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海南省海口市海南省中学2019-2020学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在上的函数满足，当时，，函数．若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【分析】对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，等价于：f （s）min≥g（t）min．利用分段函数的性质可得f（s）min，利用导数研究函数的单调性极值与最值可得g（t）min．【解答】解：对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，等价于：f（s）min≥g（t）min．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=，令x∈[﹣4，﹣2），则（x+4）∈[0，2]，f（x+4）=，﹣4≤x＜﹣3时，f（x）=﹣2x﹣＞﹣2×（﹣3）﹣=﹣．﹣3≤x＜﹣2时，f（x）=﹣≥﹣2．可得f（x）min=﹣8．函数g（x）=x3+3x2+m，x∈[﹣4，﹣2），g′（x）=3x2+6x=3x（x+2）＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣4，﹣2）单调递增，∴g（x）min=g（﹣4）=﹣64+48+m=m﹣16，由题意可得：﹣8≥m﹣16，解得m≤14．∴实数m的取值范围是（﹣∞，14]故选：C．2.某单位1 000名青年职员的体重x ( kg )服从正态分布N (, 22 )，且正态分布的密度曲线如图所示，若58.5 ~ 62.5 kg体重属于正常情况，则这1 000名青年职员中体重属于正常情况的人数约是（其中（1）≈0.841）（）A．682 B．841 C．341 D．667参考答案：答案:A3. 已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同参考答案：B【考点】终边相同的角；任意角的三角函数的定义．【分析】根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．【解答】解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0），∴r==5|k|=﹣5k，∴sinθ==﹣，cosθ==，∴2sinθ+cosθ=2（﹣）+=﹣故选B．4. 已知函数，在[0，]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D5. 已知，则“”是“成立”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：答案：B6. 下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A． B． C．D．第2题图第4题图第6题图参考答案：C7. 双曲线（p>0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． 2 D．1参考答案：A略8. 若变量满足约束条件，则的取值范围是A．[3，+∞) B．[－8,3] C．(－∞,9] D．[－8,9]参考答案：D9. 已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可．为了求出阴影部分的面积，联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．【解答】解：联立得，解得或，设曲线与曲线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=而Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，∴Ω上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率P==，故选D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中利用积分公式，计算出阴影部分的面积是解答本题的关键．10. 284和1024的最小公倍数是（）A．1024 B．142 C．72704 D．568参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数在（0， 1）上不是单调函数，则实数的取值范围为 _____.参考答案：略12. 如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD AB于点E. 已知圆O的半径为3，PA=2，则CD=___________.参考答案：略13. 在中，，点在边上，，，，则 .参考答案：略14. 圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周），若，则点形成的轨迹的长度为．参考答案：以所在直线为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，于是有，，因为，所以，即，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为．15. 已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数的最大值是______．参考答案：设，，．由题意知，，，即，，解得：或（舍），代入得：，，，当时，；当时，．实数的最大值是．故答案为．16. 对于函数，存在区间，当时，，则称为倍值函数。
2020届海南省海南中学高三下学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一.选择题(共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案填到答题卡,答在本试卷上无效.)1.已知集合{|1}P x R x =∈≥,{2,3}Q =,则下列关系中正确的是（ ） A. P Q = B. PQ C. Q P D. P Q R =【答案】C 【解析】由2,3均大于等于1,即可判断集合P 与Q 的关系. 【详解】因为21≥,3≥1,所以Q P ,故选:C2.已知角α为第三象限角,若tan()4πα+＝3,则sin α=（ ）A. 25B. 55 25【答案】B 【解析】由tan()34πα+=计算出tan α,再由同角三角函数的基本关系求解sin α即可【详解】由tan 11tan()33tan 41tan 2παααα++=⇒=⇒=-,又α为第三象限角,故sin α为负数, 15tan sin 2αα=⇒= 故选：B3.抽奖一次中奖的概率是90%,5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为（ ） A. 0.93B. 33250.90.1C ⨯⨯ C. 1﹣（1﹣0.9）3D. 32350.90.1C ⨯⨯【答案】B【解析】根据独立重复试验的概率公式即可得解.【详解】根据独立重复试验概率公式可得：抽奖一次中奖的概率是90%,5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为33250.90.1C⨯⨯故选：B4.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1,m2；平均数分别为s1,s2,则下面正确的是（）A. m1＞m2,s1＞s2B. m1＞m2,s1＜s2C. m1＜m2,s1＜s2D. m1＜m2,s1＞s2【答案】C【解析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数,由此能求出结果．【详解】由频率分布直方图得：甲地区[40,60）的频率为：（0.015+0.020）×10＝0.35,[60,70）的频率为0.025×10＝0.25, ∴甲地区用户满意度评分的中位数m1＝600.50.35100.25-+⨯=66,甲地区的平均数s1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．。
