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第1部份第三章 3.2.1 几类不同增加的函数模型应用创新演练1．某自行车存车处在某一天总共寄存自行车4 000辆，存车费为：电动自行车元/辆，普通自行车元/辆．若该天普通自行车存了x辆，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )A．y＝(0≤x≤4 000)B．y＝(0≤x≤4 000)C．y＝－＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝＋1 200(0≤x≤4 000)解析：由题意得y＝(4 000－x)＋＝－＋1 200.答案：C2．某工厂在2002年末制订生产计划，要使2012年末的总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增加率应为( )A．5110－1 B．4110－1C．3110－1 D．4111－1解析：2012年末的总产值在2002年末总产值基础上翻两番，设2002年末总产值为a，∴4a＝a(1＋x)10,1＋x＝4110，∴x＝4110－1.答案：B3．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水深h与时刻t的函数关系是( )解析：水深h增加的速度愈来愈快．答案：B4．某林区的丛林蓄积量平均每一年比上一年增加%，若通过x年能够增加到原来的y 倍，则函数y＝f(x)的大致图象是下图中的( )解析：设某林区的丛林蓄积量原有1个单位，则通过1年丛林的蓄积量为1＋%；通过2年丛林的蓄积量为(1＋%)2……；通过x 年的丛林蓄积量为(1＋%)x(x ≥0)，即y ＝(x ≥0)．底数大于1，按照指数函数的图象，应选D.答案：D5．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增加较快的一个是________． 解析：当x 变大时，x 比ln x 增加要快， ∴x 2要比x ln x 增加速． 答案：y ＝x 26．在某种金属材料耐高温的温度实验中，温度y 随着时刻t 转变的情形由微机记录后显示出的图象如图所示，给出下面说法：①前5分钟，温度增加的速度愈来愈快；②前5分钟，温度增加的速度愈来愈慢；③5分钟以后，温度维持匀速增加；④5分钟以后，温度维持不变．其中，说法正确的序号是________．解析：前5分钟曲线的平缓峻峭程度是先陡后平，温度增加的速度愈来愈慢；5分钟后温度维持不变．答案：②④7．某远程汽车客运公司规定旅客可随身携带必然质量的行李．若是超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y (元)是行李质量x (kg)的一次函数，其图象如图所示．(1)按照图象数据，求y 与x 之间的函数关系式； (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 由图象可知，当x ＝60时，y ＝6；当x ＝80时，y ＝10.∴⎩⎪⎨⎪⎧60k ＋b ＝6，80k ＋b ＝10.解得k ＝15，b ＝－6.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －6(x ≥30)．(2)按照题意，当y ＝0时，x ＝30.∴旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.8．某家庭进行理财投资.按照长期收益率，市场预测：投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益别离为万元和万元(如图)．(1)别离写出两种产品的收益与投资的函数关系式； (2)请帮忙该家庭分析选择哪一种投资方式收益较大.解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系式为f (x )＝k 1x ，投资股票的收益与投资额的函数关系式为g (x )＝k 2x .由图象得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝k 2＝12，因此f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)f (x )－g (x )＝18x －12x ＝18x (x －4).当x ＝0或x ＝16时，f (x )＝g (x )． 当x >16时，f (x )>g (x )． 当0<x <16时，f (x )<g (x )．所以投资额超过16万元时选择稳健型投资；当投资额小于16万元时选择风险型投资；当投资额等于16万元时两种都能够．。
1．函数y ＝3x 与y ＝3－x的图像关于下列哪条直线对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x解析：y ＝3－x ＝(13)x ，由y ＝3x 与y ＝(13)x 关于y 轴对称，所以y ＝3x 与y ＝3－x关于y 轴对称．答案：B2．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x 的图像可能是( )解析：需要对a 讨论：① 当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x 是递增的．②当0<a <1时， f (x )＝ax 过原点且经过第一、三象限，斜率小于1，g (x )＝a x 是减函数．显然B 正确． 答案：B3．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对于任意的实数x 、y 都有 ( )A ．f (xy )＝f (x )·f (y )B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )·f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) 解析：∵f (x ＋y )＝a x ＋y ，f (x )·f (y )＝a x ·a y ＝a x ＋y ＝f (x ＋y )．答案：C4．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：a ＝0.80.7>0.80.9＝b ， a ＝0.80.7<0.80＝1，∴b <a <1. 而c ＝1.20.8>1.20＝1， ∴c >a >b . 答案：D5．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a 的值为________． 解析：无论y ＝a x 在[1,2]上是增函数还是减函数， 一定在[1,2]的端点处取得最值， ∴a ＋a 2＝6，∴a 2＋a －6＝0， ∴a ＝2或a ＝－3(舍去)， ∴a ＝2. 答案：26．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，如图(1)所示，要使得y ＝2a 与y ＝|a x －1|有两个交点，需0<2a <1，故0<a <12.(1) (2)当a >1时，如图(2)所示，由于y ＝2a >2，所以y ＝2a 与y ＝|a x －1|不存在两个交点，故a 的取值范围为0<a <12.答案：0<a <127．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a <b ，b ， a ≥b .若函数y ＝2x ⊕2－x .求：(1)f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图像，并指出单调区间、值域以及奇偶性．解： (1)由a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a <b )b (a ≥b )，知y ＝2x⊕2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x <0)，2－x (x ≥0)； (2)y ＝f (x )的图像如图：在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，值域为(0,1]，为偶函数． 8．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x (e>1)是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．解：(1)依题意，对一切x ∈R ，都有f (x )＝f (－x )， ∴e x a ＋a e x ＝1a e x ＋a e x . ∴(a －1a )(e x －1e x )＝0.∴a －1a ＝0，即a 2＝1. 又a >0，∴a ＝1； (2)设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x2＋11ex －21ex＝(ex2－e x 1)(121ex x +－1)＝e x1(e x2－x1－1)·12121-e ex x x x ++，∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0，又由e>1知y ＝e x 在R 上为增函数， ∴e x 2－x 1－1>0,1－e x 1＋x 2<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。
