用单摆测重力加速度实验的改进

单摆实验的改进摘要：在单摆实验中，将用手把小球摆到一定的角度改为用辅助摆正工具打小球摆到一定角度，不但能使小球在摆动时减小做圆锥摆的情况，还能减少摆动角度的误差、提高实验准确性，还能使实验操作更加简便。

关键词：单摆，辅助工具，重力加速度引言：重力加速度是一个物体受重力作用的情况下所具有的加速度，用符号g 表示。

重力加速度g 是物理学中的一个重要的参量。

准确测量重力加速度g ，在理论、生产和科研方面都有着重要的意义1。

单摆实验中,用手把小球摆到一定的角度,实验误差较大,将实验改进后能够得到更准确的测量结果。

一、实验原理用一不可伸长的轻线悬挂一小球，作幅角θ很小的摆动就是一单摆。

如图1所示。

设小球的质量为m ，其质心到摆的支点O 的距离为l (摆长)。

作用在小球上的切向力的大小为θsin mg ，它总指向平衡点O '。

当θ角很小，则θθ≈sin ，切向力的大小为θmg ，按牛顿第二定律，质点的运动方程为θsin mg ma -=切， 即 θθsin 22mg dtd ml -=，因为θθ≈sin ，所以θθl gdtd -=22， (1) 这是一简谐运动方程(参阅普通物理学中的简谐振动)，(1)式的解为)cos()(0φωθ+=t P t ， （2）lgT==πω20， （3） 式中,P 为振幅，φ为幅角，0ω为角频率（固有频率），T 为周期。

由（3）式可知该简谐振动固有角频率0ω的平方等于l g /，由此得出T =2π lg (4)224T lg π=(5)二、用手把小球摆到一定的角度存在的问题1、小球在摆动过程中做类圆锥摆运动。

当人手拿起小球并拉到与中线成一定角度，当释放时，人的手有很多不确定的因数。

如：突然的抖动等，使小球开始时不在正确的平面内，受到一定的外力，使其做圆锥摆，或一个周期内有两个不同的最低点的情况出现。

圆锥摆的周期 T 1=2πlcosθg(6) 即小球的摆动周期在 2πlcosθg≤T ≤2π lg(7)之间假设当θ不变时，可取得T =2πlcosθg，但是取用的公式是(4),所以结果存在误差。

用单摆测重力加速度实验总结咱们从小学到高中，学了那么多知识，做了那么多实验，其中用单摆测重力加速度这个实验，那可真是让人印象深刻。

还记得我第一次接触这个实验的时候，那是在一个阳光明媚的下午。

物理课上，老师神秘兮兮地拿着一堆实验器材走进教室，说要带我们探索一个神奇的物理世界。

当那些小球、细线、尺子还有秒表摆在桌子上的时候，我的好奇心一下子就被勾起来了。

咱们先来说说这个实验的原理哈。

其实很简单，就是利用单摆的周期公式 T ＝2π√（L/g)，通过测量单摆的摆长 L 和周期 T，就能算出重力加速度 g 啦。

听起来是不是挺容易？但实际操作起来，那可真是状况百出。

先说这摆长的测量吧。

你得把那细线捋直了，从摆球的悬挂点一直量到球心，这可不能马虎。

我当时就因为量的时候手抖了一下，结果数据偏差了不少，被老师狠狠地批评了一顿。

还有啊，那秒表的使用也有讲究。

启动和停止的时候，一定要眼疾手快，稍微慢一点，这周期的测量就不准了。

我有个同学，紧张得手一直哆嗦，按秒表的时候总是慢半拍，测出来的周期比实际的长了好多，算出的重力加速度小得离谱，把大家笑得前仰后合。

在做实验的过程中，还有一个特别重要的点，就是要控制好实验环境。

不能有风，不然那单摆晃来晃去的，根本没法测准。

有一次我们在窗边做实验，一阵风吹过来，单摆直接被吹得乱了套，大家只能无奈地重新开始。

另外，实验中的误差分析也很关键。

比如说，测量摆长的时候，如果忽略了摆球的半径，那算出来的重力加速度就会偏小。

还有，测量周期的时候，如果数摆动次数多了或者少了，那结果也会不准确。

为了减少误差，我们得多次测量取平均值。

我记得我当时做了五组实验，算得我头都大了，不过看到最后的结果越来越接近真实值，心里还是满满的成就感。

这个实验不仅让我们学到了知识，还培养了我们的耐心和细心。

每次看到那小小的单摆有规律地摆动，就感觉像是在和大自然的规律对话。

通过不断地调整和改进，我们越来越接近真理，这种感觉真的太棒了！现在回想起来，那个充满阳光和欢笑的下午，那些认真测量、仔细计算的瞬间，都成为了我学习生涯中宝贵的回忆。

重力加速度单摆实验测定系统误差的修正
1、用单摆测重力加速度的实验原理
用一不可伸长的轻线悬挂一小球，如图1-1，做幅角θ很小的摆动就是一个单摆。

设小球的质量为m，其质心到摆的支点O的距离为L（摆长）。

作用在小球的切向力的大小为mgsinθ,它总指向平衡点O＇。

当θ角很小时，则sinθ≈θ,切向力的大小为mgθ,按牛顿第二定律，质点的运动方程为: 这是一简谐运动方程，可知该简谐振动的角频率的平方等于，由此得出：
实验时，测量一个周期的相对误差较大，一般是测量连续摆动n个周期的时间t。

