2014届丽水中学高三数学(理)寒假作业(一)试题及答案

2014年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ；2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ； 7．A ； 8．D ； 9．B ； 10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示： 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）． 因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．10； 12．512； 13．138+（或6562）； 14．38； B A C DE FP 015．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆,由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切,⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交, 且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分）18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且AC a b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得AC A B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ． ∴ 6π=B （65π=B 舍）． （Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2．又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =．所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ，即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小．19．（Ⅰ）（本小题7分）当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ．∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥．∴⊥CD 平面PAD ．又⊂AE 平面PAD ，∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点，∴AE PD ⊥．∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ，)0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ． ∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ．设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ．（第19题）又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ．设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ， ∴ 21cos =θ，得3πθ=20．（本题满分14分） 有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．③1272452451)1(=--==ξP ． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2P245 127 245ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ．21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ，（第21题）所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ，所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(．22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OBOA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围．22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ，∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ， ∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ．由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a 42ln+-=a aa ． 令42ln )(+-=x xx x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln2<+-<a aa ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项:1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 3. 回答第n 卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回•第I 卷•选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 2已知集合A={ x |x 2x 30} , B={ x | — 2< x V 2=，则 A B =2. 3. A .[-2,-1]C .[-1,1]D .[1,2)(1 i)3 (1 i)2A .1 iB .1 iC .D . 1 i设函数f(x) , g(x)的定义域都为 R , 且f (x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g(x)是偶函数B .| f (x) |g(x)是奇函数C . f (x) |g(x) |是奇函数D .| f (x) g(x)是奇函数 4.已知F 是双曲线C : x 2 my 2 3m(m 0)的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为A . 3B .3C . ■3mD . 3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率AlB .8 C.86.如图，圆 O 的半径为1, A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线 OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为 M , 将点M 至U 直线OP 的距离表示为x 的函数f (x)，贝U y = f (x)在[0,]上的图像大致7 5A .B .C .3D .22 21，若f (x)存在唯一的零点x °，且x ° >0,则a 的取值范围为A . (2, +s)B . (-g, -2)C . (1, +s)12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为a,b,k 分别为1,2,3，则输出的 AB .C .352(o‘2)，(0,—)，且 tanA ■ 3B .22C .3-D .215』，则cos9.不等式组y 2y 的解集记为 4D •有下面四个命题:Pi:(x,y) D,x 2y 2，P 2 :(x,y) D,x 2y 2 B :(x, y) D, x 2y 3， P 4 :(x,y)D, x 2y其中真命题是A . p 2， l~3B . P 1， P 4C . P 1， P 2D . P 1，P 310.已知抛物线C : UUUT4FQ ， Q 是直线PF 与C 的一个焦点,uuu 若FP 则 | QF |= 3211.已知函数f(x)=ax 3x若输入的7.执行下图的程序框图,8.设 F ，准线为，P 是I 上一点，y 28x 的焦点为A.6 2 B .4 2 C.6 D .4本卷包括必考题和选考题两个部分。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式24πS R = V Sh =球的体积公式其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 33π4V R =台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =+锥体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,13V Sh =h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积,如果事件A ,B 互斥,那么h 表示锥体的高()()()P A B P A P B +=+选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|2}U x x =∈Ν≥,集合2{|5}A x x =∈N ≥,则=U A ð( )A .∅B .{2}C .{5}D .{2,5}2.已知i 是虚数单位a ,b ∈R ,则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示,则此几何体的表面积是 ( )A .290cmB .2129cmC .2132cmD .2138cm4.为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象,可以将函数y x =的图象( )A .向右平移π4个单位 B .向左平移π4个单位 C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位5.在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m n x y 项的系数为(,)f m n ,则(3,0)(2,1)(1,2)f f f ++(0,3)f +=( )A .45B .60C .120D .2106.已知函数32()f x x ax bx c =+++,且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-＜≤,则( )A .3c ≤B .36c ＜≤C .69c ＜≤D .9c ＞7.在同一直角坐标系中,函数()(0)a f x x x =>,()log a g x x =的图象可能是( )A.B.C. D.8.记,,max{,},,x x y x y y x y ⎧=⎨⎩≥＜,,min{,},,y x y x y x x y ⎧=⎨⎩≥＜设a ,b 为平面向量,则( )A .min{|a +b |,|a -b |}min{≤|a |，|b |}B .min{|a +b |,|a -b |}min{≥|a |,|b |}C .max{|a +b |2,|a -b |2}≤|a |2+|b |2D .max{|a +b |2,|a -b |2}≥|a |2+|b |29.已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3,3)m n ≥≥,从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =. 则( )A .12p p >,12()()E E ξξ<B .12p p <,12()()E E ξξ>C .12p p >,12()()E E ξξ>D .12p p <,12()()E E ξξ<10.设函数21()f x x =,22()2()f x x x =-,31()|sin 2π|3f x x =,99i ia =,0,1,2,,99i =⋅⋅⋅.