1．下列各组函数中，定义域相同的一组是() A．y＝a x与y＝log a x(a>0，且a≠1)B．y＝x与y＝xC．y＝lg x与y＝lg xD．y＝x2与y＝lg x2解析：A中，函数y＝a x的定义域为R，y＝log a x的定义域为(0，＋∞)；B中，y＝x的定义域为R，y＝x的定义域为[0，＋∞)；C中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x∈R|x≠0}．答案：C2．已知集合M＝{x|x<3}，N＝{x|log2x>1}，则M∩N等于() A．∅B．{x|0<x<3}C．{x|1<x<3} D．{x|2<x<3}解析：由对数函数的单调性，求出集合N.∵log2x>1，∴x>2.则M∩N＝{x|2<x<3}．答案：D3．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B.12xC．log12x D．2x－2解析：由题意知f(x)＝log a x.∵f(2)＝1，∴1＝log a2，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.答案：A4．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图像是()解析：∵a >1，不妨取a ＝2，找出函数y ＝2－x 与y ＝log 2x 的图像即可． 答案：D5．函数f (x )＝2－log 2x 的定义域是________． 解析：由2－log 2x ≥0 ⇒ log 2x ≤2, ∴0<x ≤4.答案：( 0，4 ]6．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上最大值与最小值之差为________． 解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数， ∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝1. 答案：17．求下列函数的定义域：(1)y ＝lg (x －4)x －3；(2)y ＝log (3x －1)2x ＋3x －1. 解：(1)要使此函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －4＞0，x －3≠0. ∴x ≠3且x ＞4，故函数定义域为(4，＋∞)．(2)要使此函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3＞0，x －1＞0，3x －1＞0，3x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞－32，x ＞1，x ＞13，x ≠23故函数的定义域为(1，＋∞)．8．已知f (x )＝log 3x .(1)作出这个函数的图像；(2)若f (a )<f (2)，利用图像求a 的取值范围． 解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图像如图所示．(2)由图像知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． ∴所求a 的取值范围为0<a <2.。
1．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞)解析：依题意得[3×(－1)＋2－a ]·(3×3－3－a )<0， 即(a ＋1)(a －6)<0.∴－1<a <6. 答案：A2．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)＞0的点(x ，y )所在的区域为( )解析：不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集．答案：B3．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋1≥0，－2≤y ≤0B.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ≥－1，y ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －1≥0，－2≤y ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x ＋1≥0，－2≤y ≤0解析：可求得边界方程分别是x ＝－1，y ＝－2,2x ＋y －2＝0和y ＝0将阴影内的点(－1，－1)代入检验知，选A.答案：A4．(2012·山东实验中学检测)完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5x 、y ∈N ＋B.⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x y ＝23C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x 、y ∈N＋D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y <100x y ＝23解析：排除法：∵x 、y ∈N ＋，排除B 、D.又∵x 与y 的比例为2∶3，∴排除A. 答案：C5．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：对于直线x －2y ＋4＝0，令x ＝－2，则y ＝1，则点(－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上．又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是t >1.答案：(1，＋∞)6．(2012·南京高二模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域为三条直线所围成的三角形区域(直线x －y ＋4＝0的右侧，直线x ＋y ＝0的右侧，直线x ＝3的左侧)，求得三角形的三个顶点分别为(－2,2)，(3，－3)，(3,7)，注意到l 1：x －y ＋4＝0，l 2：x ＋y ＝0，l 1⊥l 2，不难求出面积为25.答案：257．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百吨，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0，x ＋y ≥0，x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ；(2)若点M (t,1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合． 解：(1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝4，解得A (4，－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＝4，解得B (4,12)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＋y ＝0解得C (－4,4)．于是可得|AB |＝16，AB 边上的高d ＝8.∴S ＝12×16×8＝64.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ t －1＋8≥0，t ＋1≥0，t ≤4，t ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7，t ≥－1，t ≤4，t ∈Z.亦即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4，t ∈Z ，得t ＝－1,0,1,2,3,4.故整数t 的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．。
