高一数学教案之充要条件(1.doc

“充要条件”教学设计.doc一、教学目标1.了解“充要条件”的定义及功能。

2.掌握“充要条件”的使用方法。

3.能够应用“充要条件”解决数学问题。

二、教学重点四、教学方法讲授、示范、练习。

五、教学过程1.知识引入通过一个例子来引出“充要条件”的概念：若本数等于横数，最后得到的九九乘法表就是规范的，现在假如打一半，问当你已经打出来的数字的本数等于横数时，你最多可以打多少个数字？2.知识讲解1.定义：“充要条件”是指一个命题的两个条件：充分条件和必要条件，两者都能够推出命题成立。

2.使用方法：在证明一个命题时，我们通常需要找到一个充分条件和一个必要条件，分别说明这两个条件可以推出命题成立。

3.思考：但有时我们也会发现，一些条件即是充分条件，又是必要条件，因此这些条件也可以直接作为命题成立的判定条件。

3.例题演练例1：证明若正整数n满足$n^2<n+k≤(n+1)^2$，则$\sqrt{k}>n$。

【解析】：①必要性：若$\sqrt{k}\leq n$，则显然$k<n^2+n+1$，矛盾。

例2：已知实数$x$的绝对值与$x$之和的平方相等，问$x$可能的值为何？提示：取$x=|x|\text{sgn}(x)$。

【解析】：必要性：设$x=|x|\text{sgn}(x)$，则$|x|=x|\text{sgn}(x)|=x^2=x^2+(\text{sgn}(x))^2-2|x\text{sgn}(x)|\cdot|x\text{ sgn}(x)|\cdot\text{sgn}(x)=(x+\text{sgn}(x))^2$；4.拓展应用练习题：1.若$a,b,c$为非负实数，证明：$a^3+b^3+c^3-3abc$为$(a+b+c)$减式的充要条件是$a=b=c$或其中两个数相等，另一个数为0。

2.设$a,b,c$为正实数，证明：与$(1+2a)(1+2b)(1+2c)$和$(3+a)(3+b)(3+c)$等价的命题是$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 1$。

1．4.2 充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．知识点充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √)2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．( √)4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( √)一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.解(1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．答案充要解析因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝c a<0， 所以ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝c a<0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件． 必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立， 则a 4－(b 2＋1)2＝0， 即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0.因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0， 所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1.综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以BA ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．1．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 2．已知x ∈R ，则“1x>1”是“x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 “1x>1”⇔0<x <1，∴“1x>1”是“x <1”的充分不必要条件．3．设条件甲为0<x<5；条件乙为|x|<5，则条件甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析甲对应集合A＝{x|0<x<5}，乙对应集合B＝{x|－5<x<5}，且A B，故选A.4．若命题p：两直线平行，命题q：内错角相等，则p是q的________条件．答案充要5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的_____________；(2)“x<5”是“x<3”的_____________．答案(1)充要条件(2)必要不充分条件解析(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．1．知识清单：(1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)根据条件求参数范围．2．方法归纳：等价转化为集合间的关系．3．常见误区：条件和结论辨别不清．1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的( )C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 ab ＝0推不出a 2＋b 2＝0，由a 2＋b 2＝0可得a ＝b ＝0，推出ab ＝0，故选B. 6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件． 答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1， 所以实数a 的最大值为－1. 8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x－＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况． 当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |， ∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )， |x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． ②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ， 得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件 C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件 答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A . 所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________. 答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件． 答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0，由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧b －5<0，5－bk －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求．。

充要条件教案一、教学目标(一)知识目标通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用((二)能力目标充要条件是重要的数学概念(它主要讨论命题的条件和结论的关系(通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力((三)情感目标运用充分、必要、充要条件以及轨迹的纯粹性、完备性等知识，阐明曲线与方程在坐标系建立的条件下是怎样既对应又统一的，怎样互相转化的，在进一步理解曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系的过程中进行辩证唯物主义思想教育(二、教学重难点1(重点:充分条件、必要条件和充要条件的概念((解决办法:对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证()2(难点:充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用((解决办法:先要求学生分清什么条件是什么条件的充分条件或必要条件，同时要注意一些常见命题的正确性()三、活动设计1(活动:提问、讲授、引导练习(2(教具:小黑板、ppt四、教学过程(一)复习引入1、概述一下命题的四种形式，已及相互之间的关系，并指出原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

