【创新设计】高中数学(北师大版选修2-1)配套练习：2.4用向量讨论垂直与平行(含答案解析)

2018-2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行课时作业北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行课时作业北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4 用向量讨论垂直与平行[基础达标］1。

若错误!＝(1，2，3），错误!＝(－1,3,4)，则以下向量中能成为平面OAB 的法向量的是（ )A ．(1，7，5)B ．(1，－7，5）C ．（－1,－7，5)D ．（1，－7，－5）解析:选C 。

因为（－1，－7，5）·(1,2，3）＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·（－1，3，4)＝1－21＋20＝0，所以向量(－1，－7，5）能成为平面OAB 的法向量．错误!若直线l 的方向向量为a ＝（1，0,2）,平面α的法向量为u ＝（－2，0，－4),则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．lαD ．l 与α斜交解析：选B.∵u ＝－2a ,a 与u 共线，∴l ⊥α。

3.已知A （1，－2，11)，B （4，2,3），C （6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.错误!＝(－5，－1，7),错误!＝（－2，3，－1），由于错误!·错误!＝0且|错误!｜≠｜错误!|，故选C.4.已知平面α与β的一个法向量分别是a ＝(x ，2，2)，b ＝（1，3,y ),若α⊥β，且|a ｜＝2错误!，则y ＝（ )A ．－5B ．－1C ．4或－4D ．－5或－1解析：选D.∵α⊥β，∴a ⊥b ，即x ＋6＋2y ＝0①,又｜a |＝2错误!，∴x 2＋22＋22＝24②，由①②解得y ＝－5或y ＝－1。

[基础达标] [&@~#*]1.若OA→＝(1，2，3)，OB →＝(－1，3，4)，则以下向量中能成为平面OAB 的法向量的是( )A ．(1，7，5)B ．(1，－7，5)C ．(－1，－7，5)D ．(1，－7，－5)解析：选C.因为(－1，－7，5)·(1，2，3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(－1，3，4)＝1－21＋20＝0，所以向量(－1，－7，5)能成为平面OAB 的法向量． [^@#~&] 2.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则( ) [&~^#%]A ．l ∥αB ．l ⊥α [*^@~&]C ．l αD ．l 与α斜交解析：选B.∵u ＝－2a ，a 与u 共线，∴l ⊥α.3.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.CA→＝(－5，－1，7)，CB →＝(－2，3，－1)，由于CA →·CB →＝0且|CA→|≠|CB →|，故选C. 4.已知平面α与β的一个法向量分别是a ＝(x ，2，2)，b ＝(1，3，y)，若α⊥β，且|a|＝26，则y ＝( ) [~@&%^]A ．－5B ．－1C ．4或－4D ．－5或－1解析：选D.∵α⊥β，∴a ⊥b ，即x ＋6＋2y ＝0①，又|a|＝26，∴x 2＋22＋22＝24②，由①②解得y ＝－5或y ＝－1. 5.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1，AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，则A 1E 与平面AB 1C 1的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．A 1E ∥平面AB 1C 1C ．A 1E ⊥平面AB 1C 1D ．A 1E 平面AB 1C 1 [@*#^%]解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系． [&*#%@]取|AB|＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，E(12，12，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，A 1E →＝(12，12，－1).AB 1→＝(1，0，1)，AC 1→＝(0，1，1)，由于A 1E →·AB 1→≠0，A 1E →·AC 1→≠0，故选A.6.已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，则直线AB 与平面yOz 交点C 的坐标是________．解析：令C 的坐标为(0，y ，z)，则由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2λ，－1＝（y －4）λ，3＝z λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝6，λ＝12. 答案：(0，2，6) [~@%^&]7.设平面α的一个法向量为(3，2，－1)，平面β的一个法向量为(－2，－43，k)，若α∥β，则k 等于________．解析：∵α∥β，∴(3，2，－1)＝λ(－2，－43，k)，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝－2λ2＝－43λ－1＝λk ，解得k ＝23. 答案：238.平面α与平面β的法向量分别是m ，n ，直线l 的方向向量是a ，给出下列论断：①m ∥n ⇒α∥β；②m ⊥n ⇒α⊥β；③a ⊥m ⇒l ∥α；④a ∥m ⇒l ⊥α.其中正确的论断为________(把你认为正确论断的序号填在横线上)． 解析：m ∥n ⇒α∥β或α、β重合，①不正确；②m ⊥n ⇒α⊥β，②正确；③a ⊥m ⇒l ∥α或l α，③不正确；a ∥m ⇒l ⊥α，④正确． 答案：②④9.如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD.。

课时作业9 用向量讨论垂直与平行时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( D ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵l 1∥l 2，设a ＝λb ，∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.2．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝( A )A ．－8B ．－5C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.3．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6,6)，则( A ) A ．π1∥π2B ．π1⊥π2C ．π1，π2相交但不垂直D ．以上均不正确解析：∵n 1＝－13n 2，∴n 1∥n 2，∴π1∥π2.4．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1,0，－2)，b ＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( A )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断 解析：因为a ＝－1·b ，所以a∥b .因此两个平面平行．5．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( D ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝y ＝1.所以n ＝(1,1,1)，|n |＝3，得平面ABC 的单位向量为(33，33，33)或(－33，－33，－33)，故选D. 6．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，且∠C 1EF ＝90°，则点F 的坐标为( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，0 解析：设F (2，m,0)(0≤m ≤2)，由题意知，E (2,0,1)，C 1(0,2,2)，则C 1E →＝(2，－2，－1)，EF →＝(0，m ，－1)，∵∠C 1EF ＝90°，∴C 1E →·EF →＝0，即－2m ＋1＝0，解得m ＝12，∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，0. 7．