记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-,1,2,3k =,则 ( )A .123I I I <<B .213I I I <<C .132I I I <<D .321I I I <<-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是.12.随机变量ξ的取值为0,1,2.若1(0)5Pξ==,()1Eξ=,则()Dξ=.13.若实数x,y满足240,10,1,x yx yx+-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时,14ax y+≤≤恒成立,则实数a的取值范围是.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种（用数字作答）.15.设函数22, 0,(), 0,x x xf xx x⎧+⎪=⎨-⎪⎩＜≥若(())2f f a≤,则实数a的取值范围是.16.设直线30(0)x y m m-+=≠与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线分别交于点A,B.若点(,0)P m满足||||PA PB=,则该双曲线的离心率是.17.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若15mAB=,25mAC=,30BCM∠=o,则tanθ的最大值是（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分14分）在ABC△中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a b≠,3c=,22cos cos3sin cos3sin cosA B A A B B-=-.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若4sin5A=,求ABC△的面积.19.（本小题满分14分）已知数列{}na和{}nb满足*123(2)()nbna a a a n⋅⋅⋅=∈Ν.若{}na为等比数列,且12a=,326b b=+.（Ⅰ）求na与nb；（Ⅱ）设*11()nn nc na b=-∈Ν.记数列{}nc的前n项和nS.（ⅰ）求nS；（ⅱ）求正整数k,使得对任意*()n∈Ν均有k nS S≥.20.（本小题满分15分）如图,在四棱锥A BCDE-中,平面ABC⊥平面BCDE,90CDE BED∠=∠=o,2AB CD==,1DE BE==,2AC=.（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B AD E--的大小.21.（本小题满分15分）如图,设椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>,动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线1l与l垂直,证明：点P到直线1l的距离的最大值为a b-.22.（本小题满分14分）已知函数3()3||()f x x x a a=+-∈R.（Ⅰ）若()f x在[1,1]-上的最大值和最小值分别记为()M a,()m a,求()()M a m a-；（Ⅱ）设b∈R.若2[()]4f x b+≤对[1,1]x∈-恒成立,求3a b+的取值范围.数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】∵[)A =-∞+∞U ，∴{2}U A =ð.选B. 【提示】先化简集合A ，结合全集，求得U A ð. 【考点】集合的基本运算 2.【答案】A【解析】若1a b ==，则2(i)2i a b +=，所以前者是后者的充分条件.若2(i)2i a b +=，则1a b ==或1a b ==-，所以后者是前者的不必要条件.选A.【提示】给出两等式，判断两者之间的关系. 【考点】充分、必要条件 3.【答案】D【解析】可知该几何体由一个三棱柱和一个长方体组合而成， 长方体的表面积1342362462108S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，三棱柱的表面积21432433335482S =⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=所以该几何体的表面积为10848213833-⨯=⨯+2cm .选D.【提示】给出三视图，判断空间几何体的直观图，判断其构成，再根据公式求解. 【考点】简单几何体的表面积 4.【答案】C【解析】sin3cos3y x x =+可化为3412y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将3y x =向右平移12π个单位即可得到sin3cos3y x x =+的图象.【提示】给出三角函数的解析式，利用两角和差的公式将其化成正弦型三角函数，再根据已给出的正弦型三角函数的解析式，观察两者之间的关系. 【考点】两角和与差的公式，三角函数的图象的平移 5.【答案】C【解析】6(1)x +的通项公式1r T +r 66C r x -=，同理4(1)y +的通项公式t 1T +=44C t ty -，令6r m -=，4t n -=，求出3322x y x y xy，，，的系数即(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)2046036120f f f f +++==+++.故选C.【提示】给出两式相乘的形式，利用二项式通项公式代入求值. 【考点】二项式定理的应用 6.【答案】C【解析】(1)12f a b c -=-+-+，(2)842f a b c -=-+-+，(3)2793f a b c -=-+-+，由(1)(2)3f f -=-=-（）得，611a b ==，，∴32()611f x x x x c =+++∵0(1)3f ≤-≤，把(1)f -代入()f x 得c 的取值范围是69c <≤.故选C.【提示】给出函数和条件，根据条件代入求值得出a ，b ，代入函数，得出关于c 的不等式，求出c 的取值范围. 【考点】函数和不等式结合 7.【答案】D【解析】只有选项D 符合，此时01a <<，幂函数()f x 在(0,)+∞上为增函数， 且当(0,1)x ∈时，()f x 的图像在直线y x =的上方，对数函数()g x 在(0,)+∞上为减函数.选D.【提示】给出幂函数和指数函数的函数表达式，画出同一直角坐标系中的图像. 【考点】幂函数与对数函数的图像 8.【答案】D【解析】对于A ，当0a =r ，0b ≠r时，不等式不成立；对于B ，当0a b =≠r r时，不等式不成立；对于C 、D ，设a b =，构造平行四边形OACB ，根据平行四边形法则，AOB ∠与OBC ∠至少有一个大于或等于90︒，根据余弦定理，22max{||,||}||||a b a b a b +-≥+r r r r r r 成立.选D. 【提示】给出新定义，根据条件判断正误. 【考点】向量运算 9.【答案】A 【解析】方法一：不妨取3m n ==此时，132313,62624p =⨯+⨯=21213332322266632123333C C C p C C C C =⨯+⨯+⨯=则12p p >；1333()12662E ξ=⨯+⨯=，212133323222666()1232C C C E C C C C ξ=⨯+⨯+⨯=，则12()()E E ξξ<.故选A.方法二：1212,222()m n m n p m n m n m n +=⨯+⨯=+++ 21122222321333m m n n m n m n m n C C C C p C C C +++=⨯+⨯+⨯=223343()(1)m m mn n n m n m n -++-++-，则12(1)06()(1)6()n m n np p m n m n m n +--==>++-+12()=12,n m m nE m n m n m nξ+⨯+⨯=+++21122222C C C C ()123C C C n m n mm n m n m n E ξ+++=⨯+⨯+⨯=223343()(1)m m mn n n m n m n -++-++-212()()0()(1)m m mnE E m n m n ξξ-+--=<++-.选A.【提示】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当1ξ=时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；2ξ=时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出1p ，2P 和1()E ξ，2()E ξ进行比较即可. 【考点】概率的计算10.【答案】B【解析】对于1I ，由于222121(1,299)999999i i i i --⎛⎫⎛⎫-==⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2122199(1352991)1;9999I =+++⋅⋅⋅+⨯-==对于2I ，由于2112|()()|99999999i i i i ----+= 22|1002|(1,2,99),99i i -=⋅⋅⋅故22250(980)2992I +=⨯⨯=222100989911.9999⨯-=< 3110219998sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)3999999999999I =π⨯-π⨯+π⨯-π⨯+⋅⋅⋅+π⨯-π⨯数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）故213I I I <<选B.【提示】给出数学概念新定义，比较1,2,3k =时，函数值的大小. 【考点】函数概念的新定义非选择题部分二、填空题 11.【答案】6【解析】第一步：0i 12i 1i i 12S S S ===+==+=，，，，； 第二步：1i 24i 3S S ====，，，； 第三步：4i 3,11i 4S S ====，，； 第四步：11i 557i 6S S ====，，，， 跳出循环，所以i 6=【提示】给出循环结构的程序框图，根据条件输出结果. 【考点】循环结构的程序框图12.【答案】25【解析】令(1)P x ξ==，(2)P y ξ==，则14155x y +=-=，2 1.x y += 解得1535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()D ξ=2221312(01)(11)(21)5555-+-+-=.【提示】给出ξ取值的部分概率和期望，求ξ的方差. 【考点】离散型随机变量的期望和方差13.【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中0(1)A ，，1(2)B ，，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭. 当0a ≤时，032y ≤≤，12x ≤≤，所以14ax y ≤≤＋不可能恒成立； 当0a >时，借助图像得，当直线z ax y =+过点A 时z 取得最小值，当直线z ax y =+过点B 或C 时z 取得最大值，故14,1214,314,2a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得132a ≤≤.故31,2a ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦.【提示】给出不等式组和一个关于a 的不等式，求实数a 的取值范围. 【考点】二元规划与不等式结合 14.【答案】60【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有223436C A =种；另一种是三人各获得一张奖券，有3424A =种.故共有60种获奖情况.【提示】结合奖券实例运用排列组合知识计算获奖情况. 【考点】排列组合 15.【答案】(,-∞【解析】函数()f x 的图象如图所示，令()t f A =，则()2f t ≤，由图象知2t ≥-，所以()2f A ≥-，则a ≤【提示】给出分段函数，求解未知数的值. 【考点】分段函数 16.【解析】双曲线的渐近线为ay x b=±，渐近线与直线30x y m -+= 的交点为,33am bm A a b a b -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，,33am bm B a b a b --⎛⎫⎪--⎝⎭.