1．下列函数中，是幂函数的是( )A．y＝－x 12B．y＝3x2C．y＝1xD．y＝2x解析：幂函数的形式为y＝xα，A是y＝－1×x 12；B是y＝3×x2；D是指数函数，故A、B、D都不是幂函数，只有y＝1x＝x－1符合幂函数的定义．答案：C2．给出四个说法：①当α＝0时，y＝xα的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x α在第一象限为减函数，则α<0.其中，正确的说法个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：显然①错误；②中y ＝x －1的图象不过(0，0)；根据幂函数图象可知，③④正确．答案：B3．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1，2，3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1，3. 又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.答案：A4．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)xm 2＋2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1 解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得 m ＝0.答案：A5．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (9)＝________． 解析：设幂函数f (x )＝x α.∵过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，∴2α＝22， ∴α＝－12，∴f (x )＝x 12-， ∴f (9)＝912-＝13.答案：136．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x －12＝1x (x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a 解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.答案：(3，5)7．比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5； (2)(－23)－1与(－35)－1； (3)(23)34与(34)23. 解：(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5. (2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35， ∴(－23)－1>(－35)－1. (3)∵函数y 1＝(23)x 为减函数， 又34>23，∴(23)23>(23)34. 又∵幂函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23， ∴(34)23>(23)23. ∴(34)23>(23)34.8．已知幂函数f (x )＝x a 的图像经过点A (12，2)． (1)求实数a 的值；(2)判断f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．解：(1)∵f (x )＝x a 的图象经过点A (12，2)， ∴(12)a ＝2，即2－a ＝212，∴a ＝－12. (2)减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2－12－x 1－12 ＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2·（x 1＋x 2）、 ∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，且x 1x 2·(x 1＋x 2)>0，于是f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )＝x －12在区间(0，＋∞)内是减函数．。
1．(2011·江西高考)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．答案：B2．(2011·南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：由定义知(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立．∴Δ＝1－4×(－a 2＋a ＋1)<0.∴－12<a <32. 答案：C3．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －b x －2>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞) 解析：依题意，a >0且－b a ＝1.ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔(x －b a )(x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.答案：A4．如果不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 解析：由4x 2＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于 2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3(x ∈R)⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0，解出1<m <3.答案：A5．(2011·上海高考)不等式x ＋1x≤3的解为________． 解析：x ＋1x ≤3⇔x ＋1x －3≤0⇔2x －1x ≥0⇔x (2x －1)≥0且x ≠0⇔x <0或x ≥12. 答案：x <0或x ≥126．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)（x >8）升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度x －8x .第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x 升，此时桶内有纯农药液[(x －8)－4(x －8)x]升． 依题意，得(x －8)－4(x －8)x ≤28%·x .由于x >0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403,又x >8，∴8< x ≤403. 答案：(8，403] 7．若不等式kx 2＋2kx ＋(k ＋2)<0对于一切x (x ∈R)的解集为∅，求实数k 的取值范围． 解：当k ＝0时，原不等式化为2<0，显然x ∈∅，符合题意，当k ≠0时，令y ＝kx 2＋2kx ＋(k ＋2)，因为原不等式的解集为∅，即y <0无解，说明y ≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，`Δ＝4k 2－4(k ＋2)k ≤0，由此解得k >0.综上所述，实数k 的取值范围是[0，＋∞)．8．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.05x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解：由题意列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.1x 2>12，0.05x ＋0.005x 2>10， 分别求解，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <－40或x >30，x <－50或x >40. 由于x >0，从而可得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。