海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题命题人：余书胜 审核人：文德良（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注意事项：1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|430P x x x =-+≤，{|Q y y ==，则P Q =I A. [1,3] B. [2,3] C. [0,)+∞ D. ∅ 2.i 是虚数单位，则复数2i i z -=在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.已知点(2,8)在幂函数()n f x x =图像上，设0.345a f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,254b f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，125log 4c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. b a c >>B. a b c >>C. c b a >>D. b c a >> 4.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 系统抽样D. 按地区分层抽样5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15010,40S S ==，则15S =（ ）A. 80B. 90C. 100D. 1106.函数()2ln x f x x =的图象大致是( ) AB. C. D. 7.若M 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()?(2)0MB MC MB MC MA -+-=u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则ABC ∆为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 8.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96 9.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图所示，则该凸多面体的体积V =（ ）A. 1B. 1C. 6D. 12+ 10.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的面积为（ ）A.B.C.D. 11.()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，满足2()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()4f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.当ω取最小值时，函数()f x 的单调递减区间为（ ）..A. ,,12343k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B. 2,2,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C. ,,123123k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D. 2,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）.A.B. 2)C.D. 第Ⅰ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,3a =-r ，()1,b t =r ，若()2a b a -⊥r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为_____． 14.当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是_______.15.已知()()()()()921120121112111x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则1211a a a +++L 的值为 .16.若直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_____．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知()22sin ,cos ,,2),()a x x b x f x a b ===⋅v v v v .(1)求()f x 最小正周期及单调递减区间;(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值和最小值. 18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22S =，416S =，{}1n a +是等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2log 33n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.19.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果的无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.20.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA PB AB ===，点N 为AB 的中点.（1）证明：AB PC ⊥；（2）若点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面角M NC P --的余弦值.21.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，(20)A ，为椭圆与x 轴的一个交点，过原点O 的直线交椭圆于,B C 两点，且•0AC BC =u u u v u u u v ，2BC AC =u u u v u u u v .（1）求此椭圆方程；（2）若(),P x y 为椭圆上的点且P 的横坐标1x ≠±，试判断•PB PC k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.22.己知()()11f x n x a ax =+-+;(1)讨论函数单调性;(2)当0a ⎛∈ ⎝⎭)时，函数有两个零点12,x x ，证明:120x x +>.。
绝密★启用前海南中学2020届高三第七次月考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A.62B.32C.64D.302.命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是（ ） A.0x ∃<，使2310x x -+< B.0x ∃≥，使2310x x -+< C.0x ∀<，使2310x x -+<D.0x ∀≥，使2310x x -+<3.若复数z 满足()12z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1i -B.1i +C.1i --D.1i -+4.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面5.已知函数()ln ,0,0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ） A.35B.35-C.45D.45-7.已知正项等比数列{}n a ，满足227202016a a a ⋅⋅=，则121017a a a ⋅⋅=L （ ） A.10174B.10172C.10184D.101828.已知函数()263f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A.B. C.4D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9.若幂函数()y f x =的图象经过点()3,27，则幂函数()f x 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数10.已知由样本数据点集合(){},1,2,,iix y i n =L ，求得的回归直线方程为$1.50.5y x =+，且3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ） A.变量x 与y 具有正相关关系 B.去除后的回归方程为$1.2 1.4y x =+ C.去除后y 的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0511.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（ ） A.若126x x +=，则8PQ = B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C.