三角函数最值的求法

三角函数最值问题常见的求解策略三角函数最值问题是三角函数学习中的难点之一．求三角函数的最值，往往要涉及二次函数、不等式等其他重要知识，是历年高考考查的热点之一．本文试对常见三角函数最值问题作归纳、梳理．１．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求一次函数ｙ＝ａｔ＋ｂ在闭区间上的最值．例１　求函数ｙ＝－３ｓｉｎｘ＋２的最值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则原式化为ｙ＝－３ｔ＋２，ｔ∈［－１，１］，得－１≤ｙ≤５．故ｙｍｉｎ＝－１，ｙｍａｘ＝５．２．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型应对策略：引进辅助角φｔａｎφ＝ｂ（）ａ，化为ｙ＝ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎ（ｘ＋φ）＋ｃ，再利用正弦、余弦函数的有界性．例２　已知ｘ∈－π２，π［］２，求函数ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ的最值．解　ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ＝１０ｓｉｎｘ＋π（）３，令ｔ＝ｘ＋π３，则ｙ＝１０ｓｉｎｔ，ｔ∈－π６，５π［］６．故当ｔ＝－π６时，ｓｉｎｔ有最小值－１２，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝－５；当ｔ＝π２时，ｓｉｎｔ有最大值１，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝１０．３．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求二次函数ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ在闭区间上的最值．例３　求ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎｘ＋３－π２≤ｘ≤π（）６的最值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则由－π２≤ｘ≤π６，得ｔ［∈－１，］１２．于是ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋３＝２ｔ＋（）１４２＋２３８．当ｔ＝－１４时，ｙｍｉｎ＝２３８；当ｔ＝－１或１２时，ｙｍａｘ＝４．４．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ型应对策略：降次，整理化为类型２，求ｙ＝Ａｓｉｎ２ｘ＋Ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃ的最大值、最小值．例４　函数ｆ（ｘ）＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋８ｃｏｓ２ｘ，求ｆ（ｘ）的周期与最大值．解　ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓ２ｘ＋４＝５ｓｉｎ（２ｘ＋φ）＋４．故周期Ｔ＝π，ｆ（ｘ）最大值为９．５．ｙ＝ａｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｂ（ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ）＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，化为求二次函数ｙ＝±ａ２（ｔ２－１）＋ｂｔ＋ｃ在ｔ∈［－槡２，槡２］上的最值．例５　求函数ｙ＝（１＋ｓｉｎｘ）（１＋ｃｏｓｘ）的最值．解　ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），令ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则ｙ＝１＋ｔ＋ｔ２－１２＝１２（ｔ＋１）２，ｔ∈［－槡２，槡２］．当ｔ＝槡２时，ｙｍａｘ＝３＋槡２２２；当ｔ＝－１时，ｙｍｉｎ＝０．６．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｓｉｎｘ＋ｄ型应对策略：反解出ｓｉｎｘ，利用正弦函数的有界性或用分析法来求解．例６　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ－３ｓｉｎｘ＋３的最值．解法一：解出ｓｉｎｘ＝３（ｙ＋１）１－ｙ，由｜ｓｉｎｘ｜≤１，得－２≤ｙ≤－１２．解法二：（“部分分式”分析法）原式＝１－６ｓｉｎｘ＋３，再由｜ｓｉｎｘ｜≤１，解得－２≤ｙ≤－１２．故ｙｍｉｎ＝－２，ｙｍａｘ＝－１２．７．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｃｏｓｘ＋ｄ型 十种特殊条件下的 三角恒等变换□韩玉宝 三角变换的关键在于发现题目中条件与结论之间在角、函数名称、次数这三方面的差异及联系，然后通过角变换、函数名称变换、升降幂变换等方法找到已知式与所求式之间的联系．三角变换的方法很多，本文将课本中出现的特殊条件下的一些变换方法归纳如下：一、条件或所求中出现“ｓｉｎα＋ｃｏｓα”，将其平方．例１　设α∈（０，π），ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３，求ｔａｎα的值．解　将ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３两边平方，得ｓｉｎαｃｏｓα＝－６０１６９，两式联立解得ｓｉｎα＝１２１３，ｃｏｓα＝－５１３，从而ｔａｎα＝－１２５．二、已知ｔａｎα，求ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α的值，先将ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α除以（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）（即１），然后分子、分母同除以ｃｏｓ２α．例２　已知ｔａｎα＝２，求ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４的值．解　ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４＝ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α＋３ｔａｎα＋４ｔａｎ２α＋１＝１４５．