则T=t/n?В?因此：
从测量公式本身，往往是看不出系统误差的。

有时候，即使是直接测量的量，已经排除了系统误差，计算结果仍有系统误差，这是因为存在理论、方法等等的误差。

系统误差需要逐项分析，考察其影响或找出其修正值。

下面我们来讨论一下用单摆测重力加速度实验中几项系统误差的修正：
2、复摆的修正
单摆公式中，我们假定摆球是一个质点，不计体积，而且不计摆线的质量。

实际上，任何一个单摆都不是理想的，都是一个复摆。

如图2，在不计阻力、浮力的情况下，由转动定理有：①
式中m?Аm0为摆球及摆线质量，(l-r)为摆线长度，为悬点（o）到摆球球心的距离。

25mr2+ml2为摆球对轴的转动惯量，13m0(1-r)2为悬线对o轴的转动惯量。

当?Е取?0时，有……… ②此复摆的周期为：
………③
考虑到r。

单摆实验的改进摘要:介绍了单摆实验的改进实验方法，从理论推导上将摆角扩展到任意角；并提高了误差的修正精度.；介绍了用计算机辅助测量单摆的振幅和周期的关系；介绍了用”渐进法”加大了周期的测量精度；从实验装置上进行了改良；给出了摆角的测量方案；从测量方法上更好的比较了多种测量方法，得出了更好的测量方法。

关键词:单摆；渐进法；计算机辅助测量；线性/非线性振动。

Improvement of the phys,simple pendulum experimentAbstract :Introduce phys, simple pendulum improvement experiment method of experiment , derive from theory general wave corner expand wanton corner to; And has improved the precision of revision of the error. Recommend and assist and measure amplitude and relation of cycle of phys, simple pendulum with computer. Recommend with" advance gradually law" and strengthen the precision of measurement of cycle. Have improved from experimental provision, has got off the measurement scheme which puts the angle; From measure fine many kinds of measurement method at the method, draw kind measurement method.Keyword: Phys, simple pendulum, advancing gradually law, the computer assists measurement, Linear / non-linear vibration.1引言单摆实验是一个古老的实验,伽利略用单摆测出了大约的重力加速度.在单摆实验测量重力加速度的过程中,存在着许多影响精度测量的因素,我们应考虑这些不利因素,改进实验装置和实验方法,推导更合理的理论计算公式,修正系统的误差.2 单摆实验的改进2.1 单摆的理论公式，实验条件和实验安排2.1.1单摆的理想模型一根细线上端固定，下端系一金属小球。

V〇1.50 No.lJan.2021洳i f教学参考实验研究谈“利用单摆测量重力加速度”实验的创新与教学意义游运昌(福建省厦门第二中学福建厦门361009)文章编号：l〇〇2-218X(2021 )01-0049-02 中图分类号：G632.4 文献标识码：B摘要：在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，通过实验原理的改进与创新，解决了实验器材受限、实验步骤繁琐的实际问题；改进后的实验测量结果较为准确，体现了物理实验创新的现实意义与教学价值，彰显了学科核心素养的培养理念。

关键词：单摆；重力加速度；实验创新；核心素养以实验作为检验理论正确性的重要标准，是物理 学科的特点，也是物理作为一门基础自然学科的基本 需求。

新一轮的基础教育课程改革要求物理教师在 教学中渗透学科核心素养，而在培养学生科学探究与 科学态度方面，物理实验有着与生俱来的优势，可谓 任重而道远。

笔者在教学中也常t对实验改进、实验 创新进行分析与研究。

下面以“利用单摆测定重力加 速度”的实验创新为例，谈谈实验创新的现实意义与 教学价值。

一、回归物理实验本源，不做舍本逐末之事在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，各教材 都给出了类似的实验方案，即测量摆长L、单摆周期了，利用公式T=2；r计算出当地的重力加速度。

此实验方案虽然传统朴素，但却简单易懂，只是实验 结果精确度较差。

值得注意的是，人教版高中物理教 材选修3 —4给出了另一种方案，即改变摆长多次实 验，绘制T2-L曲线，通过斜率来计算重力加速度。

此方案不仅新颖，而且能够极大限度的减小因摆球重 心位置不确定所带来的误差[1_3]。

然而多次测量一 米左右的摆长，却也让实验变得更加烦琐。

对于该实 验的创新也是层出不穷，如近些年的用旋转液体测量 重力加速度[4]、简谐势阱测量重力加速度[5]、磁力限 制摆测量重力加速度W，等等。

我们不禁心生疑问，究竟应该用什么标准来指导我们进行实验改进与创 呢？是为了考查学生能力却脱离了实际情况的改造 实验，还是一味追求精确的测量结果而忽视操作难度 的创新实验？纵观物理学发展史上几次著名的测定型实验，从 公元前3世纪埃拉托色尼测量地球圆周，到近代密立 根油滴实验测量电子电荷量，再到最近的“拍摄”黑洞 照片。

