北师大版初二下册三角形证明教案资料

八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形的证明1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步体会证明的必要性,提高推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握基本的证明方法,结合实例体会反证法的含义.3.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并明确原命题成立其逆命题不一定成立.6.已知底边及底边上的高线,能用尺规作出等腰三角形;已知一条直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,培养学生的推理论证能力.发展勇于质疑、严谨求实的科学态度.“三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容,无论是《标准》对证明的要求上,还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位,以及证明在整套教材中的编排顺序,都和我们传统几何教学中的证明大有不同.本章是平行线的证明的继续,首先给出作为继续进行证明基础的几条公理,并与平行线的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明.本章中所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等)在前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些命题,教材力争将证明的思路展现出来.教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论,并回忆用来探索这些结论的方法和过程,因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发,然后再利用公理和已有的定理去证明.上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来,本章中还涉及一些以前没有探索过的命题,这些命题的获得,有些是直接通过证明得到的,而对于有些命题,教材则尽可能地创设一些问题的情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用.此外,教材还注意渗透数学思想方法,如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野,提高学生的思维能力.【重点】1.等腰三角形的性质.2.等腰三角形的判定.3.直角三角形的性质.4.直角三角形的判定.5.线段的垂直平分线的性质定理.6.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理.7.角平分线的性质定理.8.角平分线的性质定理的逆定理.【难点】1.等腰三角形的性质的证明.2.添加辅助线的方法.3.勾股定理的证明.4.勾股定理的逆定理的证明.5.三线共点的证明方法.6.用尺规作等腰三角形.7.应用本章的知识证明或者解决有关的问题.推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的,在探索图形性质的活动中,学习合情推理;在交流的过程中,学习有条理思考;在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上,从几个基本事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握演绎推理的基本格式.这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动.因此在前几册的学习中,学生们已经经历了探索图形性质的过程,并且发现了图形的很多性质,但没有给出严格的证明.从平行线的证明开始,逐渐地开始证明已探索过的图形的性质,同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形.在这个过程中,原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的,应注意引导和启发.很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的,辅助线的添加方法也是多样的,因此,在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,发散逻辑思维.另外,通过一定数量的推理证明的训练,逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如下:1.等腰三角形:教材直截了当地提出等腰三角形的性质,进而去探讨证明的思路,我认为创设问题的情境不足,学生准备不充分.我采用先折纸,再复习等腰三角形的性质,而后提出证明,并分析证明的思路,让学生在循序渐进的过程中学习.2.直角三角形:利用图形割补的方法可以证明勾股定理,但证明有一定的难度,因此在“读一读”中介绍了两种方法,可供有兴趣的学生阅读,而不作为对所有学生的要求.3.勾股定理的逆定理的证明方法新颖,对学生来说有一定难度,教学中只要学生能接受证明的方法和过程即可,不必做更多要求.4.线段的垂直平分线:对于作图学生没有困难,但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由,学生就会感到困难,在教学中,应注意引导学生会说明理由,学生的思路可能较多,应鼓励学生多种思维发展;应让学生在作图的基础上,学会用尺规作已知直线的垂线(过直线上一点或直线外一点)、已知底边和底边上的高作等腰三角形,作三角形三边的垂直平分线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际问题及简单的证明与计算.5.角平分线:学生已经探索过角平分线上的点的性质,此处可先让学生回顾其性质和探索过程,并尝试证明.在前面的学习中,学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题.学习线段的垂直平分线时,也经历了构造其逆命题的过程,因此,学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题.在叙述其逆命题时,可不加什么条件,但验证其真假时,教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线,所以就要附加“在角的内部”这个条件.回顾与思考1课时1等腰三角形1.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质.2.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质,掌握证明的基本步骤和书写格式.3.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题.4.理解并能说出等腰三角形的判定定理,且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形.5.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法,且能够用其证明或解决有关的问题.6.能说出并能够证明在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,且能够应用其证明或解决有关的问题.7.了解反证法的思想和方法.1.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程,感受数学的严谨性.2.在探索和证明中,提高学生的数学语言表达能力.在探索证明中,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观.【重点】1.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用.2.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用.【难点】1.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索.2.对反证法的认识和了解.第课时1.了解作为证明基础的几条公理的内容.2.使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.经历作辅助线的证明过程,进一步发展学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.【重点】等腰三角形的性质及推论.【难点】命题的书写格式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习三角形全等的判定方法.导入一:请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明.已知:如图所示,在△ABC和△DEF中,有∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E),∴∠C=∠F(等量代换).又∵BC=EF(已知),∴△ABC≌△DEF(ASA).[设计意图]经过一个假期,学生对上学期所学知识难免有所遗忘,因此,在第一课时,回顾有关内容,既是对前面学习内容的一个简单梳理,也为后续有关证明做足了知识准备.导入二:我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论.我们已学过的部分基本事实:1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢?[设计意图]帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用,同时通过设问引入本课时的学习内容.定理:等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为:等边对等角.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC.求证∠B=∠C.