已知平面α内有一点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( B )A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)解析：要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA →与平面的法向量n 是否垂直，即判断PA →·n 是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝(1，－4，12)，则PA →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故选B.8．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( D )A ．(1，－4,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12D ．(0，－1,1)解析：因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D.二、填空题9．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(－2,4，－8)垂直，则平面α与β位置关系是平行．解析：因为a ＝12b ，所以a ∥b .因为平面α与向量a 垂直，所以平面α与向量b 也垂直．而平面β与向量b 垂直，所以α∥β.10．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则xy z ＝23(－4)．解析：AB →＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)，由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，∴xy z ＝23yy(－43y )＝23(－4)．11．如图，已知矩形ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于2.解析：先建立如图所示的空间直角坐标系，设|BQ →|＝b ，则A (0,0,0)，Q (1，b,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，D (0，a,0)，所以PQ →＝(1，b ，－1)，QD →＝(－1，a －b,0)．∵PQ →⊥QD →，∴b 2－ab ＋1＝0. ∵b 只有一解，∴Δ＝0，可得a ＝2. 三、解答题12．如图所示的五面体中，四边形ABCD 是正方形，DA ⊥平面ABEF ，AB ∥EF ，AE ⊥AF ，DA ＝AF ＝1，AE ＝3，P ，Q 分别为AE ，BD 的中点．求证：PQ ∥平面BCE .证明：∵AE ＝3，AF ＝1，AE ⊥AF ，∴∠AEF ＝30°. ∵AB ∥EF ，∴∠EAB ＝30°.以A 为原点，AE ，AF ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则E (3，0,0)，B (32，－12，0)，D (0,0,1)，C (32，－12，1)， ∴EB →＝(－32，－12，0)，BC →＝(0,0,1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB →＝0，n ·BC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－32x 1－12y 1＝0，z 1＝0，令x 1＝1，得平面BCE 的一个法向量为n ＝(1，－3，0)． ∵P ，Q 分别为AE ，BD 的中点， ∴P (32，0,0)，Q (34，－14，12)， ∴PQ →＝(－34，－14，12)，∴n ·PQ →＝－34＋34＝0，∴PQ →⊥n ，又P Q ⃘平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .13．如图，在四棱锥E ­ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .证明：取BE 的中点O ，连接OC . ∵BC ＝CE ，∴OC ⊥BE . 又AB ⊥平面BCE ，∴以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．则由已知条件有C (1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)．设平面ADE 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0. 且n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0. 可取n ＝(0,1，－3)． 又AB ⊥平面BCE .∴AB ⊥OC ，∴OC ⊥平面ABE ，∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE .——能力提升类——14．已知A (1,0,0)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，D (1,2,0)，E (0,0,1)，则直线DE 与平面ABC 的位置关系是( B )A ．平行B ．DE 平面ABC C ．相交D ．平行或DE 平面ABC解析：因为AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(1,0，－1)，设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则n ·AB →＝0且n ·BC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋1＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以n ＝(1,0,1)，又DE→＝(－1，－2,1)，所以DE →·n ＝(－1，－2，1)·(1,0,1)＝0，即DE →⊥n ，则DE ∥平面ABC 或DE 平面ABC .因为BD →＝(1,1，－1)，所以BD →＝2BC →＋AB →，所以A ，B ，C ，D 四点共面，即点D在平面ABC 内，所以DE 平面ABC .15．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4. (1)求证：AC ⊥BC 1；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1⊥CD? (3)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1?解：直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，则AC ，BC ，CC 1两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)．(1)证明：∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4，4)，∴AC →·BC 1→＝0， ∴AC →⊥BC 1→，∴AC ⊥BC 1.(2)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ，则AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D (3－3λ，4λ，0)，于是CD →＝(3－3λ，4λ，0)，由于AC 1→＝(－3,0,4)，且AC 1⊥CD ， 所以－9＋9λ＝0，得λ＝1，所以在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ，且这时点D 与点B 重合．(3)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，则AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D (3－3λ，4λ，0)，B 1D →＝(3－3λ，4λ－4，－4)．又B 1C →＝(0，－4，－4)，AC 1→＝(－3,0,4)，AC 1∥平面CDB 1，所以存在实数m ，n ，使AC 1→＝mB 1D →＋nB 1C →成立．∴m (3－3λ)＝－3，m (4λ－4)－4n ＝0，－4m －4n ＝4.所以λ＝12，所以在AB 上存在点D 使得AC 1∥平面CDB 1，且D 是AB 的中点．。