1．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．1＋3a －a 2解析：∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 答案：A 2.1411log 9＋1511log 3等于( ) A ．lg3 B ．－lg3C.1lg3 D ．－1lg3解析：原式＝log 1914＋log 1315＝log 94＋log 35＝log 32＋log 35＝log 310＝1lg3.答案：C3．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12 B ．9C ．18D ．27解析：由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝log 442＝2，∴lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9.∴m ＝9.答案：B4．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b )2的值等于( )A ．2 B.12C ．4 D.14解析：由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝ (lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2. 答案：A5．(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5＝________.解析：∵原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5 ＝1×[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5) 2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.答案：16．已知f (3x )＝2x ·log 23，则f (21 005)的值等于________． 解析：法一：令t ＝3x ，∴x ＝log 3t ，∵f (3x )＝2x ·log 23，∴f (t )＝2·log 3t ·log 23＝2·log 2t log 23·log 23＝2·log 2t ， ∴f (x )＝2·log 2x ，∴f (21 005)＝2·log 221 005＝2×1 005＝2 010.法二：令3x ＝21 005，则x ＝log 321 005＝1 005log 32∴f (22 005)＝2×1 005log 32×log 23＝2 010.答案：2 0107．计算下列各式的值：(1)log 2125·log 318·log 519； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．解：(1)log 2125·log 318·log 519＝log 25－2·log 32－3·log 53－2 ＝－12log 25·log 32·log 53＝－12·lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5＝－12.(2)原式＝(log 23＋log 3232)(log 322＋log 2323＋log 32)＝53log 23·92log 32＝152·1log 32·log 32＝152. 8．已知x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z .(1)求使2x ＝py 的p 的值；(2)求证：12y ＝1z －1x. 解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py 得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34， ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34；(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y.。
1．下列函数中，正整数指数函数的个数为( )①y ＝1x ；②y ＝－4x ；③y ＝(－8)x .A ．0B ．1C ． 2D ．3 解析：由正整数指数函数的定义知，A 正确．答案：A2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x (x ∈N ＋)为正整数指数函数，则a 等于( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．以上都不对 解析：由正整数指数函数的定义，得a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍去)．答案：B3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( ) A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：设商品原价格为a ，两年后价格为a (1＋20%)2，四年后价格为a (1＋20%)2(1－20%)2＝a (1－0.04)2＝0.921 6a ，∴a －0.921 6a a×100%＝7.84%. 答案：B4．某产品计划每年成本降低p %，若三年后成本为a 元，则现在成本为( )A ．a (1＋p %)元B ．a (1－p %)元 C.a (1－p %)3元 D.a (1＋p %)元 解析：设现在成本为x 元，则x (1－p %)3＝a ，∴x ＝a (1－p %)3. 答案：C5．计算(2ab 2)3·(－3a 2b )2＝________.解析：原式＝23a 3b 6·(－3)2a 4b 2＝8×9×a 3＋4b 6＋2＝72a 7b 8.答案：72a 7b 86．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．解析：20%＝0.2，当x ＝1时，y ＝1×(1－0.2)＝0.8；当x ＝2时，y ＝0.8×(1－0.2)＝0.82；当x ＝3时，y ＝0.82×(1－0.2)＝0.83；……∴光线强度y 与通过玻璃板的块数x 的关系式为y ＝0.8x (x ∈N ＋)．答案：y ＝0.8x (x ∈N ＋)7．若x ∈N ＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．(1)y ＝(－59)x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝2x 5； (4)y ＝( 974)x ；(5)y ＝(π－3)x . 解：因为y ＝(－59)x 的底数－59小于0，所以y ＝(－59)x 不是正整数指数函数；(2)因为y ＝x 4中自变量x 在底数位置上，所以y ＝x 4不是正整数指数函数，实际上y ＝x 4是幂函数；(3)y ＝2x 5＝15·2x ，因为2x 前的系数不是1， 所以y ＝2x5不是正整数指数函数； (4)是正整数指数函数，因为y ＝( 974)x 的底数是大于1的常数，所以是增函数； (5)是正整数指数函数，因为y ＝(π－3)x 的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数．8．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10 000 m 2，每年增长10%，经过x 年，森林面积为y m 2.(1)写出x ，y 之间的函数关系式；(2)求出经过10年后森林的面积．(可借助于计算器)解：(1)当x ＝1时，y ＝10 000＋10 000×10%＝10 000(1＋10%)；当x ＝2时，y ＝10 000(1＋10%)＋10 000(1＋10%)×10%＝10 000(1＋10%)2； 当x ＝3时，y ＝10 000(1＋10%)2＋10 000(1＋10%)2×10%＝10 000(1＋10%)3； ……所以x，y之间的函数关系式是y＝10 000(1＋10%)x(x∈N＋)；(2)当x＝10时，y＝10 000(1＋10%)10≈25 937.42，即经过10年后，森林面积约为25 937.42 m2.。
一、填空题1．函数f (x )＝1－x ＋lg x 的定义域是________．解析：由⎩⎨⎧1－x ≥0，x >0，得0<x ≤1. 答案：(0，1]2．函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a >0且a ≠1)必过定点________． 解析：∵log a 1＝0，∴x ＝0时f (x )＝2.故函数f (x )过定点(0，2)．答案：(0，2)3．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a ＞c ＞b .答案：a >c >b4．若y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，∴0<log 12a <1.∴12<a <1.答案：(12，1)5．函数y ＝log a x ，x ∈[2，4]，a >0且a ≠1，若此函数的最大值比最小值大1，则a ＝________．解析：当a >1时，log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2，当0<a <1时，log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.∴a ＝2或12.答案：2或126．设f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．解析：f (－2)＝10－2，∴f (f (－2))＝f (10－2)＝lg 10－2＝－2.答案：－2二、解答题7．已知函数f (x )＝log 2(x －3)．(1)求f (51)－f (6)的值；(2)若f (x )≥0，求x 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝log 2(x －3)，∴f (51)－f (6)＝log 2(51－3)－log 2(6－3)＝log 248－log 23＝log 216＝4.