三、化简１＋ｓｉｎ槡α，１－ｓｉｎ槡α，１＋ｃｏｓ槡α，１－ｃｏｓ槡α，引用倍角公式或将１用平方代换．应对策略：化归为ｙ′＝Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ型求解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）．例７　求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值及最小值．解法一：将原式ｙｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋２ｙ＝０化为ｙ２＋槡１ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙｙ２＋槡１，由｜ｓｉｎ（ｘ＋φ）｜≤１，得－２ｙｙ２＋槡１≤１，解得－槡３３≤ｙ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．解法二：函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的几何意义为点Ｐ（－２，０）与点Ｑ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）连线的斜率ｋ，而点Ｑ的轨迹为单位圆，如右图，可知－槡３３≤ｋ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．８．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｓｉｎｘ型应对策略：转化为利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性求最值．例８　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋４ｓｉｎｘｘ∈０，π（］（）２的最小值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈０，π（］２，则ｙ＝ｔ＋４ｔ，ｔ∈（０，１］．利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性得，函数ｙ＝ｔ＋４ｔ在ｔ∈（０，１］上为单调递减函数．故当ｔ＝１时，ｙｍｉｎ＝５．巩固练习１．若函数ｙ＝２ｓｉｎｘ＋槡ａｃｏｓｘ＋４的最小值为１，求ａ的值．２．求函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘ＋３的值域．３．求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋槡３）（ｃｏｓｘ＋槡３）的最值．（参考答案见第４１页）由π４－α＝π１２－（）α＋π６，可得ｃｏｓα－π（）４＝－槡３＋４３１０．故所求值为：槡－３３＋２０３５０．《常见三角函数最值问题的求解策略》１．ａ＝５．　２．ｙ∈１２，［］５．　３．ｙｍａｘ＝７２槡＋６，ｙｍｉｎ＝７２槡－６．《十种特殊条件下的三角恒等变换》１．略．　２．１１６．《“整体思维”巧解三角恒等变换题》１．５９７２．　２．±７１２．　３．５６６５．　４．１４．　５．１．《例谈构造法在三角问题中的妙用》１．提示：解析式看作是动点Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与定点Ｑ（３，０）连线的斜率，为此构造直线斜率这一几何模型处理．ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３最小值为－槡２４，最大值为槡２４．２．提示：已知条件可视为关于ｓｉｎα２的一元二次方程模型去证明．３．提示：构造几何模型将条件化为（１－ｃｏｓβ）ｃｏｓα－ｓｉｎβｓｉｎα＋ｃｏｓβ－３２＝０．因为点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）在直线（１－ｃｏｓβ）ｘ－ｓｉｎβｙ＋ｃｏｓβ－３２＝０上，同时也在圆ｘ２＋ｙ２＝１上，所以直线和圆有公共点，故ｄ≤ｒ，即ｃｏｓβ－３２（１－ｃｏｓβ）２＋ｓｉｎ２槡β≤１，整理得ｃｏｓβ－（）１２２≤０，即ｃｏｓβ＝１２．又β为锐角，所以β＝π３．同理α＝π３．《向量问题的几何解法》１．ａ２１＋ａ２２＝ｂ２１＋ｂ２２．　２．１２０°．　３．槡６．《一道课本向量题的探究与应用》１．设→ＡＧ＝→ ｍＧＣ，→ ＦＧ＝→ ｎＧＥ，则→ ＢＧ＝→ ＢＡ＋→ｍＢＣ１＋ｍ．又→ＢＧ＝→ ＢＦ＋→ ｎＢＥ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋→ ＡＦ＋→ｎＢＥ１＋ｎ＝→ＢＡ＋１３→ ＡＤ＋ｎ２→ ＢＣ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋１３＋ｎ（）２→ＢＣ１＋ｎ．故１１＋ｍ＝１１＋ｎ，ｍ１＋ｍ＝１３＋ｎ２１＋烅烄烆ｎ ｍ＝ｎ＝２３．从而→ＡＧ＝２３→ ＧＣ，→ ＡＧ＝２５→ ＡＣ．单元测试参考答案１．１　２．５６６５　３．③　４．槡４５９　５．１１６　６．［槡－３，槡３］　７．２　８．π２　９．槡２－１２　１０．ｄ１ｄ２１１．因为ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｃｏｓＡｓｉｎＢ，即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝０．所以三角形是等腰三角形．１２．原式＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°１２ｃｏｓ１０°＋槡３２（）ｓｉｎ１０°槡２ｃｏｓ５°＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°ｃｏｓ（６０°－１０°）槡２ｃｏｓ５°＝２槡２２ｓｉｎ５０°＋槡２２（）ｃｏｓ５０°ｃｏｓ５°＝２ｃｏｓ（５０°－４５°）ｃｏｓ５°＝２．１３．因为ｔａｎα＋β２＝槡６２，所以ｃｏｓ（α＋β）＝１－ｔａｎ２α＋β２１＋ｔａｎ２α＋β２＝－１５，即ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１５．①又因为ｔａｎαｔａｎβ＝１３７，所以ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝１３７，即１３ｃｏｓαｃｏｓβ－７ｓｉｎαｓｉｎβ＝０②联立①、②，解得ｃｏｓαｃｏｓβ＝７３０，ｓｉｎαｓｉｎβ＝１３３０．。

