海南省海口市海南中学2020届高三第七次月考(3.8)数学试题

绝密★启用前海南中学2020届高三第七次月考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A.62B.32C.64D.302.命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是（ ） A.0x ∃<，使2310x x -+< B.0x ∃≥，使2310x x -+< C.0x ∀<，使2310x x -+<D.0x ∀≥，使2310x x -+<3.若复数z 满足()12z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1i -B.1i +C.1i --D.1i -+4.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面5.已知函数()ln ,0,0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ） A.35B.35-C.45D.45-7.已知正项等比数列{}n a ，满足227202016a a a ⋅⋅=，则121017a a a ⋅⋅=L （ ） A.10174B.10172C.10184D.101828.已知函数()263f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A.B. C.4D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9.若幂函数()y f x =的图象经过点()3,27，则幂函数()f x 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数10.已知由样本数据点集合(){},1,2,,iix y i n =L ，求得的回归直线方程为$1.50.5y x =+，且3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ） A.变量x 与y 具有正相关关系 B.去除后的回归方程为$1.2 1.4y x =+ C.去除后y 的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0511.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（ ） A.若126x x +=，则8PQ = B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C.设()0,1M ，则1PM PP +≥D.过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条12.在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ）A.CM 与PN 是异面直线B.CM PN >C.平面PAN ⊥平面11BDD BD.过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量a r ，b r 满足1a =r ，b =r ()a ab ⊥+r r r ，则a r 与b r夹角的大小是______.14.某地有A ，B 、C 、D 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染的，对于C ，因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量，写出X 的可能取值为______，并求X 的均值（即数学期望）为______.15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>，使()f x x ω≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是______（写出符合条件的全部序号）. 16.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221213e e +=______. 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设22log n an n c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，边长为2，ABC ∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由. 19.在条件①()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，②sin cos 6a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，a =______. 求ABC ∆的面积. 20.（本题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=.（1）求椭圆的标准方程（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.21.（本题满分12分） 已知函数()1x af x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数） （1）若曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值. 22.（本小题满分12分）随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据其中“1x =”表示2015年，“2x =”表示2016年，依次类推；y 表示人数）：（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元，已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格.遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出偶数，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n （119n ≤≤）格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.附：在线性回归方程$$y bxa =+$，1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑$，$ay bx =-$ 绝密★启用前海南中学2020届高三第七次月考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A.62 B.32 C.64 D.30答案：D2.命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是（ ） A.0x ∃<，使2310x x -+< B.0x ∃≥，使2310x x -+< C.0x ∀<，使2310x x -+< D.0x ∀≥，使2310x x -+<答案：C3.若复数z 满足()12z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1i - B.1i +C.1i --D.1i -+【答案】D 【解析】【分析】先将()12z i i +=-等式左右两边同时除以()1i +，得到()21iz i -=+，整理至z a bi =+的形式， 由此可得共轭复数z a bi =-. 【详解】解：()12z i i +=-Q()()()()()()22121212111112i i i i i i iz i i i i i -------∴====--++-- 1z i ∴=-+故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的定义，是基础题.4.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，结合面面平行的判定，可得结果. 【详解】易知A 、C 、D 选项中α与β可能相交， 故选：B.【点睛】本题主要是考查面面平行的判定，属基础题.5.已知函数()ln ,0,0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【分析】本题可用特殊值排除法解决问题，代入特殊值1x =故排除CD ： 当3x =时，()20f -<，排除A ，当01x <<时，()10y f x =-<，当1x >时，()10y f x =-<，即可得出最后答案 【详解】解：当1x =时，()()1100ln00y f f =-==⨯=；故排除CD ； 当3x =时，()2220f e---=<，故排除A.当01x <<时，011x <-<，()()()11ln 1y f x x x =-=--，()011x <-<Q ，()ln 10x -<，()()()11ln 10y f x x x ∴=-=--<，故B 符合，当1x >时，10x -<，()111exx y f x --=-=，10x -<Q ，1e 0x-> ()1110e xxy f x --∴=-=<，故B 符合.故选：B 【点睛】本题考查函数图象，分段讨论图象的单调性、值域，利用排除法即可解得. 6.