4 用向量讨论垂直与平行课后作业提升1.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是()A.-3或1B.3或-1C.-3D.1答案:A2.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⫋αD.l与α相交(不垂直)答案:B3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是异面直线AC和A1D的公垂线,则EF和BD1的关系是()A.垂直B.异面不垂直C.相交D.平行或重合答案:D4.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为,且l⊥α,则m的值为()A.1B.2C.4D.-4解析:∵l⊥α,∴l的方向向量与平面α的法向量共线.∴(2,1,m)=λ,解得m=4.答案:C5.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,则直线A1F 与直线C1E的位置关系是.(填:平行或垂直或不确定)答案:垂直6.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是.解析:∵=λ+μ(λ,μ∈R),∴共面.∴AB∥平面CDE或AB⫋平面CDE.答案:AB∥平面CDE或AB⫋平面CDE7.如图,△ABC是正三角形,AA1 BB1 CC1,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD.证明:记=a,=b,=c,则=a+c,=a-b,b+c.∴=a+c=.∴共面.∵AB1⊈平面 C1BD,∴AB1∥平面C1BD.8.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.证明:(1)如图,设AC与BD交于点G,连接EG.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG.因为EG⫋平面BDE,AF⊈平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F.所以=(0,-,1),=(-,0,1).所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0.所以CF⊥BE,CF⊥DE.又BE∩DE=E,所以CF⊥平面BDE.。

§4　用向量讨论垂直与平行课后训练案巩固提升A组1.已知a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=λb(λ≠0),b·c=0,则a与c的位置关系是( )A.垂直B.平行C.相交D.异面解析:由a=λb(λ≠0),知a∥b.由b·c=0,知b⊥c,所以a⊥c.故选A.答案:A2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( )(33,33,-33)(33,-33,33)A. B.(-33,33,33)(-33,-33,-33)C. D.AB AC BC解析:　=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,-1,1).设平面ABC的一个单位法向量为u=(x,y,z),AB AC则u·=0,u·=0,可得x,y,z间的关系,且x2+y2+z2=1,再求出x,y,z的值.答案:D3.若平面α的法向量为u=(1,-3,-1),平面β的法向量为v=(8,2,2),则( )A.α∥βB.α与β相交C.α⊥βD.不确定解析:∵平面α的法向量为u=(1,-3,-1),平面β的法向量为v=(8,2,2),∴u·v=(1,-3,-1)·(8,2,2)=8-6-2=0.∴u⊥v,∴α⊥β.答案:C4.给出下列命题:①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,且向量a与平面α共面,则a·n=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:①②不正确.答案:B5.导学号90074037如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.以上结论正确的是 .(填序号)A1M=AM‒AA1=DP‒DD1=D1P解析:∵,∴A1M∥D1P.又∵D1P⫋平面D1PQB1,∴A1M∥平面D1PQB1.又D1P⫋平面DCC1D1,∴A1M∥平面DCC1D1.∵D1B1与PQ平行不相等,∴B 1Q 与D 1P 不平行.∴A 1M 与B 1Q 不平行.答案:①③④6.已知=(1,5,-2),=(3,1,z ),=(x-1,y ,-3).若,且BP ⊥平面ABC ,则实数x ,y ,z 的值分别为 .AB BC BP AB ⊥BC解析:∵=(1,5,-2),=(3,1,z ),,AB BC AB ⊥BC ∴(1,5,-2)·(3,1,z )=0,即3+5-2z=0,∴z=4.①又∵=(x-1,y ,-3),⊥平面ABC ,BP BP ∴=0,即(x-1,y ,-3)·(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0.②BP ·AB =0,即(x-1,y ,-3)·(3,1,4)=0,BP ·BC 3x-3+y-12=0.③由①②③得x=,y=-,z=4.407157答案:,-,44071577.如图,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,E 是CD 的中点,F 是AD 上一点,当BF ⊥PE 时,AF ∶FD 的值为 .解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a.则B (1,0,0),E ,P (0,0,a ).(12,1,0)设点F 的坐标为(0,y ,0),则=(-1,y ,0),.BF PE =(12,1,-a )∵BF ⊥PE ,∴=0,解得y=,则点F 的坐标为,∴F 为AD 的中点,∴AF ∶FD=1.BF ·PE 12(0,12,0)答案:18.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°,BC=2,CC 1=4,点E 在线段BB 1上,且EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,C 1B 1,C 1A 1的中点.求证:平面EGF ∥平面ABD.证明如图所示,由条件知BA ,BC ,BB 1两两互相垂直,以B 为坐标原点,BA ,BC ,BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由条件知B (0,0,0),D (0,2,2),B 1(0,0,4),E (0,0,3),F (0,1,4),设BA=a ,则A (a ,0,0),G .(a 2,1,4)所以=(a ,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2),=(0,1,1).BA BD B 1D EG =(a 2,1,1),EF (方法一)因为=0,=0+4-4=0,B 1D ·BA B 1D ·BD 所以B 1D ⊥BA ,B 1D ⊥BD.因为BA ∩BD=B ,所以B 1D ⊥平面ABD.又=0+2-2=0,=0+2-2=0.B 1D ·EG B 1D ·EF 所以B 1D ⊥EG ,B 1D ⊥EF.又EG ∩EF=E ,所以B 1D ⊥平面EFG ,可知平面EGF ∥平面ABD.(方法二)设平面EGF 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{n 1·EF =0,n 1·EG =0,{y 1+z 1=0,a 2x 1+y 1+z 1=0,即{x 1=0,y 1=-z 1,令y 1=1,则n 1=(0,1,-1).设平面ABD 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则 即{n 2·BA =0,n 2·BD =0,{ax 2=0,2y 2+2z 2=0,{x 2=0,y 2=-z 2,令y 2=1,则n 2=(0,1,-1).所以n 1=n 2,所以平面EGF ∥平面ABD.9.如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点.求证:AB 1⊥平面A 1BD.证明如图所示,取BC 的中点O ,连接AO.因为△ABC 为正三角形,所以AO ⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1,以O 为原点,以为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (-1,1,0),A 1(0,2,OB ,OO 1,OA ),A (0,0,),B 1(1,2,0).33设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),=(-1,2,),=(-2,1,0).BA 13BD 因为n ⊥,n ⊥,BA 1BD 故{n ·BA 1=0,n ·BD =0⇒{-x +2y +3z =0,-2x +y =0.令x=1,则y=2,z=-,33故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,AB13而=(1,2,-),AB1所以=n,AB1所以∥n,故AB1⊥平面A1BD.B组1.