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不等式之放缩法

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1 不等式证明——不等式放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：

一 利用重要不等式放缩

1. 均值不等式法

例1 设.)1(3221nnSn求证.2)1(2)1(2nSnnn

解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(nkkkak

2121)1(kkkkkk，

)21(11nknnkkSk，

即.2)1(22)1(2)1(2nnnnSnnn

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2baab，若放成1)1(kkk则得2)1(2)3)(1()1(21nnnkSnkn，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

naanaaaaaannnnnn22111111

其中，3,2n等的各式及其变式公式均可供选用。

例2 已知函数bxaxf211)(，若54)1(f，且)(xf在[0，1]上的最小值为21， 2 求证：.2121)()2()1(1nnnfff

[简析] 411()11(0)141422xxxxfxx

1(1)()(1)22ffn211(1)(1)2222n

1111111(1).42222nnnn

例3 求证),1(221321NnnnCCCCnnnnnn.

简析 不等式左边123nnnnnCCCC=12222112nn

nnn122221=212nn，

故原结论成立.

【例4】已知222121naaa，222121nxxx，

求证：nnxaxaxa2211≤1.

【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2xyxyxyR，所以有

22222211221122222nnnnaxaxaxaxaxax

2222221212111.2222nnaaaxxx

其实，上述证明完全可以改述成求nnxaxaxa2211的最大值。本题还可以推广为：

若22212npaaa，22212(,0)nqpqxxx，

试求nnxaxaxa2211的最大值。

请分析下述求法：因为22(,)2xyxyxyR，所以有

22222211221122222nnnnaxaxaxaxaxax 3 2222221212.222nnaaaxxxpq

故nnxaxaxa2211的最大值为2pq，且此时有(1,2,,)kkaxkn。

上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是(1,2,,)kkaxkn，即必须有2211nnkkkkax，即只有p=q时才成立！

那么，pq呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：

22222212122222221,1,()()()()()()nnpppqqqaxaaxx

则有11221122nnnnaxaxaxaxaxaxpqpq

2222221212222222[()()]2()()()()()()nnpqpqpppqqqaxaaxx

于是，1122max()nnaxaxaxpq，当且仅当(1,2,,).kkaxknpq

结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)nnmaaanxxx，则

由||||||mnmn立刻得解：

22222211221212||.nnnnaxaxaxaaaxxxpq

且取“＝”的充要条件是：1212nnxxxaaa。

特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已!

2．利用有用结论

例5 求证.12)1211()511)(311)(11(nn

简析 本题可以利用的有用结论主要有：

法1 利用假分数的一个性质)0,0(mabmambab可得 4 122563412nnnn212674523)12(212654321nnn

12)122563412(2nnn

即.12)1211()511)(311)(11(nn

法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(xxnNnnxxn的一个特例12121)1211(2kk(此处121,2kxn)得

)1211(121212111kkkknk.1212121nkknk

注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：

证明.13)2311()711)(411)(11(3nn

(可考虑用贝努利不等式3n的特例)

例6 已知函数.2,,10,)1(321lg)(nNnannanxfxxxx给定

求证：)0)((2)2(xxfxf对任意Nn且2n恒成立。

[简析] 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式niiniiniiibaba121221])([的简捷证法：

)(2)2(xfxfnnanxxxx2222)1(321lgnnanxxxx)1(321lg2

2])1(321[xxxxnan])1(321[2222xxxxnann

而由Cauchy不等式得2))1(1312111(xxxxnan

)11(22])1(321[22222xxxxnan(0x时取等号) 5 ])1(321[2222xxxxnann（10a），得证！

例7 已知112111,(1).2nnnaaann

)(I用数学归纳法证明2(2)nan；

)(II对ln(1)xx对0x都成立，证明2nae（无理数2.71828e）

[解析] )(II结合第)(I问结论及所给题设条件ln(1)xx（0x）的结构特征，可得放缩思路：nnnanna)2111(211211lnln(1)ln2nnnaann

nnnna211ln2。

于是nnnnnaa211lnln21，

.22112211)21(111lnln)211()ln(ln11211111nnniniiininnaaiiaa 即.2lnln21eaaann

【注】：题目所给条件ln(1)xx（0x）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2nnnn来放缩：

)1(1))1(11(1nnannann111(1)(1)(1)nnaann

111ln(1)ln(1)ln(1).(1)(1)nnaannnn

111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112naaiiaanniiini，

即.133ln1)1ln(2eeaann

【例8】已知不等式21111[log],,2232nnNnn。2[log]n表示不超过 6 n2log的最大整数。设正数数列}{na满足：.2,),0(111nannaabbannn

求证.3,][log222nnbban

【简析】 当2n时naaanaannaannnnnnn11111111，

即 naann1111.1)11(212kaankkknk

于是当3n时有][log211121naan.][log222nbban

注：①本题涉及的和式n13121为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论][log21131212nn来进行有效地放缩；