第４０卷第３期大　学　物　理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．３２０２１年３月ＣＯＬＬＥＧＥ　ＰＨＹＳＩＣＳＭａｒ．２０２１　收稿日期：２０２０－０５－２８；修回日期：２０２０－０７－２４　基金项目：中国科学技术大学教学研究项目（２０１９ｘｊｙｘｍ０７６）资助　作者简介：刘 奇（１９９９—），男，山西太原人，中国科学技术大学地球和空间科学学院２０１７级本科生．　通信作者：韦先涛，Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｘｔ＠ｕｓｔｃ．ｅｄｕ．ｃｎ櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻殻殻殻大学生园地　单摆测重力加速度实验的改进刘 奇１，谭雨莎１，韦先涛２，张　权２，赵　伟２，朱　玲２（１．中国科学技术大学地球和空间科学学院，安徽合肥　２３００２６；２．中国科学技术大学物理学院，安徽合肥　２３００２６）摘要：在单摆测重力加速度实验中，很难对摆长进行非常精确的测量，在较好的测量条件下其测量精度一般也只能达到毫米量级，所测得重力加速度的相对误差一般在１％左右．针对这一问题，本文通过对单摆实验装置进行改进，利用与摆线连接在一起的游标卡尺精确测量摆长的改变量而不直接测量单摆摆长，可将测量精度提高到０．０２毫米．同时利用光电门测量摆球摆动周期，并对不同的摆线材质和直径进行了对比实验和分析，在最佳条件下可将重力加速度的测量误差控制在０．１％以内．关键词：单摆；重力加速度；摆线；摆长改变量；角振幅中图分类号：Ｏ４ ３４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０３ ００５６ ０６【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００２１５单摆实验是一个非常经典的物理实验，根据摆的等时性原理制造的机械钟将人类的计时精度提高了近１００倍［１ ２］．在用单摆测量重力加速度实验中，由于摆长不易准确测得，导致重力加速度的测量精度无法做到很高，一般只能达到１％左右．本实验希望通过对实验方法进行改进，将直接测量单摆摆长改进为测量摆长的改变量，提高长度的测量精度；通过拟合摆长改变量（ΔＬ）与单摆周期平方（Ｔ２）之间的线性关系，获得重力加速度，并探讨改进摆线材料、测量方法、计算方法，使实验误差进一步减小，实际的实验误差可控制在０．１％以内．１　实验部分１．１　实验器材在传统单摆实验装置的基础上，添加了游标卡尺和光电门，分别测量单摆摆长的改变量和单摆周期．同时考虑到实验中需要改变摆线的长度、光电门的位置，本文设计了摆长调节装置和配套的可移动光电门，用于追踪摆球的移动．实验装置如图１所示．摆线通过固定旋钮后与游标卡尺的游标连接在一起．实验中发现采用不同材质、直径的摆线对实验结果有较大影响，主要是由于摆线的质量不可忽略，并且摆线并非完全无弹性，导致实验过程中摆线的改变量并不完全等于两次游标卡尺的读数之差．因此本文对不同材质、不同直径的摆线进行了多次重复测量．采用的摆线共有５种，如表１所示．图１　改进后的单摆实验装置图第３期 刘 奇，等：单摆测重力加速度实验的改进５７表１　摆线的材料和直径Ｄ编号①②③④⑤材料鱼线鱼线鱼线尼龙线尼龙线Ｄ／ｍｍ０．２００．２５０．３００．２５０．３０１．２　长度测量直接测量摆长时由于采用毫米刻度尺，且摆长的起止位置难以精确确定，其测量精度较低．因此本实验的测量方案改为用游标卡尺精确测量每次摆长的改变量．实验中摆线长度的变化范围在３２ｃｍ～６２ｃｍ．确定摆长范围后，受摆球直径和光电门尺寸的限制，每次实验中，使振幅约为２．７ｃｍ，这样可以保证摆动的最大角度小于５°．由于摆长固定时，连接处细线的静摩擦力向上．在改变摆长时，应使连接处的滑动摩擦力也向上，和静摩擦力保持同一方向，故采取逐步增大摆长的方式测量．１．３　时间测量实验中用光电门测单摆摆动的时长和周期数，采用的数字计时器是４位数显．实验中发现，在不同摆长下测单摆摆动１０个周期的时长时，摆长较短测得的时间不足１０ｓ，因而光电门的测量数据可以精确到０．００１ｓ；而摆长较长时测得的时间超过１０ｓ，光电门的测量数据只能精确到０．０１ｓ．为了保证实验的较高精度，应使得在摆长较短或较长时光电门的测量数据都可以精确到０．００１ｓ（时长小于１０ｓ），故单摆周期的选择受到了一定限制．进一步考虑到为了减小实验数据的偶然性，实验应当多次重复测量，单摆周期数选在４～８个周期内可以满足上述要求．通过控制变量，对于每一个摆长分别取测量４、６、８个周期的时长，记为４Ｔ、６Ｔ和８Ｔ．摆动周期的平均值（ｎＴ）／ｎ（ｎ＝４，６，８）如表２所示，其中Ｌ为游标卡尺的读数．综合三组数据，发现周期测量的偏差都小于０．１％，在后续的实验中都统一测量６个周期的时长．表２　在同一摆长处取不同周期数时的平均摆动周期Ｌ／ｍｍ４Ｔ／４／ｓ６Ｔ／６／ｓ８Ｔ／８／ｓ４００．５６１．６１２３１．６１２６１．６１２３３００．２０１．４８４６１．４８４９１．