设AB 的中点为D ，由||||PA PB =知AB 与DP 垂直，则223,(3)(3)(3)(3)a m b mD a b a b a b a b ⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭，3DP k =-，解得224a b =，故. 【提示】给出直线与双曲线的方程，求双曲线的离心率. 【考点】直线与双曲线的位置关系17.【解析】由勾股定理得20BC =m.如图，过P 点作PD BC ⊥于D ，连接AD ，则由点A 观察点P 的仰角PAD θ=∠，tan PDAD θ=.设PD x =，则DC =，BD =， 在Rt ABD △中，AD ==所以tan θ===≤故tan θ.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）【提示】给出实例，求出角的大小进而求出正切值. 【考点】结合实际求角的正切值 三、解答题18.【答案】（1）π（2）S =【解析】（1）由题意得，1cos21cos22222A B A B ++--，112cos22cos222A AB B -=-，sin(2)sin(2)66A B ππ-=-，由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B +∈π，得2266A B ππ-+-=π，即23A B π+=，所以3Cπ=；（2）由c =，2[()]4f x b +≤，sin sin a c A C =得85a =， 由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=， 所以ABC △的面积为1sin 2S ac B =. 【提示】给出未知函数运用诱导公式和两角和与差的公式、正弦定理等进行化简求三角形中的角.【考点】两角和与差的公式，正弦定理19.【答案】（1）*2()n n a n =∈N*(1)()n b n n n =+∈N（2）（i ）11()12n n S n n *=-∈+N （ii ）4k =【解析】（1）由题意，*12()n b k a a a n =∈N L ，326b b -=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为*2()n n a n=∈N ，所以(1)(1)21232n n n n na a a a ++==L ，故数列{}nb 的通项公式为，*(1)()n b n n n =+∈N ；（2）（i ）由（1）知，*11111()21n n n n c n a b n n ⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭N ，所以11()12n n S n n *=-∈+N ； （ii ）因为10c =，20c >，30c >，40c >；当5n ≥时，1(1)1(1)2n nn n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n *∈N 恒有4n S S ≥，故4k =.【提示】给出已知条件，求等比数列的通项和前n 项和. 【考点】等比数列的性质以及通项公式和前n 项和的运用20.【答案】（1）在直角梯形BCDE 中，由1DEBE ==，2CD =得，BD BC =，由2AC AB ==，则222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD . （2）方法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作FG DE ∥，与AE 交于点G ，连结BG ， 如图所示，由（1）知，DE AD ⊥，则FG AD ⊥，所以BFG ∠是二面角B AD E --的平面角，在直角梯形BCDE 中，由222CD BD BC =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥，在RtACD △中，由2CD =，AC =AD = 在RtAED △中，1DE =，AD =AE =在Rt ABD △中，BD =2AB =，AD 得BF ，23AF AD =，从而23GF =，在ABE ABG △，△中，利用余弦定理分别可得2cos 3BAE BG ∠=，在BFG △中，222cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==g ，所以6BFG π∠=， 即二面角2[()]4f x b +≤的大小是6π.方法二：以D 为原点，分别以射线DE DC ，为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，由题意可知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，A ，(1,1,0)B ，设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =u r ，平面ABD 的法向量为222(,,)n xy z =r，可算得(0,2,AD =-u u u r ，(1,1,0)DB =u u u r ，(1,2,AE =-u u u r，由00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rg ur u u ur g 得，1111102020y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取(0,1,m =u r ， 由00n AD n BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r gr u u u r g 得，22220200y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，可取(1,n =-r ，于是||cos ,||m n m n m n〈〉==u r ru r r g u r r ，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角2[()]4f x b +≤的大小是6π.【提示】考查空间点、线、面位置关系，二面角，证明线面垂直，利用空间向量求解线面垂直和二面角数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）【考点】线面垂直的判定，二面角，空间向量的应用21.【答案】（1）设直线b ∈R 的方程为(0)y kx m k =+<， 由22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=， 由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222,a km b m b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又点P 在第一象限，故点P的坐标为22⎛⎫ ⎝； （2）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l的距离d =，整理得22d =，因为22222b a k ab k+≥，2222a b ≤=-，当且仅当2b k a=时等号成立，所以点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.【提示】给出椭圆的标准方程，根据直线与椭圆只有一个公共点，联立椭圆和直线的方程，求出交点坐标，并求出该点到某直线的距离.【考点】椭圆的几何性质，点到直线距离，直线与椭圆的位置关系，基本不等式22.【答案】（1）338,(1)134,13()()132,134,(1)a a a a M a m a a a a a ≤-⎧⎪⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭-=⎨⎛⎫⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩ （2）230a b -≤+≤【解析】（1）因为3333,()()33,()x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥=⎨-+<⎩，所以2233,()()33,()x x a f x x x a ⎧+≥'=⎨-<⎩，由于11x -≤≤，（i ）当1a ≤-时，有x a ≥，故3()33f x x x a =+-，此时()f x 在(1,1)-上是增函数，因此()(1)43M a f a ==-，()(1)43m a f a =-=--，()()43(43)8M a m a a a -=----=（ii ）当11a -<<时，若(,1)x a ∈，3()33f x x x a =+-，在(,1)a 上是增函数， 若(1,)x a ∈-，3()33f x x x a =-+，在(1,)a -上是减函数，所以()max{(1),(1)}m a f f =-，3()()m a f a a ==，由于(1)(1)62f f a --=-+，因此，当113a -<≤时，3()()34M a m a a a -=--+， 当113a <<时，3()()32M a m a a a -=-++， （iii ）当1a ≥时，有x a ≤，故3()33f x x x a =-+，此时()f x 在(1,1)-上是减函数，因此()(1)23M a f a =-=+，()(1)23m a f a ==-+，故()()23(23)4M a m a a a -=+-+=，综上338,(1)134,13()()132,134,(1)a a a a M a m a a a a a ≤-⎧⎪⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭-=⎨⎛⎫⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩（2）令()()h x f x b =+，则3333,()()33,()x x a b x a h x x x a b x a ⎧+-+≥=⎨-++<⎩，2233,()()33,()x x a h x x x a ⎧+≥'=⎨-<⎩，因为2[()]4f x b +≤，对[1,1]x ∈-恒成立，即(2)2h x -≤≤对[1,1]x ∈-恒成立，所以由（1）知，（i ）当1a ≤－时，()h x 在(1,1)-上是增函数， ()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)43h a b =-+，最小值是(1)43h a b -=--+，则432a b --+≥-，且432a b -+≤，矛盾；（ii ）当113a -<≤时，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)43h ab =-+，最小值是3()h a a b =+， 所以32a b +≥-，432a b -+≤，从而323362a a a b a --+≤+≤-且103a <≤，令3()23t a a a =--+，则2()330t a a '=->，()t a 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，故()(0)2t a t >=-，因此230a b -≤+≤，（iii ）当113a <<时，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)32h a b -=++，最小值是3()h a a b =+，所以32a b +≥-，322a b ++≤，解得283027a b -<+≤， （iv ）当1a ≥时，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)32h a b -=++，最小值是(1)23h a b =-++，所以322a b +≤+，322a b +-≥-，解得30a b +=. 综上3a b +的取值范围230a b -≤+≤.【提示】给出函数的表达式，求解在固定区间上的最值，利用函数导数判断函数的单调性，求解代数式的取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）A.B. C. D.8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。

