高一数学必修一第三章3.23.2.1应用创新演练
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第1部份第三章 3.2.1 几类不同增加的函数模型应用创新演练1.某自行车存车处在某一天总共寄存自行车4 000辆,存车费为:电动自行车元/辆,普通自行车元/辆.若该天普通自行车存了x辆,存车费总收入为y元,则y与x的函数关系式为( )A.y=(0≤x≤4 000)B.y=(0≤x≤4 000)C.y=-+1 200(0≤x≤4 000)D.y=+1 200(0≤x≤4 000)解析:由题意得y=(4 000-x)+=-+1 200.答案:C2.某工厂在2002年末制订生产计划,要使2012年末的总产值在原有基础上翻两番,则总产值的年平均增加率应为( )A.5110-1 B.4110-1C.3110-1 D.4111-1解析:2012年末的总产值在2002年末总产值基础上翻两番,设2002年末总产值为a,∴4a=a(1+x)10,1+x=4110,∴x=4110-1.答案:B3.以固定的速度向如图所示的瓶子中注水,则水深h与时刻t的函数关系是( )解析:水深h增加的速度愈来愈快.答案:B4.某林区的丛林蓄积量平均每一年比上一年增加%,若通过x年能够增加到原来的y 倍,则函数y=f(x)的大致图象是下图中的( )解析:设某林区的丛林蓄积量原有1个单位,则通过1年丛林的蓄积量为1+%;通过2年丛林的蓄积量为(1+%)2……;通过x 年的丛林蓄积量为(1+%)x(x ≥0),即y =(x ≥0).底数大于1,按照指数函数的图象,应选D.答案:D5.函数y =x 2与函数y =x ln x 在区间(1,+∞)上增加较快的一个是________. 解析:当x 变大时,x 比ln x 增加要快, ∴x 2要比x ln x 增加速. 答案:y =x 26.在某种金属材料耐高温的温度实验中,温度y 随着时刻t 转变的情形由微机记录后显示出的图象如图所示,给出下面说法:①前5分钟,温度增加的速度愈来愈快;②前5分钟,温度增加的速度愈来愈慢;③5分钟以后,温度维持匀速增加;④5分钟以后,温度维持不变.其中,说法正确的序号是________.解析:前5分钟曲线的平缓峻峭程度是先陡后平,温度增加的速度愈来愈慢;5分钟后温度维持不变.答案:②④7.某远程汽车客运公司规定旅客可随身携带必然质量的行李.若是超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y (元)是行李质量x (kg)的一次函数,其图象如图所示.(1)按照图象数据,求y 与x 之间的函数关系式; (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少? 解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b . 由图象可知,当x =60时,y =6;当x =80时,y =10.∴⎩⎪⎨⎪⎧60k +b =6,80k +b =10.解得k =15,b =-6.∴y 与x 之间的函数关系式为y =15x -6(x ≥30).(2)按照题意,当y =0时,x =30.∴旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.8.某家庭进行理财投资.按照长期收益率,市场预测:投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益别离为万元和万元(如图).(1)别离写出两种产品的收益与投资的函数关系式; (2)请帮忙该家庭分析选择哪一种投资方式收益较大.解:(1)设投资债券收益与投资额的函数关系式为f (x )=k 1x ,投资股票的收益与投资额的函数关系式为g (x )=k 2x .由图象得f (1)=18=k 1,g (1)=k 2=12,因此f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12x (x ≥0).(2)f (x )-g (x )=18x -12x =18x (x -4).当x =0或x =16时,f (x )=g (x ). 当x >16时,f (x )>g (x ). 当0<x <16时,f (x )<g (x ).所以投资额超过16万元时选择稳健型投资;当投资额小于16万元时选择风险型投资;当投资额等于16万元时两种都能够.。
1.函数y =3x 与y =3-x的图像关于下列哪条直线对称( )A .x 轴B .y 轴C .直线y =xD .直线y =-x解析:y =3-x =(13)x ,由y =3x 与y =(13)x 关于y 轴对称,所以y =3x 与y =3-x关于y 轴对称.答案:B2.在同一平面直角坐标系中,函数f (x )=ax 与g (x )=a x 的图像可能是( )解析:需要对a 讨论:① 当a >1时,f (x )=ax 过原点且斜率大于1,g (x )=a x 是递增的.②当0<a <1时, f (x )=ax 过原点且经过第一、三象限,斜率小于1,g (x )=a x 是减函数.显然B 正确. 答案:B3.