〔解析〕我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.证明:取BC的中点D,连接AD.(如图所示)∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD△≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).[设计意图]通过折纸活动,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸,熟悉证明的基本步骤和书写格式.等腰三角形性质定理的推论,这一结论通常简述为“三线合一”.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,∵AD是△ABC中的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,AD=AD(公共边),∠BAD=∠CAD,AB=AC(已知),∴△ABD≌△ACD(SAS),∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).∴AD是BC边上的中线,∠BDA=90°,∴AD是BC边上的高,∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.[设计意图]教师和学生一起完成证明,可以让学生经历自主命题的证明过程.同时,对学生书写格式的规范起到引领作用.[知识拓展]“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸.如图所示,已知△ABC,①AB=AC,②∠1=∠2,③AD⊥BC,④BD=DC中,若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.已知:;求证:;证明:.例如:已知②∠1=∠2,④BD=DC,求证①AB=AC,③AD⊥BC.根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得证.证明:延长AD至E,使DE=AD,连接CE.(如图所示)在△ABD和△ECD中,AD=ED,∠3=∠4,BD=CD,∴△ABD≌△ECD(SAS).∴AB=EC,∠1=∠E.∵∠1=∠2,∴∠E=∠2,∴CE=AC,∴AC=AB.∴AD⊥BC.1.定理:等腰三角形的两底角相等.2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条)()A.9B.7C.6D.5解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选B.2.在△ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是()A.∠A的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线B.∠A的平分线,BC边上的中线,BC边上的高线C.∠B的平分线,AC边上的中线,AC边上的高线D.∠C的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线解析:本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B.3.若等腰三角形中有一个角为110°,则其余两角分别为.解析:因为110°的角只能是顶角,所以其余两角均为35°.故填35°,35°.4.如果等腰三角形的一边长为6 cm,周长为14 cm,那么另外两边的长分别为.解析:边长为6 cm的边有可能是腰也有可能是底.答案:6 cm,2 cm或4 cm,4 cm5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC.求∠A的度数.解:设∠A=x°,∵AD=BD,∴∠1=∠A.∴∠2=∠1+∠A=2x°.∵BD=BC,∴∠C=∠2=2x°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x°.由三角形内角和定理可知∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180,解得x=36.∴∠A的度数为36°.6.(2015·佛山中考)如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC.请你用尺规作图将△ABC分成两个全等三角形,并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法)解:由作图可知∠BAD=∠CAD,又AB=AC,AD=AD,则△ABD≌△ACD(SAS).第1课时一、等腰三角形的两底角相等二、三线合一一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在△ABC中,若AB=AC,∠A=44°,则∠B=度.2.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长等于.3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,延长BC到D,使CD=AC,则∠CDA=度.4.如图所示,已知AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF=度.5.等腰直角三角形中,若斜边长为16,则直角边的长为.【能力提升】6.一个等边三角形的边长为a,它的高是()A.3aB.32aC.12aD.34a7.至少有两边相等的三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形8.如图所示,△ABC中,AC=BC,直线l经过点C,则()A.l垂直ABB.l平分ABC.l垂直平分ABD.l与AB的位置关系不能确定9.(2015·宜昌中考)如图所示,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°,则这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【拓展探究】11.如图所示,点D是△ABC内一点,AB=AC,∠1=∠2.求证AD平分∠BAC.12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15 cm和11 cm两部分,求此三角形的底边长.【答案与解析】1.68(提示:等腰三角形的两底角相等.)2.15(解析:腰长是6,底边长是3,故周长为6+6+3=15.)3.154.55(解析:易求出∠CFD=35°,因为AB=AC,所以∠B=∠C=55°,从而求出∠A=70°,再根据四边形内角和是360°可求出∠EDF=55°.)5.82(解析:由勾股定理可求.)6.B7.B8.D9.C(解析:要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,故点P1,P3,P4均符合条件,共3个.故选C.)10.D(解析:有一个底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.)11.证明:∵∠1=∠2,∴BD=DC.∵AB=AC,AD=AD,∴△ADB≌△ADC.∴∠BAD=∠CAD.即AD平分∠BAC.12.提示:分两种情况,底边长为6 cm或343 cm.本节通过学生对已学知识的回顾,经历了“探索——发现——猜想——证明”的活动过程,关注了学生自主探究过程,学生发挥了主体作用,取得了较好的教学效果.注重在学期初对以往知识的整合和串联,从整册教材的角度构想本课时的教学.在具体活动中,如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接,各部分时间比例的分配需要根据班级学生具体状况进行适度地调整.在等腰三角形的性质定理的运用上,让学生猜想、实践、探索、反思,提出自己的见解,在教学中鼓励学生积极合作,充分交流,感受学生在学习活动中获得成功的喜悦,促使学生学习方式的改变.随堂练习(教材第3页)1.提示:(1)70°.(2)36°.2.(1)证明:∵BC=CD,AC=AC,∠ACB=∠ACD=90°,∴△ACB≌△ACD(SAS),∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形.(2)提示:90°.习题1.1(教材第4页)1.已知已知公共边SSS全等三角形对应角相等2.证明:∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF.∴∠A=∠D.3.解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=108°,∴∠BAD=12×108°=54°.4.解:∠BAD=∠CAD,∠BEA=∠CEA,∠ABE=∠ACE,∠BED=∠CED,∠EBD=∠ECD,∠BDE=∠CDE,∠ABC=∠ACB.由图中易得△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△BED≌△CED,继而得到以上各组相等的角.5.已知:如图所示,在等腰三角形ABC和等腰三角形DEF中,∠A=∠D,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证明:∵△ABC和△DEF都是等腰三角形,∠A=∠D,∴∠B=∠E,∠C=∠F,∵BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS或ASA).6.解:BD=CE,证明如下:如图所示,过点A作AF⊥BC于点F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BD=CE..在“八年级上册第七章平行线的证明”中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验;在七年级下册的学习中,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了铺垫.本节回顾了判定三角形全等的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理.