求解三角函数的最大值和最小值三角函数是数学中常见的函数类型之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

求解三角函数的最大值和最小值在数学和科学应用中具有重要意义。

本文将介绍三角函数的最大值和最小值的求解方法，并通过示例进行说明。

一、正弦函数的最大值和最小值正弦函数是一种周期性函数，其图像在[-1, 1]之间周期性波动。

该函数的最大值为1，最小值为-1。

当x为正弦函数的周期之一时，正弦函数取得最大值1；当x为周期的中点时，正弦函数取得最小值-1。

二、余弦函数的最大值和最小值余弦函数也是一种周期性函数，其图像同样在[-1, 1]之间周期性波动。

该函数的最大值为1，最小值为-1。

与正弦函数类似，余弦函数在周期的中点处取得最大值1，在周期的端点处取得最小值-1。

三、正切函数的最大值和最小值正切函数是一种无界函数，其值在整个数轴上波动。

正切函数的最大值、最小值并不存在。

然而，正切函数在特定点上取得无穷大或无穷小值。

例如，正切函数在90度的整数倍处（如90°、180°等）取得无穷大值，在90度的奇数倍处（如270°、360°等）取得无穷小值。

四、其他三角函数的最大值和最小值除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他三角函数如余切函数、正割函数和余割函数。

这些函数的最大值和最小值的求解方法与正弦函数、余弦函数类似，但其值的范围会有所不同。

结论- 正弦函数的最大值为1，最小值为-1，取决于周期的位置。

- 余弦函数的最大值为1，最小值为-1，同样取决于周期的位置。

- 正切函数在特定点上取得无穷大或无穷小值，没有明确的最大值和最小值。

- 其他三角函数如余切函数、正割函数和余割函数的最大值和最小值的求解方法类似。

通过以上分析，我们可以了解到三角函数的最大值和最小值求解方法及其特点。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择正确的求解方法，以便有效地使用三角函数进行数学和科学问题的研究和计算。

三角函数的最值三角函数是在几何学、微积分、物理学和数学中经常使用的古老函数，它伴随着人们对宇宙规律、地球运行等自然现象的深入研究而发展壮大。

三角函数的最值也被广泛应用于各个领域，为人们理解和掌握复杂问题提供了重要依据。

三角函数的最值是指函数在取值范围内的最小值和最大值。

在数学中，三角函数的最值可以用有理函数的积分、极限和微分等方法求出。

其中，有理函数的极限是三角函数最值的最主要的方法，利用极限，可以根据函数图像找出最值的具体的值，从而得到函数的最值。

求三角函数最值的方法一般有两个步骤。

首先，确定函数在取值范围内的最大值和最小值，然后通过有理函数极限和微分求解得出精确的最值。

有理函数极限求解三角函数最值的方法是：先求出三角函数的有理函数曲线，然后从曲线的图像上观察函数最大值和最小值的点，从而确定函数的最值。

有理函数微分也可以用来求解三角函数最值。

它是利用函数的导数，找出函数变化最快和最慢的点，由此确定函数的最值。

三角函数最值的最重要的一点是，它也有自己的变化规律，按照这一规律，可以根据函数的类型和取值范围来确定函数的最值。

例如，常见的正弦函数f(x)在取值范围内的最值是：f(x)的最大值等于1，最小值等于-1。

而余弦函数的最值仍为1和-1，但是最大值和最小值的取值范围有所不同，因此在求解最值时，要根据函数的变化规律来确定最大值和最小值的边界点，从而求得函数的最值。

同样，双曲函数的最值也是按照变化规律来求解的。

总的来说，通过研究函数变化规律，可以根据函数的类型，找出函数在取值范围内的最大值和最小值，得出函数的最值。

不仅仅是三角函数，其他函数的最值也可以通过有理函数极限和微分求解。

另外，还有一些有趣的结论，如根据函数的特性，研究和分析函数的变化规律，对于求函数的最值也有一定的指导作用。

总而言之，从上面的内容可以看出，三角函数的最值具有重要的意义，它可以为人们分析复杂问题提供借鉴，也可以在各个领域得到广泛应用。

十一种类型的三角函数最值问题1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12 cos 2x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.2.反函数法 例:求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c bx a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。

