂∂∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂θθθθθ 将()θθD Uu 1=∂∂代入上式得：()()()()z uD U k z u D U D z t u D U ∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂θθθθθ 所以 ()z uk zu D t u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂θθ22 （2-2-18） 以上各式中式（2－2－14）、式（2－2－15）是二种经常采用的形式，形式的选定取决于要解决问题的边界条件和初始条件。

以含水率θ为因变量的基本方程常用于求解均质土层或全剖面为非饱和流动问题，这种方程形式对于层状土壤或求解饱和—非饱和流问题不适用；以负压水头h 为因变量的基本方程是应用较多的一种形式，可适用于饱和—非饱和水流求解及层状土壤的水分运动分析计算，但由于非饱和土壤水的导水率k （h ）及容水度c(h)，受滞后影响较大，计算中参数选取不当会造成较大误差；以v ，u 为因变量基本方程实际上分别相当于以负压水头h 和含水率θ为因变量的基本方程，在某些情况下由于经代换后方程较为简单，易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需要求解较简单的土壤水分运动问题。