由于具备了上面所说的活动经验和认知基础,本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明.如图所示,已知∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,求∠DEF的度数.解:∵∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,∴∠CBD=∠BAC+∠BCA=30°,∴∠BCD=120°,∴∠DCE=∠CED=180°-15°-120°=45°,∴∠EDF=∠A+∠AED=15°+45°=60°,∴∠DEF=60°.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AE∥BC.求证AE平分∠DAC.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AE∥BC,∴∠C=∠EAC,∠B=∠DAE.∴∠DAE=∠EAC,∴AE平分∠DAC.第课时使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的平分线相等.引导学生分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.经历作辅助线的证明过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.【重点】等腰三角形的性质.【难点】命题书写的格式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习等腰三角形的性质.导入一:在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?试作图,写出已知、求证和证明过程.还可以有哪些证明方法?通过学生的自主探究和同伴的交流后得出:等腰三角形两底角的平分线相等;等腰三角形两腰上的高相等;等腰三角形两腰上的中线相等.并对这些命题给出多种方法的证明.[设计意图]让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,感受证明方法的多样性.导入二:在回忆上节课学习的等腰三角形性质的基础上,在等腰三角形中作出一些线段(利用多媒体课件演示),观察后解答下列问题:(1)你能从图中发现一些相等的线段吗?(2)你能用一句话概括你所得到的结论吗?(3)你能结合图形分别写出已知、求证和证明过程吗?[设计意图]通过知识的回顾,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于培养学生自主提出问题的能力.[过渡语]同学们对于“等腰三角形两底角的平分线相等”我们如何来证明呢?(教材例1)证明:等腰三角形两底角的平分线相等.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.证法1:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB,∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中,∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).证法2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠3=12∠ABC,∠4=12∠ACB,∴∠3=∠4.在△ABD和△ACE中,∵∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A,∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).在证明过程中,学生的思路一般还较为清楚,但严格证明表述经验尚显不足,因此,教师应注意对证明过程提出一定的要求,可以让学生板书其中部分证明过程或借助多媒体课件展示部分证明过程.同时注意对证明有困难的学生给予帮助和指导.如何证明等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高线也分别相等呢?同学们可以自己来证明.(补充例题)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC.(1)如果∠ABD=13∠ABC,∠ACE=13∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论?(2)如果AD=12AC,AE=12AB,那么BD=CE吗?如果AD=13AC,AE=13AB呢?由此,你能得到什么结论?解:(1)BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的平分线相等类似.证明如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵∠ABD=13∠ABC,∠ACE=13∠ACB,∴∠ABD=∠ACE.在△BDA和△CEA中,∵∠ABD=∠ACE,BA=CA,∠A=∠A,∴△BDA≌△CEA(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).由此我们可以发现:在△ABC中,AB=AC,∠ABD=1n∠ABC,∠ACE=1n∠ACB,就一定有BD=CE成立(n≥1).(2)在△ABC中,AB=AC,如果AD=12AC,AE=12AB,那么BD=CE;如果AD=13AC,AE=13AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个结论:在△ABC中,AB=AC,AD=1n AC,AE=1n AB,那么BD=CE(n≥1).证明如下:∵AB=AC,AD=1n AC,AE=1n AB,∴AD=AE.在△ADB和△AEC中,∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,∴△ADB≌△AEC(SAS).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).[设计意图]提高学生解决变式问题的能力,并培养学生学习的自主性.上,思考等边三角形的特殊性质.定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC.求证:∠A=∠B=∠C=60°.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).又∵AC=BC(已知),∴∠A=∠B(等边对等角).∴∠A=∠B =∠C.在△ABC中,∵∠A+∠B +∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.[设计意图]让学生规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等,并且每个角都等于60°”的证明过程.1.等腰三角形两底角的平分线相等.2.等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°解析:这个角可能是顶角也可能是底角.故选B.2.(2015·衡阳中考)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为()A.11B.16C.17D.16或17解析:分两种情况:当三边长为5,5,6时,周长为16;当三边长为5,6,6时,周长为17.故选D.3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,若∠ADE=48°,则下列结论中不正确的是()A.∠B=48°B.∠AED=66°C.∠A=84°D.∠B+∠C=96°答案:B4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B=.解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DAC=130°,∴∠BAC=50°,∴∠C=∠B=65°.故填65°.5.如图所示,在△PBQ中,BP=6,点A,C,D分别在BP,BQ,PQ上,且CD∥PB,AD∥BQ,∠QDC=∠PDA,则四边形ABCD的周长为.答案:126.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=.解析:根据已知求得底角∠ABC=72°,再根据三角形内角和定理求得∠ABD=54°,从而求得∠DBC=18°.故填18°.第2课时一、等腰三角形的性质.二、等边三角形的性质.一、教材作业【必做题】教材第6页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第7页习题1.2的2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于()A.顶角B.顶角的一半C.顶角的2倍D.底角的一半2.已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程组2x-y=3,3x+2y=8.则此等腰三角形的周长为()A.5B.4C.3D.5或43.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是()A.1 cm<AB<4 cmB.5 cm<AB<10 cmC.4 cm<AB<8 cmD.4 cm<AB<10 cm4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,连接AD,AE,若只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为()A.BD=CEB.AD=AEC.DA=DED.BE=CD5.(2014·苏州中考)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为()A.35°B.45°C.55°D.60°【能力提升】6.如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则下列四个结论正确的是()①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.A.全部正确B.仅①和②正确C.仅②③正确D.仅①和③正确。