函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)对于任意的实数x 、y 都有 ( )A .f (xy )=f (x )·f (y )B .f (xy )=f (x )+f (y )C .f (x +y )=f (x )·f (y )D .f (x +y )=f (x )+f (y ) 解析:∵f (x +y )=a x +y ,f (x )·f (y )=a x ·a y =a x +y =f (x +y ).答案:C4.已知a =0.80.7,b =0.80.9,c =1.20.8,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b解析:a =0.80.7>0.80.9=b , a =0.80.7<0.80=1,∴b <a <1. 而c =1.20.8>1.20=1, ∴c >a >b . 答案:D5.函数y =a x (a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6,则a 的值为________. 解析:无论y =a x 在[1,2]上是增函数还是减函数, 一定在[1,2]的端点处取得最值, ∴a +a 2=6,∴a 2+a -6=0, ∴a =2或a =-3(舍去), ∴a =2. 答案:26.若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0,且a ≠1)的图像有两个公共点,则a 的取值范围是________.解析:当0<a <1时,如图(1)所示,要使得y =2a 与y =|a x -1|有两个交点,需0<2a <1,故0<a <12.(1) (2)当a >1时,如图(2)所示,由于y =2a >2,所以y =2a 与y =|a x -1|不存在两个交点,故a 的取值范围为0<a <12.答案:0<a <127.定义运算a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧a , a <b ,b , a ≥b .若函数y =2x ⊕2-x .求:(1)f (x )的解析式;(2)画出f (x )的图像,并指出单调区间、值域以及奇偶性.解: (1)由a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧a (a <b )b (a ≥b ),知y =2x⊕2-x =⎩⎪⎨⎪⎧2x (x <0),2-x (x ≥0); (2)y =f (x )的图像如图:在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,值域为(0,1],为偶函数. 8.设a >0,f (x )=e x a +ae x (e>1)是R 上的偶函数.(1)求a 的值;(2)证明:f (x )在(0,+∞)上是增函数.解:(1)依题意,对一切x ∈R ,都有f (x )=f (-x ), ∴e x a +a e x =1a e x +a e x . ∴(a -1a )(e x -1e x )=0.∴a -1a =0,即a 2=1. 又a >0,∴a =1; (2)设0<x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=e x 1-e x2+11ex -21ex=(ex2-e x 1)(121ex x +-1)=e x1(e x2-x1-1)·12121-e ex x x x ++,∵x 2>x 1>0,∴x 2-x 1>0,x 1+x 2>0,又由e>1知y =e x 在R 上为增函数, ∴e x 2-x 1-1>0,1-e x 1+x 2<0. ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.。
1.下列各组函数中,定义域相同的一组是() A.y=a x与y=log a x(a>0,且a≠1)B.y=x与y=xC.y=lg x与y=lg xD.y=x2与y=lg x2解析:A中,函数y=a x的定义域为R,y=log a x的定义域为(0,+∞);B中,y=x的定义域为R,y=x的定义域为[0,+∞);C中,两个函数的定义域均为(0,+∞);D中y=x2的定义域为R,y=lg x2的定义域是{x∈R|x≠0}.答案:C2.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N等于() A.∅B.{x|0<x<3}C.{x|1<x<3} D.{x|2<x<3}解析:由对数函数的单调性,求出集合N.∵log2x>1,∴x>2.则M∩N={x|2<x<3}.答案:D3.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2x B.12xC.log12x D.2x-2解析:由题意知f(x)=log a x.∵f(2)=1,∴1=log a2,∴a=2,∴f(x)=log2x.答案:A4.当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图像是()解析:∵a >1,不妨取a =2,找出函数y =2-x 与y =log 2x 的图像即可. 答案:D5.函数f (x )=2-log 2x 的定义域是________. 解析:由2-log 2x ≥0 ⇒ log 2x ≤2, ∴0<x ≤4.