2014年高三教学测试（一）理科数学1．已知集合}02|{2<-=x x x A ，1{-≤=x x B 或}1>x ，则(I A =)R B A ．}10|{<<x x B ．}21|{<≤x x C ．}10|{≤<x xD ．}21|{<<x x2．若复数z 满足i 2)i 1(-=+z ，则=+i zA ．21B ．22C ．2D ．23．为了得到函数x x x y 2cos 3cos sin 2-=的图象，可以将函数x y 2sin 2=的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度4．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是A ．若03>a ，则02013<aB ．若04>a ，则02014<aC ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S5．某程序框图如图，则该程序运行后输出的值为A ．6B ．7C ．8D ．96．对任意实数x ，若][x 表示不超过x 的最大整数，则“1<-y x ”是“][][y x =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在直角△ABC 中，︒=∠90BCA ，1==CB CA ，P 为AB 边上的点且AB AP λ=，若⋅≥⋅，则λ的取值范围是A ．]1,21[B ．]1,222[-（第5 题）C ．]221,21[+D ．]221,221[+-8．如图1，在等腰△ABC 中，ο90=∠A ，6=BC ，E D ,分别是AB AC ,上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥BCDE A -'．若⊥'O A 平面BCDE ，则D A '与平面BC A '所成角的正弦值等于A ．32错误!未找到引用源。