《2 直角三角形》第1课时教学目标1、知识与技能：（1）掌握直角三角形的性质和判定．（2）掌握勾股定理及其逆定理．2、过程与方法：通过本节的学习掌握勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理的推导和证明思想，灵活准确地应用勾股定理判定三角形为直角三角形．3、情感态度与价值观：（1）通过学习进一步培养动手操作的能力和锲而不舍的探索意识．（2）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满了探索性、知识性、趣味性，同时又具有严密的逻辑性，当然，许多数学问题又都源于生活实际，由此引出相关的内容，以培养大家应用数学的意识．教学重难点教学重点：直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理．教学难点：直角三角形的性质和判定以及勾股定理及其逆定理的应用．教学过程1、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，有一个角为90°．（2）在直角三角形中，两锐角互余．（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．2、直角三角形的判定：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形．（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．3、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2．4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．5、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边．（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系．（3）用于证明线段平方关系的问题．6、勾股定理与勾股定理的逆定理是一对互逆定理，前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理．7、勾股定理的逆定理把数的特征（a2＋b2＝c2）转化为形的特征（三角形有一个角为直角），因此逆定理的作用是提供了一个判定三角形是不是直角三角形的方法，它与前面讲的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来．第2课时教学目标1、掌握判定直角三角形全等的条件和方法．2、经历探索直角三角形全等条件的过程，把握直角三角形全等的条件，并能灵活地解决一些问题．教学重难点教学重点：直角三角形全等的判定．教学难点：HL定理（或简写成“斜边、直角边”）；直角三角形全等的判定定理及其应用．教学过程一、学习直角三角形全等的判定方法：（1）SAS定理（2）ASA定理（3）AAS定理（4）SSS定理（5）HL定理（或简写成“斜边直角边”）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二、重点讲解重点讲解HL定理（或简写成“斜边直角边”）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．1、情景创设：（1）直角三角形全等的条件有哪些？（2）你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？2、合作探索：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？如图（1）：在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝∠C＇＝90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？图1研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起（教师演示）如图1（2），因为∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝90°，所以B、C（C＇）、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇．根据AAS公理可知Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC．上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”．这就是判定直角三角形的“斜边、直角边”公理（简称HL）．三、应用迁移B图2例：如图2，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF；求证：AB=AC．四、小结关于HL定理应用的注意：1、HL定理是判定直角三角形全等独有的方法，因此在应用这一性质时，必须点明“在Rt△×××和Rt△×××”中．2、由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等．所以判定两个直角三角形全等的方法有五种：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”和“HL”．。