４８３８２０１．５０１．３４５２１．３４５６１．３４５０１０５．１０１．１９３２１．１９３２１．１９３４１１．８０１．０２４０１．０２４３１．０２４６２　计算方法从单摆测重力加速度的实验原理出发，摆球的运动方程为ｍｄ２ｘｄ２ｔ＝－ｍｇｓｉｎθ（１）得到单摆周期为［３ ５］Ｔ＝２πｌｇ槡１＋１２２２ｓｉｎ２θ２＋１２２２３２４２ｓｉｎ４θ２＋…()（２）当θ很小时，认为ｓｉｎθ≈θ≈ｘｌ＜＜１，得到小角度下单摆周期的近似公式：Ｔ＝２πｌｇ槡（３）在本实验中，通过多次改变摆长测量重力加速度ｇ．设单摆初始摆长为Ｌ０，摆长改变量为ΔＬＴ０＝２πＬ０ｇ槡　（４）Ｔ＝２πＬ０＋ΔＬｇ槡（５）推出ΔＬ＝ｇ４π２Ｔ２－Ｌ０（６）多次改变ΔＬ的大小，测出对应的Ｔ．如对ΔＬ（或Ｌ０＋ΔＬ）和Ｔ２做直线拟合可得到斜率ｋ，则可得重力加速度ｇ为ｇ＝４π２ｋ（７）３　结果与讨论３．１　两种改变摆长方式的对比分析用同一种鱼线分别采取摆长逐渐增大和逐渐减小的方式，对重力加速度进行测量，每个摆长下重复测量周期５次，测量得到的实验数据（游标卡尺读数Ｌ及６个摆动周期的时长６Ｔ）分别记录在表３和表４中．通过对数据拟合处理，可以得到重力加速度ｇ．表３　摆长逐渐增大的实验数据次数１２３４５６Ｔ１／ｓ５．５３５６．８１３７．７３１８．６１１９．４１３６Ｔ２／ｓ５．５３３６．８１３７．７２６８．６１２９．４１３６Ｔ３／ｓ５．５３６６．８１３７．７３０８．６１３９．４１３６Ｔ４／ｓ５．５３５６．８１０７．７２９８．６１４９．４１３６Ｔ５／ｓ５．５３４６．８１３７．７２８８．６１０９．４１３Ｌ／ｍｍ８０．４０１８９．２６２８１．８８３８１．６４４８０．８０ｇ／ｍｓ－２９．８２２５８　大　学　物　理 第４０卷表４　摆长逐渐减小的实验数据次数１２３４５６Ｔ１／ｓ９．４０７８．６４０７．７２８６．７０６５．５３９６Ｔ２／ｓ９．４０６８．６４０７．７２５６．７０７５．５４０６Ｔ３／ｓ９．４０７８．６４０７．７２４６．７０５５．５４２６Ｔ４／ｓ９．４０３８．６４１７．７２５６．７０７５．５４２６Ｔ５／ｓ９．４０４８．６３９７．７２５６．７０６５．５３６Ｌ／ｍｍ４８３．００３８５．４４２８０．９０１７８．９０８０．４０ｇ／ｍｓ－２９．８９９从鱼线测量的数据可以看出，摆长逐渐增大比摆长逐渐减小时测得的重力加速度值更加接近公认值，误差更小．此实验结果验证了先前在长度测量部分的设想，即在改变摆长时应使连接处的滑动摩擦力也向上，和摆长不变时的静摩擦力保持同一方向．因而采取摆长逐渐增大的方式测量．３．２　不同直径、不同材质的摆线的比较实验中选取了不同直径不同材质的线共５种，分别将其作为摆线，进行多次测量，每一种线测量５次，得到重力加速度ｇ值，比较摆线的质量和弹性对实验结果的影响．这５种线分别为：直径０．２０ｍｍ鱼线、直径０．２５ｍｍ鱼线、直径０．３０ｍｍ鱼线、直径０．２５ｍｍ尼龙线、直径０．３０ｍｍ尼龙线．以直径０．３０ｍｍ尼龙线的一组实验数据为例，表５是实验中测得的原始数据．对ΔＬ和Ｔ２线性拟合，所得结果如图２所示，得到斜率ｋ＝２４９．８ｍｍ／ｓ２，置信概率为０．９５时的误差ｕｋ＝０．５ｍｍ／ｓ２，则重力加速度ｇ＝９．８６２ｍ／ｓ２，测量误差ｕｇ＝０．０２０ｍ／ｓ２，相对误差ｕｇ／ｇ＝０．００２０．查得合肥地区的重力加速度为９．７９４７ｍ／ｓ２，因此可算得测量结果与公认值之间的相对偏差ｕｒ为６．９×１０－３．表６列出了直径分别为０．２５ｍｍ、０．３０ｍｍ的尼龙线的实验测量结果、测量的相对误差以及测量值与公认值之间的相对偏差．图３是直径分别为０．２５ｍｍ、０．３０ｍｍ的尼龙线的实验测量结果分布图．表５　直径０．３０ｍｍ尼龙线的实验数据次数１２３４５６Ｔ１／ｓ７．００５７．７３６８．４１５９．０３７９．６４２６Ｔ２／ｓ７．００６７．７３９８．４１５９．０３７９．６４２６Ｔ３／ｓ７．００９７．７４０８．４１７９．０３８９．６４３６Ｔ４／ｓ７．００９７．７４０８．４１５９．０３８９．６４３６Ｔ５／ｓ７．００９７．７４０８．４１８９．０３８９．６４２续表次数１２３４５Ｔ／ｓ１．１６８１．２９０１．４０３１．５０６１．６０７Ｔ２／ｓ２１．３６４１．６６４１．９６８２．２６８２．５８２Ｌ／ｍｍ６．８０８１．９４１５７．７８２３２．８６３１１．２６ΔＬ／ｍｍ０７５．１４１５０．９８２２６．０６３０４．４６图２　直径０．３０ｍｍ尼龙线的实验数据拟合图表６　不同直径（Ｄ）尼龙线的实验测量结果、测量的相对误差ｕｇ／ｇ，以及测量值与公认值之间的相对偏差ｕｒＤ／ｍｍ编号１２３４５０．２５ｇ／ｍｓ－２９．８８５９．８８１９．８７８９．８８９９．８８１ｕｇ／ｇ（×１０－３）４．４１１０．４０５．６６．０ｕｒ（×１０－３）９．２８．８８．５９．６８．８０．３０ｇ／ｍｓ－２９．８６２９．８４２９．８５４９．８８９９．８８１ｕｇ／ｇ（×１０－３）２．０６．４５．２３．６６．４ｕｒ（×１０－３）６．９４．８６．１９．６８．８图３　直径分别为０．２５ｍｍ、０．３０ｍｍ的尼龙线的实验结果（图中实心三角形、空心正方形分别对应直径０．２５ｍｍ尼龙线、直径０．