高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1第1课时综合法课件新人教A版选修1_2

1 高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明（第1课时）预习导航 新人教A版选修1-2

课程目标 学习脉络

1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法——综合法和分析法．

2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程．

3．会用综合法和分析法证明具体的问题，并通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性.

综合法和分析法

综合法 分析法

定

义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫做分析法

推理

过程 P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论 →…→得到一个明显成立的条件

特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法

思考1 综合法和分析法的区别是什么？

提示：综合法是从已知条件出发逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．

思考2 综合法和分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

提示：综合法和分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密地逻辑推理，得到的结论是正确的．

高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明教案苏教版选修2_2word格式 1 / 6

直接证明

学习目标 要点难点 1．能知道直接证明的两种基本方 法——综合法和剖析法． 要点：综合法和剖析法的思想方法

2．会剖析综合法和剖析法的思虑 和步骤． 过程、特色，会用综合法和剖析法 难点：综合应用两种方法解题 .

证明数学识题 .

1．直接证明 (1) 直接从原命题的条件逐渐推得命题建立，这类证明往常称为 ________．

此题条件

已知定义

(2) 直接证明的一般形式为： ? ? ________. 已知公义

已知定理

2．综合法

(1) 从已知条件出发，以已知的定义、公义、定理为依照，逐渐下推，直到推出要证 明的结论为止．这类证明方法常称为________． (2) 综合法的推证过程是： ________? ? ? ______. 预习交流 1

n

做一做：已知数列 { an} 的通项公式为 an＝ 2 ，求证：数列 { an} 为等比数列．

(1) 从问题的结论出发，追忆致使结论建立的条件，逐渐上溯，直到使结论建立的条

件和已知条件或已知事实符合为止．这类证明方法常称为 ________． (2) 剖析法的推证过程是： ______ ________. 预习交流 2

做一做：求证： 6＋ 7≥2 2＋ 5.

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点

答案： 预习导引

1． (1) 直接证明 (2) 此题结论 高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明教案苏教版选修2_2word格式 2 / 6

2． (1) 综合法 (2) 已知条件 结论

n an＋ 1 2n＋ 1 2·2n 预习交流 1：提示：∵ a ＝ 2 ，∴ an ＝ 2n ＝ 2n ＝ 2( 常数 ) ．∴由等比数列的

第- 1 -页 共7页 2. 2 .1 直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证2222()()4abcbcaabc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为222,0bcbca,

所以22()2abcabc,

因为222,0caacb,

所以22()2bcaabc.

因此, 2222()()4abcbcaabc.

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1. 综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法

用综合法证明不等式的逻辑关系是：

11223().....nPQQQQQQQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

1 2.2.2 间接证明

知识梳理

1.不是直接从命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法称为______________（indirect proof).______________就是一种常用的间接证明方法.

2.反证法：一般地，假设原命题不成立.经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做______________（reducation to

absurdity).

3.反证法的证明过程为“否定——______________——______________”.

4.反证法的一般步骤：

（1）反设——________________________________________________________.

（2）归谬——________________________________________________________.

（3）存真——________________________________________________________.

知识导学

通过本节课的学习，认识反证法在证明问题中的重要作用，学会用反证法，证明有关命题，并且要注意根据题目的类型，合理选择运用证明问题的方法，学会寻找问题中的矛盾，正确推理.

疑难突破

1.对反证法的理解：

从假设结论不成立入手，推出与“已知条件、假设、公理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法.

反证法证题的特征：是通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证.

反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.

反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确.即证明命题的逆否命题成立否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法，要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.