1．2．1直角三角形教学目标：1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力．2．证明直角三角形的性质定理及判定定理．3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题并知道原命题成立逆命题不一定成立．教学重点与难点：重点：勾股定理及其逆定理的证明方法，会识别互逆命题、互逆定理．难点：勾股定理及其逆定理的证明．课前准备：教师准备：多媒体课件、三角板．学生准备：收集勾股定理证明的方法．教学过程:一、情境创设，引入新课下图是2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识？处理方式：学生思考回答．教师展示会标．预设引导语：本节课就让我们继续学习与直角三角形有关的知识．【教师板书课题：1．2直角三角形（1）】设计意图：由学生熟知的问题为引子，创设问题情境，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣．二、合作探究，获取新知探究一：直角三角形的性质处理方式：学生思考、总结性质．教师及时展示：1．直角三角形的两锐角互余．2．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．3．在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半．处理方式：学生小组讨论，各抒己见．教师及时引导并展示．设计意图：适时地向学生展现勾股定理的历史，特别是勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生学习热情，培养学生的探索创新的精神．探究二：直角三角形的判定问题1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？请说明理由．问题2：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个学生同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个学生分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结．你知道这样做的理由吗？你能证明此命题吗？处理方式：学生思考，小组交流，教师巡视、指导．设计意图：通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生的探求新知的欲望．给学生一定的时间与空间讨论、交流、推理、发现，鼓励学生发表自己的见解，感受合作的重要性．探究三：命题的互逆关系如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．你能给它们下一个确切的定义吗？处理方式：学生观察比较，根据两个命题的关系从而能对其命名．想一想：你能写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？如果一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？处理方式：学生尝试运用“互逆”，并能举“互逆定理”多例．设计意图：结合事例认识互逆命题、逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题，互逆定理，进一步发展了学生的演绎推理能力．三、强化训练，深化提高1．说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0.2．已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．3．如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ＝8，DC ＝6，CB ＝24，AB ＝26．则四边形ABCD 的面积为．4．已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9．（1）求DC 的长；（2）求AB 的长；（3）求证：△ABC 是直角三角形．处理方式：学生尝试独立完成，并通过集体进行矫正．设计意图：做适当基本练习，让学生当堂运用，当堂理解，当堂掌握．让学生注意解题过程的规范表述．四、回顾反思 知识沉淀我掌握的概念_______：我学会了_______；;我还知道了_______．处理方式：学生各抒己见，互相补充.教师适时点拨.设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，写下来更能加深印象．五、课堂检测，体验成功A 组：1．下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．2．在△ABC 中，已知，AB =13cm ，BC =10cm ，BC 边上的中线AD =12cm ，求证：AB =AC ．B 组：3．如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长．4． 某楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼房高3米，消防队员搬来一架6.5米长的梯子，要求梯子的底部离墙脚2.5米，请问消防队员能否顺利进入三楼灭火？设计意图：分层设置试题，注重基础的夯实，能力的提升；进一步发现和弥补教与学的不足，强化基本技能的训练，培养学生的良好的学习习惯和思维品质；使不同的学生都得到更大的收获，都能获得成功的喜悦．六、分层作业，发展个性必做题：习题1.5 第1、2题．选做题：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？设计意图：作业层次化，使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业．既满足了不同层次学生的需求，又提高作业的实效性，促进学生学习兴趣与质量的提高．板书设计：。

