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第二章平面汇交力学与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。
本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡和平面力偶系的合成与平衡问题。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法若一力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，称此力系为平面汇交力系。
P C AB OF T A F T B，，(c)OAB PC (a)OF TF T AF T B如图（b ）中所示平面共点力系（是汇交力系中一种）；如图（c ）中所示是平面汇交力系。
前者力F T A 、F T B 及F T 三个力都作用于O 点，后者力F ´T A 、F ´T B 及P 分别作用于A 、B 、C 三点上，但它们作用线延长都交于O 点。
设刚体AB 扩延至可以包含O点，则三力沿其各自作用线移至O 点。
PCABOF T A F T B，，OABC OF TF T AF T B1.平面汇交力系合成的几何法设刚体受到平面汇交力系F1、F2、F3、F4作用，其汇交点A，如图（a）所示。
为了用几何法合成，根据力的平行四边形法则，可逐步两两合成各力。
由F1、F2→FR1，由FR1、F 3→FR2；由FR2、F4→FR。
如图（b）AF1F2F3F4(a)AF1F2F3F4F R1FR2F R还可用更简便的方法求此合力F的大小和方向。
外任取R一点a将各力的矢量依次首尾相接，由此组成一个不封闭的力多边形abcde其封闭边ae为合力F大小和方向，如下图。
R根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢ae 仍然不变。
合力的作用线仍应通过原汇交点A 。
总之，平面汇交力系可简化为一个合力：其大小和方向等于各分力的矢量和（n 个之和），其作用线通过汇交点。
即∑==+++=ni in 121R F F F F F 力F R 对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。
所以称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况。
显然力系的合力大小和方向取决于各分力的代数和，即∑=nF F对于平衡情形下，显然有力系的合力为零，其力多边形自行封闭。
故平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
即121R ==+++=∑=ni i n F F F F F 其几何条件是力多边形自行封闭。
2. 平面汇交力系平衡的几何条件Fq24cm6cmACB DO(a)E例题1-1图a 所示是汽车制动机构的一部分。
司机踩到制动蹬上的力F =212 N ，方向与水平面成q = 45︒角。
当平衡时，DA 铅直，BC 水平，试求拉杆BC 所受的力。
已知EA =24 cm ，DE =6 cm (点E 在铅直线DA 上)，又B ，C ，D 都是光滑铰链，机构的自重不计。
AB D(b)ϕOqFF BF DEJF DKF BFIqϕ1.取制动蹬ABD 作为研究对象，并画出受力图。
2.作出相应的力三角形。
几何法解：cm24 ==EA OE 41246 tan ===OE DE ϕ︒==01.1441arctan ϕ()N750 sin 180sin =--︒=F F B ϕϕq 3. 由图b 几何关系得：4 .由力三角形图c 可得：例题1-1水平梁AB 中点C 作用着力F ，其大小等于2 kN ，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的约束力。
梁的自重不计。
AB30ºaaC例题1-260º30º60º30º1.取梁AB作为研究对象。
F A = F cos30︒=17.3 kNF B = F sin30︒=10 kN2.画出受力图。
3.作出相应的力三角形。
解：例题1-24.由力多边形解出：如图轧路碾子自重P = 20 kN ，半径R = 0.6 m ，障碍物高h = 0.08 m 碾子中心O 处作用一水平拉力F ，试求: (1)当水平拉力F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F 为多大。
例题1-3ROAhF BqABOPF F AF B(b)FPqF AF B1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b 所示。
30866.0 cos ==-=q q RhR 各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力P ，F ，F A 和F B 组成封闭的力多边形。
由已知条件可求得再由力多边形图c 中各矢量的几何关系可得PF F F F B A B =+=q q cos si n kN,10==FF kN34.11 cos =-=q F P F 解得解：例题1-3ROAhFB(a)q P2. 碾子能越过障碍的力学条件是F A =0，得封闭力三角形abc 。
aFF min P qF BbckN5.11 tan ==q P F kN09.23cos ==qP F B 3. 拉动碾子的最小力为kN10sin m in ==q P F 由此可得例题1-3ABOPF F AF BFPqF AF B1. 力的分解与力的投影§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法两个汇交力可以合成一个合力，其结果是唯一的。
