2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练命题及其关系

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．若a ∈R ，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 若a ＝1，则有|a|＝1是真命题，即a ＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a ＝±1，所以若|a|＝1，则有a ＝1是假命题，即|a|＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a|＝1的充分而不必要条件．答案 A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案 B3．已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x<m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m≥2B ．m≤2C ．m>2D ．－2<m<2解析 A ＝{x ∈R|12<2x<8}＝{x|－1<x<3} ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴∴m ＋1>3，即m>2.答案 C4．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A ．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B ．若－1<x<1，则x2<1C ．若x>1或x<－1，则x2>1D ．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析 x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案 D5．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )．A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案 B6．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0 解析 法一 (直接法)当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4a >0，1a <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，a <0⇔a <0；若方程两根均负，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4a ≥0，－2a<0，1a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >0⇔0<a ≤1.综上所述，所求充要条件是a ≤1.法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，所以选C.答案 C二、填空题7．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a ＋b|＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p2：|a ＋b|＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π p3：|a －b|＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 p4：|a －b|＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中真命题的个数是____________．解析 由|a ＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b＞－12，|a ＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a ＋b|＞1，故p1正确．由|a －b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立，p4正确． 答案 28．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析 由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a 的最大值为－1.答案 －19．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x<8，x ∈R ，B ＝{x|－1<x<m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.答案 (2，＋∞)10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要三、解答题11．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解 (1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a2≥4b，则关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0没有非空解集，则a2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a2<4b ，则关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0没有非空解集，为真命题．12．求方程ax2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．解 方程ax2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根．当a ＝0时，x ＝－12适合条件． 当a≠0时，方程ax2＋2x ＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝1a<0， ∴a<0.综上，方程ax2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a ＝1.13．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(2)若x2＋y2＝0，则x ，y 全为零．解 (1)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(2)逆命题：若x ，y 全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x ，y 不全为零，真命题．逆否命题：若x ，y 不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．14．已知p ：x2－8x －20≤0，q ：x2－2x ＋1－a2≤0(a>0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：x2－8x －20≤0⇔－2≤x≤10，q ：x2－2x ＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p ⇒q ，q ⇒/ p ，∴{x |－2≤xx |1－a ≤x ≤1＋a }． 故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－2，1＋a ≥10，a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．15．已知集合M ＝{x|x<－3，或x>5}，P ＝{x|(x －a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．解 (1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P ＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．。

第十二板块选修1-1第一章常用逻辑用语【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力.要正确理解“充分条件”“必要条件”“充要条件”的概念.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解全称量词与存在量词等有关概念，学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容；体会逻辑用语在表述和论证中的作用，形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意识，发展学生利用数学语言准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证过程的能力，从而能够更好地进行数学交流；激发学生数学学习的兴趣，优化学生数学思维的品质，帮助学生逐步养成良好的学习习惯.新课标高考中本章内容一般为中档题，集合与常用逻辑用语的考查点往往是与其它章节的一些知识点交汇考查,体现了数形结合、分类讨论等数学思想方法的重要应用.通过集合语言表达出的数学对象也往往是简洁和准确的，体现数学的简洁美. 而逻辑用语在表述和论证中体现出了其准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证过程巧妙，优化了考生的数学思维品质.命题趋向:1.简易逻辑的考查趋向较多的是与其他知识的交汇问题,其中涉及简易逻辑的知识考查较为基础,较为稳定.2.