2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷(文科)(解析版)
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第1页 共20页 ◎ 第2页 共20页 2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥2≤1}，𝐵={𝑥|0<𝑥<1}，则𝐴∩𝐵=( )
A.[−1, 1) B.(0, 1) C.[−1, 1] D.(−1, 1)
2. 若𝑖为虚数单位，则复数𝑧=1+𝑖1+2𝑖在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 已知等差数列{𝑎𝑛}前3项的和为6，𝑎5=8，则𝑎20=( )
A.40 B.39 C.38 D.37
4. 若向量𝑎→，𝑏→的夹角为𝜋3，且|𝑎→|=4，|𝑏→|=1，则|𝑎→−4𝑏→|=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5. 已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0, 𝑏>0)的渐近线与圆(𝑥+4)2+𝑦2=8无交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.(1, √2) B.(√2,+∞) C.(1, 2) D.(2, +∞)
6. 已知实数𝑥，𝑦满足约束条件{3𝑥−𝑦−3≤0𝑥−2𝑦+4≥03𝑥+4𝑦+12≥0 ，则𝑧=𝑥+2𝑦的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
7. 函数𝑦=log13(𝑥2−4𝑥+3)的单调递增区间为（ ）
A.(3, +∞) B.(−∞, 1) C.(−∞, 1)∪(3, +∞) D.(0, +∞)
8. 宜宾市组织“歌颂党，歌颂祖国”的歌咏比赛，有甲、乙、丙、丁四个单位进入决赛，只评一个特等奖，在评奖揭晓前，四位评委𝐴，𝐵，𝐶，𝐷对比赛预测如下：
𝐴说：“是甲或乙获得特等奖”； 𝐵说：“丁作品获得特等奖”；
𝐶说：“丙、乙未获得特等奖”； 𝐷说：“是甲获得特等奖”． 比赛结果公布时，发现这四位评委有三位的话是对的，则获得特等奖的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9. 某几何组合体的三视图如图所示，则该几何组合体的体积为（ ）
A.√2 B.32 C.2 D.52
10. 若输入𝑆=12，𝐴=4，𝐵=16，𝑛=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
第3页 共20页 ◎ 第4页 共20页
11. 分别从写标有1，2，3，4，5，6，7的7个小球中随机摸取两个小球，则摸得的两个小球上的数字之和能被3整除的概率为（ ）
A.37 B.23 C.27 D.13
12. 已知函数𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥+1)，给出下列命题：
①当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑒−𝑥(𝑥+1)；
②∀𝑥1，𝑥2∈𝑅，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|<2；
③𝑓(𝑥)>0的解集为(−1, 0)∪，(1, +∞)；
④方程2[𝑓(𝑥)]2−𝑓(𝑥)=0有3个根．
其中正确命题的序号是（ ）
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 在等比数列{𝑎𝑛}中，若𝑎2+𝑎4=58，𝑎3=14，且公比𝑞<1，则该数列的通项公式𝑎𝑛=________．
14. 已知𝑦=𝑓(𝑥)是偶函数，且𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)−2𝑥，𝑔(3)=3，则𝑔(−3)=________．
15. 三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，底面△𝐴𝐵𝐶是边长为√2的等边三角形，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶，𝑃𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐶，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶外接球的表面积为________．
16. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐶上一点，若𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=12𝐶𝐷，𝐵𝐷=4，则△𝐴𝐵𝐶面积的最大值为________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.
17. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎，𝑏，𝑐分别为𝐴，𝐵，𝐶的对边，且sin𝐴=2sin𝐵，
（1）若𝐶=3𝜋4，△𝐴𝐵𝐶的面积为9√24，求𝑎的值；
（2）求sin(𝐶−𝐴)sin𝐵−8𝑠𝑖𝑛2𝐶2的值．
18. 每年4月15至21日是全国肿瘤防治宣传周，全国每天有超1万人确诊为癌症，其中肺癌位列发病首位，吸烟人群是不吸烟人群患肺癌的10倍．某调查小组为了调查中学生吸烟与家庭中有无成人吸烟的关系，发放了500份不记名调查表，据统计中学生吸烟的频率是0.08，家庭中成人吸烟人数的频率分布条形图如图． （1）根据题意，求出𝑎并完善以下2×2列联表；
家中有成人吸烟 家中无成人吸烟 合计
学生吸烟人数 28
学生不吸烟人数