３０ｍｍ尼龙线的实验结果，长虚线是理论重力加速度值，两条短虚线是理论重力加速度值的千分之一误差的上下限）第３期刘 奇，等：单摆测重力加速度实验的改进５９　表７列出了直径分别为０．２０ｍｍ、０．２５ｍｍ、０．３０ｍｍ的鱼线的实验测量结果、测量的相对误差以及测量值与公认值之间的相对偏差，图４为直径分别为０．２０ｍｍ、０．２５ｍｍ、０．３０ｍｍ的鱼线的实验测量结果分布图．表７　不同直径（Ｄ）鱼线的实验测量结果、测量的相对误差ｕｇ／ｇ以及测量值与公认值之间的相对偏差ｕｒＤ／ｍｍ编号１２３４５０．２０ｇ／ｍｓ－２９．７９５９．７９５９．７８７９．８１０９．７９１ｕｇ／ｇ（×１０－３）７．２７．２６．０３．２４．８ｕｒ（×１０－３）０．０３１０．０３１０．７９１．６０．３８０．２５ｇ／ｍｓ－２９．８４２９．８７４９．８５４９．８８５９．７９１ｕｇ／ｇ（×１０－３）１０１２１０１４６．８ｕｒ（×１０－３）４．８８．１６．１９．２０．３８０．３０ｇ／ｍｓ－２９．８０２９．８１８９．８１０９．８２２９．８１８ｕｇ／ｇ（×１０－３）１０５．２３．６５．６６．８ｕｒ（×１０－３）０．７５２．４１．６２．８２．４图４　直径分别为０．２０ｍｍ、０．２５ｍｍ、０．３０ｍｍ的鱼线的实验结果（图中空心正方形、实心圆圈、实心三角形分别对应直径０．２５ｍｍ鱼线、直径０ ３０ｍｍ鱼线、直径０．２０ｍｍ鱼线的实验结果，三条虚线的物理含义同图３）在两种不同直径的尼龙线中，直径０．３０ｍｍ的尼龙线测得的重力加速度ｇ值更接近准确值．在三种不同直径的鱼线中，直径０．２０ｍｍ的鱼线测得的重力加速度ｇ值最接近准确值，直径０．３０ｍｍ的鱼线次之，直径０．２５ｍｍ的鱼线测得的重力加速度ｇ值误差最大．其中以直径０．２０ｍｍ的鱼线为摆线所测得的重力加速度ｇ与公认值之间的偏差都在０ １％左右，其中８０％测量值的偏差在０．１％以内，获得了较高的测量精度．表８列出了直径同为０．２５ｍｍ的尼龙线和鱼线的实验测量结果、测量的相对误差以及测量值与公认值之间的相对偏差，图５为直径同为０．２５ｍｍ的尼龙线和鱼线的实验测量结果分布图．表８　直径为０．２５ｍｍ的尼龙线和鱼线的实验测量结果、测量的相对误差ｕｇ／ｇ以及测量值与公认值之间的相对偏差ｕｒ编号１２３４５尼龙线ｇ／ｍｓ－２９．８８５９．８８１９．８７８９．８８９９．８８１ｕｇ／ｇ（×１０－３）４．４１１０．４０５．６６．０ｕｒ（×１０－３）９．２８．８８．５９．６８．８鱼线ｇ／ｍｓ－２９．８４２９．８７４９．８５４９．８８５９．７９１ｕｇ／ｇ（×１０－３）１０１２１０１４６．８ｕｒ（×１０－３）４．８８．１６．１９．２０．３８图５　直径为０．２５ｍｍ的尼龙线和鱼线的实验结果（图中实心三角形、空心正方形分别对应直径０．２５ｍｍ尼龙线、直径０．２５ｍｍ鱼线的实验结果，三条虚线的物理含义同图３）表９列出了直径同为０．３０ｍｍ的尼龙线和鱼线的实验测量结果、测量的相对误差以及测量值与公认值之间的相对偏差，图６为直径同为０．３０ｍｍ的尼龙线和鱼线的实验测量结果分布图．表９　直径为０．３０ｍｍ的尼龙线和鱼线的实验测量结果、测量的相对误差ｕｇ／ｇ以及测量值与公认值之间的相对偏差ｕｒ编号１２３４５尼龙线ｇ／ｍｓ－２９．８６２９．８４２９．８５４９．８８９９．８８１ｕｇ／ｇ（１０－３）２．０６．４５．２３．６６．４ｕｒ（１０－３）６．９４．８６．１９．６８．８鱼线ｇ／ｍｓ－２９．８０２９．８１８９．８１０９．８２２９．８１８ｕｇ／ｇ（１０－３）１０５．２３．６５．６６．８ｕｒ（１０－３）０．７５２．４１．６２．８２．４６０　大　学　物　理 第４０卷图６　直径为０．３０ｍｍ的尼龙线和鱼线的实验结果（图中实心圆圈、实心三角形分别对应直径０．３０ｍｍ尼龙线、直径０．３０ｍｍ鱼线的实验结果，三条虚线的物理含义同图３） 在两种不同材质的摆线中，无论直径为０．２５ｍｍ还是０．３０ｍｍ，采用鱼线测得的重力加速度ｇ值均优于采用尼龙线测量的结果．通过以上几组数据的分析可以发现：１）直径相同时，鱼线的测量结果明显优于尼龙线．由于尼龙线是由三股细线绕制而成，实验时摆线的旋转不可避免，尼龙线越收越紧，摆线长度的实际变化量与测量值偏差较大，并且尼龙线质量相对较大，因此实验误差相对较大．２）不同直径的摆线对测量值的影响并不与直径呈线性相关．摆线直径增大时，其质量增大，会增大实验误差，但根据杨氏模量Ｅ的定义公式Ｅ＝ＦＬ／ＳDＬ．对于材料相同、直径不同的摆线，在摆线长度Ｌ和摆线受力Ｆ相同的情况下，摆线直径增大时，即横截面积Ｓ增大时，摆线因受力产生的形变量ΔＬ减小，因摆线伸长而带来的实验误差减小．因此对于材料相同、直径不同的摆线，不同直径导致以上两方面的差异都会对实验结果造成影响．３ ３　考虑单摆周期公式的一阶小量后对实验结果的影响由单摆周期公式（２），当θ很小时，近似得到公式（３）．在考虑单摆周期公式中的一阶小量之后，近似为Ｔ＝２πｌｇ槡１＋１２２２ｓｉｎ２θ２()对直径０．２５ｍｍ的鱼线数据进行一阶小量的修正，结果如图７．考虑单摆周期公式的一阶小量修正后的结果比未修正前（即忽略一阶及以上小量）的结果更接近图７　直径０．