无穷小的比较

无穷小的比较概述

分布图示

★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3

★ 常用等价无穷小 ★ 例4

★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5 ★ 例6

★ 例7 ★ 例8 ★ 例9

★ 例10 ★ 例11 ★ 例12

★ 等价无穷小的充要条件 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题 1-9

内容要点

一、无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.

二、常用等价无穷小关系：

)0(~1)1()0(ln~1~1~)1ln(21~cos1~arctan~arcsin~tan~sin2是常数xxaaxaxexxxxxxxxxxxxxx

三、 关于等价无穷小的两个重要结论：

定理1 设，是同一过程中的无穷小,,,且~,~，lim存在, 则

.limlim

定理2 与是等价无穷小的充分必要条件是).(o

例题选讲

无穷小比较概念的应用

例1 (E01) 证明: 当0x时, xx3tan4为x的四阶无穷小.

解 430tan4limxxxx30tanlim4xxx.4故当0x时，xx3tan4为x的四阶无穷小.

例2 (E02) 当0x时, 求xxsintan关于x的阶数.

解 30sintanlimxxxx20cos1tanlimxxxxx.21

当0x时，xxsintan为x的三阶无穷小.

例3 当1x时，将下列各量与无穷小量1x进行比较.

（1）;233xx （2）;lgx （3）.11sin)1(xx

解 (1) 因为,0)23(lim31xxx所以1x时，233xx是无穷小量，又因为

无穷小的比较及阶数的确定

无穷小是数学中一个重要的概念，它在微积分中有着广泛的应用。本文将讨论无穷小的比较以及如何确定它们的阶数。

我们来了解一下什么是无穷小。无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。通常用符号$o(x)$表示，其中$x$表示自变量。无穷小可以是正无穷小、负无穷小或是介于两者之间的无穷小。

在比较无穷小的大小时，我们需要根据其阶数来进行判断。无穷小的阶数可以通过计算极限来确定。设$f(x)$和$g(x)$是两个无穷小函数，且$\lim_{x \to a}f(x) = 0$，$\lim_{x \to a}g(x) = 0$，其中$a$可以是实数或无穷大。如果存在正整数$n$，使得$\lim_{x

\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$，那么我们说$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小，记作$f(x) = o(g(x))$。如果$\lim_{x \to

a}\frac{f(x)}{g(x)}$存在且不为零，那么我们说$f(x)$和$g(x)$是同阶无穷小，记作$f(x) = O(g(x))$。如果$\lim_{x \to

a}\frac{f(x)}{g(x)}$不存在，那么我们说$f(x)$和$g(x)$是不可比较的无穷小。

接下来，我们来看一些常见的无穷小及其比较。首先是多项式函数和幂函数。对于任意正整数$n$，多项式函数$x^n$是比$x^{n-1}$高阶的无穷小，即$x^n = o(x^{n-1})$。同样地，幂函数$x^a$和$x^b$比较时，如果$a > b$，则$x^a$是$x^b$的高阶无穷小。

指数函数和对数函数。指数函数$e^x$是比$x^n$（$n$为任意正整数）高阶的无穷小，即$e^x = o(x^n)$。对数函数$\ln x$和多项式函数$x^n$比较时，对于任意正整数$n$，$\ln x$是$x^n$的低阶无穷小，即$\ln x = O(x^n)$。

无穷小的比较是两个数都是无穷小，可以比较相对大小。无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数，序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。 确切地说，当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时，函数值fx与0无限接近，即fx，0或fx等于0，则称fx为当x，x0或x，∞时的无穷小量，特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。 无穷小的性质

无穷小量不是一个数，它是一个变量，零可以作为无穷小量的唯一一个常量，无穷小量与自变量的趋势相关，若函数在某的空心邻域内有界，则称g为当时的有界量。

有限个无穷小量之和仍是无穷小量，有限个无穷小量之积仍是无穷小量，有界函数与无穷小量之积为无穷小量，特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

工具/原料

笔（各种笔均可） 纸（各种纸均可）

方法/步骤 1 引例 无穷小的多样性，如何比较？ 2 回顾无穷小的定义

明确多阶无穷小和等价无穷小的定义 3 学习无穷小的定理1 基于等价无穷小 4 学习无穷小的定理2

基于等价无穷小 5 由等价无穷小，简化的极限运算规则。 和差取大规则，和差替代规则 6

由等价无穷小，简化的极限运算规则。 因式替代规则 7 学习例题，反复联系。 8 仔细认真，举一反三！

无穷小的比较公式

无穷小比较是微积分中的一个重要概念，用来比较无穷小的大小。在学习微积分时，我们经常会遇到一些涉及到无穷小的极限问题，而比较无穷小的大小关系就成为解决这些问题的关键。

首先，我们来回顾下无穷小的定义。如果一个数列{a_n}对于任意正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有，a_n，

对于无穷小的比较，我们有以下几个基本的比较原则：

1.同类无穷小的比较：

如果{a_n}和{b_n}是两个无穷小数列，并且对于任意正实数ε，存在正整数N，当n>N时，有，a_n，<，b_n，

2.常数和无穷小的比较：

对于任意确定的有限实数 a ≠ 0，若 {b_n} 是一个无穷小数列，那么 ab_n (n > N) 是一个相对于 {b_n} 的同类无穷小，其无穷小阶相同。

3.多项式和无穷小的比较：

对于一个n次多项式P(x)和一个无穷小数列{a_n}，如果存在正整数N和正实数M，使得当n>N时，有，a_n，

使用这些比较原则，我们可以解决一些与无穷小相关的极限问题。下面举几个例子来说明。 例子1：

求极限 lim(n -> ∞) (e^n / n^2)

解：首先，我们可以将极限中的分子e^n和分母n^2分别表示为无穷小的形式。因为e^n是指数函数，其增长速度远大于任何多项式函数，所以e^n是比n^2更高阶无穷小。所以我们可以得到以下关系：

n^2是比1更高阶无穷小，而e^n是比n^2更高阶无穷小。

根据比较原则3，当n->∞时，e^n/n^2是一个相对于n^2的同类无穷小，其无穷小阶比n^2的无穷小阶低。

因为n^2是一个正实数，所以当n->∞时，e^n/n^2的极限为零。

这个例子展示了如何通过比较无穷小的阶来求解极限。

例子2：

求极限 lim(x -> 0) (sinx / x)

解：对于这个问题，我们可以通过无穷小的比较原则2来解决。当 x

-> 0 时，显然 x 是一个无穷小。而 sinx 的极限也是零，因此 sinx/x