(2)f (x )≥0即log 2(x －3)≥0，∴x －3≥1解得x ≥4.所以x 的取值范围为[4，＋∞)．8．比较下列各组数的大小．(1)log 2π与log 20.9；(2)log 20.3与log 0.20.3；(3)log 0.76，0.76与60.7.解：(1)∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，∴log 2π>log 20.9.(2)∵log 20.3<log 21＝0，log 0.20.3>log 0.21＝0，∴log 20.3<log 0.20.3.(3)∵60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，log 0.76<log 0.71＝0，∴60.7>0.76>log 0.76.9．已知f (x )＝log 3x .(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，有f (a )>12，利用图象求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝12，即log 3x ＝12，解得x ＝ 3.由如图所示的图象知：当0<a <2时，若f (a )>12，则3<a <2.故当0<a <2时，满足f (a )>12的a 的取值范围为(3，2)．。
1．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( )A ．a <12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析：由对数的概念可知使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，－2a ＋1>0，解得0<a <12.答案：B2．方程(lg x )2＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝0的两根的积x 1x 2等于( )A ．lg2＋lg3B ．lg2lg3 C.16D ．－6解析：∵lg x 1＋lg x 2＝－(lg2＋lg3)， ∴lg(x 1x 2)＝－lg6＝lg6－1＝lg 16，∴x 1x 2＝16.答案：C3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg5等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a解析：lg12lg5＝lg3＋lg4lg5＝lg3＋2lg21－lg2＝2a ＋b1－a. 答案：C4．已知2x ＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ． 6B ．8C ．4D ．log 48解析：由2x ＝9，得log 29＝x ，∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283＝log 29＋log 2649＝log 264＝6. 答案：A5．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________.解析：法一：∵a 23＝49，∴log a 49＝23，∴2log a 23＝23，∴log a 23＝13，∴1log a23＝3，∴log 23a ＝3. 法二：∵a 23＝49，∴a 2＝64729，∴a ＝827＝(23)3，∴log 23a ＝log 23(23)3＝3.答案：36．计算：2log 233831lne+log 464⨯ ＝________.解析：原式＝23322-31+log 44()⨯ ＝4×21＋(－3)＝8－2＝－4.答案：－47．(1)已知lg x ＋lg2y ＝2lg(x －4y )，求log 2xy ； (2)设a ＝lg2，b ＝lg3，试用a ，b 表示lg 108. 解：(1)由已知得lg(2xy )＝lg(x －4y )2，∴2xy ＝(x －4y )2， ∴2xy ＝x 2－8xy ＋16y 2. ∴x 2－10xy ＋16y 2＝0， ∴x ＝2y 或x ＝8y . ∵x >0，y >0，x －4y >0， ∴x ＝2y (舍去)， ∴x ＝8y ，∴xy ＝8， ∴log 2xy ＝log 28＝3；(2)∵108＝4×27＝22×33， ∴lg 108＝12lg108＝12lg(22×33)＝12lg22＋12lg33＝lg2＋32lg3＝a ＋32b . 8．已知f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)＝－2，当x ∈R 时，f (x )≥2x 恒成立，求实数a ，b 的值．解：由f (－1)＝－2得，1－(lg a ＋2)＋lg b ＝－2， ∴lg b a ＝－1＝lg 110，∴b a ＝110，即a ＝10b .又f (x )≥2x 恒成立，∴x 2＋(lg a )x ＋lg b ≥0对x ∈R 恒成立， ∴(lg a )2－4lg b ≤0， 即(lg10b )2－4lg b ≤0， ∴(1－lg b )2≤0，∴lg b ＝1，b ＝10，从而a ＝100， 故实数a ，b 的值分别为100,10.。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．下列各式中错误的是( )A ．log a b ·log b a ＝1B ．log c d ＝1log d cC ．log c d ·log d f ＝log c fD ．log a b ＝log b c log a c答案：D2．计算log 225·log 322·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6. 答案：D3.1log 1419＋1log 1513等于( ) A ．lg 3 B ．－lg 3 C.1lg 3D ．－1lg 3 解析：原式＝log 1914＋log 1315＝log 94＋log 35＝log 32＋log 35＝log 310＝1lg 3. 答案：C4．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值等于( ) A ．2 B.12C ．4 D.14解析：由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴(lg a b)2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2. 答案：A5．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3 x 的解是________．解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.答案：x ＝56．已知2x ＝3y ，则x y＝________． 解析：等式2x ＝3y 两边取常用对数，得lg 2x ＝lg 3y ，即x lg 2＝y lg 3，所以x y ＝lg 3lg 2＝log 23. 答案：log 237．计算下列各式的值：(1)log 2125·log 318·log 519； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．解：(1)log 2125·log 318·log 519＝log 25－2·log 32－3·log 53－2 ＝－12log 25·log 32·log 53＝－12·lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5＝－12.(2)原式＝(log 23＋log 3232)(log 322＋log 2323＋log 32)＝53log 23·92log 32＝152·1log 32·log 32＝152. 8．测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是8.3级的几倍,是7.1级.的几倍.(lg 2≈0.3)解：由题意可设lg x ＝8.9，lg y ＝8.3，lg z ＝7.1，则lg x－lg y＝8.9－8.3＝0.6＝2lg 2＝lg 4，从而lg x＝lg 4＋lg y＝lg (4y)．∴x＝4y.lg x－lg z＝8.9－7.1＝1.8＝6lg 2＝lg 26＝lg 64，从而lg x＝lg z＋lg 64＝lg (64z)．∴x＝64z.故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．。