3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

例：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

5. 利用数形结合 例： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。

解：6、换元法例：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.7. 利用函数在区间内的单调性8. 例： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。

[分析] 此题为xax sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。

求最大值和最小值的公式三角函数在数学中，我们经常需要找出函数的最大值和最小值，特别是在三角函数中。

通过对三角函数的分析和观察，我们可以找到一些公式和方法来求解函数的最大值和最小值。

正弦函数（Sine Function）正弦函数是一种常见的三角函数，通常用符号sin表示。

正弦函数的最大值和最小值是固定的，分别为1和-1。

具体而言，正弦函数的最大值出现在角度为90度或π/2弧度时，即sin(90°) = sin(π/2) = 1；最小值出现在角度为270度或3π/2弧度时，即sin(270°) = sin(3π/2) = -1。

余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用符号cos表示。

余弦函数的最大值和最小值也是固定的，同样为1和-1。

最大值出现在角度为0度或0弧度时，即cos(0°) = cos(0) = 1；最小值出现在角度为180度或π弧度时，即cos(180°) =cos(π) = -1。

正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种重要函数，用符号tan表示。

正切函数在某些角度下可能没有最大值或最小值，但在一些特定情况下有最大值或最小值。

在正切函数的图像中，我们可以观察到周期性的最大值和最小值。

具体计算最大值和最小值的方法需要通过导数等方法来求解。

总结通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以得出它们的最大值和最小值的规律。

这些规律不仅有助于我们求解函数的最值，也有助于更深入地理解三角函数的特性和性质。

在实际问题中，我们可以利用这些公式和规律来简化计算，提高求解效率。

通过以上分析，我们可以看到三角函数中求最大值和最小值的公式都具有一定的规律和特点，掌握这些规律将有助于我们更好地理解和利用三角函数。

希望这些内容对您有所帮助！希望本文对你有所启发，谢谢阅读！。

三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。

1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。

2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。

(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。

求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的常用解题方法
一. 使用配方法求解三角函数的最值
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转变为二次函数也是求最值的通法之一，应该注意，整理成时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。

二. 使用化一法求解三角函数的最值
例2．求函数的值域。

剖析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数即可求得。

—2—
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分构成，此中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，所以需要大家娴熟掌握有关公式并灵巧运用。

三. 使用基本不等式法求解三角函数的最值
例3. 求函数的值域
—3—
解：
解：
四. 使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。

剖析：解本题的门路是用逆求将函数式变形，用 y 表示与 x 有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。

—4—
解：
—5—。

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。

解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。

解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。

例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。

解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。

例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。

解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。

通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。

解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。

通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。

解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。

例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。

解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。

例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。

解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。

例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。

解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。

通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。

三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，也是高中数学中经常涉及的问题。

这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。

解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。

而解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。

下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一、 配方法： 形如y=asin 2x+bcosx+c 型的函数特点是含有sinx, cosx ，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用配方或换元法，转化成二次函数来求解。

例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二、 引入辅助角法： 形如y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。

结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。

三角函数中最值问题的分析与求解在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

而在三角函数中，最值问题是一类常见的问题，涉及到求解函数的最大值或最小值。

本文将对三角函数中最值问题进行分析与求解。

一、最值问题的背景最值问题是数学中常见的一类问题，它要求在一定的条件下，找出函数的最大值或最小值。

在三角函数中，最值问题通常涉及到角度的变化，以及函数值的变化。

二、三角函数的基本性质在分析三角函数的最值问题之前，我们先来回顾一下三角函数的基本性质。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数：正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

它的图像是一条连续的波浪线，周期为2π。

正弦函数在角度为0°、90°、180°等特殊角度处取得最值。

2. 余弦函数：余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

它的图像是一条连续的波浪线，周期为2π。

余弦函数在角度为90°、180°、270°等特殊角度处取得最值。

3. 正切函数：正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。

它的图像是一条连续的曲线，周期为π。

正切函数在角度为45°、135°、225°等特殊角度处取得最值。

三、三角函数最值问题的分析对于三角函数最值问题的分析，我们可以从两个角度入手：角度的变化和函数值的变化。

1. 角度的变化：三角函数中的角度通常以弧度表示，弧度与角度之间的转换关系为：1弧度= 180°/π。

在最值问题中，我们需要考虑角度的变化范围，以及角度的增减趋势。

2. 函数值的变化：三角函数的函数值随着角度的变化而变化。

我们可以通过观察函数图像、求导等方法来确定函数值的变化趋势，从而找出函数的最值点。

四、三角函数最值问题的求解在求解三角函数最值问题时，我们可以利用以下几种方法：1. 几何法：通过观察三角函数的图像，找出函数的最值点。

三角函数最值或值域的求法(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。

类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。

例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。

解：由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，由21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-类型二：x b x a y cos sin +=型。