设平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=( )A.2B.-4C.4D.-2解析:∵α∥β,∴存在实数λ,使(1,2,-2)=λ(-2,-4,k),∴k=4.答案:C2.如图,AB是☉O的直径,VA垂直☉O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )A.MN∥ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC⊥平面VACD.平面VAC⊥平面VBC解析:因为M,N分别为VA,VC的中点,所以MN∥AC.因为AB∩AC=A,所以A选项不正确.因为AC⊥BC,所以MN与BC所成的角为90°,B选项不正确.又因为OC不垂直于AC,所以选项C不正确.因为VA垂直☉O所在的平面,依题意可得平面VAC⊥平面VBC.答案:D3.如图,定点A和B都在平面内,定点P∉α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,那么C在平面α内的轨迹是( )A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一个椭圆,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点解析:连接BC(图略),根据题意BC为PC在平面α内的射影.∵PC⊥AC,根据三垂线定理的逆定理知AC⊥BC,∴点C在以AB为直径的圆上.又C是不同于点A和B的动点,因此应去掉端点A和B.答案:B4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.若在棱AA1上取一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP的长为 .AB,AD,AA1解析:以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).设AB=a ,则A (0,0,0),D (0,1,0),D 1(0,1,1),E ,B 1(a ,0,1),故(0,1,1),=(a ,0,1),(a 2,1,0)AD 1B 1E =(-a 2,1,-1),AB 1AE =.再设P (0,0,z 0),使得DP ∥平面B 1AE.此时=(0,-1,z 0).(a 2,1,0)DP 又设平面B 1AE 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB 1=0,n ·AE =0,∴{ax +z =0,ax 2+y =0.取x=1,得n =.(1,-a 2,-a )要使DP ∥平面B 1AE ,只要n ⊥,有-az 0=0,解得z 0=.又DP ⊈平面B 1AE ,DP a 212∴存在点P ,满足DP ∥平面B 1AE ,此时AP=.12答案:125.如图,正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,CE ⊥AC ,EF ∥AC ,AB=,CE=EF=1.2求证:(1)AF ∥平面BDE ;(2)CF ⊥平面BDE.证明(1)设AC 与BD 交于点G.因为EF ∥AG ,且EF=1,AG=AC=1,12所以四边形AGEF 为平行四边形,所以AF ∥EG.因为EG ⫋平面BDE ,AF ⊈平面BDE ,所以AF ∥平面BDE.(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,且CE ⊥AC ,所以CE ⊥平面ABCD.如图,以C 为原点,建立空间直角坐标系C-xyz ,则C (0,0,0),A (,0),B (0,,0),D (,0,0),E (0,0,1),F .2,222(22,22,1)所以=(0,-,1),=(-,0,1).所以=0-1+1=0,=-1+0+1=0.CF =(22,22,1),BE 2DE 2CF ·BE CF ·DE 所以CF ⊥BE ,CF ⊥DE.又BE ∩DE=E ,所以CF ⊥平面BDE.6.导学号90074038如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC.(1)求证:AC ⊥PB ;(2)设O ,D 分别为AC ,AP 的中点,点G 为△OAB 内一点,且满足),求证:DG ∥平面PBC.OG =13(OA +OB 证明(1)因为PA ⊥平面ABC ,AC ⫋平面ABC ,所以PA ⊥AC.又因为AB ⊥AC ,且PA ∩AB=A ,所以AC ⊥平面PAB.又因为PB ⫋平面PAB ,所以AC ⊥PB.(2)证法一:因为PA ⊥平面ABC ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AC.又因为AB ⊥AC ,所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设AC=2a ,AB=b ,PA=2c ,则A (0,0,0),B (0,b ,0),C (2a ,0,0),P (0,0,2c ),D (0,0,c ),O (a ,0,0),又因为),OG =13(OA +OB 所以G .于是=(2a ,-b ,0),=(0,b ,-2c ).(a 3,b 3,0)DG =(a 3,b 3,-c ),BC PB 设平面PBC 的一个法向量n =(x 0,y 0,z 0),则有不妨设z 0=1,则有y 0=,x 0=,所以n ={n ·BC =0,n ·PB =0,即{2ax 0-by 0=0,by 0-2cz 0=0.2c b c a .(c a ,2c b ,1)因为n ·+1·(-c )=0,所以n ⊥.DG =(c a ,2c b ,1)·(a 3,b 3,-c )=c a ·a 3+2c b ·b 3DG 又因为DG ⊈平面PBC ,所以DG ∥平面PBC.证法二:取AB 中点E ,连接OE ,则).由已知)可得,OE =12(OA +OB OG =13(OA +OB OG =23OE 则点G 在OE 上.连接AG 并延长交CB 于点F ,连接PF.因为O,E分别为AC,AB的中点,所以OE∥BC,即G为AF的中点.又因为D为线段PA的中点,所以DG∥PF.又DG⊈平面PBC,PF⫋平面PBC,所以DG∥平面PBC.。

高中数学学习材料唐玲出品用向量讨论垂直与平行 同步练习【填空题】1、已知两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为21,s s ，判断两直线的平行与垂直: (1) )5,2,1(),1,2,1(21-=-=s s (2) )1,2,1(),1,2,1(21--=-=s s (3) )0,1,2(),5,2,1(21=-=s s (4) )10,4,2(),5,2,1(21-=-=s s(1)____________ (2) ____________ (3) ____________ (4) ____________2、已知两个不同平面21,ππ的法向量分别为21,n n ，判断两平面的平行与垂直: (1) )5,2,1(),1,2,1(21-=-=n n (2) )1,2,1(),1,2,1(21--=-=n n(1)____________ (2) ____________3、已知直线l 的方向向量为s ,平面π的法向量为n ，且l π∉,判断直线与平面是否平行与垂直： (1) s =(1,-4,-3), n =(2,0,3)(2) s=(3,2,1), n=(-1,2,-1)(1)____________ (2) ____________【解答题】4、已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC的一个法向量.5、已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面α的一个法向量.6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点,求证:MN//平面A1BD.D′C′B′A′DCMN7、已知,,,E F G H分别是空间四边形ABCD边,,,AB BC CD DA的中点，（1）用向量法证明：,,,E F G H四点共面；（2）用向量法证明：//BD平面EFGH．8、已知：如下图，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，aα，求证：a⊥PA⇔a⊥OA.POA aαABCDFEGH参考答案1、(1)垂直 (2)平行 (3) 垂直 (4) 平行2、(1)垂直 (2) 平行3、(1)既不平行也不垂直 (2) 平行4、由已知得OA OB AB -==(0,b,0)-(a,0,0)=(-a,b,0), OA OC AC -==(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,c), 设平面ABC 的一个法向量为n =(x,y,z),则 n AB ⋅=(x,y,z) ⋅(-a,b,0)= -ax+by=0, n AC ⋅=(x,y,z) ⋅(-a,0,c)= -ax+cz=0, 于是得x ca z xb a y ==, 不妨设x=bc,则y=ac,z=ab. 因此，可取n =(bc,ac,ab)为平面ABC 的一个法向量.5、平面α的一个法向量n =(2,1,0) （注：如果设n =(x,y,z),则可得x=2y,z=0 方法同上一题）6、以D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得)1,1,21(),21,1,0(N M ,D(0,0,0),A 1(1,0,1),B(1,1,0)于是),21,0,21(=MN 设平面A 1BD 的法向量是n =(x,y,z). 则1DA n ⋅=0,且DB n ⋅=0得⎩⎨⎧=+=+00y x z x 取x=1,得y= -1,z= -1, )1,1,1(--=∴n 又0)1,1,1()21,0,21(=--⋅=⋅n MNn MN ⊥∴//MN ∴平面A 1BD.7、略。