【KS5U 首发】贵州2013—2014学年高三寒假作业（2）数学 Word 版含答案。

doc第I 卷(选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1.已知函数()y xf x ='的图象如图3所示（其中()f x '是函数)(x f 的导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2.设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则（ )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<3。

若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=4。

阅读图1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-，则输出的y 值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．415。

等差数列}{na 的前n 项和为nS ，已知6,835==S a,则9a =（ ）A ．8B ．12C ．16D ．246.已知x 为实数，条件p ：x x <2，条件q:x12>,则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7。

若数列{}na 的通项为2(2)nan n =+，则其前n 项和n S 为（ ）A ． 112n -+B ．31121n n --+C ．31122n n --+D ．311212n n --++8.设函数)(x f 对任意y x ,满足)()()(y f x f y x f +=+,且4)2(=f ，则)1(-f 的值为（ ）图1是输出y x =|x -3||x |>3结束输入x 开始A ．3-B ．2-C ．2D ．39。

数学（理）（北京卷）参考答案 第 1 页（共 6 页）绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D（6）D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36（14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠1127=-=． （Ⅱ）在ABD △中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB⋅∠===∠． 在ABC △中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=． 所以7AC =．（16）（共13分）解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4．所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”．则C AB AB=，,A B独立．根据投篮统计数据，3()5P A=，2()5P B=．()()()P C P AB P AB=+33225555=⨯+⨯1325=．所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为13 25．（Ⅲ）EX x=．数学（理）（北京卷）参考答案第 2 页（共6 页）数学（理）（北京卷）参考答案 第 3 页（共 6 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ．又因为AB ⊄平面PDE ， 所以//AB 平面PDE ．因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF 平面PDE FG =， 所以//AB FG ．（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥．如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC −−→=．设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,AB AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)=-n ． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin |cos ,|||||BCBC BC α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n n n 12=． 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6．设点H 的坐标为(,,)u v w ．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH PC λ−−→−−→= (01λ<<)， 即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-．所以2u λ=，v λ=，22w λ=-．因为n 是平面ABF 的法向量，所以0AH −−→⋅=n ，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=．解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,)333．所以2PH =．数学（理）（北京卷）参考答案 第 4 页（共 6 页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-．因为在区间π(0,)2上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0f x f =≤．（Ⅱ）当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“s i n xb x<”等价于“sin 0x bx -<”．令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立．当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0g x g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈使得00()cos 0g x x c '=-=．()g x 与()g x '在区间π(0,)2上的情况如下：因为(g x 00．进一步，“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g c =-≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π(0,)2x ∈恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．数学（理）（北京卷）参考答案 第 5 页（共 6 页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c 故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：设点,A B 的坐标分别为00(,),(,2)x y t ，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB −−→−−→⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-． 当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d 此时直线AB 与圆222x y +=相切． 当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=． 圆心O 到直线AB 的距离d =．又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切．数学（理）（北京卷）参考答案 第 6 页（共 6 页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）1()257T P =+=，21()1max{(),24}1max{7,6}8T P T P =++=+=．（Ⅱ）2()max{,}T P a b d a c d =++++，2()max{,}T P c d b c a b '=++++．当m a =时，2()max{,}T P c d b c a b c d b '=++++=++．因为a b d c b d ++++≤，且a c d c b d ++++≤，所以22()()T P T P '≤． 当m d =时，2()max{,}T P c d b c a b c a b '=++++=++．因为a b d c a b ++++≤，且a c d c a b ++++≤，所以22()()T P T P '≤． 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立．（Ⅲ）数对序列:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)P 的5()T P 值最小，12345()10,()26,()42,()50,()52T P T P T P T P T P =====．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）A. B. C. D.8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。

2014学年第一学期高三数学教学质量检测试卷参考答案（理）一、填空题1、2π2、]2,0[3、i 24、⎩⎨⎧∈≥==*-N n n n a n n ,2,21,32 5、28 6、103 7、4 8、060 9、63 10、)14,12( 11、61 12、53 13、2 14、]41,0(19、[解]（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π 所以 3π=∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分 2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分 （2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN // 所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分 101515213151cos =-+=∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos………………12分 20、【解】（1）由条件得到03tan 8tan 32=-+αα，………………2分解得31tan =α或者3tan -=α ………………4分 παπ<<2Θ，.3tan -=∴α ………………6分（2）54tan 1tan 12cos )22sin(22=+--=-=-αααπα ………………2分+2分+2分=6分 21、（理）【解】：（1）设0)(=x f ，02)2(2=--+n x n x 得 n x x =-=21,2。

所以n a n =…………………………………………………………………………4分（2）n n n n b 2)1(31⋅⋅-+=-λ，若存在0≠λ，满足n n b b >+1恒成立 即：n n n n n n 2)1(32)1(3111⋅⋅-+>⋅⋅-+-++λλ，………………………………6分λ⋅->--11)1()23(n n 恒成立 ……………………………………………………8分 当n 为奇数时，λ>-1)23(n ⇒ 1<λ ………………………………………10分 当n 为偶数时，λ->-1)23(n ⇒ 23->λ …………………………………12分 所以 123<<-λ ………………13分， 故：1-=λ………………………14分22、【解】（1）由0)1(=f ，得21=+c a ，………………1分 因为0)(≥x f 在R x ∈时恒成立，所以0>a 且△0441≤-=ac ，161≥ac ， ………………2分 即16121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ，0161212≤+-a a ，0412≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ，所以41==c a ．……………4分 （2）由（1）得412141)(2+-=x x x f ，由0)()(<+x h x f ，得 02212<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b x b x ，即021)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛--x b x ，………………7分 所以，当21<b 时，原不等式解集为)21,(b ； 当21>b 时，原不等式解集为),21(b ； 当21=b 时，原不等式解集为空集 ． ………………10分 （3）412141)(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x x g ， ………………11分 )(x g 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线12+=m x ．假设存在实数m ，使函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-．① 当m m <+12，即1-<m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上是增函数，所以5)(-=m g ，即54121412-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m m ，解得3-=m 或37=m ， 因为1-<m ，所以3-=m ； ………………13分②当212+≤+≤m m m ，即11≤≤-m 时，函数)(x g 的最小值为5)12(-=+m g ，即 541)12(21)12(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得22121--=m 或22121+-=m ，均舍去； ………………15分③当212+>+m m ，即1>m 时，)(x g 在区间]2,[+m m 上是减函数，所以5)2(-=+m g ，即541)2(21)2(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得221--=m 或221+-=m ，因1>m ，所以221+-=m ． ………………17分综上，存在实数m ，3-=m 或221+-=m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-． ………………18分23、【解】(1)113,2n n n n a a b b n ++-=∴-=+Q , ………………2分1231,4,8b b b =∴==Q ………………4分(2)由3112727n n n n n a a n b b n ++-=-⇒-=-, ………………5分 由104n n b b n +->⇒≥,即456b b b <<<L ; ………………7分由104n n b b n +-<⇒<,即1234b b b b >>> ………………9分4k ∴=. ………………10分(3)由1111(1)(1)(2)n n n n n n n a a b b n ++++-=-⇒-=-+, ………………11分故1*1(1)(21)(2,)n n n n b b n n n N ---=-+-≥∈,12121213212121,(1)(22),,(1)(22),(1)(21)n n n n n n n n b b b b b b n b b n ------∴-=+-=-+-=-+--=-+-L ………………13分当*2()n k k N =∈时,以上各式相加得 1221122(2)(2222)[12(2)(1)]1(2)2n n n n n b b n n ------=-+-++-+--+-=+--L L 2232n n +=+ 2225132323n n n n n b +∴=++==++ ………………15分 当*21()n k k N =-∈时,111221213(1)(2)1(2)32326n n n nn n n n n b b n n +++++=--+=++-+=--+ ………………17分213,32625,323n n n n b n ⎧--+⎪⎪∴=⎨⎪++⎪⎩(21)(2)n k n k =-=,*()k N ∈ ………………18分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 210 6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D.9>c7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D.123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________EA17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。