有关“充要条件”、命题真伪的试题.主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解.试题以选择题、填空题为主，难度不大，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.要求对基本知识、基本题型，求解准确熟练.状元心得:1.数学概念的定义具有对称性，即数学概念的定义可以看成充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.2.依据多个命题间的关系,判断其中两个命题之间的关系.解这类问题,需要明确两者之间的关系,可先用推出符号“ ”作运载工具,将各命题之间的联系找出来,最后找到所求命题之间的关系.学科知识体系结构图:第一节 命题及其关系、充分条件与必要条件【考点点知】知己知彼，百战不殆常用逻辑用语是数学学习、数学思维的工具，新课标高考中有加大比例的趋势，既可以用客观题直接考查，也可以在解答题中隐性考查，形式灵活．根据最新考试大纲，新高考对本讲知识的考查将保持原有的特色，重点是命题的四种形式及命题的等价性和充要条件的判定．主要考查命题转换、逻辑推理能力．考点一: 四种命题及其相互关系1.四种命题：(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题;(2)一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题;(3)一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题互为逆否命题, 把其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.2.四种命题之间的关系：(1)互逆关系：原命题与逆命题；否命题与逆否命题.(2)互否关系：原命题与否命题；逆命题与逆否命题.(3)互为逆否关系（等价关系）：原命题与逆否命题；逆命题与否命题.3.真假关系：原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.考点二: 充要条件1.充分条件：如果已知p ⇒q ，即若p 则q ，称p 是q 的充分条件.2.必要条件：如果已知q ⇒p ，即若q 则p ，即称p 是q 的必要条件.3.充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.4.既不充分又不必要条件：如果p 、q 之间关系为：p q 且q p ，这时就称p 是q的既不充分也不必要条件.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007重庆,2)命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）Ａ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤Ｂ．若11x -<<，则21x < Ｃ．若1x >或1x <-，则21x > Ｄ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥ 思路透析:命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x ≥或1x -≤，则21x ≥”,故应选D.点评:在推理与论证的命题中,此类命题需要重新组合,而且对于每一个命题中条件与结论的否定必须准确判断,因而此类问题既具有一定的开放性,又具有一定的难度.例2.(基础·2007浙江,1)“1x >”是“2x x >”的（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件思路透析:∵{ x | x 2>x }={ x | x >1或x <0}，∴{ x | x >1}⊂≠{ x | x >1或x <0}，即“1x >”是“2x x >”的充分而不必要条件, 故应选A ．点评:要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.例3.(综合·2007山东卷理科9)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是①:2p m <-或6;m > 2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点. ②():1()f x p f x -=； :()q y f x =是偶函数. ③:cos cos ;p αβ= :tan tan q αβ=.④:p A B A = ； U U :B A q ⊆痧. (A) ①② (B)②③(C)③④ (D) ①④ 思路透析:函数23y x mx m =+++有两个不同的零点24(3)062m m m m ⇔∆=-+>⇔><-或,即①中命题p 是q 的充要条件; 由()1()f x f x -=可得()()f x f x =- (且()0f x ≠), 即得函数()f x 为偶函数,反之不成立,即得②中命题p 是q 的充分不必要条件;由cos cos tan tan αβαβ=⇒=±或正切值不存在,反之t a n t a n c αβαβ=⇒=±,即得③命题中p 是q 的既不充分与不必要条件;U U A B A A B A B =⇔⊆⇔⊇ 痧, 即得④中命题p 是q 的充要条件.综上所述, p 是q 的充要条件是①④, 故应选D.点评:本题错误率较高,考生往往因为单一命题的判断不正确而出现误选,另外充要条件的判断,对命题的条件认识不到位将充分性与必要性搞混淆也是出错的重要原因之一.解此类问题时,应当先确定命题的条件,再分析是充分还是必要条件,要学会特殊化思想在解题中的灵活应用.例4.(综合·2006湖北省八校二联)下列判断正确的是（ ）A ．若y x ,是实数，则22y x ≠⇔y x ≠或y x -≠B ．命题：“b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是“若b a +不是偶数，则b a ,都不是偶数”C ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D ．已知c b a ,,是实数，关于x 的不等式2ax +bx +0≤c 的解集是空集，必有0>a 且△≤0思路透析:考察A ：对于实数y x ,，易知{}(,),R x y x y x y x y ≠≠-∈或且， ={}R ),(∈y x y x ，.很显然{}R ,),(22∈≠y x y x y x ，且是{}R ),(∈y x y x ，的真子集，故A 不正确；也可以举反例.考察B ： b a ,是否为偶数应分四种情形：b a ,都是偶数、a 是偶数b 不是偶数、b 是偶数a 不是偶数、b a ,都不是偶数；所以对于“b a ,都是偶数”的否定是“b a ,不都是偶数”，从而命题：“b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题应是“若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数”. 故B 不正确；考察C ： “p 或q ”为假命题当且仅当p 、q 均为假命题，则“非p 、非q ”都是真命题.故C 正确.考察D ：如1,0===c b a ，使得2ax +bx +0≤c 的解集是空集，但是不满足0>a 且△≤0，故D 不正确.故应选C.点评:本题以开放题形式考查了命题真假的判断,该命题汇集一元二次不等式的解集、四种命题、集合运算函数的奇偶性等知识于一体,展现了充要条件命题空间的广阔性及延展性.例5.(创新探究·2007上海,10)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件： ．思路透析:若两条直线在一个平面内的射为一对平行直线,则这两直线平行或异面, 由此结论知,只需要该对直线在另一平面内的射影满足是两条相交直线即可.故可以填: 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）.点评:本题考查了本题考查了充要条件,解题过程中可以列举反例论证或应用图形来图解,考查了考生灵活选择方法解选择题的策略.从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.例6.(创新探究·2008天津摸底）已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.思路透析: ①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y (*)有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性：当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组(*)有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310. 点评:在论述命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假．但原命题与逆命题、否命题都不等价；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假. (2)判断命题充要条件的三种方法：①定义法：关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件.②从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件或B 是A 的充分条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.③等价法：即利用等价关系"A B A "⌝⇒⌝⇔⇒B 判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.2.