4 用向量讨论垂直与平行授课提示：对应学生用书第21页一、直线、平面间的平行、垂直设空间中两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，平面α的法向量为n ，则：平行 垂直 l 1与l 2 e 1∥e 2 e 1⊥e 2 l 1与αe 1⊥ne 1∥n二、线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直． 三、面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 四、面面垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． 五、三垂线定理1．文字语言：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．2．几何语言⎭⎬⎫b 平面αc 是b 在平面α内的投影aαa ⊥c⇒a ⊥b 3．图形语言[疑难提示]平行关系的判定与证明、垂直关系的证明 (1)证明线面平行常用的方法①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面． ②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行． ③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明面面平行常用的方法①证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面． ②证明两个平面的法向量平行．③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问题．(4)用向量法证明线段垂直 证明两直线的方向向量垂直． (5)用向量法证明线面垂直设a 表示一条直线的方向向量，n 是平面的法向量． ①a ∥n ，则线面垂直．②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b ，c ，只需证明a ⊥b ，a ⊥c .(6)用向量法证明面面垂直 ①转化为证线面垂直． ②证两平面的法向量垂直． [想一想]1．三垂线定理的作用是什么？提示：三垂线定理的结论跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，在证明线线垂直问题时，非常简捷．[练一练]2．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝⎛⎭⎫－16，13，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合． 答案：D授课提示：对应学生用书第22页探究一三垂线定理在证明垂直问题中的应用[典例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的投影O1是△BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的投影O2必是△ACD的垂心．[证明]连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交．∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC.又AO1⊥平面BCD，∴DO1是AD在平面BCD内的投影，∴BC⊥AD(三垂线定理)．∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，∴CO2是BC在平面ACD内的投影，∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．三垂线定理的证明要用向量法，但在使用三垂线定理时，与向量无关，是纯几何问题．应用定理的关键是：一定面，二查线，三垂直，问题即可解决．1.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．求证：A1E⊥平面AED.证明：∵在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，∴D 1A 1，D 1C 1，D 1D 两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系D 1－xyz .则D (0,0,2)，A (2，0,2)，E (2，1,1)，A 1(2，0,0)， ∴DA →＝(2，0,0)，AE →＝(0,1，－1)，A 1E →＝(0,1,1)， ∴A 1E →·DA →＝0，A 1E →·AE →＝0， ∴A 1E ⊥DA ，A 1E ⊥AE ，又DA ∩AE ＝A ，∴A 1E ⊥平面AED .2.(1)已知在空间四边形OACB 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .(2)在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)P -ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△P AB 的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：平面GEF ⊥平面PBC .证明：(1)因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OA B.所以∠AOC ＝∠AOB.因为OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0， 所以OA →⊥BC →，所以OA ⊥BC .(2)以三棱锥的顶点P 为原点，以P A 、PB 、PC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令P A ＝PB ＝PC ＝3，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)， 所以EF →＝(0，－1，－1)，EG →＝(1，－1，－1)．设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥EF →，n ⊥EG →.所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)．显然P A →＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量． 因为n ·P A →＝0，所以n ⊥P A →，即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直． 所以平面EFG ⊥平面PBC .探究二 求平面的法向量[典例2] 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，求平面EFBD 的一个法向量．[解析] ∵D (0,0,0)、B (2,2,0)、E (1,0,2)， ∴DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面EFBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x z ＝－12x .令x ＝2，则可解得：y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为所求平面EFBD 的一个法向量．若要求出一个平面的法向量，一般要根据空间直角坐标系，用待定系数法求解，一般步骤为：(1)设出平面法向量n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面内的两个不共线向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量定义建立关于x ，y ，z 的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝xa 1＋yb 1＋zc 1＝0，n ·b ＝xa 2＋yb 2＋zc 2＝0； (4)解方程组，取其中一个解，即得法向量．