不等式证明之放缩法

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运用放缩的技巧证明有关数列前ｎ项和的不等式

作者：曹文军

来源：《教师·理论研究》2008年第10期

摘要：纵观近几年的高考数学试题，数列解答题是高考命题中一类必考的难度较大的试题，其命题热点是与不等式交汇的、呈现递推关系的综合性试题.数列与不等式一结合，难度就增大了，灵活性就高了，本文重点叙述有关数列前n项和的不等式证明的常见放缩技巧.

关键词：不等式证明；数列；递推式；放缩技巧；数列的前n项和

纵观近几年来各省市的高考试题，数列解答题通常是在给出递推式的前提下先求出通项公式，然后再证明数列前n项和的不等式.如果这个数列的前n项的和可以求出的话，一般可采用比较法证出不等式，学生比较容易掌握；但往往根据通项公式很难求出（或求不出）该数列的前n项和，这时要证明不等式难度就很大，学生难以把握.

用放缩法证明这类不等式就是一个很好的途径.众所周知，用放缩法证明不等式的理论根据是不等式的传递性，即a≤b且b≤c，则a≤c（或若a≥b且b≥c，则a≥c）。在证明过程中，无论是“放”还是“缩”，都必须寻找一个中间量“b”，它既不能“放”得太大，也不能“缩”得太小.如何把握好这个度，需要一定的训练，并养成善于观察分析、思考对比的良好习惯.本文通过几道高考题和模拟考试题说明放缩法在数列前n项和的不等式证明中的应用，不妥处请大家斧正.

1.从数列的通项公式的结构分析出发，对通项公式中的某个局部（或部分）进行调整改变，达到放大（或缩小）的目的

例1（2007年四川理科高考数学第22题第3问）是否存在a∈N，使得an

分析：目标式子1+k是数列1+n的前n项和，根据对其通项1+n的观察，我们可以用二项式定理展开后进行取舍，从而使其通项放大或缩小达到解决问题的目的.