答案:( 0,4 ]6.函数f (x )=log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上最大值与最小值之差为________. 解析:∵f (x )=log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数, ∴f (x )max -f (x )min =f (2a )-f (a )=log 22a -log 2a =1. 答案:17.求下列函数的定义域:(1)y =lg (x -4)x -3;(2)y =log (3x -1)2x +3x -1. 解:(1)要使此函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x -4>0,x -3≠0. ∴x ≠3且x >4,故函数定义域为(4,+∞).(2)要使此函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +3>0,x -1>0,3x -1>0,3x -1≠1,即⎩⎪⎨⎪⎧ x >-32,x >1,x >13,x ≠23故函数的定义域为(1,+∞).8.已知f (x )=log 3x .(1)作出这个函数的图像;(2)若f (a )<f (2),利用图像求a 的取值范围. 解:(1)作出函数y =log 3x 的图像如图所示.(2)由图像知:当0<a <2时,恒有f (a )<f (2). ∴所求a 的取值范围为0<a <2.。
1.已知点(-1,2)和(3,-3)在直线3x +y -a =0的两侧,则a 的取值范围是( ) A .(-1,6) B .(-6,1)C .(-∞,-1)∪(6,+∞)D .(-∞,-6)∪(1,+∞)解析:依题意得[3×(-1)+2-a ]·(3×3-3-a )<0, 即(a +1)(a -6)<0.∴-1<a <6. 答案:A2.如图所示,表示满足不等式(x -y )(x +2y -2)>0的点(x ,y )所在的区域为( )解析:不等式(x -y )(x +2y -2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x -y >0,x +2y -2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x -y <0,x +2y -2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域,再求并集.答案:B3.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -2≤0,x +1≥0,-2≤y ≤0B.⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -2≤0,x ≥-1,y ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧2x -y -2≤0,x -1≥0,-2≤y ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧2x -y -2≤0,x +1≥0,-2≤y ≤0解析:可求得边界方程分别是x =-1,y =-2,2x +y -2=0和y =0将阴影内的点(-1,-1)代入检验知,选A.答案:A4.(2012·山东实验中学检测)完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为2∶3,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工资预算2 000元,设木工x 人,瓦工y 人,请工人数的限制条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y ≤5x 、y ∈N +B.⎩⎪⎨⎪⎧50x +40y ≤2 000x y =23C.⎩⎪⎨⎪⎧5x +4y ≤200x y =23x 、y ∈N+D.⎩⎪⎨⎪⎧5x +6y <100x y =23解析:排除法:∵x 、y ∈N +,排除B 、D.又∵x 与y 的比例为2∶3,∴排除A. 答案:C5.在平面直角坐标系中,若点(-2,t )在直线x -2y +4=0的上方,则t 的取值范围是________.解析:对于直线x -2y +4=0,令x =-2,则y =1,则点(-2,1)在直线x -2y +4=0上.又点(-2,t )在直线x -2y +4=0的上方,则t 的取值范围是t >1.答案:(1,+∞)6.(2012·南京高二模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +4≥0,x +y ≥0,x ≤3所表示的平面区域的面积是________.解析:不等式组⎩⎨⎧x -y +4≥0,x +y ≥0,x ≤3所表示的平面区域为三条直线所围成的三角形区域(直线x -y +4=0的右侧,直线x +y =0的右侧,直线x =3的左侧),求得三角形的三个顶点分别为(-2,2),(3,-3),(3,7),注意到l 1:x -y +4=0,l 2:x +y =0,l 1⊥l 2,不难求出面积为25.答案:257.