3．已知平面α经过A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)三点，试求平面α的一个法向量． 解析：∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)． 设平面α的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )， 依题意，应有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝2y .令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．4．(1)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，求出平面ABC 的一个法向量．(2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量． 解析：(1)设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)． 所以AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y . 令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．(答案不唯一)(2)证明：设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，于是有DB 1→·AC →＝0，所以DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC ，同理DB 1⊥AD 1.又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．探究三 利用向量证明平行与垂直利用向量证明平行与垂直—⎪⎪⎪⎪⎪—线面平行—面面平行—线线垂直—线面垂直—面面垂直5.如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，O 1是B 1D 1的中点，证明：BO 1∥平面ACD 1.证明：设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)、D 1(0,0,2)、C (0,2,0)、O 1(1,1,2)、B (2,2,0)， ∴AD 1→＝(－2,0,2)，CD 1→＝(0，－2,2)，BO 1→＝(－1，－1,2)． 证法一 设BO 1→＝λAD 1→＋μCD 1→，则 λ(－2,0,2)＋μ(0，－2,2)＝(－1，－1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝－1－2μ＝－12λ＋2μ＝2，解得λ＝μ＝12.∴BO 1→＝12AD 1→＋12CD 1→⇒BO 1→与AD 1→、CD 1→共面，∴BO 1→∥平面ACD 1.又BO 1⃘平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1. 证法二 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0n ·CD 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2z ＝0－2y ＋2z ＝0.令x ＝1可得：y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)． ∵BO 1→·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0， ∴BO 1→⊥n ，∴BO 1→∥平面ACD 1.又BO 1⃘平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.6.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1D 1、A 1B 1、D 1C 1、B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .证明：证法一 由空间直角坐标系可知：A (4,0,0)，M (2,0,4)，N (4,2,4)，D (0,0,0)，B (4,4,0)， E (0,2,4)，F (2,4,4)．取MN 的中点G 及EF 的中点K ，BD 的中点Q ，连接AG ，QK ， 则G (3,1,4)，K (1,3,4)， Q (2,2,0)．∴MN →＝(2,2,0)，EF →＝(2,2,0)， AG →＝(－1,1,4)，QK →＝(－1,1,4)．可见MN →＝EF →，AG →＝QK →，∴MN ∥EF ，AG ∥QK . ∴MN ∥平面EFBD ，AG ∥平面EFBD . 又MN ∩AG ＝G ，∴平面AMN ∥平面EFBD .证法二 由证法一得AM →＝(－2,0,4)，MN →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2,4)，EF →＝(2,2,0)． 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM →＝0，n 1·MN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝12x 1，y 1＝－x 1.令x 1＝1，则n 1＝(1，－1，12)．设平面EFBD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，2y 2＋4z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－y 2，z 2＝－12y 2， 令x 2＝1，则n 2＝(1，－1，12)．∴n 1＝n 2，∴平面AMN ∥平面EFBD .7.如图，在三棱锥P －ABC 中，三条侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝3，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ； (2)求证：EG 与直线PG 与BC 都垂直．证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为坐标原点，以P A ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P －xyz .则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)．于是EF →＝(0，－1，－1)，EG →＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥EF →n ⊥EG→，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)． 显然P A →＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量． 又n ·P A →＝0，∴n ⊥P A →，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直， ∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)由(1)，知EG →＝(1，－1，－1)，PG →＝(1,1,0)，BC →＝(0，－3,3)，∴EG →·PG →＝0，EG →·BC →＝0，∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ， ∴EG 与直线PG 与BC 都垂直．8.如图，在空间直角坐标系中，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .证明：A (2，2，0)，M (22，22，1)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，B (0，2，0)， ∴AM →＝(－22，－22，1)，DF →＝(0，2，1)，BF →＝(2，0,1)．∵AM →·DF →＝(－22)×0＋(－22)×2＋1×1＝0，∴AM →⊥DF →.同理AM →⊥BF →.又DF ∩BF ＝F ，DF 平面BDF ，BF 平面BDF ， ∴AM ⊥平面BDF .9.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．解析：(1)证明：以DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，P (0,0，a )， F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，∴EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)， ∴EF →·DC →＝⎝⎛⎭⎫－a2，0，a 2·(0，a,0)＝0， ∴EF ⊥DC .