解：对n∈N，且n>1，有

Ｎｏ．０８．２０１３　语数外学习　Ｙｕ　Ｓｈｕ　Ｗ　Ｘｕｅ　Ｘｉ　２０１３年第８期　浅谈不等式证明中放缩法的几例应用　李　忠　（深圳市观澜中学，广东深圳５１８１１０）　摘要：不等式的证明在整个高中数学及高考时的一个难点，经常出现在高考数学的最后一题最后问，是属于拉分的题目。本文　粗略的介绍了几种常用的利用放缩法证明不等式问题的办法。　关键词：放缩法；不等式证明；逐项放大缩小　中图分类号：Ｇ６３３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６３５１（２０１３）一０８—００３８—０１　例１：求证：对于一切正整数ｎ，有÷＋　＋　＋…＋÷ｃ　７　４　证明：丁１　１　１＋．．－．１ｎ：‘Ｔ１　１　丽１　丽１…＋　誊　１…　…　＇ｌ’　（丁一了　了一　”　一　’　髻　＝÷一÷　÷　巩固练习：求证：ｌ＋　１＋　１＋…＋＋　ｌ一　÷一　鏊　ｃ　．。．　二、逐项放大或缩小　鍪例２：求证：　雁＋厨＋…＋厕　ｌ‘　（　＞２）　１　分析：观察此题　＿此类根号的问题，要想办法去掉　Ｉ　根号即将根号里面转化成完全平方的形式。　ｌ证明：　而ｃ√（ｎ＋÷）×（ｎ＋÷）＝ｎ＋÷　Ｉ　雁＋　丽＋丽＋…＋、／元　丽　Ｉ　（１＋÷）＋（２＋÷）＋（３＋÷）＋．．　＋÷）　Ｊ＝　２＋２＝　２＜ｆ　±２　Ｉ　。　、　Ｉ　、　丽＞　＝ｎ　１＾，　＋、，丽＋＾，俪＋…＋￣，　而＞１＋２＋３＋　Ｉ　…＋　：　Ｉ　巩固练习：求证：１＋　１＋　１＋　１＋．　＋　１　（　≥＿２）　ｌ　三、重新组队放缩法　Ｉ　例３：已知。、６、ｃ是不全相等的正数，求证：　＋　Ｉ　Ｌ～　＋　±　二！＞３　分析：对于此类分式不能直接通分，则需要将分式拆开重新　进行组合。　证明：　旦　＋　＋　生　口　Ｄ　Ｃ　：　＋　一１＋阜＋÷一１＋旦＋　一１　ｎ　口　Ｏ　Ｄ　Ｃ　Ｃ　：（÷＋詈）＋（÷＋÷）＋（｝＋÷）一３　’．’ａ，ｂ、ｃ是正数　．・．（÷＋詈）≥２，（音＋÷）≥２，（÷＋÷）≥２　又‘．‘ｎ、ｂ．ｃ不全相等　．‘　ｂ＋号）≥２，　ｃ＋÷）≥２，（÷　＋÷）≥２不能同时全部取等号。　即（÷＋詈）＋（寺＋÷）＋（÷＋÷）＞６，　鱼　＋堡　车二　＋　±生二　＞３　巩固联系：求证ｎ＋１＋÷＋÷＋÷＋．．・　１　ｎ　ｎ≥２）　四、添加舍弃放缩法　例４：求证：号一÷ｃ　＋笋三｛＋…　ｃｎｅＮ‘　分析：此题主要是将不等式右边拆分组合，并通过放缩法去　拼凑不等式左边的内容　证明：　＝÷一　＝÷一　≥÷一　————————　———一　３×２　＋（２　一２）　２　１＝　２一　２　１＝　２—４　２　２≥　２一　。一　（２　一　）　×　一　一　Ｉ　．１　１　２—１　２　一１　２　一１．ｒ／．　两≥丁一　三　三　＋‘一两≥　一　了１　丁１＋　１＋　１＋．．・　）＝号一丁Ｉ×（１一　１）＞号一了１　巩固练习：求证：　１‘；　１　１　丽１＋…　１＜１（ｎ　Ｎ‘）　所谓放缩法证明不等式其实就是利用不等式传递性的一种　方法。这里仅仅只是抛砖引玉的列出了几种常用的放缩法技巧，　在具体的高考题目中并不一定只是用其中某一种，可能是多种方　法结合使用。在证明的过程中要根据具体题目的结构来判断需　要使用的方法。的确，在使用放缩法的时候最关键也是最难的就　是对于放缩的度的把握，这一点就需要通过不断大量的练习来熟　