此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。

例2：求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。

解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。

分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β ± cos αsin β解法2：x x y cos 213sin 213-++= ∴函数的最大值为2，最小值为2-。

分析3：观察发现角)3(π+x 与角)6(π-x 的差恰好为2π，故将)6(π-x 看成基本量，将函数化归为同一角)6(π-x 的函数式。

解法3： （运用和差化积公式 ）)4cos()12sin(2ππ-+=x y )12sin(2π+=x ∴函数的最大值为2，最小值为2-。

类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。

此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。

专题 求三角函数的最值问题
专题突破：三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性，在求解时既要注意正、余弦函数的有界性，又要注意灵活选用方法。

一．利用sin 1,cos 1x x ＃求三角函数的最值
例1. 求函数3sin 1sin 2
x y x -=+的最值。

二．利用换元法求最值
例2.
求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值。

三．利用sin cos )(tan )b a x b x x a +=
+j j =其中来求最值 例3. 求函数sin 1cos 3
x y x -=-的最值。

四．利用给定区间的二次函数的性质求最值
例4．求函数223cos 4cos 1,,33y x x x 轾p p 犏=-+ 犏臌
的最大值与最小值。

五．形如22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的函数的最值
例5．已知函数22()sin cos 2cos ,f x x x x x x R =+
+ ，求函数的最值。

六．给定区间的三角函数的最值 例6．已知函数()()2sin cos f x x x =p - ，（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间
,62
轾p p 犏-犏臌上的最大值和最小值。

七．用几何法求三角函数的最值
例7.求函数2sin 2cos x y x -=-的最值。

常见的三角函数最值问题的求法三角函数是高中数学的主体内容，是高考的重点，也是每年必考的内容之一。

而最值是对三角函数知识的综合运用，在三角函数中占有及其重要的位置。

本文就常见的一些最值问题进行简单的总结，以期对各位能有所帮助。

1. 形如y=asina+b （或y=acosa+b ）型函数，借助于正余弦函数的有界性求解例1，求函数y=3sinx+2 当θ-π2 ≤x≤π2时的最值解：θ-π2 ≤x≤π2∴sinx∈［-1,1］∴y∈［-1,2］即函数的最大值为2，最小值为-12. 形如y=asinx+bcosx型问题，通常采用引入辅助角，借助于正余弦函数的有界性和单调性求解例2，当-π2≤x≤π2时，求函数f(x)=sinx+ 3cosx的最大值最小值解：原函数可化为f(x)=2sin(x+π3 )θ-π2 ≤x≤π2，∴-π6 ≤x+π3≤5π6∴-12≤sin（x+ π3）≤1∴当x= π6时f(x)取得最大值2，当x= -π6时，f(x)取得最小值-1。

3. 形如y=asina+bccosa+d 型函数，借助于图像或将其转化为第二种类型求解例3，求函数y=sinx-1cosx+2 的值域解：原式可化为：2y+1= 1+y2sin(x+Ф) ∴sin(x+Ф)=2y+1 1+y2∈［-1,1］∴y∈［-43,1］另解：本题还可以设点A（cosx,sinx）B(-2,1),其中点A的轨迹是以（0,0）为圆心，1为半径的圆，可转化为点B与圆上点连线的斜率问题，避开解含绝对值的不等式。

4. 同时含有sinx+cosx与sinxcos x型，此类题型借助于sin2a+cos2a=1将二者联系起来，采用换元的方法解题，但一定要应注意所换参数的取值范围例4，求函数y=sin2x+sinx+cosx 的最值解：令t=sinx+cosx∈［-2,2］，则sin2x= t2-1原式= t2+t-1 t∈［-2,2］∴y的最大值为1+2 最小值为-545. 形如y＝asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型，此类题含sinx(或cosx)的二次项，可借助二次函数用配方法求出最值例5，求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值解：原式可化为y= (cosx-32)2-14对称轴cosx=32 不属于［-1,1］∴当cosx=1时，y取得最小值0容易出现的变式：y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c 型，此类题型较易转化成上例形式，本文不再举例。

三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。