(2)∵G ∈平面P AD ，设G (x,0，z )， ∴FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2. 由(1)，知CB →＝(a,0,0)，CP →＝(0，－a ，a )． 由题意，要使GF ⊥平面PCB ，只需FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0， FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0， ∴x ＝a2，z ＝0.∴点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a2，0，0，即点G 为AD 的中点．利用转化思想解决线面位置关系探究问题[典例] 如图，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．[证明]以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面P AD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B⎝⎛⎭⎫32a，－12a，0，C⎝⎛⎭⎫32a，12a，0，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E⎝⎛⎭⎫0，23a，13a，所以AE→＝⎝⎛⎭⎫0，23a，13a，AC→＝⎝⎛⎭⎫32a，12a，0，AP→＝(0,0，a)，PC→＝⎝⎛⎭⎫32a，12a，－a，BP→＝⎝⎛⎭⎫－32a，12a，a.设点F是棱PC上的点，PF→＝λPC→＝⎝⎛⎭⎫32aλ，12aλ，－aλ，其中0<λ<1，则BF→＝BP→＋PF→＝⎝⎛⎭⎫－32a，12a，a＋⎝⎛⎭⎫32aλ，12aλ，－aλ＝⎝⎛⎭⎫32a(λ－1)，12a(1＋λ)，a(1－λ)令BF→＝λ1AC→＋λ2AE→，得⎩⎪⎨⎪⎧32a(λ－1)＝32aλ1，12a(1＋λ)＝12aλ1＋23aλ2，a(1－λ)＝13aλ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2，解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即当λ＝12时，BF→＝－12AC→＋32AE→，即F是PC的中点时，BF→，AC→，AE→共面，又B F⃘平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.[感悟提高]本题利用转化思想将探究点是否存在问题转化为了在直角坐标系下的空间向量是否共面问题，再进一步转化为方程组是否有解问题．若有解，则存在此点，且将向量运算结果转化为原几何问题，若无解，则此点不存在．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

§用向量讨论垂直与平行课时目标.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．．空间中平行关系的向量表示()线线平行设直线，的方向向量分别为＝(，，)，＝(，，)且(≠)，则∥．()线面平行设直线的方向向量为＝(，，)，平面α的法向量为＝(，，)，则∥α．()面面平行设平面α，β的法向量分别为＝(，，)，＝(，，)，则α∥β．．空间中垂直关系的向量表示()线线垂直设直线的方向向量为＝(，，)，直线的方向向量为＝(，，)，则⊥．()线面垂直设直线的方向向量是＝(，，)，平面α的法向量是＝(，，)，则⊥α．()面面垂直若平面α的法向量＝(，，)，平面β的法向量＝(，，)，则α⊥β．一、选择题．若直线的方向向量为＝()，平面α的法向量为＝(－，－)，则( )．∥α．⊥α．α．与α斜交．平面α的一个法向量为()，平面β的一个法向量为(，－)，则平面α与平面β的位置关系是( )．平行．相交但不垂直．垂直．不能确定．从点(，－)沿向量＝(，－)的方向取线段长＝，则点的坐标为( )．(－，－) ．(，－)．(，－) ．(－，－).在正方体—中，棱长为，、分别为、的中点，则与平面的位置关系是( )．相交．平行．垂直．不能确定．已知(，－)，(，－，－)，(，－)，则△是( )．等边三角形．等腰三角形．直角三角形．等腰直角三角形.如图所示，在正方体—中，是上底面中心，则与的位置关系是( )．平行．相交．相交且垂直．以上都不是二、填空题．已知直线的方向向量为(，)，平面α的法向量为，且∥α，则＝.．已知＝()，＝()，＝()分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有对．.如图，在平行六面体—中，、、分别为棱、、的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )①∥；②∥；③∥面；④∥面.以上结论中正确的是．(填写正确的序号)三、解答题．在正方体—中，是的中点，求证：∥平面.。

2。

4 用向量讨论垂直与平行1. 已知A（3，5，2），B（-1,2,1)，把AB按向量a＝(2，1,1）平移后所得的向量是( ）A．(－4，－3,0）B．(－4，－3,－1)C．(－2，－1，0）D．(－2，－2,0）2．平面α的一个法向量为(1，2，0）,平面β的一个法向量为(2，－1，0），则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定3．从点A（2，－1,7）沿向量a＝(8，9,－12）的方向取线段长AB ＝34，则B点的坐标为( )A．(－9，－7,7）B．（18，17，－17）C．(9,7,－7）D．(－14,－19,31）4．已知a＝(2，4,5），b＝(3,x,y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（)A．x＝6,y＝15 B．x＝3，y＝错误!C．x＝3，y＝15 D．x ＝6，y＝错误!5．若直线l的方向向量为a＝（1，0,2),平面α的法向量为u＝(－2，0,－4)，则( )A．l∥αB．l⊥αC．lαD．l 与α斜交6．已知A（1，1，－1)，B（2,3，1)，则直线AB的模为1的方向向量是________________．7．已知平面α经过点O（0，0,0），且e＝（1，1，1)是α的法向量，M（x,y，z）是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是________________．三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是BB1、DD1的中点，求证：(1）FC1∥平面ADE；(2）平面ADE∥平面B1C1F.10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E，F分别是棱AB，BC的中点,试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1。

2018-2019数学北师大版选修2-1练习：第二章4 用向量讨论垂直与平行 1－1，4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形→＝(－5，－1，7)，CB→＝(－2，解析：选C.CA→·CB→＝0且|CA→|≠|CB→|，故选C. 3，－1)，由于CA4.已知平面α与β的一个法向量分别是a＝(x，2，2)，b＝(1，3，y)，若α⊥β，且|a|＝26，则y＝()A．－5 B．－1C．4或－4 D．－5或－1解析：选D.∵α⊥β，∴a⊥b，即x＋6＋2y＝0①，又|a|＝26，∴x2＋22＋22＝24②，由①②解得y＝－5或y＝－1.5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，E是BC的中点，则A1E与平面AB1C1的位置关系是()A ．相交但不垂直B ．A 1E ∥平面AB 1C 1 C ．A 1E ⊥平面AB 1C 1D ．A 1E 平面AB 1C 1解析：选 A.建立如图所示的空间直角坐标系．取|AB |＝1，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，E (12，12，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，A 1E →＝(12，12，－1).AB 1→＝(1，0，1)，AC 1→＝(0，1，1)，由于A 1E →·AB 1→≠0，A 1E →·AC 1→≠0，故选A.6.已知点A (2，4，0)，B (1，3，3)，则直线AB 与平面yOz 交点C 的坐标是________．解析：令C 的坐标为(0，y ，z )，则由AB→＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2λ，－1＝（y －4）λ，3＝zλ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝6，λ＝12.