试题研究＞解题技巧　数学教学通讯（中等教育）　投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ　１８３　ｃｏｒｎ　ｌｏｇ２　１０．一１０－Ｖ￣Ｏ　．１．所以ｎ：．ｏ　）１５　１６　ｒ　点评：在第（３）问中应用迭代法进　行放缩，即用第二问的结论Ｘｎ　＜÷・　Ｚ　（Ｘｎ－Ｉ　），用下标较小的项替代下标较大　的项．巧妙进行放大．迭代法亦称“逐次　逼近法”．其实质就是类推．是一种不断　用变量的旧值递推新值的过程．这种放　缩方法在高考题中经常遇到．如：２００９　陕西卷理数第２２题、２００９重庆卷文数第　２１题等等　构造函数，应用函数单调　性进行放缩　例３（２００６年湖南卷理）已知函数　）　一ｓｉｎｘ，数列｛　｝满足：Ｏ＜ａ１＜１，％＋产　＿厂（　），ｎ＝ｌ，２，３，…，　证明：（１）０＜　１＜ｑ　１；（２）　１＜÷　．　解析：（１）证明略．　（２）设函数ｇ（　）＝ｓｉｎｘ－ｘ＋￣，　，０＜　ｘ＜１．首先要说明它的单调性：由（１）知，　当Ｏ＜ｘ＜ｌ时，ｓｉｎｘ＜ｘ，从￣ｇ＊（ｘ）＝ｅｏｓｘ－ｌ＋　Ｘ２２＝一２ｓｉｎ２　２＋　２），一２ｆ２　１＋　２＝。，所以　＼　／　ｇ（　）在（Ｏ，１）上是增函数．　又ｇ（　）在［０，１］上连续，且ｇ（０）＝０，　所以当０＜ｘ＜１时，ｇ（　）＞ｇ（０）＝０成立．　于是ｇ（％）＞０，即ｓｉｎ％一％＋÷０：＞０．　ｇＣａ￣＋ｌ＜÷　．　点评：本例恰当构造“差函数”，先　判断“差函数“的单调性．然后在证明　ｇ（　）＞０的过程中，灵活用函数的单调性　进行放缩．是本题证明的关键所在．　应用墨设或晨问中的不等　关系式进行放缩　倒４（２０１１广东五校联考）已知函　黉　）：ｅ　一　．　（１）当ｍ＝１时，求函数厂（　）的最小值；　ｃ２，证明：（　）＋（ｎ）＋（　）＋…＋　、凡／　＼　／　、　／　（　＜　ｃｎ　５０　解析：（１）当ｍ＝ｌ时　（　）：ｅ　１，令　＿厂（　）＝０得ｘ＝Ｏ．　当　∈（一。。，０）时　（　）＜０；当　∈（０，　＋　）时　（Ｘ　０，　故当ｘ＝０Ｎ－Ｊ（ｘ）的最小值是１｜　（２）由（１）得　≥１慨，故ｆ生１　：１＋　）ｎ≤ｅ　，所以（ｎ　ｌ『＋／（　ｌ『＋／（三ｎ『＋／…　ｎ　／　＼　＼ｎ　＼　＋ｆ　ｎ　１　＜ｅｌ￣＋ｅ２－ｎ＋…＋ｅｎ　ｎ＿—ｅｔ￣（１—－ｅｎ）：　＼ｎ／　１—０　（　一吉）＜　，　故原题得证．　点评：第（２）问充分用到第（１）问结　论１　≤　将ｆ　１　进行放大．然后求和　＼ｎ／　后再进行放大即得出结论．可见当我们　解题思维受阻时．可以考虑从前问中的　一些有用的结论得到启示．寻找解决问　题的突破口．从而达到解决问题的目的．　应用二项式展开后再进行　放缩　例５（２００９湖北卷理）已知数列｛％｝　的前ｎ项和５　一ｏ４１）　＋２（ｎ为正整数）．　（１）令６　＝２　，求证：数列｛６　｝是等　差数列，并求数列｛ａ．ｔ的通项公式；　（２）令ｃ　：　｝＋１％，　：ｃ　＋ｃ２＋…＋ｃ　，试　比较　与　的大小，并予以证明．　２ｎ＋１　解析：（１）　ｎ　Ｉ　．任ｔｍ略）．　（２）由（１）得ｃ　＝（肘１）（｛　用错位　相减法可得　＝３－　：３～　ｎ＋３一（ｎ＋３）（２—＂－２ｎ－１）　２ｎ　２ｎ＋ｌ一　２ｎ（２肘１）　’　于是确定　与　Ｉ＿的大　、关系等价　于比较２屿２肼１的大小．￣２＜２ｘ１＋１：２　＜２ｘ　２＋１；２３＞２ｘ３＋１；２４＞２ｘ４＋１；２５＞２ｘ５＋１；－・＿　可猜想当ｎ≥３Ｎ－．２＂＞２ｎ＋１．证明如　下：　２　＝（１＋１）　＝Ｃ：＋Ｃ　＋Ｃ：＋・・・Ｃ７　＋Ｃ：≥　Ｃｏ＋Ｃ　１＋Ｃ￣－１＋Ｃ　＝２ｎ＋２＞２ｎ＋ｌ　综上所述，Ｎｎ＝ｌ，２时，　２，Ｊ＋５ｎ　，当　ｎ＞￣３Ｎ－，　．　点评：在形如含有（‰　）噌ｊ不等式　的证明中，可尝试先进行二项式展开，　再进行放缩．读者不妨试一试．证明下　面两个不等式：①ｆｌ＋＿　１　≥２（　Ｎ　）；　②三≤ｆ１＋　１　＜２（ｎｅＮ　）．　２　＼　２ｎ／　）利用基本不等式放缩　例６（２００５江苏卷）已知　＝５　４，　证明：不等式、／　一　＞１对任何　正整数ｍ．ｎ都成立．　解析：要证、／　Ｉ＿一、／　＞１，只要　５ｖ－５ａ．￣＞１＋ａｒｅａ，　＋２ｘ／　ｑ　．　因为ａ，￣＝５ｍｎ－４，ｎ　ｋ＝（５ｍ—４）（５ｎ一　４）＝２５ｒａｎ一２０（ｍ＋ｎ）＋１６．故只要证　５（５ｒａｎ一４）＞ｌ＋２５ｒａｎ一２０（ｍ＋ｎ）＋１６＋　２、／　，　即只要证２０　＋２０ｎ一３７＞２￣ｆａｏ，ａ．．　因为２、／‰％≤％　％＝５ｍ＋５　一８＜５ｍ＋　５ｎ一８＋（１５ｍ＋１５ｎ一２９）＝２０ｍ＋２０ｎ一３７．　所以命题得证．　点评：本题采用分析法，在证明过　程中．通过化简整理之后．再利用基本　不等式由２、／　≤％＋ｑ　放大即可．　以上介绍了用“放缩法”证明不等　式的几种常用策略．解题的关键在于根　据问题的特征选择恰当的方法．打时还　需要几种方法融为一体．在证明过程　中．适当地进行放缩，可以化繁为简、化　难为易．达到事半功倍的效果．但放缩　的范围较难把握．常常出现放缩后得　出结论或得到相反的现象．　此．使Ｈｊ　放缩法时．如何确定放缩目标尤为重要．　要想正确确定放缩目标．就必须根据欲　证结论．抓住题目的特点．掌握放缩技　巧．真正做到弄懂弄通．并且还要根据　不同题目的类型．采用恰到好处的放缩　方法．才能把题解活，从而培养和提高　自己的思维和逻辑推理能力、分析问题　和解决问题的能力．希望读者通过本史　能够进一步地了解放缩法的作用，掌握　基本的放缩方法和放缩调整手段，达到　熟练应用的目的．