新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案教学目标：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。

2.掌握使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

3.培养学生的逻辑思维和推理能力。

教学重点：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。

2.使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

教学难点：使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

教学过程：一、导入（10分钟）1.师生互动：提问学生对三角形的定义和分类的了解。

2.引入新知：向学生介绍本课的学习内容，即三角形的证明。

二、讲解与示范（20分钟）1.讲解三角形的定义和分类的方法，并通过图示进行解释。

2.讲解三角形的基本性质（如角的度数和等于180度等）。

3.示范使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

三、练习与训练（30分钟）1.学生个别或分组完成教材上的练习题，巩固理论知识。

2.学生在小组内互相出题，进行三角形证明的练习。

四、展示与评价（15分钟）1.学生展示自己的练习成果，分享自己的解题思路。

2.教师评价学生的表现，指出不足之处并给予指导。

五、拓展与应用（15分钟）1.针对一些高阶问题进行拓展，引导学生思考和推理。

2.学生在小组内或以个体形式，解答拓展问题。

六、总结与归纳（10分钟）1.学生和教师一起总结本节课所学的内容，梳理知识点。

2.教师对本节课的教学进行总结，并提醒学生下节课的学习安排。

教学资源：1.新北师大版八年级数学教材。

2.黑板、彩色粉笔、投影仪等教学工具。

教学延伸：本节课主要讲解了三角形的定义和分类，并引导学生使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