测试卷A答案数学(理科)说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1．B 2．D 3．A 4．B5．D6．B 7．A 8．D 9．C 10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

11．313212．32 13．(4，－4) 14．(－2，－13)15．24716．120 17．[－2，2]三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

(Ⅰ) 因为4sin A sin C－2 cos (A－C)＝4sin A sin C－2cos A cos C＋2 sin A sin C＝－2(cos A cos C－sin A sin C)，所以－2 cos (A＋C)＝1，故Z数学（理科）试题答案第1页（共8页）Z 数学（理科）试题答案第 2 页 （共 8 页）cos B ＝12． 又0＜B ＜π，所以B ＝π3． ………… 6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知C ＝2π3－A ，故sin A ＋2 sin C ＝2 sin Acos Asin (A ＋θ)， 其中0＜θ＜π2，且sin θcos θ由0＜A ＜2π3知，θ＜A ＋θ＜2π3＋θ，故sin (A ＋θ)≤1． 所以sin A ＋2 sin C ∈]． ………… 14分 19．本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。

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2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4。

考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.1。

已知集合A=｛x |2230x x --≥},B=｛x ｜－2≤x ＜2＝,则A B ⋂=A 。

［—2,-1] B 。

[-1，2） C .[—1，1] D .[1，2） 2。

32(1)(1)i i +-=A .1i +B 。

1i -C .1i -+D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A 。

()f x ()g x 是偶函数B .|()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x |()g x ｜是奇函数D 。

2014届高三数学试题(理科）出卷人： 班别： 姓名： 学号： 分数： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|9}N x x =≤，则MN =（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(1,3]D ．[1,3]2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） A. 363(2)π+ B. 363(2)π+C. 1083πD. 108(32)π+(1,1)a =-，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ． 2B ．2-C ．3-D ．3ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ． 3B ．53 C ．5 D ．737．在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （ ）A ．2B ．6C ．2 或6D ．278．函数,),(D x x f y ∈=若存在常数C ，对任意的,1D x ∈存在唯一的D x ∈2使得,)()(21C x f x f =则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知],2,1[,)(3∈=x x x f 则函数3)(x x f =在[1,2]上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．22二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 10．62()x x-展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =． 若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a b a cc b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = . 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域． 17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1)【2014年浙江，理1,5分】设全集，集合,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】,，故选B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．(2）【2014年浙江，理2，5分】已知是虚数单位，,则“”是“”的（)（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，反之，,即，则，解得或,故选A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算,难度不大，属于基础题．（3）【2014年浙江，理3，5分】某几何体的三视图(单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( ）(A）90（B)129（C）132 (D)138【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：，故选D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（4）【2014年浙江，理4，5分】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（)（A）向右平移个单位（B）向左平移个单位（C）向右平移个单位（D）向左平移个单位【答案】C【解析】,而=，由，即，故只需将的图象向右平移个单位，故选C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查．（5）【2014年浙江，理5，5分】在的展开式中，记项的系数，则=（）（A）45(B）60(C)120（D)210【答案】C【解析】令，由题意知即为展开式中的系数，故=，故选C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．（6）【2014年浙江,理6，5分】已知函数，且( ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由得，解得，所以，由，得，即，故选C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．（7）【2014年浙江,理7,5分】在同一直角坐标系中，函数,的图像可能是（）（A）（B）（C）（D)【答案】D【解析】函数，分别的幂函数与对数函数答案A中没有幂函数的图像，不符合;答案B中，中，中，不符合；答案C中,中，中，不符合；答案D中，中，中,符合，故选D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．（8）【2014年浙江，理8，5分】记，，设为平面向量，则（）（A）(B)（C）（D）【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知与的大小不确定，平行四边形法可知所对的角大于或等于，由余弦定理知,（或)，故选D．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义,将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上,未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”,“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速,更有效的方法．(9）【2014年浙江，理9,5分】已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个篮球,从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b)放入个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则（）（A)（B）（C）（D）【答案】A【解析】解法一:，=，∴－=,故．又∵,，∴，又，,∴==－=，所以，故选A．解法二：在解法一中取，计算后再比较，故选A．【点评】正确理解的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令，也可以很快求解．（10）【2014年浙江，理10，5分】设函数，，，,,，记，,则（）(A)(B) (C）(D）【答案】B【解析】解法一:由，故，由，故，=，故，故选B．解法二：估算法：的几何意义为将区间等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和．如图为将函数的区间等分为4个小区间的情形,因在上递增，此时=,同理对题中给出的,同样有；而略小于，略小于，所以估算得，故选B．【点评】本题主要考查了函数的性质,关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）【2014年浙江，理11,5分】若某程序框图如图所示,当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．【答案】6【解析】第一次运行结果；第二次运行结果；第三次运行结果；第四次运行结果；第五次运行结果；此时，∴输出．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（12）【2014年浙江,理12,5分】随机变量的取值为0，1,2，若,,则= ．【答案】Array【解析】设时的概率为，的分布列为：由，解得的分布列为即为Array故．（13）【2014年浙江,理13，5分】当实数满足时，恒成立,则实数的取值范围是__．【答案】【解析】解法一：作出不等式组所表示的区域如图，由恒成立，故，三点坐标代入,均成立得解得,∴实数的取值范围是．解法二：作出不等式组所表示的区域如图，由得，由图分析可知，且在点取得最小值，在取得最大值，故，得,故实数的取值范围是．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法，是中档题．（14）【2014年浙江，理14，5分】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．【答案】60【解析】解法一:不同的获奖分两种,一是有一人获两张奖券,一人获一张奖券，共有,二是有三人各获得一张奖券,共有，因此不同的获奖情况共有种．解法二:将一、二、三等奖各1张分给4个人有种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法,因此不同的获奖情况共有种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力，属于基础题．（15）【2014年浙江，理15,5分】设函数若，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】由题意或，解得∴当或，解得．【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．(16）【2014年浙江，理16，5分】设直线() 与双曲线（）两条渐近线分别交于点,．若点满足，则该双曲线的离心率是．【答案】【解析】解法一:由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为和,分别与直线：联立方程组，解得，,，设中点为,由得,则，即，与已知直线垂直,∴，即，即得，即,即，所以．解法二：不妨设，渐近线方程为即，由消去，得,设中点为，由韦达定理得：……① ,又，由得，即得得代入①得，得，所以，所以，得．【点评】本题考查双曲线的离心率,考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．（17）【2014年浙江，理17，5分】如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练．已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小．若，,，则的最大值是(仰角为直线与平面所成角）．【答案】【解析】解法一:∵，,，∴，过作，交于，1︒当在线段上时，连接，则，设，则,(）由，得．在直角中, ∴,令，则函数在单调递减，∴时，取得最大值为2︒当在线段的延长线上时，连接，则，设，则，（）由，得，在直角中，，∴，令,则，当时；当时，所以当时，此时时,取得最大值为，综合1︒，2︒可知取得最大值为．解法二：如图以为原点，、所在的直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，,，∴，由，可设(其中），，，所以,设（），,所以,当时；当时，所以当时，所以取得最大值为．解法三：分析知，当取得最大时，即最大,最大值即为平面与地面所成的锐二面角的度量值,如图，过在面内作交于，过作于，连，则即为平面与地面所成的二面角的平面角，的最大值即为，在中,由等面积法可得，，所以．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题:本大题共5题,共72分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．（18）【2014年浙江，理18，14分】在中，内角,，所对的边分别为,,．已知，．(1)求角的大小；（2)若，求的面积．解：（1）由题得，即,,由得，又，得，即，所以．（2)，，，得，由得，从而，故=，所以，的面积为．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（19）【2014年浙江,理19，14分】已知数列和满足．若为等比数列,且．（1）求与；（2）设．记数列的前项和为．（ⅰ）求;（ⅱ)求正整数，使得对任意均有．解：（1)∵①，当，时，②，由①÷②知：当时,，令，则有，∵，∴．∵为等比数列，且，∴的公比为，则,由题意知，∴,∴．∴．又由，得:,即，∴．（2）(ⅰ）∵，∴== ==．（ⅱ）因为，，，；当时，，而，得，所以，当时，，综上,对任意恒有,故．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（20）【2014年浙江，理20,15分】如图，在四棱锥中，平面平面，，,，．（1）证明:平面；(2）求二面角的大小．解:（1）在直角梯形中，由，，得，由，得，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面．（2）解法一：作,与交于点，过点作，与交于点，连接,由(1)知，则，所以就是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面,从而，由于平面,得．在中,由，，得；在中，由,得；在中，由，，，得，，从而,在,中,利用余弦定理分别可得，．在中，，所以，,即二面角的大小为．解法二：以的原点，分别以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知各点坐标如下：，，，，．设平面的法向量为，平面的法向量为，可算得：,，，由，即，可取,由即可取，于是．由题意可知,所求二面角是锐角，故二面角的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．(21）【2014年浙江,理21，15分】如图，设椭圆:动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限．（1）已知直线的斜率为,用表示点的坐标;(2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．解：（1）解法一:设方程为，，消去得：，由于直线与椭圆只有一个公共点,故，即,解得点的坐标为，又点在第一象限，故点的坐标为．解法二：作变换，则椭圆：变为圆：，切点变为点，切线（，变为．在圆中设直线的方程为()，由，解得，即，由于,所以，得，即，代入得，即，利用逆变换代入即得：．（2）由于直线过原点且与直线垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离,整理得：,因为，所以,当且仅当时等号成立．所以,点到直线的距离的最大值为．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函数．（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求;（2）设若对恒成立，求的取值范围．解:（1）∵，∴，由于，（ⅰ）当时,有,故,所以，在上是增函数，因此,，故．（ⅱ）当时，若，,在上是增函数；若，，在上是减函数，∴，，由于，因此当时，；当时,；（ⅲ）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，,故；综上，．(2）令，则，，因为对恒成立,即对恒成立，所以由（1）知，（ⅰ)当时，在上是增函数，在上的最大值是,最小值,则且矛盾；(ⅱ）当时，在上的最小值是，最大值是，所以且，从而且，令，则，∴在上是增函数，故,因此；（ⅲ)当时,在上的最小值是，最大值是，所以由且，解得(ⅳ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以由且,解得．综上,的取值范围是．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值,考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。