答案：(0，2，6)7.设平面α的一个法向量为(3，2，－1)，平面β的一个法向量为(－2，－43，k )，若α∥β，则k 等于________．解析：∵α∥β，∴(3，2，－1)＝λ(－2，－43，k )，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝－2λ2＝－43λ－1＝λk，解得k ＝23.答案：238.平面α与平面β的法向量分别是m ，n ，直线l 的方向向量是a ，给出下列论断：①m ∥n ⇒α∥β；②m ⊥n ⇒α⊥β；③a ⊥m ⇒l ∥α；④a ∥m ⇒l ⊥α.其中正确的论断为________(把你认为正确论断的序号填在横线上)．解析：m ∥n ⇒α∥β或α、β重合，①不正确；②m ⊥n ⇒α⊥β，②正确；③a ⊥m ⇒l ∥α或l α，③不正确；a ∥m ⇒l ⊥α，④正确．答案：②④9.如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD .证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 设A (a ，0，0)，S (0，0，b )，则B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a 2，0，F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，a 2，b 2.EF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a ，0，b 2.取SD 的中点G ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，b 2，连接AG ，则AG →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a ，0，b 2.因为EF →＝AG →，所以EF ∥AG ， 又AG平面SAD ，E F ⃘平面SAD ，所以EF ∥平面SAD .10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是B 1B ，AB ，BC 的中点．证明：D 1F ⊥平面AEG .证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则D 1F →＝D 1A 1→＋A 1A →＋AF →＝－AD →－AA 1→＋12AB →＝12a －b －c ，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BC →＝a ＋12b ， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BB 1→＝a ＋12c ，∴D 1F →·AG →＝(12a －b －c )·(a ＋12b )＝0， ∴D 1F →⊥AG →，即D 1F ⊥AG . D 1F →·AE →＝(12a －b －c )·(a ＋12c )＝0， ∴D 1F →⊥AE →，即D 1F ⊥AE ，又AE ∩AG ＝A ， ∴D 1F ⊥平面AEG .[能力提升]1.已知平面α内有一点A (2，－1，2)，它的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1)B ．(1，3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1，3，－32)解析：选B.要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA→与平面的法向量n 是否垂直，即判断PA→·n 是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A ，PA→＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝(1，－4，12)，则PA→·n ＝(1，－4，12)·(3，1，2)＝0，故选B.2.如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，有以下四个结论：①BD→·AC →≠0； ②∠BAC ＝60°；③三棱锥D -ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是________(请把正确结论的序号都填上)．解析：∵DA 、DB 、DC 两两垂直，且|DA |＝|DB|＝|DC|，∴△ABC为正三角形；D在平面ABC上的射影在△ABC中心，故三棱锥D-ABC 为正三棱锥，故①④不正确，②③正确．答案：②③3.(1)如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.(2)如图，已知平行四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝13BD，AN＝13AE，求证：MN∥平面CDE.证明：(1)设CB→＝a，CD→＝b，CC1→＝c，则|a|＝|b|.∵BD→＝CD→－CB→＝b－a，∴BD →·CC 1→＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0，∴CC1→⊥BD →，即CC 1⊥BD . (2)MN→＝MB →＋BA →＋AN → ＝13DB →＋BA →＋13AE → ＝13(DC →＋CB →)＋BA →＋13(AD →＋DE →) ＝13DC →＋13CB →＋CD →＋13AD →＋13DE →＝23CD →＋13DE→. 又CD→与DE →不共线，根据共面向量定理，可知MN→，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .4．(1)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，BC ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是AC 的中点，问在侧棱AA 1上是否存在点P ，使CP ⊥平面BDC 1，并证明你的结论．(2)已知：四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且PA ＝AB ＝2，∠ABC ＝60°，BC ，PD 的中点分别为E ，F .在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF ∥平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给出证明；若不存在，请说明理由．解：(1)不存在．证明如下：以C 1为原点，C 1A 1，C 1C ，C 1B 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0，3，2)，C (0，3，0)，D (1，3，0)，∴C 1B →＝(0，3，2)，C 1D →＝(1，3，0)．假设侧棱AA 1上存在一点P (2，y ，0)(0≤y ≤3)使CP ⊥平面BDC 1，CP→＝(2，y －3，0)， ∴⎩⎨⎧CP →·C 1B →＝0，CP→·C 1D →＝0，即⎩⎨⎧3（y －3）＝0，2＋3（y －3）＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，y ＝73，这样的y 不存在． ∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥平面BDC 1.(2)由题意知PA ⊥平面ABCD ，又因为底面ABCD 是菱形，得AB ＝BC 且∠ABC ＝60°，所以△ABC 是正三角形，连接AE ，又E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ，故AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，∵PA ＝AB ＝2，故A (0，0，0)，B (3，－1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，C (3，1，0)，∴PA→＝(0，0，－2)，PC →＝(3，1，－2)，AF →＝(0，1，1)．假设在线段AB 上存在点G ，使得AF ∥平面PCG ，则AG→＝λAB →(0≤λ≤1)， ∵AB→＝(3，－1，0)， ∴AG→＝λAB →＝(3λ，－λ，0)． ∴PG→＝PA →＋AG →＝(3λ，－λ，－2)， 设平面PCG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PG →＝0，n ·PC →＝0， 即⎩⎨⎧3λx －λy －2z ＝0，3x ＋y －2z ＝0，令y ＝1， 得n ＝(λ＋13（λ－1），1，λλ－1)． ∵AF ∥平面PCG ，∴AF→·n ＝0， 解得λ＝12， 故在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG.。