投资生产A 产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米;投资生产B 产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,用数学关系式和图形表示上述要求.解:设生产A 产品x 百吨,生产B 产品y 百吨,则⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y ≤14,2x +y ≤9,x ≥0,y ≥0.用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图所示(阴影部分).8.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +8≥0,x +y ≥0,x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ;(2)若点M (t,1)在平面区域Q 内,求整数t 的取值的集合. 解:(1)作出平面区域Q ,它是一个等腰直角三角形(如图所示).由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,x =4,解得A (4,-4),由⎩⎪⎨⎪⎧x -y +8=0,x =4,解得B (4,12),由⎩⎪⎨⎪⎧x -y +8=0,x +y =0解得C (-4,4).于是可得|AB |=16,AB 边上的高d =8.∴S =12×16×8=64.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ t -1+8≥0,t +1≥0,t ≤4,t ∈Z ,即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥-7,t ≥-1,t ≤4,t ∈Z.亦即⎩⎪⎨⎪⎧-1≤t ≤4,t ∈Z ,得t =-1,0,1,2,3,4.故整数t 的取值集合是{-1,0,1,2,3,4}.。
1.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=-x 12B.y=3x2C.y=1xD.y=2x解析:幂函数的形式为y=xα,A是y=-1×x 12;B是y=3×x2;D是指数函数,故A、B、D都不是幂函数,只有y=1x=x-1符合幂函数的定义.答案:C2.给出四个说法:①当α=0时,y=xα的图象是一个点;②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1);③幂函数的图象不可能出现在第四象限;④幂函数y =x α在第一象限为减函数,则α<0.其中,正确的说法个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:显然①错误;②中y =x -1的图象不过(0,0);根据幂函数图象可知,③④正确.答案:B3.设α∈{-2,-1,-12,13,12,1,2,3},则使f (x )=x α为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的值的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:∵f (x )=x α为奇函数,∴α=-1,13,1,3. 又∵f (x )在(0,+∞)上为减函数,∴α=-1.答案:A4.函数f (x )=(m 2-m +1)xm 2+2m -3是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数,则实数m =( )A .0B .1C .2D .0或1 解析:由m 2-m +1=1,得m =0或m =1,再把m =0和m =1分别代入m 2+2m -3<0检验,得 m =0.答案:A5.已知幂函数y =f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,22,则f (9)=________. 解析:设幂函数f (x )=x α.∵过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,22,∴2α=22, ∴α=-12,∴f (x )=x 12-, ∴f (9)=912-=13.答案:136.已知幂函数f (x )=x -12,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________.解析:∵f (x )=x -12=1x (x >0),易知f (x )在(0,+∞)上为减函数,又f (a +1)<f (10-2a ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a 解得⎩⎪⎨⎪⎧a >-1,a <5,a >3.∴3<a <5.答案:(3,5)7.比较下列各组数中两个数的大小:(1)(25)0.5与(13)0.5; (2)(-23)-1与(-35)-1; (3)(23)34与(34)23. 