２５ｍｍ鱼线，考虑单摆周期公式的一阶小量前后的实验结果（图中空心正方形、实心三角形分别对应直径０．２５ｍｍ鱼线考虑一阶小量修正前后的实验结果，三条虚线的物理含义同图３）真实值（实验编号５的数据可认为是实验的偶然性）．但是否考虑单摆周期公式的一阶小量对实验结果的影响远小于摆线的直径和材质对实验结果的影响．４　结论通过将直接测量单摆摆长改进为测量摆长的改变量，可以提高重力加速度的测量精度，最佳实验条件下重力加速度的测量精度可达到０．１％．在实验测量过程中，改变摆长时应使摆长逐渐增大．在本文选取的５种不同的线中，直径０．２０ｍｍ的鱼线测量结果最优．考虑单摆周期公式的一阶小量后使得实验结果更接近准确值．但是否考虑单摆周期公式的一阶小量对实验结果的影响远小于摆线的直径和材质对实验结果的影响．参考文献：［１］　吴泳华，霍剑青，浦其荣．大学物理实验（第一册）［Ｍ］北京：高等教育出版社，２００５．［２］　ＮｅｌｓｏｎＲＡ，ＯｌｓｓｏｎＭＧ．Ｔｈｅｐｅｎｄｕｌｕｍ—Ｒｉｃｈｐｈｙｓｉｃｓｆｒｏｍａｓｉｍｐｌｅｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．ＡｍｅｒｉｃａｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，１９８６，５４（２）：１１２ １２１．［３］　游艳琳，熊建文．单摆测重力加速度实验近似处理的误差分析［Ｊ］．物理通报，２０１３（５）：９２ ９５．［４］　郝建明，李咏波，和伟．单摆法测重力加速度的修正公式分析［Ｊ］．云南师范大学学报，２００４（３）：６３ ６６．［５］　易德文，盛忠志．利用单摆测重力加速度的最大摆角的再讨论［Ｊ］．物理实验，２００８（７）：４４ ４８．第３期 刘 奇，等：单摆测重力加速度实验的改进６１　ＩｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｕｓｉｎｇａｓｉｎｇｌｅｐｅｎｄｕｌｕｍｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎＬＩＵＹｕ ｑｉ１，ＴＡＮＹｕ ｓｈａ１，ＷＥＩＸｉａｎ ｔａｏ２，ＺＨＡＮＧＱｕａｎ２，ＺＨＡＯＷｅｉ２，ＺＨＵＬｉｎｇ２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥａｒｔｈａｎｄＳｐａｃｅＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｈｅｆｅｉ，Ａｎｈｕｉ２３００２６，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｈｅｆｅｉ，Ａｎｈｕｉ２３００２６，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｏｆｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｇｒａｖｉｔｙａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｂｙａｓｉｎｇｌｅｐｅｎｄｕｌｕｍ，ｉｔｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｄｅｔｅｒ ｍｉｎｅｔｈｅｐｅｎｄｕｌｕｍｌｅｎｇｔｈｖｅｒｙａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．Ｕｎｄｅｒｔｈｅｂｅｔｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔａｃｃｕｒａｃｙｃｏｕｌｄｇｅｎｅｒａｌｌｙｒｅａｃｈｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｍｉｌｌｉｍｅｔｅｒ，ａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒｏｆｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｄｇｒａｖｉｔｙａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｉｓｇｅｎｅｒａｌｌｙａｂｏｕｔ１％．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｓｏｌｖｅｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍ，ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｈｅｍｅａｓｕｒｉｎｇｐｒｅｃｉｓｉｏｎｗａｓｉｍｐｒｏｖｅｄｔｏ０．