设()0,1M ，则1PM PP +≥D.过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条12.在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ）A.CM 与PN 是异面直线B.CM PN >C.平面PAN ⊥平面11BDD BD.过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量a r ，b r 满足1a =r ，b =r ()a ab ⊥+r r r ，则a r 与b r夹角的大小是______.14.某地有A ，B 、C 、D 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的，对于C ，因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量，写出X 的可能取值为______，并求X 的均值（即数学期望）为______.15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>，使()f x x ω≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是______（写出符合条件的全部序号）. 16.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221213e e +=______. 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设22log n an n c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，边长为2，ABC ∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由. 19.在条件①()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，②sin cos 6a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，a =______. 求ABC ∆的面积. 20.（本题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=.（1）求椭圆的标准方程（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.21.（本题满分12分） 已知函数()1x af x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数） （1）若曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值. 22.（本小题满分12分）随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据其中“1x =”表示2015年，“2x =”表示2016年，依次类推；y 表示人数）：（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元，已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格.遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出偶数，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n （119n ≤≤）格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.附：在线性回归方程$$y bxa =+$，1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑$，$ay bx =-$ 绝密★启用前海南中学2020届高三第七次月考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A.62 B.32 C.64 D.30答案：D2.命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是（ ） A.0x ∃<，使2310x x -+< B.0x ∃≥，使2310x x -+< C.0x ∀<，使2310x x -+< D.0x ∀≥，使2310x x -+<答案：C3.若复数z 满足()12z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1i - B.1i +C.1i --D.1i -+【答案】D 【解析】【分析】先将()12z i i +=-等式左右两边同时除以()1i +，得到()21iz i -=+，整理至z a bi =+的形式， 由此可得共轭复数z a bi =-. 【详解】解：()12z i i +=-Q()()()()()()22121212111112i i i i i i iz i i i i i -------∴====--++-- 1z i ∴=-+故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的定义，是基础题.4.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，结合面面平行的判定，可得结果. 【详解】易知A 、C 、D 选项中α与β可能相交， 故选：B.【点睛】本题主要是考查面面平行的判定，属基础题.5.已知函数()ln ,0,0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【分析】本题可用特殊值排除法解决问题，代入特殊值1x =故排除CD ： 当3x =时，()20f -<，排除A ，当01x <<时，()10y f x =-<，当1x >时，()10y f x =-<，即可得出最后答案 【详解】解：当1x =时，()()1100ln00y f f =-==⨯=；故排除CD ； 当3x =时，()2220f e---=<，故排除A.当01x <<时，011x <-<，()()()11ln 1y f x x x =-=--，()011x <-<Q ，()ln 10x -<，()()()11ln 10y f x x x ∴=-=--<，故B 符合，当1x >时，10x -<，()111exx y f x --=-=，10x -<Q ，1e 0x-> ()1110e xxy f x --∴=-=<，故B 符合.故选：B 【点睛】本题考查函数图象，分段讨论图象的单调性、值域，利用排除法即可解得. 6.若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ） A.35B.35-C.45D.45-【答案】B 【解析】 【分析】化简函数可得()()5sin f x x ϕ=+，且4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 可知22k παϕπ+=-+（k Z ∈）时取得最小值，进而利用ϕ的三角函数值求解sin α即可【详解】由题，则()()5sin f x x ϕ=+，4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 当22k παϕπ+=-+（k Z ∈），即22k παϕπ=--+（k Z ∈）时，()f x 取得最小值，则3sin sin 2cos 25k παϕπϕ⎛⎫=--+=-=- ⎪⎝⎭，故选：B【点睛】本题考查根据正弦型函数的最值求参，考查三角函数对称轴的应用，考查运算能力 7.已知正项等比数列{}n a ，满足227202016a a a ⋅⋅=，则121017a a a ⋅⋅=L （ ）A.10174B.10172C.10184D.10182【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质以及等比中项即可求解【详解】由227202016a a a ⋅⋅=可得()27101116a a =，所以710114a a =，5092a =，所以()5081017121017710115092a a a a a a ⋅==⋅⋅L .故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题8.已知函数()263f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A.B. C.4D.