北师大版初中数学九年级上册知识点整理重点了解之前或之后内容补充仅供参考第一章特殊平行四边形1．菱形的性质与判定菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对角线所在直线为其对称轴；定理菱形的四条边相等；定理菱形的对角线互相垂直平分；判定定理：定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形；定理四边相等的四边形是菱形。
2．矩形的性质与判定矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对边中点连线所在直线为其对称轴；定理矩形的四个角都是直角；定理矩形的对角线相等；定理（推论）直角三角形斜边上的中线等于斜边一半；判定定理：定理对角线相等的平行四边形是矩形；定理有三个角是直角的四边形是矩形。
3．正方形的的性质与判定正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴，对角线和对边中点连线所在直线分别为其对称轴；定理正方形的四个角都是直角，四条边相等；定理正方形的对角线相等且互相垂直平分；判定定理：定理有一组邻边相等的矩形是正方形；定理对角线互相垂直的矩形是正方形；定理有一个角是直角的菱形是正方形；定理对角线相等的菱形是正方形；平行边形、菱形、矩形和正方形四者之间的关系：附：梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形；梯形分类：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形；一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形；等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
等腰梯形的判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
第二章一元二次方程1．认识一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数x，并且都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式的整式方程，叫做一元二次方程；把ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数；列表不断缩小范围求解一元二次方程的近似解；二分法确定一元二次方程的近似解。
2．用配方法求解一元二次方程配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法；即将ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）变为（x+m）2=0的形式；配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成（x+m）2=0的形式；⑥两边开方求其根。
3．用公式法求解一元二次方程求根公式：公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法；对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的情况判定：当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；根的判别式：b2-4ac，通常用希腊字母“△”来表示，读作delta；4．用因式分解法求解一元二次方程如果a·b=0，那么a=0或b=0；因式分解法：把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法；（原来的一元二次方程转化成了两个一元一次方程；）主要步骤：提公因式/十字相乘；5．*一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式；如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1、x2，那么附：已知方程的一根，求另一根；不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；②1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)；③(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2；④(|x1|+|x2|)2=(x1+x2)2-2x1x2+2|x1x2|；⑤x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)；⑥其他能用x1+x2或x1x2表达的代数式；已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0；已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的根。
6．应用一元二次方程处理实际问题的过程可以进一步概括为：问题（分析抽象）→方程（求解检验）→解答应用二元一次方程（组）求解应用题的步骤（五步）：设未知数（设）、列方程（列）、解方程（解）、验证（验）、解答（答）；设未知数：求什么设什么；在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑；列方程：找出问题中的等量关系，列出方程；解方程：利用等式的基本性质，求出所列方程的解；验证：验证方程的解是否符合要求、符合实际；解答：将求出的最终结果带入问题，解答问题。
第三章概率的进一步认识1．用树状图或表格求概率利用树状图或表格，可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率；注意：只有等概率事件，才可以利用树状图或表格求出事件发生的概率。
2．用频率估计概率通过大量重复试验，用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率；注意：估算出来的数据不是确切的，应用加上“约是”。
第四章图形的相似1．成比例线段两条线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n，或写成；其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项；如果把m/n表示成比值k，那么，或AB=k·CD；两条线段的比实际上就是两个数的比；成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段；如果，那么ad=bc；如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么；如果（b+d+...+n≠0），那么。
2．平行线分线段成比例一般地，有如下基本事实：两条直线被一组（三条）平行线所截，所得的对应线段成比例；推论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
3．相似多边形相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫相似多边形；六边形ABCDEF 与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，“∽”读作“相似于”；在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比；可以用k表示。
4．探索三角形相似的条件相似三角形：根据相似多边形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；定理两角分别相等的两个三角形相似；定理两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；定理三边成比例的两个三角形相似；黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比；黄金比：黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点。
5．*相似三角形判定定理的证明大致证明步骤：在较大三角形上作辅助线，截取与较小三角形对应边相等的线段或对应角相等的角度，构造较小三角形的全等三角形；证较大三角形与所作三角形相似；证较小三角形与所作三角形全等；得出较大三角形与较小三角形相似的结论。
6．利用相似三角形测高利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度的方法：①利用阳光下的影子；②利用标杆；③利用镜子反射。
7．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；定理相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
8．图形的位似位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P’所在的直线都经过同一个点O，且有OP’=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心；实际上，k就是这两个相似多边形的相似比；三种位置关系的位似五边形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|；附：图形的放大与缩小位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
位似变换：①变换后的图形,不仅与原图相似，而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例。
像这种特殊的相似变换叫做位似变换，这个交点叫做位似中心。
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形，这两个图形就叫做位似形。
③利用位似的方法，可以把一个图形放大或缩小。
第五章投影与视图1．投影投影：物体在光线的照射下会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象；影子所在的平面称为投影面；中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影；平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影；平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。
2．视图视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图；通常把从正面得到的视图叫做主视图，从左边得到的视图叫做左视图，从上面的得到的视图叫做俯视图；三视图能够大体把一个物体的形状特征用平面图形表示出来；在三种视图中，主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽；因此在画三视图时，对应部分的长度要相等，而且通常把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图的右边；附：视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面（平面或曲面），而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上；在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）；在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线；三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等；眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区；点、线、面的投影：①点在一个平面上的投影仍是一个点；②线段在一个平面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。
③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
第六章反比例函数1．反比例函数反比例函数：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数；反比例函数的自变量x不能为零；反比例函数也可以表示成：y=kx-1（k≠0）；xy=k（k≠0）；y是x的反比例函数；y与x成反比例，比例系数为k；2．反比例函数的图象与性质反比例函数的图像是由两支曲线（通常称为双曲线）组成的；当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内；反比例函数是中心对称图形，对称中心是坐标原点；反比例函数是轴对称图形，对称轴是y=x和y=-x两条直线；反比例函数的图像，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大；附：反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所以“两点法”是不能画的；②选取的点越多画的图越准确；③画图时注意其美观性（对称性、延伸特征）；④双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交；点P(x,y)在双曲线上都有S矩形OAPB=|xy|=|k|,S△OAB=|xy|/2=|k|/2。