０２ｍｍｂｙｕｓｉｎｇａｖｅｒｎｉｅｒｃａｌｉｐｅｒｃｏｎｎｅｃｔｅｄｗｉｔｈａｃｙｃｌｏｉｄｔｏａｃｃｕｒａｔｅｌｙｍｅａｓｕｒｅｔｈｅｃｈａｎｇｅｏｆｐｅｎｄｕｌｕｍｌｅｎｇｔｈｉｎｓｔｅａｄｏｆｄｉｒｅｃｔｌｙｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｐｅｎｄｕｌｕｍｌｅｎｇｔｈ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｓｗｉｎｇｐｅｒｉｏｄｏｆｔｈｅｐｅｎｄｕｌｕｍｂａｌｌｉｓｍｅａｓｕｒｅｄｂｙａｐｈｏｔｏｅ ｌｅｃｔｒｉｃｇａｔｅ，ａｎｄｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｙｃｌｏｉｄｍａｔｅｒｉａｌａｎｄｄｉａｍｅｔｅｒａｒｅｃｏｍｐａｒｅｄａｎｄａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｅｒｒｏｒｏｆａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｗｉｔｈｉｎ０．１％．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｇｌｅｐｅｎｄｕｌｕｍ；ｇｒａｖｉｔｙａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ；ｃｙｃｌｏｉｄ；ｃｈａｎｇｅｏｆｐｅｎｄｕｌｕｍｌｅｎｇｔｈ；ａｎｇｕｌａｒａｍｐｌｉｔｕｄｅ（上接５５页）Ｐｒａｃｔｉｃｅｏｆｏｎｌｉｎｅａｎｄｏｆｆｌｉｎｅｂｌｅｎｄｉｎｇ－ｌｅａｒｎｉｎｇｍｏｄｅｏｆｃｏｌｌｅｇｅｐｈｙｓｉｃｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｇｏｌｄｅｎｃｏｕｒｓｅＷＡＮＧＨｕｉ，ＷＵＰｉｎｇ，ＺＨＵＨａｏ，ＺＨＡＮＧＸｉａｏ，ＸＩＥＤｏｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ，Ｓｉｃｈｕａｎ６１１７５６，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｒｅｆｏｒｍａｎｄｐｒａｃｔｉｃｅｏｆｏｎｌｉｎｅａｎｄｏｆｆｌｉｎｅｂｌｅｎｄｉｎｇ－ｌｅａｒｎｉｎｇｍｏｄｅａｒｅｃｏｎｔｉｎｕｅｄｔｏｂｅｃａｒｒｉｅｄｏｕｔｉｎｔｈｅｃｏｕｒｓｅｏｆｃｏｌｌｅｇｅｐｈｙｓｉｃｓｉｎｔｈｅｒｅｃｅｎｔｙｅａｒｓ．Ｄｕｒｉｎｇｔｈｅｐｒａｃｔｉｃｅ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔ－ｃｅｎｔｅｒｅｄｅｄｕｃａｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔａｎｄｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓｔａｎｄａｒｄｏｆｇｏｌｄｅｎｃｏｕｒｓｅ，ｎｏｔｏｎｌｙｔｈｅｒｅｆｏｒｍｏｆｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｂａｓｅｄｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｉｓｃａｒｒｉｅｄｏｕｔ，ｂｕｔａｌｓｏｔｈｅｈｉｇｈ－ｌｅｖｅｌａｎｄｃｈａｌｌｅｎｇｉｎｇｄｅｇｒｅｅｏｆｔｅａｃｈｉｎｇｃｏｎｔｅｎｔａｒｅｉｍｐｒｏｖｅｄａｎｄｔｈｅｐｒａｃｔｉｃｅｏｆａｎｅｗｔｅａｃｈｉｎｇｍｏｄｅｏｆｋｎｏｗｌｅｄｇｅｉｎｑｕｉｒｙ，ｓｐｅｃｕｌａｔｉｏｎ，ａｎｄｅｘｐａｎｓｉｏｎａｒｅｐｒｏｍｏｔｅｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｄｅｓｉｇｎａｎｄｐｒａｃｔｉｃｅｏｆｏｎｌｉｎｅａｎｄｏｆｆｌｉｎｅｂｌｅｎｄｉｎｇ－ｌｅａｒｎｉｎｇｍｏｄｅｏｆｃｏｌｌｅｇｅｐｈｙｓｉｃｓ，ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｄｅｅｐａｎｄｐｅｒｓｏｎａｌｉｚｅｄｌｅａｒｎｉｎｇｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｅｎｈａｎｃｅｄ．Ｉｎｔｈｅｐｏｓｔ－ｅｐｉｄｅｍｉｃｅｒａ，ｉｔｉｓｏｆｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｆｅｒ ｅｎｃｅｖａｌｕｅｆｏｒｔｅａｃｈｅｒｓａｎｄｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏａｃｈｉｅｖｅｈｉｇｈ－ｑｕａｌｉｔｙｏｎｌｉｎｅａｎｄｏｆｆｌｉｎｅｈｙｂｒｉｄｔｅａｃｈｉｎｇ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｅａｃｈｉｎｇｒｅｆｏｒｍ；ｇｏｌｄｅｎｃｏｕｒｓｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；ｃｏｌｌｅｇｅｐｈｙｓｉｃｓ；ｏｎｌｉｎｅａｎｄｏｆｆｌｉｎｅｂｌｅｎｄｉｎｇ ｌｅａｒｎｉｎｇｍｏｄｅ。

