无穷小与无穷大-无穷小的比较

推导极限的无穷大与无穷小的比较定理与洛必达法则

在数学分析中，推导极限是一项重要的技巧，用于研究函数在某一特定点的行为。无穷大与无穷小是在这个过程中经常遇到的概念。本文将介绍与推导极限相关的无穷大与无穷小的比较定理和洛必达法则。

无穷大与无穷小的比较定理是指在计算极限时，当某一函数的极限趋向于无穷大或无穷小时，可以将其与一个已知的无穷大或无穷小进行比较，从而求得原函数的极限。

首先，我们来看无穷大的比较定理。设函数f(x)和g(x)在某一点a的某个去心领域内有定义，且当x趋近于a时，f(x)和g(x)的极限都为无穷大。如果存在正常数M和N，使得当x趋近于a时，对于所有满足条件|x-a|M且|g(x)|>N，那么可以推导出lim(x→a)(f(x)/g(x))=∞。

相应地，我们来看无穷小的比较定理。设函数f(x)和g(x)在某一点a的某个去心领域内有定义，且当x趋近于a时，f(x)和g(x)的极限都为0。如果存在正常数M和N，使得当x趋近于a时，对于所有满足条件|x-a|N，那么可以推导出lim(x→a)(f(x)/g(x))=0。

接下来，我们来介绍洛必达法则。洛必达法则是一种用于计算某些不定型极限的方法，它可以通过对函数的导数进行求解来简化极限的计算过程。 具体地说，洛必达法则适用于以下两种情况：

1. 当计算的极限结果形如0/0时，即分子和分母都趋于0；

2. 当计算的极限结果形如∞/∞时，即分子和分母都趋于无穷大。

洛必达法则的核心思想是利用函数的导数来表示原函数极限的变化趋势。具体操作步骤如下：

1. 计算函数f(x)和g(x)在某一点a的导数f'(x)和g'(x)；

2. 如果lim(x→a)(f'(x)/g'(x))存在且有限，则可以得出lim(x→a)(f(x)/g(x))的极限结果与lim(x→a)(f'(x)/g'(x))相同；

3. 如果lim(x→a)(f'(x)/g'(x))不存在或为无穷大，则无法通过洛必达法则求得lim(x→a)(f(x)/g(x))的极限。

无穷小与无穷大

无穷小和无穷大是数学中重要的概念，它们在极限运算和微积分中有着重要的作用。本文将介绍无穷小和无穷大的定义、性质以及它们在数学和物理中的应用。

一、无穷小的定义与性质

无穷小是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于零的特殊情况。具体说，对于函数f(x)，如果当x无限接近某一点a时，f(x)也无限接近于零，那么f(x)就是在点a处的无穷小。常表示为lim x→a f(x) = 0。

1.1 阶与比较

无穷小可以根据其趋近于零的速度分为不同的阶。例如，当x无限接近零时，x^2相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^2是x的高阶无穷小。同样，x^n（n>1）相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^n是x的高阶无穷小。

1.2 运算性质

无穷小具有一些运算性质。例如，两个无穷小的和仍然是无穷小，若f(x)为无穷小，g(x)为有界函数，则f(x)g(x)为无穷小。此外，无穷小与有界函数的乘积也为无穷小。

1.3 等价无穷小

在无穷小的研究中，等价无穷小也是一个重要的概念。如果两个无穷小f(x)和g(x)满足lim x→a (f(x)/g(x)) = 1，那么称f(x)和g(x)是在点a处等价的无穷小。等价无穷小具有相似的性质，在一些极限运算中可以互相替换。

二、无穷大的定义与性质

无穷大是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于正无穷或负无穷的情况。具体说，对于函数f(x)，如果当x趋近于某一点a时，f(x)的值无限增大或无限减小，那么f(x)就是在点a处的无穷大。

2.1 正无穷和负无穷

无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。当x趋近于某一点a时，若f(x)的值无限增大，则称f(x)为正无穷大。若f(x)的值无限减小，则称f(x)为负无穷大。

2.2 无穷大的性质

无穷大具有一些基本性质。例如，正无穷大与负无穷大的和仍然是无穷大。另外，无穷大与常数的乘积仍然是无穷大。然而，无穷大的乘积与除法需要谨慎处理。

无穷小的比较概述

分布图示

★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3

★ 常用等价无穷小 ★ 例4

★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5 ★ 例6

★ 例7 ★ 例8 ★ 例9

★ 例10 ★ 例11 ★ 例12

★ 等价无穷小的充要条件 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题 1-9

内容要点

一、无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.

二、常用等价无穷小关系：

)0(~1)1()0(ln~1~1~)1ln(21~cos1~arctan~arcsin~tan~sin2是常数xxaaxaxexxxxxxxxxxxxxx

三、 关于等价无穷小的两个重要结论：

定理1 设，是同一过程中的无穷小,,,且~,~，lim存在, 则

.limlim

定理2 与是等价无穷小的充分必要条件是).(o

例题选讲

无穷小比较概念的应用

例1 (E01) 证明: 当0x时, xx3tan4为x的四阶无穷小.

解 430tan4limxxxx30tanlim4xxx.4故当0x时，xx3tan4为x的四阶无穷小.

例2 (E02) 当0x时, 求xxsintan关于x的阶数.

解 30sintanlimxxxx20cos1tanlimxxxxx.21

当0x时，xxsintan为x的三阶无穷小.

例3 当1x时，将下列各量与无穷小量1x进行比较.

（1）;233xx （2）;lgx （3）.11sin)1(xx

解 (1) 因为,0)23(lim31xxx所以1x时，233xx是无穷小量，又因为

第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限

一、计划学时：2节

二、内容

三、要求

四、重点

五、难点

六、教学过程：

（一） 无穷小与无穷大

一、无穷小量

定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。

无穷小量只是极限的一个特殊情况（A=0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x→x0为例给出无穷小的精确定义：

定义2 设函数f(x)当x充分大时有定义。若  M>0， X >0， |x|> X  f (x) >M，则称函数f (x)当x→∞时为无穷大量，记为)()(xxf或)(limxfx.

注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。且若函数是无穷大，则函数必无极限。但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。

如：x→0时，x1是无穷大；x→ -1时，2)1(1x也是无穷大；x→∞时，1-ln x是无穷大。显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x→∞， 的值非负且越来越大，而1-ln x则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。将定义2中的“|x|> X”相应地改为“x< X ”和“x>-X ”即可得到x→∞时正无穷大和负无穷大的定义。共有21种无穷大的定义。

例2 证明11lim1xx.

证  M >0，要使f (x) =│11x│>M，只要

| x -1|< M1，取  =M1，则当|1|0x时，

 │11x│>M， ∴ 11lim1xx.

注 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。

 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。 图10—13 2)1(1xy

y=1

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