一、填空题1．下列函数中指数函数的个数为________．①y ＝(12)x －1；②y ＝2·3x ；③y ＝a x (a >0且a ≠1，x ≥0)；④y ＝1x ；⑤y ＝(12)2x －1. 解析：由指数函数的定义可判定，只有③正确．答案：1个2．函数y ＝(a －2)x 是指数函数，则a 的取值范围是________． 解析：由题意，得a －2>0且a －2≠1，∴a >2且a ≠3.答案：a >2且a ≠33．若f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <0，x －1，x ≥0，且f (a )＝12，则a ＝________. 解析：若a <0，则f (a )＝2a ＝12，a ＝－1. 若a ≥0，则f (a )＝a －1＝12，a ＝32.答案：－1或324．函数y ＝2x －8的定义域为__________．解析：由2x －8≥0得x ≥3.答案：[3，＋∞)5．函数f (x )＝(13)x 在区间[－2，－1]上的最大值是________． 解析：∵f (x )＝(13)x 在R 上单调递减，∴x ＝－2时，f (x )max ＝(13)－2＝9；x ＝－1时，f (x )min ＝(13)－1＝3.答案：96．函数f (x )＝(12)－x 2－2x ＋1的值域是________．解析：令u ＝－x 2－2x ＋1＝－(x ＋1)2＋2≤2，∵y ＝(12)u 在R 上是单调递减，∴当u ≤2时，y ≥(12)2＝14，故值域为[14，＋∞)．答案：[14，＋∞) 二、解答题7．比较下列各组数的大小．(1)(23)－1.8与(23)－2.6；(2)(56)－23与1；(3)1.80.4与0.75.1.解：(1)考察函数y ＝(23)x ，它在R 上是单调减函数． ∵－1.8>－2.6，∴(23)－1.8<(23)－2.6. (2)考察函数y ＝(56)x ，它在R 上是单调减函数．∵－23<0，∴(56)－23>(56)0＝1，∴(56)－23>1.(3)由指数函数性质知1.80.4>1.80＝1,0.75.1<0.70＝1，故1.80.4>0.75.1.8．已知指数函数f (x )的图象过点(3,8)，(1)求f (6)的值；(2)比较f (2)与f (a 2＋2)的大小．解：设f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，则a 3＝8.∴a ＝2，∴f (x )＝2x .(1)f (6)＝26＝64.(2)∵f (x )＝2x 在R 上是单调增函数，又a 2＋2≥2，∴f (a 2＋2)≥f (2)．9．求函数y ＝(14)x －(12)x －1＋2，x ∈[－1,0]的值域． 解：y ＝(12)2x －2·(12)x ＋2，令t ＝(12)x ，∵x ∈[－1,0]，∴t ∈[1,2]，则y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1.∵y ＝(t －1)2＋1在[1,2]上单调递增，∴y∈[1,2]，∴原函数的值域是[1,2]．。
1．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( )A ．a <12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析：由对数的概念可知，使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，－2a ＋1>0.解得0<a <12. 答案：B2．下列指数式与对数式互化不．正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln1＝0B ．813-＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 77＝1与71＝7解析：log 39＝2应转化为32＝9.答案：C3．已知log 2x ＝3，则x12-＝( ) A.13B.12 3C.13 3 D.24解析：∵log 2x ＝3，∴x ＝23＝8，∴x12-＝232-＝24. 答案：D 4．已知2x ＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( ) A ．6B ．8C ．4D ．log 48 解析：由2x ＝9，得log 29＝x ，∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283＝log 29＋log 2649＝log 264＝6.答案：A5．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________． 解析：法一：∵a 23＝49，∴log a 49＝23， ∴2log a 23＝23，∴log a 23＝13，∴1log a 23＝3，∴log 23a ＝3. 法二：∵a 23＝49，∴a 2＝64729， ∴a ＝827＝(23)3， ∴log 23a ＝log 23(23)3＝3. 答案：36．计算：823×3log 32ln e ＋log 4164＝________． 解析：原式＝（23）23×21＋log 44－3 ＝4×21＋（－3）＝8－2＝－4. 答案：－47．求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122 ＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 6632＋log 62·（log 62＋log 632）÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.8．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log2x y 的值． 解：由已知得xy ＝(x －2y )2，即(x－y)(x－4y)＝0，得x＝y或x＝4y. ∵x>0，y>0，x－2y>0，∴x>2y>0.∴x＝y应舍去，∴x＝4y，即xy＝4.∴log2xy＝log24＝4.。
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2和y ＝(x )2B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a xD ．y ＝x 和y ＝log a a x 解析：对于A ，定义域不同；对于B ，对应法则不同；对于C ，定义域不同；对于D ，y ＝log a a x⇔y ＝x . 答案：D2．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：当x ≥1时，log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2.答案：C3．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图象过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数解析：将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m ＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是x >3，则函数不具有奇偶性．很明显函数f (x )在定义域上是增函数．答案：A4．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝512-，则( ) A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a解析：a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23>log 2e>1，所以a <b .又c ＝512-＝15，而5>2＝log 24>log 23，所以c <a ，综上知c <a <b .答案：C5．函数y ＝log a (x －2)＋1的图像恒过定点________．解析：令x －2＝1，得x ＝3则，y ＝0＋1＝1.∴函数的图象恒过定点(3，1)． 答案：(3，1)6．函数f (x )＝2－log 2x 的定义域是________．解析：由2－log 2x ≥0 ⇒ log 2x ≤2，∴0<x ≤4.答案：(0，4]7．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 2（4x －3）；(2)y ＝log 5－x (2x －2)．解：(1)要使函数有意义，必须满足：log 2(4x －3)≥0＝log 21，即1≤4x －3⇒x ≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>0，5－x >0，5－x ≠1.⇒1<x <5且x ≠4， ∴函数的定义域为(1，4)∪(4，5)．8．根据函数f (x )＝log 2x 的图象和性质解决以下问题：(1)若f (a )>f (2)，求a 的取值范围；(2)y ＝log 2(2x －1)在[2，14]上的最值．解：函数y ＝log 2x 的图象如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数，故f (a )>f (2)，即log 2a >log 22，则a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).(2)∵2≤x ≤14，∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.∴函数y ＝log 2(2x －1)在[2，14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.。