解:(1)∵幂函数y =x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又25>13,∴(25)0.5>(13)0.5. (2)∵幂函数y =x -1在(-∞,0)上是单调递减的,又-23<-35, ∴(-23)-1>(-35)-1. (3)∵函数y 1=(23)x 为减函数, 又34>23,∴(23)23>(23)34. 又∵幂函数y 2=x 23在(0,+∞)上是增函数,且34>23, ∴(34)23>(23)23. ∴(34)23>(23)34.8.已知幂函数f (x )=x a 的图像经过点A (12,2). (1)求实数a 的值;(2)判断f (x )在区间(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.解:(1)∵f (x )=x a 的图象经过点A (12,2), ∴(12)a =2,即2-a =212,∴a =-12. (2)减函数.证明如下:任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=x 2-12-x 1-12 =1x 2-1x 1=x 1-x 2x 1x 2=x 1-x 2x 1x 2·(x 1+x 2)、 ∵x 2>x 1>0,∴x 1-x 2<0,且x 1x 2·(x 1+x 2)>0,于是f (x 2)-f (x 1)<0,即f (x 2)<f (x 1),所以f (x )=x -12在区间(0,+∞)内是减函数.。
1.(2011·江西高考)若集合A ={x |-1≤2x +1≤3},B ={x |x -2x≤0},则A ∩B =( ) A .{x |-1≤x <0}B .{x |0<x ≤1}C .{x |0≤x ≤2}D .{x |0≤x ≤1}解析:∵A ={x |-1≤x ≤1},B ={x |0<x ≤2},∴A ∩B ={x |0<x ≤1}.答案:B2.(2011·南宁模拟)在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).若不等式(x -a )⊗(x +a )<1对任意实数x 成立,则( )A .-1<a <1B .0<a <2C .-12<a <32D .-32<a <12解析:由定义知(x -a )⊗(x +a )<1对任意实数x 成立,即(x -a )(1-x -a )<1对任意实数x 成立,∴x 2-x -a 2+a +1>0恒成立.∴Δ=1-4×(-a 2+a +1)<0.∴-12<a <32. 答案:C3.已知关于x 的不等式ax +b >0的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式ax -b x -2>0的解集是( )A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-1,2)C .(1,2)D .(2,+∞) 解析:依题意,a >0且-b a =1.ax -b x -2>0⇔(ax -b )(x -2)>0⇔(x -b a )(x -2)>0, 即(x +1)(x -2)>0⇒x >2或x <-1.答案:A4.如果不等式2x 2+2mx +m 4x 2+6x +3<1对一切实数x 均成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(1,3)B .(-∞,3)C .(-∞,1)∪(2,+∞)D .(-∞,+∞) 解析:由4x 2+6x +3=(2x +32)2+34>0对一切x ∈R 恒成立,从而原不等式等价于 2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3(x ∈R)⇔2x 2+(6-2m )x +(3-m )>0对一切实数x 恒成立⇔Δ=(6-2m )2-8(3-m )=4(m -1)(m -3)<0,解出1<m <3.答案:A5.(2011·上海高考)不等式x +1x≤3的解为________. 解析:x +1x ≤3⇔x +1x -3≤0⇔2x -1x ≥0⇔x (2x -1)≥0且x ≠0⇔x <0或x ≥12. 答案:x <0或x ≥126.有纯农药液一桶,倒出8升后用水补满,然后又倒出4升后再用水补满,此时桶中的农药不超过容积的28%,则桶的容积的取值范围是________.解析:设桶的容积为x 升,那么第一次倒出8升纯农药液后,桶内还有(x -8)(x >8)升纯农药液,用水补满后,桶内纯农药液的浓度x -8x .第二次又倒出4升药液,则倒出的纯农药液为4(x -8)x 升,此时桶内有纯农药液[(x -8)-4(x -8)x]升. 依题意,得(x -8)-4(x -8)x ≤28%·x .由于x >0,因而原不等式化简为9x 2-150x +400≤0,即(3x -10)(3x -40)≤0.解得103≤x ≤403,又x >8,∴8< x ≤403. 答案:(8,403] 7.若不等式kx 2+2kx +(k +2)<0对于一切x (x ∈R)的解集为∅,求实数k 的取值范围. 解:当k =0时,原不等式化为2<0,显然x ∈∅,符合题意,当k ≠0时,令y =kx 2+2kx +(k +2),因为原不等式的解集为∅,即y <0无解,说明y ≥0恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧ k >0,`Δ=4k 2-4(k +2)k ≤0,由此解得k >0.