解析：()()211x x e x e g x ex ex '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，则当01x <<时，()0g x '<； 当1x >时，()0g x '>，()10g '=，()g x 在1x =处取得极小值，且为定义域内唯一极值，()()min 12g x g ∴==.()2()366f x x =-++≤，作函数()y f x =的图象如图所示，当()2f x =时，方程两根分别为5-和1-，则n m -的最大值为()154---=.故选C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9.若幂函数()y f x =的图象经过点()3,27，则幂函数()f x 是（ ） A.奇函数 B.偶函数C.增函数D.减函数答案：AC10.已知由样本数据点集合(){},1,2,,iix y i n =L ，求得的回归直线方程为$1.50.5y x =+，且3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ）A.变量x 与y 具有正相关关系B.去除后的回归方程为$1.2 1.4y x =+C.去除后y 的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.05答案：AB11.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（ ） A.若126x x +=，则8PQ = B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C.设()0,1M ，则1PM PP +≥D.过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和几何性质依次判断选项即可【详解】对于选项A ，因为2p =，所以122x x PQ ++=，则8PQ =，故A 正确；对于选项B ，设N 为PQ 中点，设点N 在l 上的射影为1N ，点Q 在l 上的射影为1Q ，则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===，故B 正确；对于选项C ，因为()1,0F ，所以1PM PP PM PF MF +=+≥=C 正确； 对于选项D ，显然直线0x =，1y =与抛物线只有一个公共点，设过M 的直线为1y kx =+，联立214y kx y x =+⎧⎨=⎩，可得()222410k x k x +-+=，令0∆=，则1k =，所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题考查抛物线的几何性质的应用，考查直线与抛物线的交点个数问题，考查抛物线的定义的应用，考查数形结合思想和运算能力12.在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ）A.CM 与PN 是异面直线B.CM PN >C.平面PAN ⊥平面11BDD BD.过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由CN ，PM 交于点A 得共面，可判断A ，利用余弦定理把CM ，PN 都用AC ，AP 表示后可比较大小，证明AN 与平面11BDD B 后可得面面垂直，可判断C ，作出过P ，A ，C 三点的截面后可判断D. 【详解】C ，N ，A 共线，即CN ，PM 交于点A ，共面，因此CM ，PN 共面，A 错误； 记PAC θ∠=，则2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，又AP AC<，()2222304CM PN AC AP -=->，22CM PN >，即CM PN >.B 正确； 由于正方体中，AN BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，则1BB AN ⊥，1BB BD B ⋂=，可得AN ⊥平面11BB D D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面11BDD B ，C 正确；取11C D 中点K ，连接KP ，KC ，11A C ，易知11PK A C ∥，又正方体中，11AC AC ∥，PK AC ∴∥，PK ，AC 共面，PKCA 就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，它是等腰梯形.D 正确故选：BCD.【点睛】本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断.难度较大.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量a r ，b r 满足1a =r，b =r ()a ab ⊥+r r r ，则a r 与b r夹角的大小是______.【答案】34π 【解析】 【分析】由向量垂直的充分必要条件可得2a b a ⋅=-r r r ，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可【详解】由()a a b ⊥+r r r 得，()0a a b ⋅+=r r r，即20a a b +⋅=r r r ，据此可得：2cos ,a b a b a b a ⋅=⋅⋅=-r r r r r r r ，cos 2a b ∴⋅==-r r， 又a r 与b r 的夹角的取值范围为[]0,π，故a r 与b r 的夹角为34π.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.某地有A ，B 、C 、D 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A感染的，对于C ，因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量，写出X 的可能取值为______，并求X 的均值（即数学期望）为______. 答案：1，2，3116【分析】由题意分析得X 可取的值为1、2、3，用“X k =”（1k =、2、3）表示被A 直接感染的人数.四个人的传染情形共有6种：A B C D →→→，，，，，.每种情况发生的可能性都相等，所以A 传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况.“1x =”表示A 传染B ，没有传染给C 、D ：“2x =”表示A 传染给B 、C ，没有传染给D ，或A 传染给B 、D ，没有传染给C ：“3x =”表示A 传染给B 、C 、D .于是有()12111233P x ==⨯⨯=，()1112121123232P x ==⨯⨯+⨯⨯=，()11131236P x ==⨯⨯=.解析：X 可取的值为1、2、3，其中()113P X ==，()122P X ==，()136P X ==，分布列为()111111233266E X =⨯+⨯+⨯=15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>，使()f x x ω≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数： ①()4f x x =； ②()22f x x =+； ③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有()()12124f x f x x x -≤-. 其中是“条件约束函数”的序号是______（写出符合条件的全部序号）. 【答案】①③④ 【解析】对于①，取4ω=即可； 对于②，因为0x →时，()f x x→∞，所以不存在0ω>，使()f x x ω≤对一切实数x 均成立； 对于③，因为()()2222125214x xf x x x x x ==≤-+-+，取12ω=即可； 对于④，由于()f x 为奇函数，故()00f =，令1x x =，20x =得()4f x x ≤，故()4f x x -≤-，即()4f x x -≤，所以()4f x x ≤，取4ω=即可.点睛：新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力.16.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221213e e +=______. 