2、说出命题:“1、如果天下雨，那么地面湿。

2、如果小明是湖北人，那么小明是宜昌人。

”的逆命题，并判断其真假。

设计思路:对所学知识进行复习巩固，通过所学知识导入新知识，使前后连贯。

(二)充分条件和必要条件1、指出命题p与q间的推导关系:A、“如果p那么q”为真，是指经过由p推理可以得出q，也就是说p成立，记作:p?q。

B、如果由p推不出q,命题为假，记作:p q。

2、根据推导关系指出:对命题:若p(条件)，则q(结论)如果已知p?q，则说p是q的充分条件;如果已知q?p，则说p是q的必要条件;3、分析原命题如果天下雨，那么地面湿中的推导关系，以及充分条件和必要条件。

设计思路:逐步深入，便于学生理解与掌握。

1.2 代数式及其运算(一)一、教学目标：1.知识目标：(1)了解单项式、多项式、整式、有理式、代数式的意义；会求代数式的值；(2)理解因式分解的意义；掌握因式分解的提公因式法、公式法和分组分解法等因式分解的基本方法，熟练掌握十字相乘法和求根公式法.2.能力目标：培养学生的温故知新能力.3.思想品质目标：使学生具有“温故知新”的好品质.二、教学重点：多项式的运算、因式分解的常用方法，特别是十字相乘法和求根公式法.三、教学难点：因式分解几种方法的综合运用.突破难点的关键是讲清因式分解的常用方法的实质，并结合有关口诀加强记忆和理解(如十字相乘法中：“破尾碰中”；“破两头碰中间”等等)，以及加强乘法公式的教学(如完全平方展开式的口诀：“首平方、尾平方、二倍首尾乘积放中央”等).四、教学方法：复习法、讲授法与练习法相结合.五、教学过程：(一) 代数式，代数式的值，整式的运算及因式分解一、基础闯关自测1．填空题⑴ 当3=a 时，432-a = .⑵=+-)3)(3(a a ．⑶)2(y x xy -= ．⑷=--+22)23()23(y x y x .2．选择题(1)下列各式中正确的是( ).A ．326326x x x =÷ B. 648248x x x =÷C ．033=÷a a D.1233255=-÷b a b a (2))53)(53(--+-x x =( ).A ．25)3(2-x B. 252)3(x -C ．－25)3(2-x D. --2)5(2)3(x(3)如果43=a ，71-=b ，那么712++ab a 的值是( ).A ．3 B. 716 C ．716 D.1621 3．计算下列各题：(1))2)(2()32)(2()23(2y x y x y x y x y x -++----， (2)222224232323)(])()[(y x y xy x x xy -÷⋅-⋅-. 4．分解因式：(1)y x y x y x 3234268-+-；(2)82)4(2+--a a ；(3)mn n m 2122+--； (4)41032--x x .参考答案：1．⑴ 23 ； ⑵ 29a - ； ⑶ 222xy y x - ； ⑷ xy 24 .2．(1)B. (2)A ． (3)B ．3．(1)xy x 492-， (2)32y x -.4．(1))134(23+--y x y x ；(2))6)(4(--a a ；(3))1)(1(n m n m +--+； (4)4)54)(2(+-x x .二、知识要点小结1. 求几个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂.如：na .2. 幂的乘方法则：(1))(都是正整数、n m a a a n m n m +=⋅；(2))(n m n m a a a n m n m >=÷-都是正整数并且、；(3)mn n m a a =)((m 、n 都是正整数)；(4)n n n b a b a ⋅=⋅)( (n 都是正整数).3．整式的加减法：合并同类项.4．整式的乘法：(1)单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式乘以多项式：利用乘法对加法的分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积项加.(3)多项式乘以多项式：一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积项加.也可以使用乘法公式.常见的乘法公式有：平方差公式： (a ＋b )(a －b ) =a 2－b 2..；完全平方公式： (a ±b )2＝ a 2±2ab ＋b 2；(相应的口诀：“首平方、尾平方、二倍首尾乘积放中央”)立方和(或差)公式： (a ±b )(a 2 ab ＋b 2) ＝ a 3±b 3；和(差)的立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=-.5． 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式.因式分解的常用方法有：(1)公因式法；(2)公式法(逆用乘法公式)；(3)十字相乘法；(4)分组分解法.三、典型例题解析例1 计算(1)98)25.0()4(⨯-， (2))()()(762232b a bc a ab ÷⋅.分析 本题是综合应用幂的运算法则进行计算，要依据法则进行.