综上所述,实数k 的取值范围是[0,+∞).8.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h 以内的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ,乙车的刹车距离略超过10 m ,又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系:s 甲=0.1x +0.01x 2,s 乙=0.05x +0.05x 2.问:超速行驶应负主要责任的是谁?解:由题意列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0.1x +0.1x 2>12,0.05x +0.005x 2>10, 分别求解,得⎩⎪⎨⎪⎧ x <-40或x >30,x <-50或x >40. 由于x >0,从而可得x 甲>30 km/h ,x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速,应负主要责任.。
1.设a =log 32,则log 38-2log 36用a 表示的形式是( ) A .a -2 B .3a -(1+a )2C .5a -2D .1+3a -a 2解析:∵a =log 32,∴log 38-2log 36=3log 32-2(log 32+1)=3a -2(a +1)=a -2. 答案:A 2.1411log 9+1511log 3等于( ) A .lg3 B .-lg3C.1lg3 D .-1lg3解析:原式=log 1914+log 1315=log 94+log 35=log 32+log 35=log 310=1lg3.答案:C3.设log 34·log 48·log 8m =log 416,则m 的值为( ) A.12 B .9C .18D .27解析:由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8=lg m lg 3=log 416=log 442=2,∴lg m lg 3=2,即lg m =2lg 3=lg 9.∴m =9.答案:B4.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个根,则(lg a b )2的值等于( )A .2 B.12C .4 D.14解析:由根与系数的关系,得lg a +lg b =2,lg a ·lg b =12, ∴(lg a b )2=(lg a -lg b )2= (lg a +lg b )2-4lg a ·lg b=22-4×12=2. 答案:A5.(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=________.解析:∵原式=(lg 2+lg 5)[(lg 2)2-lg 2·lg 5+(lg 5)2]+3lg 2·lg 5 =1×[(lg 2)2-lg 2·lg 5+(lg 5) 2]+3lg 2·lg 5=(lg 2)2+2lg 2·lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=1.答案:16.已知f (3x )=2x ·log 23,则f (21 005)的值等于________. 解析:法一:令t =3x ,∴x =log 3t ,∵f (3x )=2x ·log 23,∴f (t )=2·log 3t ·log 23=2·log 2t log 23·log 23=2·log 2t , ∴f (x )=2·log 2x ,∴f (21 005)=2·log 221 005=2×1 005=2 010.法二:令3x =21 005,则x =log 321 005=1 005log 32∴f (22 005)=2×1 005log 32×log 23=2 010.答案:2 0107.计算下列各式的值:(1)log 2125·log 318·log 519; (2)(log 23+log 89)(log 34+log 98+log 32).解:(1)log 2125·log 318·log 519=log 25-2·log 32-3·log 53-2 =-12log 25·log 32·log 53=-12·lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5=-12.(2)原式=(log 23+log 3232)(log 322+log 2323+log 32)=53log 23·92log 32=152·1log 32·log 32=152. 8.已知x ,y ,z 为正数,且3x =4y =6z .(1)求使2x =py 的p 的值;(2)求证:12y =1z -1x. 解:(1)设3x =4y =6z =k (显然k ≠1), 则x =log 3k ,y =log 4k ,z =log 6k ,由2x =py 得2log 3k =p log 4k =p ·log 3k log 34, ∵log 3k ≠0,∴p =2log 34;(2)证明:1z -1x =1log 6k -1log 3k=log k 6-log k 3=log k 2=12log k 4=12log 4k =12y.。