【答案】4 【分析】设11PF r =，22PFr =，122F F c =，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e 由余弦定理可得()()222121242cos3c r r r r π=+-，①在椭圆中，①化简为即2212443c a r r =-②，在双曲线中，化简为即2211244c a r r =+③，所以2212134e e += 【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ，（1a a >），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设11PF r =，22PF r =，122F F c =， 椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，123F PF π∠=Q ，则∴由余弦定理可得()()222121242cos3c r r r r π=+-，①在椭圆中，①化简为即2212443c a r r =-②， 在双曲线中，①化简为即2211244c a r r =+③， 所以2212134e e += 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理是解决本题的关键.属于难题. 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设22log n an n c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，514a a d =+，1a Q ，2a ，5a 成等比数列，2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =， 解得0d =（舍去）或122d a ==，()1121n a a n d n ∴=+-=- 当1n =时，12b =， 当2n ≥时，()1112222222222n n n n n n n n n n b S S ++-=-=---=-=⨯-=验证：当1n =时，12b =满足上式， ∴数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（2）由（1）得，2122log 2n a n n n c b n -=+=+，()()()3521(21)22232n n T n -∴=++++++++L ()()35212222123n n -=+++++++++L L ()()2141142n n n -+=+- 2122232n n n +-+=+18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，边长为2，ABC ∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）10； （3）棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ， 且13PE PD =. 【解析】 【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AD 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角：（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r，由AE uuu r 与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在【详解】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，PO =，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0D ，()0,1,0C ，11,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(P ，(1,1,PC =-u u u r ，11,,022BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则011022n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩r u u u rr u u u r，取x =y =2z =，()n =r ， 平面PAD 的一个法向量为()0,1,0m =u r，cos ,10m n m n m n ⋅===u r ru r ru r r ， ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为10； （3）假设棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r（01λ≤≤），由（2）(1,0,PD =u u u r ，(AP =u u u r，(1AE AP PE AP PD λλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又平面PBC 的一个法向量是1,1,3n⎛-⎝⎭r，)103AE n λ∴⋅=--+=u u u r r ，解得13λ=，13PE PD ∴=.又AE 平面PBC ，∴棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC，且13PE PD = 【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行.解题是建立空间直角坐标系.19.在条件①()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，②sin cos 6a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，a =______. 求ABC ∆的面积. 【答案】见解析 【解析】 【分析】若选①：利用正弦定理可得()()()a b c b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，再利用余弦定理求得cos A ，进而求得bc ，从而求得面积；若选②：利用正弦定理可得sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简可得tan 3A =，即6A π=， 利用余弦定理求得bc ，从而求得面积； 若选③：根据正弦定理得sin sin sin sin 2BC B A B +=，整理可得3A π=，进而求得面积 【详解】解：若选①：由正弦定理得()()()a b c b c b c +-=- 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为()0,A π∈，所以3A π=.又()22223a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos 6A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，化简得1sin sin 22A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=. 又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以22226b c abc -+-==，即24bc =-所以(111sin 246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A π+=-， 所以cos2sin cos 222A A A =， 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠， 1sin22A ∴=，26A π=，所以3A π=. 又()22223a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系，考查三角形面积公式的应用，考查运算能力20.（本题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=.（1）求椭圆的标准方程（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）221164x y +=； （2）k >k < 【解析】 【分析】（1）根据椭圆对称性可得4a =，利用离心率可得ce a==，则c =，进而求得标准方程； （2）联立221164x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得120x x +=，1221641x x k -=+，由AQB ∠为锐角可得 0QA QB ⋅>u u u r u u u r ，整理可得()221619041k k +->+，求解即可 【详解】解：（1）设1F 为椭圆的左焦点，连接1F B ，由椭圆的对称性可知，1AF F B =， 所以128AF BF BF BF a +=+==，所以4a =，又ce a==，222a b c =+，解得c =，2b =， 所以椭圆的标准方程为221164x y += （2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()113,QA x y =-u u u r ，()223,QB x y =-u u u r， 联立221164x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()2241160k x +-=，所以120x x +=，1221641x x k -=+因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB ⋅>u u u r u u u r，所以()()()12121212123393QA QB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++u u u r u u u r()()()22121221619319041k x x k x x k +=-+++=->+，解得10k >或10k <- 考查利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，考查数量积在几何中的应用，考查运算能力与转化思想 21.