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七年级数学下册 5.3《简单的轴对称图形》典型例题素材2 (新版)北师大版

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《简单的轴对称图形》典型例题

例1 如图，ABC中，ACAB，D是AC上一点，且BCDBAD，求A的度数.

例2 如图，在ABC中，ABC,90的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若2,30DEA，求DBC的度数和CD的长．

例3 如图，已知：D，E是ABC的BC边上的两点，并且ECDEBDAEAD.

求BAC的度数.

例4 已知：如图，D、E分别为等边ABC的边BC、AC上的点，且CEBD，BE、AD相交于点F. 求证：60AFE.

例5 如下图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m．

（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；

（2）最短路程是多少？

参考答案

例1 分析：题中只给出了一些相等的线段，要求A的度数，首先要把三角形中的边相等转化为角相等：)1(211AABDC21ABC21，可见，在ABC中，CABCA2121. 由内角和定理可求出A，

解： 因为ACABBCDBDBAD,,，

所以CBDCA,1，CABC.

所以AABDCCABC21＝.

设xA，则xABC2，xC2.

在ABC中，18022xxx

解得36x. 所以36A.

说明：在计算角的度数的题目中，若给出较多的等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质，找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系，再利用三角形内角和定理，将“形”的总是转化为“方程”问题来解决.

例2 分析：由30A，90C可知60ABC，又知D是AB垂直平分线上的点，所以有DBEABDAD,，从而求出DBC，由DBEDBC，所以有2DECD．

解：因D是线段AB垂直平分线上的点．

所以BDAD，所以30ADBE，所以30DBEDBC

又因为BCDCABDE,，所以2DECD．

故2,30CDDBC．

说明：在这个题中应用了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角分线的性质．

例3 分析：由AEDEAD可知三角形ADE是等边三角形，而ABD和AEC是等腰三角形，可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数.

解：∵AEDEAD，（已知）

∴ ADE是等边三角形. ∴ 60ADE

又∵ BDAD，∴ BADB.

而 BADBADE，∴ 3021ADEB.

同理可得30C，∴1203030180BAC

说明：在一个图形中，有时出现不止一个等腰三角形，可以由每个等腰三角形中的两个底角相等，找出相应的一些角的关系，利用三角形内角和定理，进一步求出有关角的度数.

例4 分析：要证60AFE，而等边ABC的每个内角都等于60，所以只要证明它与ABC的一个内角相等，又由BADFBAAFE，而60EBCFBA，所以只要证明CBEBAD.

解： 因为ABC为等边三角形（已知），所以60BCAABC，BCAB.

在ABD和BCE中，)()()(已知已证已证CEBDBCEABDBCAB

所以)(SASBCEABD，所以CBEBAD.

因为ABEBADAFE（外角定理）

所以60ABCABECBEAFE.

说明：本题亦可证明BAEACD.

等边三角形的每个内角都等于60，每条边都相等，是题目中的隐含条件，解题时要注意.

例5 解：（1）已知：直线CD和CD同侧两点A、B．

求作：CD上一点M，使AM＋BM最小．

作法：①作点A关于CD的对称点A'，

②连结A'B交CD于点M，

则点M即为所求的点．

证明：在CD上任取一点M'，连结AM'、'A'M、BM'、AM，

∵ 直线CD是A、A'的对称轴，M、M'在CD上，

∴ AM＝AM'，AM'＝A'M'，∴ AM＋BM＝A'M＋BM＝A'B，

在△A′M′B中，∵ 'A'M＋BM'>A'B，

∴ A'M'＋BM'>AM＋BM，（三角形两边之和大于第三边）

即AM＋BM最小．

（2）由（1）可得：AM＝A'M，A'C＝AC＝BD，

∴ △A'CM≌△BDM，∴ A'M＝BM，CM＝DM，

即M为CD的中点，且A'B＝2AM，（三角形全等的理由是什么？）

∵ AM＝500m，∴ A'B＝AM＋BM＝2AM＝1000m．

答：最短路程为1000m．

说明：误区①，作AC⊥CD，连结BC，C点即为所求，即AC＋CB为最短；误区②，在CD上找一点M，使AM⊥BM，则AM＋BM为最短；误区③，作BD⊥CD，连结AD，则AD＋BD为最短．以上所有作法都是错误的．本题主要考查的是几何问题的实际应用，关键是充分利用轴对称图形的性质，轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一．