合计
（2）能否据此判断有97.5%的把握认为中学生吸烟与家庭中有成人吸烟有关？
附表及公式：
𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
𝑘0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
19. 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形，𝐴𝐷 // 𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=90∘，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑄是𝐴𝐷的中点，𝑀是棱𝑃𝐶上的点，𝑃𝐴=𝑃𝐷=2，𝐴𝐷=2𝐵𝐶=2，𝐶𝐷=√3．
（1）求证：平面𝐵𝑀𝑄⊥平面𝑃𝐴𝐷；
（2）当𝑀是𝑃𝐶的中点时，过𝐵，𝑀，𝑄的平面去截四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷，求这个截面的面积．
第5页 共20页 ◎ 第6页 共20页
20. 已知抛物线𝐶的焦点在𝑥轴上，顶点在原点且过点𝑝(2, 1)，过点(2, 0)的直线𝑙交抛物线𝐶于𝐴，𝐵两点，𝑀是线段𝐴𝐵的中点，过点𝑀作𝑦轴的垂线交𝐶于点𝑁．
（1）求抛物线𝐶的方程；
（2）是否存在直线𝑙，使得以𝐴𝐵为直径的圆𝑀经过点𝑁？若存在，求出直线𝑙的方程；若不存在，说明理由．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥−2，𝑔(𝑥)=𝑎ln𝑥+𝑥．
（1）函数𝑦=𝑔(𝑥)有两个零点，求𝑎的取值范围；
（2）当𝑎=1时，证明：𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)．
（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，圆𝐶的参数方程为{𝑥=2−2cos𝜑𝑦=2sin𝜑 ，（参数𝜑∈𝑅）．以坐标原点为极点，𝑥轴非负半轴为极轴建立极坐标系，
(𝐼) 求圆𝐶的极坐标方程；
(𝐼𝐼) 直线𝑙，射线𝑂𝑀的极坐标方程分别是𝜌cos(𝜃−𝜋6)=3√3，𝜃=𝜋3，若射线若射线𝑂𝑀分别与圆𝐶分别交于𝑂，𝑃两点，与直线𝑙的交点为𝑄，求|𝑃𝑄|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 设函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−1|+2|𝑥+1|．
(𝐼) 若存在𝑥0∈𝑅，使得𝑓(𝑥0)+𝑚2≤𝑚+5，求实数𝑚的取值范围；
(𝐼𝐼) 若𝑚是(𝐼)中的最大值，且𝑎3+𝑏3=𝑚，证明：0<𝑎+𝑏≤2．
第7页 共20页 ◎ 第8页 共20页 参考答案与试题解析
2018年四川省宜宾市高考数学三诊试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
利用二次不等式的解法求得集合𝐴，再根据两个集合的交集的定义求得𝐴∩𝐵．
【解答】
集合𝐴={𝑥∈𝑅|𝑥2≤1}={𝑥|−1≤𝑥≤1}，
𝐵={𝑥|0<𝑥<1}，
则𝐴∩𝐵={𝑥|0<𝑥<1}=(0, 1)．
2.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的运算
【解析】
利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
【解答】
∵ 𝑧=1+𝑖1+2𝑖=(1+𝑖)(1−2𝑖)(1+2𝑖)(1−2𝑖)=3−𝑖5=35−15𝑖所对应的点为(35,−15)位于第四象限．
3.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
设{𝑎𝑛}的公差为𝑑，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的𝑎1和𝑑，进而根据等差数列的通项公式求得𝑎𝑛．
【解答】
（1）设{𝑎𝑛}的公差为𝑑，
由已知得若𝑎1+𝑎2+𝑎3=6，𝑎5=8，⇒3𝑎1+3𝑑=6，𝑎1+4𝑑=8，解得𝑎1=0，𝑑=2
故𝑎20=0+(20−1)×2=38；
故选：𝐶．
4.
【答案】
C 【考点】
平面向量数量积
【解析】
运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值．
【解答】
向量𝑎→，𝑏→的夹角为𝜋3，且|𝑎→|=4，|𝑏→|=1，
可得𝑎→⋅𝑏→=4×1×cos𝜋3=4×12=2，
则|𝑎→−4𝑏→|=√(𝑎→−4𝑏→)2=√𝑎→2−8𝑎→∗𝑏→+16𝑏→2
=√16−8×2+16=4，
5.
【答案】
B
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0, 𝑏>0)的渐近线与圆(𝑥+4)2+𝑦2=8无交点⇔圆心(2, 0)到渐近线的距离>半径𝑟．解出即可．
【解答】
由圆(𝑥+4)2+𝑦2=8，得到圆心(−4, 0)，半径为：2√2．
∵ 双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0, 𝑏>0)的渐近线𝑦=±𝑏𝑎𝑥与圆(𝑥+4)2+𝑦2=8无交点，
可得：4𝑏√𝑎2+𝑏2>2√2，化为2𝑏2>𝑐2．𝑐2>2𝑎2
∴ 𝑒>√2．
∴ 该双曲线的离心率的取值范围是(√2,+∞)．
6.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
①画可行域②𝑧为目标函数纵截距③画直线0=𝑥+2𝑦，平移直线过(2, 3)时𝑧有最大值
【解答】
画可行域如图，𝑧为目标函数𝑧=𝑥+2𝑦，可看成是直线𝑧=𝑥+2𝑦的纵截距，
由{3𝑥−𝑦−3=0𝑥−2𝑦+4=0 可得：𝐴(2, 3)．
画直线0=𝑥+2𝑦，平移直线过𝐴(2, 3)点时𝑧有最大值8．
故𝑧=𝑥+2𝑦的最大值为：8．
7.
【答案】