若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ） A.35B.35-C.45D.45-【答案】B 【解析】 【分析】化简函数可得()()5sin f x x ϕ=+，且4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 可知22k παϕπ+=-+（k Z ∈）时取得最小值，进而利用ϕ的三角函数值求解sin α即可【详解】由题，则()()5sin f x x ϕ=+，4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 当22k παϕπ+=-+（k Z ∈），即22k παϕπ=--+（k Z ∈）时，()f x 取得最小值，则3sin sin 2cos 25k παϕπϕ⎛⎫=--+=-=- ⎪⎝⎭，故选：B【点睛】本题考查根据正弦型函数的最值求参，考查三角函数对称轴的应用，考查运算能力 7.已知正项等比数列{}n a ，满足227202016a a a ⋅⋅=，则121017a a a ⋅⋅=L （ ）A.10174B.10172C.10184D.10182【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质以及等比中项即可求解【详解】由227202016a a a ⋅⋅=可得()27101116a a =，所以710114a a =，5092a =，所以()5081017121017710115092a a a a a a ⋅==⋅⋅L .故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题8.已知函数()263f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A.B. C.4D.解析：()()211x x e x e g x ex ex '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，则当01x <<时，()0g x '<； 当1x >时，()0g x '>，()10g '=，()g x 在1x =处取得极小值，且为定义域内唯一极值，()()min 12g x g ∴==.()2()366f x x =-++≤，作函数()y f x =的图象如图所示，当()2f x =时，方程两根分别为5-和1-，则n m -的最大值为()154---=.故选C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9.若幂函数()y f x =的图象经过点()3,27，则幂函数()f x 是（ ） A.奇函数 B.偶函数C.增函数D.减函数答案：AC10.已知由样本数据点集合(){},1,2,,iix y i n =L ，求得的回归直线方程为$1.50.5y x =+，且3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ）A.变量x 与y 具有正相关关系B.去除后的回归方程为$1.2 1.4y x =+C.去除后y 的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.05答案：AB11.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（ ） A.若126x x +=，则8PQ = B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C.设()0,1M ，则1PM PP +≥D.过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和几何性质依次判断选项即可【详解】对于选项A ，因为2p =，所以122x x PQ ++=，则8PQ =，故A 正确；对于选项B ，设N 为PQ 中点，设点N 在l 上的射影为1N ，点Q 在l 上的射影为1Q ，则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===，故B 正确；对于选项C ，因为()1,0F ，所以1PM PP PM PF MF +=+≥=C 正确； 对于选项D ，显然直线0x =，1y =与抛物线只有一个公共点，设过M 的直线为1y kx =+，联立214y kx y x =+⎧⎨=⎩，可得()222410k x k x +-+=，令0∆=，则1k =，所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题考查抛物线的几何性质的应用，考查直线与抛物线的交点个数问题，考查抛物线的定义的应用，考查数形结合思想和运算能力12.在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ）A.CM 与PN 是异面直线B.CM PN >C.平面PAN ⊥平面11BDD BD.过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由CN ，PM 交于点A 得共面，可判断A ，利用余弦定理把CM ，PN 都用AC ，AP 表示后可比较大小，证明AN 与平面11BDD B 后可得面面垂直，可判断C ，作出过P ，A ，C 三点的截面后可判断D. 【详解】C ，N ，A 共线，即CN ，PM 交于点A ，共面，因此CM ，PN 共面，A 错误； 记PAC θ∠=，则2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，又AP AC<，()2222304CM PN AC AP -=->，22CM PN >，即CM PN >.B 正确； 由于正方体中，AN BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，则1BB AN ⊥，1BB BD B ⋂=，可得AN ⊥平面11BB D D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面11BDD B ，C 正确；取11C D 中点K ，连接KP ，KC ，11A C ，易知11PK A C ∥，又正方体中，11AC AC ∥，PK AC ∴∥，PK ，AC 共面，PKCA 就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，它是等腰梯形.D 正确故选：BCD.【点睛】本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断.难度较大.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量a r ，b r 满足1a =r，b =r ()a ab ⊥+r r r ，则a r 与b r夹角的大小是______.【答案】34π 【解析】 【分析】由向量垂直的充分必要条件可得2a b a ⋅=-r r r ，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可【详解】由()a a b ⊥+r r r 得，()0a a b ⋅+=r r r，即20a a b +⋅=r r r ，据此可得：2cos ,a b a b a b a ⋅=⋅⋅=-r r r r r r r ，cos 2a b ∴⋅==-r r， 又a r 与b r 的夹角的取值范围为[]0,π，故a r 与b r 的夹角为34π.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.某地有A ，B 、C 、D 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A感染的，对于C ，因为难以判定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量，写出X 的可能取值为______，并求X 的均值（即数学期望）为______. 答案：1，2，3116【分析】由题意分析得X 可取的值为1、2、3，用“X k =”（1k =、2、3）表示被A 直接感染的人数.四个人的传染情形共有6种：A B C D →→→，，，，，.每种情况发生的可能性都相等，所以A 传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况.“1x =”表示A 传染B ，没有传染给C 、D ：“2x =”表示A 传染给B 、C ，没有传染给D ，或A 传染给B 、D ，没有传染给C ：“3x =”表示A 传染给B 、C 、D .于是有()12111233P x ==⨯⨯=，()1112121123232P x ==⨯⨯+⨯⨯=，()11131236P x ==⨯⨯=.解析：X 可取的值为1、2、3，其中()113P X ==，()122P X ==，()136P X ==，分布列为()111111233266E X =⨯+⨯+⨯=15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>，使()f x x ω≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数： ①()4f x x =； ②()22f x x =+； ③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有()()12124f x f x x x -≤-. 其中是“条件约束函数”的序号是______（写出符合条件的全部序号）. 