高中数学 2.1.1 推理与证明课时练 新人教a版选修2-2
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【金版新学案】2014-2015学年高中数学 2.1.1 推理与证明课时练
新人教A版选修2-2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析： 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
答案： C
2．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．11 111 110 B．11 111 111
C．11 111 112 D．11 111 113
解析： 根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，
∴1 234 567×9＋8＝11 111 111.
答案： B
3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3„b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3„a9＝29 B．a1＋a2＋„＋a9＝29
C．a1a2„a9＝2×9 D．a1＋a2＋„＋a9＝2×9
解析： 由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝„＝2a5.易知D成立．
答案： D
4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )
A．定值 B．变数
C．有时为定值、有时为变数
D．与正四面体无关的常数
解析： 设正四面体S－ABC的棱长为a，正四面体内任意一点O到各面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由体积关系得VS－ABC＝13·34a2·(h1＋h2＋h3＋h4)＝13·34a2·63a
∴h1＋h2＋h3＋h4＝63a(此为正四面体的高)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积S＝12ab.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，类比上述结论可得此三棱锥的体积VP－ABC等于__________ .
解析： V＝13Sc＝16abc.
答案： 16abc
6．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
„
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan x是三角函数，所以y＝tan x是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析： 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案： (1)(3)(4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；„，由此猜想凸n边形有几条对角线？
解析： 因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；„，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋„＋(n－2)，由等差数列求和公式可得12n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
所以凸n边形的对角线条数为12n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
8．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．
解析： 从大、小正方形的数量关系上容易发现：
1＝12，
1＋3＝2×2＝22，
1＋3＋5＝3×3＝32，
1＋3＋5＋7＝4×4＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，
1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：
1＋3＋5＋7＋„＋(2n－1)＝n2.
尖子生题库 ☆☆☆
(10分)已知在Rt △ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到
怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解析： 猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.猜想正确．
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt △ABF中，AE⊥BF，
∴1AE2＝1AB2＋1AF2.
在Rt △ACD中，AF⊥CD，
∴1AF2＝1AC2＋1AD2.
∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．