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放缩法在不等式证明中的应用

作者：高军

来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第06期

摘 要：用“放缩法”证明不等式在高考题和各地模拟题的压轴题中屡见不鲜，本文以具体题型为例，介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

关键词：放缩法；不等式证明；应用

众所周知，放缩法是不等式证明的一种非常重要的方法，在高考题和各地模拟题的压轴题中屡见不鲜. 所谓放缩法即是从不等式的一边着手，用不等式的传递性等性质，舍去（或添上）一些正项或者负项，扩大或缩小分式的分子、分母，逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标. 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点，有极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性. “放缩法”可以和很多知识结合，对应变能力有较高的要求. 因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递.

下面采撷近几年的高考题及高考模拟题进行分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

点评：在数列求和型不等式证明中，一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式.

若数列易于求和，则选择先求和后再放缩；若数列不易求和，要考虑先放缩后再求和的证明方法. 本例题选择先放缩再求和，但切记放缩后要易于求和且放缩得当，若从第1项开始放大，则会放得过大，导致证明失败，故在证明过程中选择从数列第2项开始放大，恰到好处.

点评：本题采用分析法，在证明过程中，通过化简整理之后，再利用基本不等式由2≤am+an放大即可.

以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体. 在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果. 但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象. 因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要. 要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点. 掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力. 希望读者通过本文能够进一步地了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段，达到熟练应用的目的.