②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。再如：

设函数()xfxex。

（Ⅰ）求函数()fx最小值；

（Ⅱ）求证：对于任意nN，有1().1nnkkene

【解析】（Ⅰ）1；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1xex，对x>－1有(1)nnxxe，利用此结论进行巧妙赋值：取1,1,2,,kxknn，则有

121011()1211111()()()()()()()11111nnnnnnneennneeeeeee

即对于任意nN，有1().1nnkkene 7 例9 设nnna)11(，求证：数列}{na单调递增且.4na

[解析] 引入一个结论：若0ab则)()1(11abbnabnnn

（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略）

整理上式得].)1[(1nbanbann（），

以nbna11,111代入（）式得1)111(nn.)11(nn

即}{na单调递增。

以nba211,1代入（）式得.4)211(21)211(12nnnn

此式对一切正整数n都成立，即对一切偶数有4)11(nn，又因为数列}{na单调递增，所以对一切正整数n有4)11(nn。

注：上述不等式可加强为.3)11(2nn简证如下：

利用二项展开式进行部分放缩：

.1111)11(221nnnnnnnnCnCnCna

只取前两项有.2111nCann对通项作如下放缩：

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不等式证明之放缩法

不等式证明之放缩法

不等式证明之放缩法

放缩法是一种常用的不等式证明方法，它通过对不等式两边进行一系列放缩操作，从而逐步缩小不等式范围，最终达到证明不等式成立的目的。本文将对放缩法的基本思想和几种常用的放缩方法进行详细介绍。

首先，我们来介绍放缩法的基本思想。放缩法的核心思想是通过对不等式两边进行放缩操作，把原来的不等式转化为一个更容易证明的不等式。在放缩过程中，我们可以利用不等式的性质、算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式等数学工具，结合实际问题的特点，灵活选择适当的放缩方法，从而得到具有更强的推理力度的不等式，最终完成不等式的证明。

接下来，我们介绍几种常用的放缩方法。

1.替换法：通过替换变量，将原不等式中的复杂变量替换为新的变量，使得不等式形式变得更加简单，更易证明。这个方法可以常常应用于含有多个变量的不等式中，通过替换变量后，使得原来复杂的不等式简化为只含有一个变量的不等式。

2.增量法：通过引入一个增量，将原不等式中的变量加上增量后，得到一个更容易证明的不等式。这个方法常常适用于原不等式中含有与增量具有类似性质的变量，可以通过增量的引入，改变原不等式的结构，使得证明变得更加简单。

3.分割法：将整个证明过程分为若干个子证明，通过对每个子证明的分割和放缩操作，最终得到整个不等式的证明。这个方法常常适用于原不等式较为复杂或不易直接证明的情况，通过将证明分割为若干个子证明，分别证明每个子证明的不等式，最后再将这些子证明的不等式组合起来，得到原不等式的证明。

4.对称法：通过对不等式的两边同时进行操作，得到具有对称性的不等式，从而实现原不等式的放缩。这个方法常常适用于原不等式中含有对称性的项，通过对称性的放缩操作，不仅可以得到更容易证明的不等式，也可以将原不等式变得更加简洁明了。

以上只是常用的放缩方法中的一部分，实际应用中还有很多其他的放缩方法，需要根据具体问题的情况选择适当的方法。无论使用哪种放缩方法，都需要注意选择合适的放缩范围，并保证放缩后的不等式在放缩范围内成立，才能保证最终得到的不等式是正确的。

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

二、典型例题：

例1、若n是自然数，求证.213121112222n

证明：.,,4,3,2,111)1(112nkkkkkk

nnn)1(13212111113121112222

=)111()3121()2111(11nn

=.212n

注意：实际上，我们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

例2、求证：.332113211211111n

证明：由,212221132111kk（k是大于2的自然数）

得n32113211211111

.3213211211121212121111132nnn

例3、若a, b, c, dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa

证：记m =caddbdccacbbdbaa ∵a, b, c, dR+

∴1cbaddbadccacbabdcbaam

不等式证明放缩法

不等式证明放缩法

不等式证明放缩法

下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。

1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。假设不等式是要证明的命题P，即P成立。我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。

2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。

3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。

4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。

5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。

下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。

例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥

8abc。

解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。

针对P进行放缩如下： (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc

≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)

= 3√(abc * a²b²c²) - abc

≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)

= 6abc - abc

= 5abc.

所以P成立。

例二：证明对于任意的正实数x。

解：假设P为要证明的不等式。

针对P进行放缩如下：

1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)

=1/x(1-x)

基本不等式放缩法

基本不等式放缩法

基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。以下是一些常见的放缩技巧：

1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。

2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。

3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。

4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。

5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。

6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。

7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。

8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。

9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数 e^x，有 e^x ≥ x + 1 当 x ≥ 0。

10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。

在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。