1.下列函数中,正整数指数函数的个数为( )①y =1x ;②y =-4x ;③y =(-8)x .A .0B .1C . 2D .3 解析:由正整数指数函数的定义知,A 正确.答案:A2.函数y =(a 2-3a +3)·a x (x ∈N +)为正整数指数函数,则a 等于( ) A .1B .2C .1或2D .以上都不对 解析:由正整数指数函数的定义,得a 2-3a +3=1,∴a =2或a =1(舍去).答案:B3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化情况是( ) A .增加7.84%B .减少7.84%C .减少9.5%D .不增不减解析:设商品原价格为a ,两年后价格为a (1+20%)2,四年后价格为a (1+20%)2(1-20%)2=a (1-0.04)2=0.921 6a ,∴a -0.921 6a a×100%=7.84%. 答案:B4.某产品计划每年成本降低p %,若三年后成本为a 元,则现在成本为( )A .a (1+p %)元B .a (1-p %)元 C.a (1-p %)3元 D.a (1+p %)元 解析:设现在成本为x 元,则x (1-p %)3=a ,∴x =a (1-p %)3. 答案:C5.计算(2ab 2)3·(-3a 2b )2=________.解析:原式=23a 3b 6·(-3)2a 4b 2=8×9×a 3+4b 6+2=72a 7b 8.答案:72a 7b 86.光线通过一块玻璃板时,其强度要损失20%,把几块相同的玻璃板重叠起来,设光线原来的强度为1,通过x 块玻璃板后的强度为y ,则y 关于x 的函数关系式为________.解析:20%=0.2,当x =1时,y =1×(1-0.2)=0.8;当x =2时,y =0.8×(1-0.2)=0.82;当x =3时,y =0.82×(1-0.2)=0.83;……∴光线强度y 与通过玻璃板的块数x 的关系式为y =0.8x (x ∈N +).答案:y =0.8x (x ∈N +)7.若x ∈N +,判断下列函数是否是正整数指数函数,若是,指出其单调性.(1)y =(-59)x ;(2)y =x 4;(3)y =2x 5; (4)y =( 974)x ;(5)y =(π-3)x . 解:因为y =(-59)x 的底数-59小于0,所以y =(-59)x 不是正整数指数函数;(2)因为y =x 4中自变量x 在底数位置上,所以y =x 4不是正整数指数函数,实际上y =x 4是幂函数;(3)y =2x 5=15·2x ,因为2x 前的系数不是1, 所以y =2x5不是正整数指数函数; (4)是正整数指数函数,因为y =( 974)x 的底数是大于1的常数,所以是增函数; (5)是正整数指数函数,因为y =(π-3)x 的底数是大于0且小于1的常数,所以是减函数.8.某地区重视环境保护,绿色植被面积呈上升趋势,经过调查,现有森林面积为10 000 m 2,每年增长10%,经过x 年,森林面积为y m 2.(1)写出x ,y 之间的函数关系式;(2)求出经过10年后森林的面积.(可借助于计算器)解:(1)当x =1时,y =10 000+10 000×10%=10 000(1+10%);当x =2时,y =10 000(1+10%)+10 000(1+10%)×10%=10 000(1+10%)2; 当x =3时,y =10 000(1+10%)2+10 000(1+10%)2×10%=10 000(1+10%)3; ……所以x,y之间的函数关系式是y=10 000(1+10%)x(x∈N+);(2)当x=10时,y=10 000(1+10%)10≈25 937.42,即经过10年后,森林面积约为25 937.42 m2.。
一、填空题1.函数f (x )=1-x +lg x 的定义域是________.解析:由⎩⎨⎧1-x ≥0,x >0,得0<x ≤1. 答案:(0,1]2.函数f (x )=log a (2x +1)+2(a >0且a ≠1)必过定点________. 解析:∵log a 1=0,∴x =0时f (x )=2.故函数f (x )过定点(0,2).答案:(0,2)3.已知a =log 23.6,b =log 43.2,c =log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系是________. 解析:a =log 23.6=log 43.62=log 412.96,y =log 4x (x >0)是单调增函数,而3.2<3.6<12.96,∴a >c >b .答案:a >c >b4.若y =(log 12a )x 在R 上为减函数,则实数a 的取值范围是________.解析:∵函数y =(log 12a )x 在R 上为减函数,∴0<log 12a <1.∴12<a <1.答案:(12,1)5.函数y =log a x ,x ∈[2,4],a >0且a ≠1,若此函数的最大值比最小值大1,则a =________.解析:当a >1时,log a 4-log a 2=1,解得a =2,当0<a <1时,log a 2-log a 4=1,解得a =12.∴a =2或12.答案:2或126.