2014年高三教学测试（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．B ； 6．B ；7．B ；8．D ；9．C ；10．A ．第9题提示：设椭圆1C ：1212212=-b y a x ，双曲线2C ：12222=-b y a x ，则2222121c b a b a =+=-，c a 21=，1123b a =，椭圆顶点)0,(1a A 、),0(1b B 、焦点)0,(c F 到双曲线渐近线0=+ay bx 的距离依次为c b a 1、c ab 1、cbc，从而bc b a ab +=112，所以bc bc c a +=⋅232，即b a 32=，所以)(3342222a c b a -==，2237c a =，321==a c e ．选C ． 第10题提示：在（2）z y x z y x ⋅⊕=⊕⊕)()(中，令z y x ==，得x x x x x x ⋅⊕=⊕⊕)()(，再由（1）1=⊕x x ，得x x =⊕1；在（2）z y x z y x ⋅⊕=⊕⊕)()(中，令y z =，得y y x y y x ⋅⊕=⊕⊕)()(，从而x x y y x =⊕=⋅⊕1)(，所以yxy x =⊕．所以x x x x e e e e x f 22)(⊕-⊕=x x e e --=，故)(x f 既是增函数又是奇函数，选A ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11. e ； 12. 64； 13. 32； 14.2；15.)21,2(-；16.475； 17.34-． 第17题提示：)2424)(243()24(-++-+++=++a x a x a x a x f ， 因为2424)(-++-+=a x a x x g 为偶函数，所以当且仅当0243=+a ，即34-=a 时，)24(++a x f 为奇函数，图像关于原点对称． 另解：①若4=a ，则4)4(2)(-+=x x x f ⎩⎨⎧<-≥-=)4(232)4(32222x xx x ，图像不具有中心对称性；②若4>a ，则)4)(()(-+-+=x a x a x x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--+-≤≤+->--+=)4()42)(()4())(4()()42)((x a x a x a x a x a a x a x a x ．若图像中心对称，则对称中心必为))24(,24(++a f a ． 从而，对任意a x >，)24(2)4()(+=-++a f x a f x f 恒成立， 即)24)(42()42)((x a x a a x a x -+-+---+)24)(4(2a a a ++-=恒成立， 所以⎩⎨⎧=+=+0)87(043a a a ，无解；③若4<a ，则)4)(()(-+-+=x a x a x x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--+-≤≤+->--+=)()42)(()4())(4()4()42)((a x a x a x x a a x a x a x a x ．若图像中心对称，则对称中心必为))24(,24(++a f a ． 从而，对任意4>x ，)24(2)4()(+=-++a f x a f x f 恒成立， 即)24)(42()42)((x a x a a x a x -+-+---+)24)(4(2a a a ++-=恒成立， 所以043=+a ，故34-=a ．三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=.（Ⅰ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的取值范围；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．解：（Ⅰ）x x x x f cos )cos 3(sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=23)32sin(232cos 232sin 21++=++=πx x x ….4分∵]2,0[π∈x ，∴]34,3[32πππ∈+x ，1)32sin(23≤+≤-πx ．∴]231,0[)(+∈x f ．….7分（Ⅱ）由2323)32sin()(=++=πA A f ，得0)32sin(=+πA ， 又A 为锐角，所以3π=A ，又2=b ，3=c ，所以73cos 322942=⨯⨯⨯-+=πa ，7=a ．….10分 由BbA a sin sin =，得73sin =B ，又a b <，从而A B <，72cos =B ．所以，417573237221sin sin cos cos )cos(=⋅+⋅=+=-B A B A B A …14分 19．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，3242-+=n n n a a S ，且114321,,,,,a a a a a Λ成等比数列，当11≥n 时，0>n a ．（Ⅰ）求证：当11≥n 时，}{n a 成等差数列； （Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ） 由3242-+=n n n a a S ，3241211-+=+++n n n a a S ，得n n n n n a a a a a 22412211-+-=+++，0)2)((11=--+++n n n n a a a a ………4分当11≥n 时，0>n a ，所以21=-+n n a a ，所以当11≥n 时，}{n a 成等差数列． ……….7分（Ⅱ）由3241211-+=a a a ，得31=a 或11-=a又114321,,,,,a a a a a Λ成等比数列，所以01=++n n a a （10≤n ），1-=q ， 而011>a ，所以01>a ，从而31=a ．所以⎩⎨⎧≥-≤≤-=-)11(192)101()1(31n n n a n n ， ……….11分所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤--=)11(8018)101(])1(1[232n n n n S n n ． ……….14分20．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ，ο60=∠ABC ，⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=．（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ；（Ⅱ）设二面角D CF A --的大小为θ，若1442|cos |=θ，求PA 的长．解：（Ⅰ）由1,2==AB AD ，ο60=∠ABC 得3=AC ，AC AB ⊥． 又⊥PA 面ABCD ，所以以AP AC AB ,,分别为z y x ,,轴建立坐标系如图．则),0,3,1(),0,3,0(),0,0,1(),0,0,0(-D C B A 设),0,0(c P ，则)2,23,0(cE ． 设),,(z y xF ，FD PF 2=得： ）z y x c z y x ----=-,3,1(2),,(． 解得：32-=x ，332=y ，3cz =，所以)3,332,32(cF -． ……..5分所以)3,332,32(c AF -=,)0,3,0(=AC ，)2,23,1(c BE -=． 设面ACF 的法向量为),,(z y x n =ρ，则⎪⎩⎪⎨⎧==++-00333232y z cy x ，取)2,0,(c n =ρ． 因为0=+-=⋅c c BE n ρ，且⊄BE 面ACF ，所以//BE 平面ACF ． ……..9分（Ⅱ）设面PCD 法向量为),,(z y x m =， 因为),3,0(c PC -=，),3,1(c PD --=，BAPCFE（第20题）所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0303cz y x cz y ，取)3,,0(c m =ρ ．…….. 11分由1442cos |θ，得1442343222=++c c ．044724=-+c c ，2=c ，所以2=PA ．….. 15分21．（本题满分15分）如图，两条相交线段AB 、PQ 的四个端点都在椭圆13422=+y x 上，其中，直线AB 的方程为m x =，直线PQ 的方程为n x y +=21．（Ⅰ）若0=n ，BAQ BAP ∠=∠，求m 的值；（Ⅱ）探究：是否存在常数m ，当n 变化时，恒有BAQ BAP ∠=∠？ 解：（Ⅰ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy y x 2113422，解得)23,3(--P ，)23,3(Q ．……2分因为BAQ BAP ∠=∠，所以0=+AQ AP k k ． 设),(y m A ，则0323323=--+++m y m y ， 化简得32=my ，……5分又13422=+y m ，联立方程组，解得1±=m ，或3±=m ．因为AB 平分PAQ ∠，所以3±=m 不合，故1±=m ．……7分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+n x y y x 2113422，得0336422=-+-n ny y ．)4(122n -=∆，2321ny y =+，4)1(3221-=n y y ．……9分 （第21题）若存常数m ，当n 变化时，恒有BAQ BAP ∠=∠，则由（Ⅰ）知只可能1±=m ． ①当1=m 时，取)23,1(A ，BAQ BAP ∠=∠等价于01231232211=--+--x y x y ， 即0)122)(32()122)(32(1221=---+---n y y n y y ， 即))(2(2)12(342121y y n n y y ++=++， 即)2(3)12(3)1(32+=++-n n n n ，此式恒成立．所以，存常数1=m ，当n 变化时，恒有BAQ BAP ∠=∠．……13分 ②当1-=m 时，取)23,1(--A ，由对称性同理可知结论成立．故，存常数1±=m ，当n 变化时，恒有BAQ BAP ∠=∠．……15分22．（本题满分14分）设函数x a bx ax x f )21(2131)(23-++=，R b a ∈,，0≠a ， （Ⅰ）若曲线)(x f y =与x 轴相切于异于原点的一点，且函数)(x f 的极小值为a 34-，求b a ,的值； （Ⅱ）若00>x ，且02112000=-++++x ax b x a ， ①求证：0)1(00<+'x x f a ； ②求证：)(x f 在)1,0(上存在极值点． 解：（Ⅰ）])21(323[3)(2aa x a bx x a x f -++=， 依据题意得：2)43(3)(a b x x a x f +=，且06316922≠-=a a a b ．……2分 0)4)(43()(=++='a b x a b x a x f ，得a b x 43-=或a b x 4-=． 如图，得a a b f 34)4(-=-， ∴a ab a b a 34)2)(4(32-=-，a b 4=， 代入a a a b 6316922-=得51=a ，54=b . ……4分 （Ⅱ）①)21()(2a bx ax x f -++='． )]21(1)1([)1(0020000a x bx x x a a x x f a -++++=+']211)1([002000x ax b x ax ax -++++=]2)1([02000+-+=x ax ax ax 0)2()1(02002<++-=x x x a ．……8分 ②a f 21)0(-='，b a f +-='1)1(． 若210<<a ，则021)0(>-='a f ，由①知0)1(00<+'x x f ， 所以)(x f '在)1,0(00+x x 有零点，从而)(x f 在)1,0(上存在极值点． ……10分 若21≥a ，由①知0)1(00<+'x x f ;又0)2()12(2)13()1)(21(2)1(11)1(0000000>+-+-=+--++--=+-='x x a x a x x a x x a a b a f ，所以)(x f '在)1,1(00+x x 有零点，从而)(x f 在)1,0(上存在极值点．……12分 若0<a ，由①知0)1(00>+'x x f ，0)2()12(2)13(1)1(000<+-+-=+-='x x a x a b a f ， 所以)(x f '在)1,1(00+x x 有零点，从而)(x f 在)1,0(上存在极值点． 综上知)(x f 在)1,0(上是存在极值点． ……14分命题人王书朝（嘉善）、钱卫红（嘉善）吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华2014年2月。