在教学过程中，教师可以使用多媒体教学、思维导图等方式，增加学生的参与度和理解能力。

同时，教师还可以设计一些趣味性的活动，激发学生的学习兴趣和求知欲。

第一章三角形的证明1 等腰三角形第1课时全等三角形和等腰三角形的性质【知识与技能】能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.【过程与方法】经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.【情感态度】启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.【教学重点】探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.【教学难点】明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.一.情景导入，初步认知提前请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备.二.思考探究，获取新知1.你能用所学知识证明吗？已知：△ABC与△DEF，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代换）.又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.【归纳结论】（1）两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；（2）根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等；2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察.探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.【归纳结论】（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合.三.运用新知，深化理解1.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，求∠B、∠C的度数分析：根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于180°来计算.解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.（等边对等角）∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°,∴∠B＝∠C＝65°.2.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.猜想：AE⊥BC，BD＝CD.证明：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO＝∠CAO.∴AE为∠BAC的平分线.∴AE⊥BC，BD=CD.3.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．证明：（1）∵在△ADE与△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,∴△ADE≌△CBF（SSS）.∴∠D=∠B（2）∵△ADE≌△CBF,∴∠AED=∠CFB,∴∠AEO=∠CFO.∵在△AOE与△COF中, ∠AEO=∠CFO,∴AE∥CF.4.如图，在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥BC,∠BAC = 100°.求∠1、∠3、∠B 的度数.解：∵在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠1=21∠BAC=50°. 又∵AD ⊥BC,∴∠3=90°. 在△ABC 中,AB = AC,∴∠B=∠C=40°.【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书过程.四.师生互动,课堂小结1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题.2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合.五.教学板书布置作业:教材“习题1.1”中第1、3题.在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生注意其证明过程的书写是否规范.其后，教师作补充强调.第2课时等边三角形的性质【知识与技能】进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性【过程与方法】把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处.【情感态度】体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性【教学重点】等腰三角形、等边三角形的相关性质.【教学难点】等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用.一.情景导入，初步认知在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习兴趣.二.思考探究，获取新知探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.【归纳结论】等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，的证明方法：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD、CE为∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．你能证明其它两个结论吗？探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A=∠B=∠C＝60°【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论.三.运用新知，深化理解1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.∴∠ABE=∠CBD=60°,AB=CB, BE=BD.在△ABE与△CBD中,AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD.∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE=CD.2.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵ED⊥BC,∴∠B+∠BFD=90°,∠C+∠E=90°,∵∠BFD=∠EFA,∴∠B+∠EFA=90°,∵∠C+∠E=90°,∠B=∠C,∴∠EFA=∠E,∴AE=AF.3.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.解：∵AD=DC，∴∠ACD=∠A=20°,∵∠ACD∶∠BCD=2∶3,∴∠BCD=30°,∴∠ACB=50°,∴∠ABC=110°.【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性质进行综合应用，在书写过程中掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式四.师生互动，课堂小结掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高），两底角的平分线相等，等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.五.教学板书布置作业:教材“习题1.2”中第2、3 题.在探究时，对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明.第3课时等腰三角形的判定及反证法【知识与技能】探索等腰三角形判定定理,掌握反证法.【过程与方法】理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.【情感态度】培养学生的逆向思维能力.【教学重点】理解等腰三角形的判定定理.【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用一.情景导入，初步认知问题 1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进行交流.二.思考探究，获取新知1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B ≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC 你能理解他的推理过程吗?再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢?【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解.三.运用新知，深化理解1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角对等边)．2.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.解：∵BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD.∵MN∥BC,∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD.∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD.∴MB=MD,NC=ND.∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC=(AM+MB)+(AN+NC) =AB+AC=30.3.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE.求证：△ABC是等腰三角形.解：∵S△ABC =21(AB·CE)=21(AC·BD)且BD = CE，∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.4.如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形.证明：∵AB = AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠B=∠E，∠D=∠C.∴∠D=∠E.∴△ADE是等腰三角形.5.垂直于同一条直线的两条直线平行.证明：假设a、b 不平行，那么a、b 相交∵a⊥c，b⊥c∴∠1=900，∠2=900∴∠1+∠2=180°而a、b相交，则∠1+∠2≠180°与∠1+∠2=180°相矛盾.∴假设不成立.即：垂直于同一条直线的两条直线平行【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流,培养学生应用知识解决问题的能力.四.师生互动，课堂小结结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质的判定的区别和联系．五.教学板书举例谈谈用反证法说理的基本思路.布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、3 题.通过学生的练习，发现学生对等腰三角形的判定定理掌握的较好，而用反证法证明定理的应用掌握不够好，应在这方面多加练习讲解.第4课时等边三角形的判定【知识与技能】理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.【过程与方法】经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.【情感态度】在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.【教学重点】等边三角形判定定理的发现与证明.【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.一.情景导入，初步认知1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？【教学说明】开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.二.思考探究，获取新知1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结.2.用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．【教学说明】学生通过动手操作、观察，找出一些线段存在相等关系.从而得出结论，并加深印象.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【归纳结论】（1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三.运用新知，深化理解 1.见教材P11例32.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=21AB ．求证：∠BAC=30°证明：延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC ．∴△ACB ≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD ． ∵CD=BC ，∴BC=21BD ． 又∵BC=21AB ，∴AB=BD ． ∴AB=AD=BD ，即△ABD 是等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°．3.如图，△ABC 是等边三角形，BD = CE ，∠1 =∠2.求证：△ADE 是等边三角形证明：∵△ABC 是等边三角形,∴AB=AC.在△ABD 与△ACE 中,AB=AC,∠1 =∠2,BD = CE, ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴∠EAD=∠BAC=60°,EA=DA.∴△ADE 是等边三角形(有一角是60°的等腰三角形是等边三角形). 4.如图，在Rt △ABC 中，∠B = 30°，BD = AD ，BD = 12，求DC 的长.解：在Rt △ABC ，∠B = 30° ∵BD = AD∴∠B =∠BAD= 30° ∴∠ADC=60°. ∵∠C=90°, ∴∠DAC=30°.在Rt △ADC 中,∠DAC=30° ∴CD=21AD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).∵BD = AD=12, ∴CD=6.【教学说明】变式训练,巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有关性质.四.师生互动，课堂小结掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理. 五.教学板书布置作业:教材“习题1.4”中第3、5题.通过反复练习，学生对本节课的知识掌握的较好，就是几何过程不够严密，有待加强.2 直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理【知识与技能】1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运用定理解决与直角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.【过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维【情感态度】体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.【教学重点】掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.【教学难点】运用定理解决与直角三角形有关的问题一.情景导入，初步认知我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.【教学说明】回顾旧知，也为后续探索提供了铺垫.二.思考探究，获取新知探究1：直角三角形的性质和判定直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质.【归纳结论】①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形.探究2：勾股定理及其逆定理.教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程.【归纳结论】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．探究3：互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．在前面的学习中还有类似的命题吗?【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结.【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.三.运用新知，深化理解1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab＝0，那么a＝0， b＝0.【分析】互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真．（3）如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．2.如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA∥DC.证明：在△ADC中，AD = 12，DC = 9，CA = 15.∵AD2+DC2=CA2,∴△ADC是直角三角形.（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）∴AD⊥CD,∵BA⊥DA,∴BA∥DC.3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB ＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？解：当CD⊥AB时，CD最短，造价最低.∵∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，∴AB=100.设AD=x,则BD=100-x.∵在Rt△ADC与Rt△BDC中,∴CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.∴AC2-AD2=BC2-BD2.∴802-x2=602-（100-x）2.解得：x=64.∴在Rt △ADC 中，CD=48.∴最低造价是：48×10=480（元）. 你还能用其他方法求出CD 的长吗？ （提示：用面积法）4.已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．求证：a 2+b 2＝c 2．证明：延长CB 至D ，使BD ＝b ，作∠EBD ＝∠A ， 并取BE ＝c ，连接ED 、AE （如图），则△ABC ≌△BED ．∴∠BDE ＝90°，ED ＝a （全等三角形的对应角相等，对应边相等）． ∴四边形ACDE 是直角梯形．∴S 梯形ACDE ＝21(a+b)(a+b)＝21（a+b ）2． ∴∠ABE ＝180°－（∠ABC ＋∠EBD ）＝180°－90°＝90°，AB ＝BE ．∴S △ABE ＝21c 2∵S 梯形ACDE ＝S △ABE +S △ABC +S △BED ， ∴21（a+b ）2＝21c 2 + 21ab + 21ab, 即21a 2 + ab + 21b 2＝21c 2 + ab, ∴a 2+b 2＝c 2四.师生互动，课堂小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步提高了演绎推理的能力．五.教学板书布置作业:教材“习题1.5”中第2、3题.在教学互逆命题和互逆定理时，要强调：互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题；一个命题是真，它的逆命题可能是真，也可能是假.第2课时直角三角形全等的判定【知识与技能】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性【过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感【情感态度】进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力【教学重点】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理【教学难点】进一步理解证明的必要性.一.情景导入，初步认知1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.二.思考探究，获取新知探究：“HL”定理.已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．∴AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.三.运用新知，深化理解1.见教材P20例题2.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.3.已知：Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且BD=B'D'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C' (HL定理)．∴CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS)．4.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.解：AC=DB.∵AC=DB,AB=BA,∴△ACB≌△BDA（HL）其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．5.如图，在△ABC与△A'B'C'中，CD、C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B=∠B'，这样就可用AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．证明：∵CD、C'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D' (已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A' (已证)，AC=A'C' (已知)，∠ACB=∠A'C'B' (已知)，∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.四.师生互动，课堂小结直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.五.教学板书布置作业:教材“习题1.6”中第3、4、5 题.本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现很值得夸赞．3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及逆定理【知识与技能】证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识【情感态度】通过小组活动，学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.【教学重点】运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.【教学难点】垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.一.情景导入，初步认知如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?【教学说明】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，用于生活.二.思考探究，获取新知探究1：垂直平分线的性质.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等探究2:垂直平分线判定你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．引导学生分析证明过程.已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明.【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.三.运用新知，深化理解1.已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC．证明：∵ AB = AC，∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.。