【答案】①③④ 【解析】对于①，取4ω=即可； 对于②，因为0x →时，()f x x→∞，所以不存在0ω>，使()f x x ω≤对一切实数x 均成立； 对于③，因为()()2222125214x xf x x x x x ==≤-+-+，取12ω=即可； 对于④，由于()f x 为奇函数，故()00f =，令1x x =，20x =得()4f x x ≤，故()4f x x -≤-，即()4f x x -≤，所以()4f x x ≤，取4ω=即可.点睛：新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力.16.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221213e e +=______. 【答案】4 【分析】设11PF r =，22PFr =，122F F c =，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e 由余弦定理可得()()222121242cos3c r r r r π=+-，①在椭圆中，①化简为即2212443c a r r =-②，在双曲线中，化简为即2211244c a r r =+③，所以2212134e e += 【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ，（1a a >），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设11PF r =，22PF r =，122F F c =， 椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，123F PF π∠=Q ，则∴由余弦定理可得()()222121242cos3c r r r r π=+-，①在椭圆中，①化简为即2212443c a r r =-②， 在双曲线中，①化简为即2211244c a r r =+③， 所以2212134e e += 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理是解决本题的关键.属于难题. 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设22log n an n c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，514a a d =+，1a Q ，2a ，5a 成等比数列，2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =， 解得0d =（舍去）或122d a ==，()1121n a a n d n ∴=+-=- 当1n =时，12b =， 当2n ≥时，()1112222222222n n n n n n n n n n b S S ++-=-=---=-=⨯-=验证：当1n =时，12b =满足上式， ∴数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（2）由（1）得，2122log 2n a n n n c b n -=+=+，()()()3521(21)22232n n T n -∴=++++++++L ()()35212222123n n -=+++++++++L L ()()2141142n n n -+=+- 2122232n n n +-+=+18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，边长为2，ABC ∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）证明：AC ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）10； （3）棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ， 且13PE PD =. 【解析】 【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AD 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角：（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r，由AE uuu r 与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在【详解】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，PO =，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0D ，()0,1,0C ，11,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(P ，(1,1,PC =-u u u r ，11,,022BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则011022n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩r u u u rr u u u r，取x =y =2z =，()n =r ， 平面PAD 的一个法向量为()0,1,0m =u r，cos ,10m n m n m n ⋅===u r ru r ru r r ， ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为10； （3）假设棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r（01λ≤≤），由（2）(1,0,PD =u u u r ，(AP =u u u r，(1AE AP PE AP PD λλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又平面PBC 的一个法向量是1,1,3n⎛-⎝⎭r，)103AE n λ∴⋅=--+=u u u r r ，解得13λ=，13PE PD ∴=.又AE 平面PBC ，∴棱PD 上存在一点E ，使得AE ∥平面PBC，且13PE PD = 【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行.解题是建立空间直角坐标系.19.在条件①()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，②sin cos 6a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，a =______. 求ABC ∆的面积. 【答案】见解析 【解析】 【分析】若选①：利用正弦定理可得()()()a b c b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，再利用余弦定理求得cos A ，进而求得bc ，从而求得面积；若选②：利用正弦定理可得sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简可得tan 3A =，即6A π=， 利用余弦定理求得bc ，从而求得面积； 若选③：根据正弦定理得sin sin sin sin 2BC B A B +=，整理可得3A π=，进而求得面积 【详解】解：若选①：由正弦定理得()()()a b c b c b c +-=- 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为()0,A π∈，所以3A π=.又()22223a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos 6A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，化简得1sin sin 22A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=. 又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以22226b c abc -+-==，即24bc =-所以(111sin 246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A π+=-， 所以cos2sin cos 222A A A =， 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠， 1sin22A ∴=，26A π=，所以3A π=. 又()22223a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系，考查三角形面积公式的应用，考查运算能力20.（本题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=.