（本题满分12分） 已知函数()1xaf x x e =-+（a R ∈，e 为自然对数的底数） （1）若曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值. 【答案】（1）a e =；（2）当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极值； （3）k 的最大值为1 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，由导数的几何意义，解方程()10f '=即可；（2）解方程()0f x '=，注意分类讨论，以确定()f x '的符号，从而确定()f x 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程()1f x kx =-无实数解，即关于x 的方程()11x k x e-=在R 上没有实数解.一般是分类讨论，1k =时，无实数解，1k ≠时，方程变为11x xe k =-，因此可通过求函数()x g x xe =的值域来求得k 的范围.【详解】（1）由()1x a f x x e =-+，得()1xaf x e'=-.又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴， 得()10f '=，即10ae-=，解得a e =. （2）()1xa f x e '=-， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数， 所以函数()f x 无极值.②当0a >时，令()0f x '=，得xe a =，ln x a =.(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值 （3）当1a =时，()11x f x x e=-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+， 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >，此时()010g =>，1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤. 又1k =时，()10xg x e =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1a =时，()11x f x x e=-+. 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： ()11x k x e-=（*） 在R 上没有实数解.①当1k =时，方程（*）可化为10xe =，在R 上没有实数解. ②当1k ≠时，方程（*）化为11x xe k =-. 令()x g x xe =，则有()()1x g x x e '=+. 令()0g x '=，得1x =-，当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min 1g x e=-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（*）无实数解，解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上，得k 的最大值为1.考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布. 22.（本小题满分12分）随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据其中“1x =”表示2015年，“2x =”表示2016年，依次类推；y 表示人数）：（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元，已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格.遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出偶数，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n （119n ≤≤）格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.附：在线性回归方程$$y bxa =+$，1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑$，$ay bx =-$ 【答案】（1）$4226y x =-，预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人； （2）约400元. 【解析】（1）1234535x ++++==，20501001501801005y ++++==511202503100415051801920i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑522222211234555ii x==++++=∑，故192053100425559b-⨯⨯==-⨯$，从而$10042326ay bx =-=-⨯=-$， 所以所求线性回归方程为$4226y x =-， 令4226300x ->，x N *∈，解得8x ≥.故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人. （2）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =， 第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第n （219n ≤≤）格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第1n -格，又掷出偶数，其概率为112n P - ②遥控车先到第2n -格，又掷出奇数，其概率为212n P - 所以211122n n n P P P --=+，()11212n n n n P P P P ---∴-=-- ∴当119n ≤≤时，数列{}1n n P P --是公比为12-的等比数列 1112P ∴-=-.22112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，…112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭以上各式相加，得2311111111222232n nn P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++-=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L121132n n P +⎡⎤⎛⎫∴=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（0n =，1，2，…，19） ∴获胜的概率201921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 失败的概率1920181111232P P ⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 元，200X =或500∴X 的期望2019192111150012001100432322EX ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为191 10042⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，约400元.。