在解决几何知识的实际应用问题时，应该仔细分析题设条件，正确理解实际问题的理论依据，巧妙地建立相应的数学模型．

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北师大版七年级数学下册5.3简单的轴对称图形2

北师大版七年级数学下册5.3简单的轴对称图形2

七年级数学导学案第

45

课时 主备人：曹晓磊 审核人： 施晓海 审批人： 王文锦

学习不怕根基浅，只要迈步总不迟。 课题：5.3.2 简单的轴对称图形（二）

学习目标： 1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念2、探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质。

一、自主预习：

（一）预习准备（1）预习书123~126页

思考：角平分线有什么特征？线段垂直平分线有什么特征？

（2）预习作业：

1、角是轴对称图形，它的对称轴是____ ___，角的平分线上的点到这个角的两边的距离___ ____。

2、线段是轴对称图形，它的一条对称轴是____ ___，另一条对称轴是线段所在的直线。

3、线段垂直平分线上的点到这条线段____ ___。

二、合作探究：

例1．如图，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E和D，BE=6，求△BCE的周长．

三、当堂检测：

（1）如图，AB是△ABC的一条边，，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB＝8cm，BD＝6cm，那么EA＝________，DA＝____.

（2）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC＝10cm，那么△BCD的周长是_______cm.

四、总结反思：

1.角是 图形。

2.角平分线上的点到这个角的两边的 相等。

3.线段是轴对称图形。

4.垂直并且 线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。

5.线段垂直平分线上的点到这条线段的 距离相等。

五、课后练习：

1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．

A．角 B．等边三角形 C．线段 D．平行四边形

七年级数学下册 5.3.2《简单的轴对称图形(二)》尺规作图数学史素材 (新版)北师大版

七年级数学下册 5.3.2《简单的轴对称图形(二)》尺规作图数学史素材 (新版)北师大版

初中尺规作图数学史

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.

初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：

⑴ 经过两已知点可以画一条直线；

⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；

⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；

以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.

历史上，最著名的尺规作图不能问题是：

⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；

⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.

这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent

Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.

北师大版数学七年级下册5.3《简单的轴对称图形》精选练习(含答案)

北师大版数学七年级下册5.3《简单的轴对称图形》精选练习(含答案)

北师大版数学七年级下册5.3《简单的轴对称图形》精选练习

一、选择题

1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）

A.过顶点的直线

B.底边上的高

C.顶角平分线所在的直线

D.腰上的高所在的直线

2.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

3.有两条或两条以上对称轴的轴对称图形是（ ）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.锐角三角形

4.等腰三角形的周长为80cm，若以它的底边为边的等边三角形周长为30cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）

A.35cm B.25cm C.30cm D.40cm

5.等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）

A.25° B.40° C.25°或40° D.50°

6.△ABC中，AB =AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）

A.30° B.45° C.36° D.72°

7.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A.有两个内角相等的三角形

B.有一个内角为45度的直角三角形

C.有两个内角分别为50度和80度的三角形

D.有两个内角分别为55度和65度的三角形

8.等腰三角形、直角三角形、等边三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形中，一定是轴对称图形的有（ ）

A.3个 B.4个 C.5个 D.2个

9.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

10.下列4个图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A.有2个内角相等的三角形

【数学】新北师大版七年级数学下册课课练53简单的轴对称图形习题

【数学】新北师大版七年级数学下册课课练53简单的轴对称图形习题

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新北师大版七年级数学下册课课练《5.3 简单的轴对称图形》习题

部分预览 《5.3 简单的轴对称图形》习题

1、价平分线是角的一条对称轴，它的性质是 .

2、线段笔直平分线上的点到线段两个端点的距离 .

3、在△ABC中，AB=AC，△A=80°，则△B= .

4、在△ABC中，AB=AC，若△B=45°，则此三角形是 .

5、等边三角形有 条对称轴，矩形有 条对称轴.

6、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AD平分△BAC交BC于D.

（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .

7、 若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 .

7、已知M，N是线段AB的笔直平分线上任意两点，则△MAN和△MBN之间关系是 .

8、下列说法错误的是（ ）

A.等边三角形有3条对称轴

B.正方形有4条对称轴

C.角的对称轴有2条

D.圆有无数条对称轴

9、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A.有一个内角为45°的直角三角形

B.有两个内角相等的三角形

C.非等腰三角形

D.直角三角形

10、如图，在△ABC中，△A=36°，BD平分△ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（ ）个

A.4 B.3 C.2 D.1

第10题图 第11题图

11、如图，△ABC中，BC=10，BD=8，DE BC于E，且E为BC 的中点，则△BCD的周长为 （ ）

A.20 B.18 C.26 D.28

12、已知在Rt△ABC中， △C=90°C，AD平分△BAC交BC 于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（ ）

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