学以致用:(1)已知三个不等式：000cd ab bc ad a b>->->，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3(2)原命题：“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”的逆命题、否命题、逆否命题真命题共有：（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(3)设p q ，是两个命题：12:log (||3)0p x ->，251:066q x x -+>，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(4)若已知A 是B 的充分条件，C 是D 的必要条件，而B 是D 的充要条件，则D 是C 的_______条件；D 是A 的_______条件；A 是C 的_______条件，D 是B 的_______条件.答案:(1)D 解析:上述命题中可推得000>-⇒>->bd a c ad bc ab ，，; 00c d ab bc ad a b >-⇒->， ;00c d bc ad ab a b->-⇒>，，正确的命题有3个,故应选D. (2)B 解析:若22ac bc >,则a b >,即原命题正确;而若a b >,则22ac bc >,不一定成立(0c =不成立),即得其逆命题为假命题.∴逆否命题为真命题,否命题为假命题,真命题共的1个,故应选B.(3)A 解析:由命题p 可得33x x ><-或, 由命题q 可得1123x x ><或, ∵113323x x x x ><-⇒><或或, ∴p 是q 的充分而不必要条件,故应选A. (4)充分 必要 充分 充要 解析：A ⇒B ⇔D ⇒C ， D 是C 的充分条件，D 是A 的必要条件，A 是C 的充分条件，D 是B 的充要条件.3.易错分析:(1)要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定而命题的否定仅对命题的结论否定(2)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“"A B A "⌝⇒⌝⇔⇒B ”判断其真假，这也是反证法的理论依据．(3)有关充要条件的计算或证明题，必有两方面的证明：充分性和必要性.一般先证明充分性，其次证明必要性.(4)充要条件的证明关键是根据定义确定哪个是已知条件，哪个是结论，再去确定充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.设M N ，是两个集合，则“M N ≠∅ ”是“M N ≠∅ ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2.若命题p 的否命题是q ,命题q 的逆命题是r,则r 是p 的逆命题的A ．原命题 B.逆命题 C.否命题 D.逆否命题3.若数列{}n a 为等比数列，则“3516a a =”是“44a =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知,,a b c R ∈，则“a b >”是“ac bc >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若21:20,:0,|1|x p x x q x +--<>-则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6.给出下列关于互不相同的直线l,m,n 和平面α，β，γ的三个命题① 若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β;② 若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m;③ 若α∩β=l, β∩γ=m, γ∩α=n,l ∥γ,则m ∥n.其中真命题的个数为A.3B.2C.1D.0二、填空题:7.命题“若两个三角形相似，则这两个三角形面积之比等于对应高的平方比”的逆否命题是 . (填:真命题, 或假命题)8.已知P=}4|{<a x x －，Q=}034|{2<+-x x x ，且x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，则实数a 的取值范围是_________________9.如果不等式1||<-a x 成立的充分不必要条件是1322x <<，则实数a 的取值范围是 ．10.下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）. ①将函数y =1+x 的图象按向量y =(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x ②圆x 2+y 2+4x -2y +1=0与直线y =x 21相交，所得弦长为2③若sin(α+β)=21 ,则sin(α－β)=31,则tan αcot β=5 ④如图，已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1，P 为底面ABCD 内一动点，P 到平面AA 1D 1D 的距离与到直线CC 1的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线的一部分.三、解答题:11.若()12)2(2422+----=p p x p x x f 在[-1,1]上至少存在一点c 使()0f c >,求实数p 的取值范围.12.已知a ，b ，c 都是实数，证明ac ＜0是关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根的充要条件.13.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（Ⅱ）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．14.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0， ①x 2－4mx +4m 2－4m －5=0. ②求使方程①②都有实根的充要条件.【能力训练】参考答案一、选择题:1. B2. C3. B4. D5. D6. C二、填空题:7. 真命题 8. －1≤a ≤5 9. ]23,21[ 10. ③④三、解答题:11.解析:该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是: ()12)2(2422+----=p p x p x x f 在[-1,1]不存在点C 使()0f c >即对任意x ∈[-1,1], ()f x ≤0 .即R A =ð{|p 在]1,1[-上函数()()}01222422≤+----=p p x p x x f⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=-≤+--=∴012)1(0932)1(22p p f p p f 解之得332p p ≤-≥或, 即3|32R A p p p ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭或ð , ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=233|p p A 故实数p 的取值范围为3(3,)2p ∈- . 12.证明：(1)充分性：若ac ＜0,则Δ=b 2－4ac ＞0.方程ax 2+bx +c =0有两个相异的实根，设为x 1,x 2.∵ac ＜0,∴x 1x 2=ac ＜0. 即x 1、x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.(2)必要性：若方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1＞0,x 2＜0,则x 1x 2=ac ＜0,∴ac ＜0. 由(1)(2)知ac ＜0是方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根的充要条件.13.证明：（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2).当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6).∴⋅=3当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=k(x －3),其中k≠0.当 y 2=2x 得ky 2－2y －6k=0, 则y 1y 2=－6.y=k(x －3) 又∵x 1=21y 21, x 2=21y 22, ∴⋅=x 1x 2+y 1y 2=21221)(41y y y y +=3. 综上所述, 命题“如果直线l 过点T(3,0),那么⋅=3”是真命题.(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(21,1),此时OB OA ⋅=3, 直线AB 的方程为Y=32(X+1),而T(3,0)不在直线AB 上. 说明：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2)满足OB OA ⋅=3,可得y 1y 2=－6. 或y 1y 2=2,如果y 1y 2=－6.,可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2, 可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).14.解析:方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m ≥0，即m ≤1； 方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m ）2－4（4m 2－4m －5）≥0，即m ≥－45. ∴方程①②都有实数根的充要条件是－45≤m ≤1.。