（1）求椭圆的标准方程（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）221164x y +=； （2）k >k < 【解析】 【分析】（1）根据椭圆对称性可得4a =，利用离心率可得ce a==，则c =，进而求得标准方程； （2）联立221164x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得120x x +=，1221641x x k -=+，由AQB ∠为锐角可得 0QA QB ⋅>u u u r u u u r ，整理可得()221619041k k +->+，求解即可 【详解】解：（1）设1F 为椭圆的左焦点，连接1F B ，由椭圆的对称性可知，1AF F B =， 所以128AF BF BF BF a +=+==，所以4a =，又ce a==，222a b c =+，解得c =，2b =， 所以椭圆的标准方程为221164x y += （2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()113,QA x y =-u u u r ，()223,QB x y =-u u u r， 联立221164x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()2241160k x +-=，所以120x x +=，1221641x x k -=+因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB ⋅>u u u r u u u r，所以()()()12121212123393QA QB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++u u u r u u u r()()()22121221619319041k x x k x x k +=-+++=->+，解得10k >或10k <- 考查利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，考查数量积在几何中的应用，考查运算能力与转化思想 21.（本题满分12分） 已知函数()1xaf x x e =-+（a R ∈，e 为自然对数的底数） （1）若曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值. 【答案】（1）a e =；（2）当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极值； （3）k 的最大值为1 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，由导数的几何意义，解方程()10f '=即可；（2）解方程()0f x '=，注意分类讨论，以确定()f x '的符号，从而确定()f x 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程()1f x kx =-无实数解，即关于x 的方程()11x k x e-=在R 上没有实数解.一般是分类讨论，1k =时，无实数解，1k ≠时，方程变为11x xe k =-，因此可通过求函数()x g x xe =的值域来求得k 的范围.【详解】（1）由()1x a f x x e =-+，得()1xaf x e'=-.又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴， 得()10f '=，即10ae-=，解得a e =. （2）()1xa f x e '=-， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数， 所以函数()f x 无极值.②当0a >时，令()0f x '=，得xe a =，ln x a =.(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值 （3）当1a =时，()11x f x x e=-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+， 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >，此时()010g =>，1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤. 又1k =时，()10xg x e =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1a =时，()11x f x x e=-+. 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： ()11x k x e-=（*） 在R 上没有实数解.①当1k =时，方程（*）可化为10xe =，在R 上没有实数解. ②当1k ≠时，方程（*）化为11x xe k =-. 令()x g x xe =，则有()()1x g x x e '=+. 令()0g x '=，得1x =-，当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min 1g x e=-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（*）无实数解，解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上，得k 的最大值为1.考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布. 22.（本小题满分12分）随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据其中“1x =”表示2015年，“2x =”表示2016年，依次类推；y 表示人数）：（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元，已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格.遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出偶数，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n （119n ≤≤）格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.附：在线性回归方程$$y bxa =+$，1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑$，$ay bx =-$ 【答案】（1）$4226y x =-，预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人； （2）约400元. 【解析】（1）1234535x ++++==，20501001501801005y ++++==511202503100415051801920i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑522222211234555ii x==++++=∑，故192053100425559b-⨯⨯==-⨯$，从而$10042326ay bx =-=-⨯=-$， 所以所求线性回归方程为$4226y x =-， 令4226300x ->，x N *∈，解得8x ≥.故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人. （2）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =， 第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第n （219n ≤≤）格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第1n -格，又掷出偶数，其概率为112n P - ②遥控车先到第2n -格，又掷出奇数，其概率为212n P - 所以211122n n n P P P --=+，()11212n n n n P P P P ---∴-=-- ∴当119n ≤≤时，数列{}1n n P P --是公比为12-的等比数列 1112P ∴-=-.22112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，…112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭以上各式相加，得2311111111222232n nn P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++-=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L121132n n P +⎡⎤⎛⎫∴=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（0n =，1，2，…，19） ∴获胜的概率201921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 失败的概率1920181111232P P ⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 元，200X =或500∴X 的期望2019192111150012001100432322EX ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为191 10042⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，约400元.。