1．(2011·山东高考)设集合M ＝{x |x 2＋x －6＜0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3] 解析：M ＝{x |x 2＋x －6＜0}＝{x |－3＜x ＜2}，∴M ∩N ＝{x |－3＜x ＜2}∩{x |1≤x ≤3}＝{x |1≤x ＜2}． 答案：A2．若关于x 的不等式mx 2－(2m －1)x ＋m －1≥0的解集为∅，则( ) A ．m ＜0 B ．m ＜－18C ．－18＜m ＜0 D ．m 值不存在解析：当m ＝0时，原不等式为x －1≥0，解集为x ≥1. 不合题意．当m ≠0时，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m －12－4m m －1＜0不等式无解∴m 值不存在． 答案：D3．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2,0) C ．(－2,1)D ．(0,1)解析：令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝m 2＋m －2＜0，f －1＝m 2－m ＜0，解得0＜m ＜1答案：D4．(2011·湘潭高二检测)在R 上定义运算“♣”：x ♣y ＝x (1－y )．若存在实数x ，使得不等式(x －m )♣(x ＋m )＞1成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－32，12)B ．(－12，32)C ．(－32，52)D ．(－∞，－12)∪(32，＋∞)解析：由题可知，原不等式可化为(x －m )(1－x －m )＞1，即存在x 使x 2－x －m 2＋m ＋1＜0成立，故只需Δ＝1＋4(m 2－m －1)＞0，解得m ＜－12或m ＞32.答案：D5．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________．[解析：由条件可知：k 2×12－6k ×1＋8≥0，即k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2且k ≠0. 答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)6．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是________．解析：当k ＝0，原不等式变为－38＜0恒成立；当k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×－38＜0，解之得－3＜k ＜0， ∴－3＜k ≤0. 答案：(－3,0]7．不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围． 解：①若m －2＝0，即m ＝2时．不等式可化为－4＜0，这个不等式与x 无关，即对一切x ∈R 都成立．②若m －2≠0，即m ≠2时，不等式为一元二次不等式，由解集为R 知抛物线y ＝(m －2)x2＋2(m －2)x －4开口向下，且与x 轴无交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜0，4m －22－4m －2·－4＜0，解得－2＜m ＜2.综上所述，m 的取值范围是(－2,2]8．函数f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．解：法一：设方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0的两根分别为x 1、x 2(x 1＜x 2)，依题意，只需满足(x 1－1)(x 2－1)＜0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系可得(2m ＋14)＋2(m ＋3)＋1＜0.即4m ＋21＜0，解得m ＜－214.即m 的取值范围是(－∞，－214)．法二：由于函数图像的开口向上，故依题意只需f (1)＜0， 即1＋2(m ＋3)＋2m ＋14＜0即4m ＋21＜0.解得m ＜－214，即m 的取值范围是(－∞，－214)．。
1．已知y ＝(14)x 的反函数为y ＝f (x )，若f (x 0)＝－12，则x 0＝() A ．－2 B ．－1C ．2 D.12解析：y ＝(14)x 的反函数是f (x )＝log 14x ，∴f (x 0)＝log 14x 0＝－12.∴x 0＝(14)12-＝[(12)2]12-＝2.答案：C2．函数y ＝－1－x (x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝x 2－1(－1≤x ≤0)B ．y ＝x 2－1(0≤x ≤1)C ．y ＝1－x 2(x ≤0)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1) 解析：∵x ≤1，∴－x ≥－1，1－x ≥0，∴1－x ≥0， ∴－1－x ≤0，∴y ≤0.原函数的值域应与反函数的定义域相同，∴选项中只有C 的定义域满足小于等于0. 答案：C3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：由题意知f (x )＝log a x .∵f (2)＝1，∴1＝log a 2，∴a ＝2，∴f (x )＝log 2x .答案：A4．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：∵a >1，故函数f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上为增函数，∴f (2a )－f (a )＝12，即log a (2a )－log a a ＝12. ∴log a 2＝12，∴a 12＝2，解得a ＝4. 答案：D5．函数f (x )的图像与函数y ＝log 3x (x >0)的图像关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝________．解析：函数f (x )的图象与函数y ＝log 3x (x >0)的图象关于直线y ＝x 对称，则它们互为反函数，∴f (x )＝3x (x ∈R)．答案：3x(x ∈R)6．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则f －1(x )的定义域是________．解析：∵x ≥1，∴log 2x ≥0，∴log 2x ＋3≥3，∴f －1(x )的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)7．已知函数f (x )＝log a (2－x )，(a >1)．(1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)求函数f (x )的反函数f －1(x )；(3)判断f －1(x )的单调性．解：(1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.(2)由y ＝log a (2－x )，得2－x ＝a y ，即x ＝2－a y .∴f －1(x )＝2－a x (x ∈R)．(3)f －1(x )在R 上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2.∵f －1(x 2)－f －1(x 1)＝2－a x 2－2＋a x 1 ＝a x 1－a x 2， ∵a >1，x 1<x 2，∴a x 1<a x 2，即a x 1－a x 2<0， ∴f －1(x 2)<f －1(x 1)，∴y ＝f －1(x )在R 上是减函数．8．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 2－2x ＋3有最大值，求函数f (x )＝log a (3－2x )的单调区间．解：设t ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2.当x ∈R 时，t 有最小值，为2.∵y ＝ax 2－2x ＋3有最大值，∴0<a <1.由f (x )＝log a (3－2x )，得其定义域为(－∞，32)． 设u (x )＝3－2x ，x ∈(－∞，32)，则f (x )＝log a u (x )． ∵u (x )＝3－2x 在(－∞，32)上是减函数，0<a <1， ∴f (x )＝log a u (x )在(－∞，32)上是增函数． ∴f (x )＝log a (3－2x )的单调增区间为(－∞，32)，无单调减区间．。