北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教案1一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是北师大版数学八年级下册的一章内容。

本节课主要让学生掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

本节课的内容是学生学习几何知识的重要基础，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念、性质和判定方法。

他们具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，能够理解和掌握新的知识。

但是，对于一些具体的全等判定方法，学生可能还不是很清楚，需要通过实例进行讲解和练习。

三. 教学目标1.让学生掌握直角三角形全等的判定方法。

2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。

2.教学难点：运用直角三角形全等判定方法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索，通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法，通过小组合作学习，培养学生的合作精神和团队意识。

六. 教学准备准备相关的教学材料，如PPT、实例图片、练习题等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索直角三角形全等的判定方法。

例如，如何判断两个直角三角形是否全等？2.呈现（10分钟）通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。

例如，演示两个直角三角形全等的情况，让学生观察和分析，引导学生总结全等的条件。

3.操练（10分钟）让学生进行相关的练习题，巩固所学的直角三角形全等判定方法。

例如，给出两个直角三角形，让学生判断它们是否全等。

4.巩固（5分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形全等判定方法解决实际问题。

例如，给出一个实际问题，让学生分组讨论和解决。

5.拓展（5分钟）让学生思考和探索直角三角形全等判定方法的应用。

1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？师生活动：让学生自主探究，举手回答问题（学生积极踊跃发言，问答提出的问题.）复习回答：问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：等腰三角形的判定前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?回顾导入：建立数学模型：如图，在△ABC中，∠B =∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?方法思考：∠作高AD可以吗?∠作角平分线AD呢?∠作中线AD呢?师追问：你能验证你的结论吗？证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.在∠ABD与∠ACD中，∠∠ABD∠∠ACD (AAS).∠ AB = AC.学生可能会由前面定理的证明获得启发，如作BC的中线，或作CA的平分线，或作BC上的高线，教师应让学生思考判断哪些方法可行，这三种方法中只有后两种方法可以判定所构造的两个三角形全等.这是培养学生推理能力的好机会，也是学生体会从基本事实和已知定理出发进行推理的设计意图：中这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径，同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫，设计意图：由浅入深，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养数形结合思想.设计意图：学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作等腰三角形底边上的高线、顶角的角.公理化思想的机会，教师应注意引导，教学中应鼓励学生按要求将证明过程书写出来.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).应用格式：在∠ABC中，∠∠B =∠C，∠ AB = AC (等角对等边).辨一辨：如图，下列推理正确吗?∵∵1 = ∵2 ，∵ BD = DC(等角对等边).∵∵1 =∵2 ，∵ DC = BC(等角对等边).错，因为都不是在同一个三角形中.典例精析例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD与CA相交于点E.求证：∠AED是等腰三角形.证明：∠ AB = DC，BD = CA，AD = DA，∠∠ABD∠∠DCA (SSS).∠∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).∠ AE = DE (等角对等边).∠∠AED是等腰三角形.知识点二：反证法设计意图：给学生独立思考时间，再讨论交流，教师要适当引导，进一步规范学生推理过程的书写.想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗?在∠ABC中，如果∠B ≠∠C，那么AB ≠ AC.师生活动：学生先思考，然后小组讨论，发现用正常的证明思路不好解决问题，教师此时提出反证法并出示小明的解题过程.小明是这样想的：如图，在∠ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB= AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，因此AB ≠ AC.你能理解他的推理过程吗?师生活动：师生一同认识反证法的概念，并总结反证法的证明步骤.反证法概念：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证题的一般步骤：1. 假设：先假设命题的结论不成立；2. 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角三、当堂练习，巩固所学是直角.已知：∠ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°．这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．三、当堂练习，巩固所学1. 已知：如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，∠∠1 = °，∠2 = °；∠ 图中有个等腰三角形；∠ 若AD = 4 cm，则BC = cm；∠ 若过点D作DE∠BC，交AB于点E，则图中有个等腰三角形.2. 已知：等腰三角形ABC的底角平分线BD，CE相交于点O.求证：∠OBC为等腰三角形.3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.设计意图：通过例2，让学生初步感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用.设计意图：通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.已知：直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∠ l2，l3与l1相交于点P.求证：l3与l2相交.证明：假设______________，那么________.因为已知_________，所以过直线l2外一点P，有两条直线和l2平行，这与“__________________________________________” 矛盾.所以___________，即求证的命题正确.等腰三角形的判定与反证法。