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔全国Ⅰ〕数学〔理科〕第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 〔1〕【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =〔 〕〔A 〕[]2,1-- 〔B 〕[)1,2- 〔C 〕[]1,1- 〔D 〕[)1,2 【答案】A【解析】∵{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<，∴{}21AB x x =-≤≤-，故选A ．〔2〕【2014年全国Ⅰ，理2，5分】()()321i 1i +=-〔 〕〔A 〕1i + 〔B 〕1i - 〔C 〕1i -+ 〔D 〕1i -- 【答案】D【解析】∵32(1i)2i(1i)1i (1i)2i++==----，故选D ． 〔3〕【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数()f x ，()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函 数，则以下结论中正确的选项是〔 〕〔A 〕()()f x g x 是偶函数 〔B 〕()()f x g x 是奇函数 〔C 〕()|()|f x g x 是奇函数 〔D 〕|()()|f x g x 是奇函数 【答案】C【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()f x 为偶函数，()g x 为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得()|()|f x g x 为奇函数，故选C ．〔4〕【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为〔 〕 〔A 〕3 〔B 〕3 〔C 〕3m 〔D 〕3m 【答案】A【解析】由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+，设()33,0F m +，一条渐近线33y x m =，即0x my -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离3331m d m+==+，故选A ．〔5〕【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率〔 〕〔A 〕18 〔B 〕38 〔C 〕58〔D 〕78【答案】D【解析】由题知()13,0F -，()23,0F 且220012x y -=，所以()()1200003,3,MF MF x y x y ⋅=---⋅-- 2220003310x y y =+-=-<，解得03333y -<<，故选D ． 〔6〕【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕【答案】B【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则sin PM x =，cos OM x =,在Rt OMP ∆中，cos sin 1cos sin sin 212x x OM PM MD x x x OP ⋅⋅===⋅=，∴()1sin 2(0)2f x x x π=≤≤，故选B ．〔7〕【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行以下图的程序框图，假设输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =〔 〕〔A 〕203〔B 〕165 〔C 〕72 〔D 〕158【答案】D【解析】输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===；2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M =，故选D ．〔8〕【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则〔 〕〔A 〕32παβ-= 〔B 〕22παβ-=〔C 〕32παβ+=〔D 〕22παβ+=【答案】B 【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+，()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<，∴2παβα-=-，即22παβ-=，故选B ．〔9〕【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是〔 〕〔A 〕2p ，3p 〔B 〕1p ，4p 〔C 〕1p ，2p 〔D 〕1p ，3p 【答案】C【解析】作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，故选C ． 〔10〕【2014年全国Ⅰ，理10，5分】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，假设4FP FQ =，则||QF =〔 〕〔A 〕72 〔B 〕52〔C 〕3 〔D 〕2【答案】C【解析】过Q 作QM l ⊥于M ，∵4FP FQ =，∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =， 由抛物线定义知3QF QM ==，故选C ．〔11〕【2014年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()3231f x ax x =-+，假设()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >， 则a 的取值范围为〔 〕〔A 〕()2,+∞ 〔B 〕(),2-∞- 〔C 〕()1,+∞ 〔D 〕(),1-∞-【答案】B【解析】解法一：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意． 当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且00x >，只需2()0f a>，即24a >，2a <-，故选B ．解法二：由已知0a ≠，()3231f x ax x =-+有唯一的正零点，等价于3113a x x =⋅-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，故选B ．〔12〕【2014年全国Ⅰ，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为〔 〕 〔A 〕62 〔B 〕42 〔C 〕6 〔D 〕4 【答案】C【解析】如下图，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，()24246DA =+=，故最长的棱的长度为6DA =，故选C ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第〔13〕题~第〔21〕题为必考题，每个试题考生都必须作答．第〔22〕题~第〔24〕题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每题5分 〔13〕【2014年全国Ⅰ，理13，5分】8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 ．〔用数字填写答案〕 【答案】20-【解析】8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+==，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==， ∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y ⋅-⋅=-，故系数为20-．〔14〕【2014年全国Ⅰ，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ． 【答案】A【解析】由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．〔15〕【2014年全国Ⅰ，理15，5分】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，假设1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ． 【答案】090【解析】∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090．〔16〕【2014年全国Ⅰ，理16，5分】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】3【解析】由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=， 224b c bc bc =+-≥，∴1sin 32ABC S bc A ∆=≤．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 〔17〕【2014年全国Ⅰ，理17，12分】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．〔1〕证明：2n n a a λ+-=；〔2〕是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．解：〔1〕由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-=．……6分〔2〕由题设11a =，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由〔1〕知31a λ=+假设{}n a 为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；证明4λ=时，{}n a 为等差数列：由24n n a a +-=知：数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为 4的等差数列2143m a m -=-，令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =-，令2,n m =则2n m =， ∴21n a n =-(2)n m =，∴21n a n =-〔*n N ∈〕，12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{}n a 为等差数列． ……12分〔18〕【2014年全国Ⅰ，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测 量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：〔1〕求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 〔同一组数据用该区间的中点值作代表〕；〔2〕由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ． 〔i 〕利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；〔ii 〕某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示100件产品中质量指标值为区间〔〕的产品件数，利用〔i 〕的结果，求EX ． 附：15012.2≈．假设2(,)ZN μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，(22)P Z μδμδ-<<+．解：〔1〕抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……6分 〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕知(200,150)Z N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=． ……9分 〔ⅱ〕由〔ⅰ〕知，一件产品中质量指标值为于区间〔〕的概率为依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=． ……12分 〔19〕【2014年全国Ⅰ，理19，12分】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． 〔1〕证明：1AC AB =；〔2〕假设1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值． 解：〔1〕连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥又 1B O CO =，故1AC AB =． ……6分 〔2〕因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如下图空间直角坐标系O xyz -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =，则30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 1131,,03B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100n AB n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取()1,3,3n =，设m 是平面的法向量，则111100m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取()1,3,3m =-，则1cos ,7n m n m n m==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17． ……12分 〔20〕【2014年全国Ⅰ，理20，12分】已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．〔1〕求E 的方程；〔2〕设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 解：〔1〕设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c =，又32c a =， 所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=． ……6分〔2〕依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k ±-=+从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+，又点O到直线PQ 的距离221d k =+，所以OPQ ∆的 面积221443214OPQ k S d PQ k∆-==+，设243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =±等号成立，且满足0∆>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：722y x =- 或722y x =--．.……12分 〔21〕【2014年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为(1)2y e x =-+． 〔1〕求,a b ；〔2〕证明：()1f x >．解：〔1〕函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b ==． ……6分〔2〕由〔1〕知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e ->-，设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-． (8)分设函数2()x h x xe e-=-，则()()1x h x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e=-．综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x > .……12分请考生在〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 〔22〕【2014年全国Ⅰ，理22，10分】〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =． 〔1〕证明：D E ∠=∠；〔2〕设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形． 解：〔1〕由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠又CB CE =，CBE E ∴∠=∠，所以D E ∠=∠ ……5分 〔2〕设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥， 所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由〔1〕知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形． ……10分〔23〕【2014年全国Ⅰ，理23，10分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知曲线22:149x y C +=，直线2:22x tl y t =+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕．〔1〕写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；〔2〕过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．解：〔1〕曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕直线l 的普通方程为260x y +-=．……5分〔2〕曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为5|4cos 3sin 6|5d θθ=+-， 则25|||5sin()6|sin305d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255． ……10分〔24〕【2014年全国Ⅰ，理24，10分】〔选修4-5：不等式选讲〕假设0a >，0b >且 11ab a b+=．〔1〕求33a b +的最小值；〔2〕是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．解：〔111a b +≥，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立．故33a b +≥≥a b ==时等号成立，所以33a b +的最小值为 ……5分〔2〕由〔1〕知，23a b +≥，由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=． ……10分。