反之，若将一个力分解成两个力，如果没有足够的附加条件，则其解答是无穷多的（是不定的）。
但一般将它分解为两个正交的分力F R x 、F R y ，如图所示：则ji F F F y x y x F F +=+=R R R 而cos , cos R R R R βq F F F F y x =⋅==⋅=j F i F F 和F 称为力F 在x 和y 轴上的投影i, j 分别是x 和y 轴方向的单位矢量由此可知，利用力在轴上的投影，可以表示力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。
不过应注意的是：分力是矢量，而力的投影是代数量。
确定不出力矢作用位置，它们是两个不同的概念。
只有对于正交坐标系它们之间的才有关系：ji F F F y x y x F F +=+=R R R 其中jF i F y y x x F F ==R R , R R ),cos( , ),cos(F F F F y x==j F i F 22R yx F F F +=如果已知力F R 在x 和y 轴上的投影，则可求得力F R 的大小和方向余弦为上式也称为力的解析表达形式F RF 1F 2F 3F nyx ijO 2、平面汇交力系合成的解析法设由n 个力组成的平面汇交力系，如图所示。
其合力F R 可表示为分力的矢量和∑==+++=ni in 121R F F F F F 由力的解析表达式j i F F F y x y x F F +=+=R R R ji F F F yi xi yi xi i F F +=+=可得)(11R ∑∑==+==+=ni yi xi ni i y x F F F F j i F j i F 由上式可得合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。
合力矢FR 的大小和方向余弦为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==niyiynyyynixixnxxxFFFFFFFFFF1211212222R)()(yixiyxFFFFF∑+∑=+=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∑==∑==RyiRyRxiRxFFFFFFFF),cos()cos(RjFi,FR其数学表达式为3.平面汇交力系的平衡方程)()(22R =∑+∑=yi xi F F F 0,0=∑=∑yi xi F F 由前节知，平面汇交力系平衡条件，该力系合力F R 等于零，即欲使上式成立，必须同时满足于是，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
上式称为平面汇交力系的平衡方程。
这是两个独立方程，可以求解也只能求解两个求知数。
Fq24cm6cmACB DO(a)E例题1-4图a 所示是汽车制动机构的一部分。
司机踩到制动蹬上的力F =212 N ，方向与水平面成q = 45︒角。
当平衡时，DA 铅直，BC 水平，试求拉杆BC 所受的力。
已知EA =24 cm ，DE =6 cm (点E 在铅直线DA 上)，又B ，C ，D 都是光滑铰链，机构的自重不计。
OqFF DϕxyFBABD1.取制动蹬ABD 作为研究对象。
2.画出受力图，并由力的可传性化为共点力系。
解:3.列出平衡方程：，， 0 0∑∑==yx FF0 sin sin 0 cos cos =-=--q ϕϕq F F F F F D D B969.0 cos , 243.0 sin ,03.14==︒=ϕϕϕN750=F 已知：例题1-4用解析法求解求如图所示平面共点力系的合力。
其中：F 1 = 200 N ，F 2 = 300 N ，F 3 = 100 N ，F 4 = 250 N 。
N3.12945 cos 45 cos 60 cos 30 cos 4321R =+--=F F F F F x N3.11245cos 45 cos 30 cos 60 cos 4321R =--+=F F F F F y 解：根据合力投影定理，得合力在轴x ，y 上的投影分别为：60F 245F 430F 1xyO45F 3例题1-5N3.1712R 2R R =+=yxF F F 656.0),cos(754.0),cos(RR R RR R ====F F F F y xj F i F 01.49),(99.40),(==j F i F 合力的大小：合力与轴x ，y 夹角的方向余弦为：所以，合力与轴x ，y 的夹角分别为：∴60F 245F 430F 1xyO45F 3例题1-5利用铰车绕过定滑轮B 的绳子吊起一货物重P = 20 kN ，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC 支持于点B 。
如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求杆AB 和BC 所受的力。
例题1-630°BPAC30°(a )yF BCFF ABPx30°30°(b)B1.取滑轮B 轴销作为研究对象。
2.画出受力图。
3.列出平衡方程：联立求解得,0,0==∑∑yxFF030sin30cos=-+FFFABBC30cos60cos=--FPFBCkN45.5-=ABF kN5.47=BCF解：例题1-6约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。
即杆AB实际上受拉力。
如图所示，重物P =20kN ，用钢丝绳挂在支架的滑轮B 上，钢丝绳的另一端绕在铰车D 上。