1．下列结论正确的是( ) A ．对于x ∈R ，恒有3x >2x B ．y ＝(2)－x 是增函数C ．对a >1，x ∈R ，一定有a x >a －xD ．y ＝2|x |是偶函数解析：A.当x <0时，2x >3x ；B.y ＝(12)x ＝(22)x 在R 上单调递减；C.当x ＝0时，就有a x ＝1，a －x ＝1；D.符合偶函数的定义．答案：D2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝3－0.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a 解析：因为b ＝53＞a ＝30.2＞1，而0＜c ＝3－0.2＜1，所以b ＞a ＞c .答案：B3．函数y ＝(13)x －1的值域是( ) A ．(－∞，0)B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1] 解析：由x －1≥0且y ＝(13)x 是减函数，知0<y ＝(13)x －1≤(13)0＝1. 答案：B 4．函数f (x )＝4x ＋12x 的图像 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋12x .∴f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称．答案：D5．(1)若0.2m >1>0.2n ，则________>0>________(填m 或n )．(2)若(14)x <23x ＋1，则x 的取值范围是________． 解析：(1)由0.2m >1＝0.20>0.2n ，得n >0>m .(2)(14)x ＝2－2x <23x ＋1， ∴3x ＋1>－2x ，x >－15. 答案：(1)n m (2)x >－156．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析：a ＝5－12∈(0,1)， 故a m >a n ⇒m <n .答案：m <n7．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值． 解：当a >1时，f (x )在[0,2]上递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0，a 2－1＝2. ∴a ＝±3. 又a >1，∴a ＝3； 当0<a <1时，f (x )在[0,2]上递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2，f (2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0.解得a ∈∅. 综上所述，实数a 的值为 3.8．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图像经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)因为函数图像过点(2，12)，所以a 2－1＝12，则a ＝12；(2)由(1)知f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1，于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．。
【三维设计】高中数学 第一部分 第三章 3.2 第一课时 一元一次不等式的解法应用创新演练 苏教版必修5一、填空题1．(2011·中山高二期未)不等式x 2－5x ≥0的解集是____________解析：x 2－5x ＝0的两个根为0,5，又由y ＝x 2－5x 呈开口向上的抛物线，∴x 2－5x ≥0的解集为{x |x ≤0或x ≥5}答案：{x |x ≤0或x ≥5}2．(2011·威海高二检测)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<0x 2－3x <0的解集为____________解析：∵x 2－1<0的解集为{x |－1<x <1} x 2－3x <0的解集为{x |0<x <3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<0x 2－3x <0的解集为：{x |0<x <1}．答案：{x |0<x <1}3．不等式3x －1x －2≤0的解集为____________． 解析：不等式3x －1x －2≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1x －2≤0，x －2≠0，解之得，13≤x <2. 答案：{x |13≤x <2} 4．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在1<x <4内有解，则实数a 的取值范围是____________.解析：令f (x )＝2x 2－8x －4－a ＝2(x －2)2－12－a 数形结合知只需f (4)>0即可．即2×42－8×4－4－a >0，解得a <－4.答案：(－∞，－4)5．(2012·长阳一中高一期中)不等式ax x －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，那么a 的值为________．解析：ax x －1<1化为ax x －1－1<0， 即a －1x ＋1x －1<0.等价于[(a －1)x ＋1](x －1)<0.∴(a －1)x 2－(a －2)x －1<0.∴1,2是方程(a －1)x 2－(a －2)x －1＝0的两个根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝a －2a －1，1×2＝－1a －1，解得a ＝12. 答案：12二、解答题 6．求下列一元二次不等式的解集．(1)x 2－5x ＞6；(2)4x 2－4x ＋1≤0；(3)－x 2＋7x ＞6.解：(1)由x 2－5x ＞6，得x 2－5x －6＞0.∴x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6.∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}．(2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0，∴x ＝12. ∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为{x |x ＝12}． (3)由－x 2＋7x ＞6，得x 2－7x ＋6＜0，而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6.∴不等式x 2－7x ＋6＜0的解集为{x |1＜x ＜6}．7．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集． 解：∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，∴a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根． 由根所系数关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋4＝－b a ，－3×4＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－a ，c ＝－12a .∵不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0.故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．8．(2011·西南师大附中高一月考)解关于x 的不等式x ＋3x ＋1≤2的解集为A ，函数 g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B ，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：由x ＋3x ＋1≤2，得x ＋3x ＋1－2≤0.∴－x＋1x ＋1≤0.不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1x ＋1≥0，x ＋1≠0.∴x <－1或x ≥1.∴A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x －a －1)(2a －x )>0得，[x －(a ＋1)](x －2a )<0.∵a <1，∴a ＋1>2a .∴B ＝(2a ，a ＋1)．∵B ⊆A .∴a ＋1≤－1或2a ≥1.∴a ≤－2或a ≥12.而a <1.∴12≤a <1或a ≤－2.∴a 的取值范围为(－∞，－2]∪[12，1)。