用单摆测定重力加快度实验注意事项及误差阐发之五兆芳芳创作1、实验原理 单摆的偏角很小（小于010）时，其摆动可视为简谐运动，摆动周期为2LT g π=，由此可得224g L T π=.从公式可以看出，只要测出单摆的摆长L 和摆动周期T ，便可计较出当地的重力加快度.2、注意事项⑴实验所用的单摆应合适理论要求，即线要细、轻、不伸长，摆球要体积小质量大（密度大），并且偏角不超出010.⑵单摆悬线上端要固定，即用铁夹夹紧，以免摆球摆动时摆线长度不稳定.⑶摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆，如图1所示.若形成的圆锥摆的摆线与竖直标的目的的夹角为α，则摆动的周期为cos 2L T g απ=，比相同摆长的单摆周期小，这时测得的重力加快度值比尺度值大.⑷计较单摆振动次数时，以摆通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计数.这样可以减小实验误差.⑸为使摆长丈量准确，从而减小实验误差，在不使用游标卡尺丈量摆球直径的情况下，可用刻度尺按图2量出1L 和2L ，再由121()2L L L +=计较出摆长.3、误差阐发⑴本实验系统误差主要来源于单摆模型自己是否合适要求，即：悬点是否固定，是单摆仍是复摆，球、线是否合适要求，振动是圆锥摆仍是在同一竖直平面内振动以及丈量哪段长度作为摆长等等.只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而疏忽不计的程度.⑵本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的丈量上.因此，要注意测准时间（周期）.要从摆球通过平衡位置开始计时，并采取倒计时的办法，不克不及多记振动次数.为了减小偶然误差，应进行多次丈量然后取平均值.⑶本实验中长度（摆线长、摆球的直径）的丈量时，读数读到毫米位便可（即便用卡尺测摆球直径也需读到毫米位）.时间的丈量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位便可.4、实验数据处理办法⑴求平均值法在本实验中要改动摆长， 并进行多次丈量，以求重力 加快度g 的平均值，如右表.⑵图象法 ① 图象法之一：2T －L 图象② 按照2L T g π=得：224T L g π=，作出2T －L 图象，求出斜率k ，则24g k π=. ②图象法之二：L －2T 图象由单摆周期公式可以推出：224gL T π=⋅，因此辨别测出一系列摆长L 对应的周期T ，作L －2T 图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k ，便可求得g 值，次数 1 2 3 4 平均值 L T g如图3所示5、实例阐发例1、利用单摆测重力加快度时，为了使实验结果尽可能准确，应选择下列哪一组实验器材？（）A、乒乓球、丝线、秒表、米尺B、软木实心球、细绳、闹钟、米尺C、铅质实心球、粗绳、秒表、米尺D、铁质实心球、丝线、秒表、米尺解析：单摆是理想化模型，摆球应质量大、体积小，摆线应细，且不成伸长，所以D选项正确.例2、针对用单摆测重力加快度的实验，下面各类对实验误差的影响的说法中正确的是（）A、在摆长和时间的丈量中，时间的丈量对实验误差影响较大B、在摆长和时间的丈量中，长度的丈量对实验误差影响较大CD值偏大解析：对于单摆测重力加快度的实验，重力加快度的表达式时间的丈量影响更大些，A选项正确；另外，如果振动次数多数了一次，会造成周期的丈量值变小，重力加快度值变大，C选项正确；若当摆长未D选项错误.综上所述，正确答案为AC选项.例3、两个同学做“利用单摆测重力加快度”的实验：⑴甲同学测得g值变小，其可能原因是（）A、测摆线长时，摆线拉得过紧B、摆线未系牢，摆动中松弛了C、试验中误将49次全振动次数记为50次D、试验中误将51次全振动次数记为50次⑵乙同学做实验时，一时找不到摆球，就用重锤代替摆球，两次辨别用不合的摆长做实验，测摆长时只测摆线长，其长度辨别为1l和2l，并相应测出其周期为1T和2T，要用上述丈量的数据正确计较出g值，那么他计较重力加快度的表达式应为：g=.解析：⑴由224lgTπ=，若g偏小，则l丈量值比真实值小或T丈量值比真实值大，故BD选项正确.⑵设重锤的等效半径为r，由224lgTπ=，得21214()l rgTπ+=，22224()l rgTπ+=.由以上两式解得：21222124()l lgT Tπ-=-.例4、在利用单摆测定重力加快度的试验中，某同学测出了多组摆长和运动周期，按照实验数据，做出了2T—l的关系图象如图1所示.⑴该同学试验中出现的错误可能是（）⑵虽然试验中出现了错误，但按照图象中的数据，仍可算出准确的重力加快度，其值为2m s.解析：⑴按照周期公式2l T g π=得：224T l g π=，从公式上可以看出2T 与l 成正比,如图2中的a 图线；如果漏加小球半径则公式应为：224()T l r g π=+，如图2中的c 图线；如果多加小球半径则公式应为：224()T l r g π=-，如图2中的b 图线.通过以上阐发可以看出该同学试验中出现的错误可能是漏加了小球半径.⑵由上述阐发可以看出，无论是漏加小球半径仍是多加小球半径，在2T —l 图象中图线的斜率是不变的.由图1可以看出24.00 4.00.990.01k s m -==+，所以重力加快度22244 3.149.874.0g m s k π⨯===.稳固练习：1、在“用单摆测定重力加快度”的试验中，下列关于误差阐发的说法正确的是（ ）A 、丈量中的周期产生的误差，对测g 值影响较大B 、测摆长时未加摆球半径，使测g 值偏小C 、重复几回实验，辨别求摆长和周期的平均值，这样所得g 值误差就削减了D 、试验中形成了水平面内的圆锥摆式运动，测得g 值偏小2、在“用单摆测定重力加快度”的试验中，甲同学画的L －2T 图象如图3中a 图线，乙同学画的L－2T图象如图3中b图线，图线不过原点的原因是甲；乙.3、将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图4甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动进程中悬线不会碰到筒壁，如果本试验的长度丈量东西只能丈量出筒的下端口到摆球球心之间的距离l，并通过改动l而测出对应的摆动周期T，再以2T为纵轴、l为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出我们想要丈量的物理量.⑴现有如下丈量东西：A、时钟；B、秒表；C、天平；D、毫米刻度尺.本实验所需的丈量东西有；⑵如果试验中所得到的2T—l的关系图象如图4乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的；⑶由图象可知，小筒的深度h=cm；当m s.地重力加快度g=2稳固练习参考答案：1、AB2、多加了小球半径、漏加了小球半径3、⑴BD ⑵a⑶。