设f (x )=⎩⎨⎧lg x ,x >0,10x ,x ≤0,则f (f (-2))=________.解析:f (-2)=10-2,∴f (f (-2))=f (10-2)=lg 10-2=-2.答案:-2二、解答题7.已知函数f (x )=log 2(x -3).(1)求f (51)-f (6)的值;(2)若f (x )≥0,求x 的取值范围.解:(1)∵f (x )=log 2(x -3),∴f (51)-f (6)=log 2(51-3)-log 2(6-3)=log 248-log 23=log 216=4.(2)f (x )≥0即log 2(x -3)≥0,∴x -3≥1解得x ≥4.所以x 的取值范围为[4,+∞).8.比较下列各组数的大小.(1)log 2π与log 20.9;(2)log 20.3与log 0.20.3;(3)log 0.76,0.76与60.7.解:(1)∵函数y =log 2x 在(0,+∞)上是增函数,π>0.9,∴log 2π>log 20.9.(2)∵log 20.3<log 21=0,log 0.20.3>log 0.21=0,∴log 20.3<log 0.20.3.(3)∵60.7>60=1,0<0.76<0.70=1,log 0.76<log 0.71=0,∴60.7>0.76>log 0.76.9.已知f (x )=log 3x .(1)作出这个函数的图象;(2)当0<a <2时,有f (a )>12,利用图象求a 的取值范围.解:(1)作出函数y =log 3x 的图象如图所示.(2)令f (x )=12,即log 3x =12,解得x = 3.由如图所示的图象知:当0<a <2时,若f (a )>12,则3<a <2.故当0<a <2时,满足f (a )>12的a 的取值范围为(3,2).。
1.使对数log a (-2a +1)有意义的a 的取值范围为( )A .a <12且a ≠1B .0<a <12C .a >0且a ≠1D .a <12解析:由对数的概念可知使对数log a (-2a +1)有意义的a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a ≠1,-2a +1>0,解得0<a <12.答案:B2.方程(lg x )2+(lg2+lg3)lg x +lg2lg3=0的两根的积x 1x 2等于( )A .lg2+lg3B .lg2lg3 C.16D .-6解析:∵lg x 1+lg x 2=-(lg2+lg3), ∴lg(x 1x 2)=-lg6=lg6-1=lg 16,∴x 1x 2=16.答案:C3.设lg2=a ,lg3=b ,则lg12lg5等于( )A.2a +b 1+aB.a +2b 1+aC.2a +b 1-aD.a +2b 1-a解析:lg12lg5=lg3+lg4lg5=lg3+2lg21-lg2=2a +b1-a. 答案:C4.已知2x =9,log 283=y ,则x +2y 的值为( )A . 6B .8C .4D .log 48解析:由2x =9,得log 29=x ,∴x +2y =log 29+2log 283=log 29+log 2649=log 264=6. 答案:A5.已知a 23=49(a >0),则log 23a =________.解析:法一:∵a 23=49,∴log a 49=23,∴2log a 23=23,∴log a 23=13,∴1log a23=3,∴log 23a =3. 法二:∵a 23=49,∴a 2=64729,∴a =827=(23)3,∴log 23a =log 23(23)3=3.答案:36.计算:2log 233831lne+log 464⨯ =________.解析:原式=23322-31+log 44()⨯ =4×21+(-3)=8-2=-4.答案:-47.(1)已知lg x +lg2y =2lg(x -4y ),求log 2xy ; (2)设a =lg2,b =lg3,试用a ,b 表示lg 108. 解:(1)由已知得lg(2xy )=lg(x -4y )2,∴2xy =(x -4y )2, ∴2xy =x 2-8xy +16y 2. ∴x 2-10xy +16y 2=0, ∴x =2y 或x =8y . ∵x >0,y >0,x -4y >0, ∴x =2y (舍去), ∴x =8y ,∴xy =8, ∴log 2xy =log 28=3;(2)∵108=4×27=22×33, ∴lg 108=12lg108=12lg(22×33)=12lg22+12lg33=lg2+32lg3=a +32b . 8.已知f (x )=x 2+(lg a +2)x +lg b ,f (-1)=-2,当x ∈R 时,f (x )≥2x 恒成立,求实数a ,b 的值.解:由f (-1)=-2得,1-(lg a +2)+lg b =-2, ∴lg b a =-1=lg 110,∴b a =110,即a =10b .又f (x )≥2x 恒成立,∴x 2+(lg a )x +lg b ≥0对x ∈R 恒成立, ∴(lg a )2-4lg b ≤0, 即(lg10b )2-4lg b ≤0, ∴(1-lg b )2≤0,∴lg b =1,b =10,从而a =100, 故实数a ,b 的值分别为100,10.。