解(1) 98)25.0()4(⨯-=25.0)25.0(4)1(888⨯⨯⨯-=25.0)25.04(8⨯⨯=25.0.(2))()()(762232b a bc a ab ÷⋅=)())((7622463b a c b a b a ÷=2726643c b a -+-+=2abc .说明：利用幂的乘方法则进行计算时，要注意运算顺序和法则的逆向使用.本题(1)中，逆向使用n n n b a b a ⋅=⋅)(是简化解题过程的关键.例2 计算()()32-+x x .分析 解决此类问题的关键是应用多项式的乘法法则.解 ()()32-+x x =)3(2)3(-+-x x x =662322--=-+-x x x x x .说明：利用乘法对加法的分配律是整式的乘法运算的基本方法，要注意运算的顺序，防止丢项.例3 计算()()1212++-a a .分析 已知代数式的结构虽然不是公式的“标准形式”.但是，只要交换位置，就可以运用乘法公式.解 ()()1212++-a a =()()a a 2121+-=1－2)2(a =1－42a .说明：使用乘法公式是多项式的乘法的重要方法.公式中的字母a ,b 可以代表数、单项式或多项式.通过适当的变形来使用公式的解题思路，要引起特别的注意.例4分解因式：2x 2－3x －5．分析：利用十字项乘法中，“破两头碰中间”的手段分解因式.解 2x 2－3x －5＝ (x ＋1)( 2x －5)说明：十字相乘法是二次三项式因式分解的常用方法.本题还可以考虑配方法，但是十字相乘法是最简便的方法.例5 分解因式 x 2－4xy ＋4y 2－6x ＋12y ．分析 观察本题的特点，前三项满足差的完全平方公式，后两项有共因数可提，因此可以考虑进行分组分解法．解 x 2－4xy ＋4y 2－6x ＋12y ＝(x 2－4xy ＋4y 2)－(6x －12y )= (x －2y )2－6(x －2y )＝ (x －2y )(x －2y －6)．说明：分组分解法的关键要明确分组的目的.一般经常从以下几个方面进行考虑：(1)分组后，各组之间存在公因式；(2)分组后，各组之间具有某个乘法公式的形式；(3)分组后，各组内具有某个乘法公式的形式.四、单元闯关评估⒈ 填空题⑴ )5.0()4(3bc b ab -⋅-=_______ _．⑵ 如果单项式x m y m －n 和n y x 231-是同类项，那么m ＝_______，n ＝________． ⑶ 分解因式=-327x ________ _．⑷ 3)32(x -＝______________________________．⒉ 选择题⑴ 下列式子成立的是( )A ．(－a )2＝－a 2B ．(x －y )2＝(y －x )2C ．(x －y )3＝(y －x )3D ．a p -＝－a p ⑵ n 为整数，与n 相邻的两个整数之积为 ( )A ．2nB ．n 2C ．n 2－1D ．n 2－4⑶下列运算正确的是( ) A ．x 3＋x 3＝x 6 B ．x 8÷x 2＝x 4C ．x m x n ＝x mnD ．(－x 4)5＝－x 20 ⑷ a 2－2ab ＋b 2－c 2＝( )A ．(a ＋b －c )(a －b －c )B ．(a －b ＋c )(a －b －c )C ．(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )D ．(a ＋b ＋c )(a －b －c ) ⒊ 先化简，再求值：(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋b 2(a ＋b )－a 3，其中41-=a ，2=b ．参考答案： ⒈ ⑴ 2242c b c ab +- ； ⑵2=m ， 1=n ； ⑶ )39)(3(2x x x ++- ；⑷ 322754368x x x -+- ．⒉ ⑴ B ⑵ C ⑶ D ⑷ D⒊ 原式为ab 2，当41-=a ， b ＝2时，原式为－1．六、小结：七、练习与作业：作业：单元闯关评估1.2.1第4题, 达标训练1.2.2第1、4题.。

充要条件教案# 《充要条件》教学设计一、教学目标1. 知识与技能目标- 学生能够理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。

- 能正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。

2. 过程与方法目标- 通过对实例的分析，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

- 经历充分条件、必要条件、充要条件概念的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法。

3. 情感态度与价值观目标- 激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的治学态度。

- 在探究过程中，培养学生的合作交流意识。

二、教学重点&难点1. 教学重点- 充分条件、必要条件、充要条件的概念。

- 对“充分”“必要”“充要”的理解与判断。

2. 教学难点- 必要条件概念的理解。

- 对充分性和必要性的证明。

三、教学方法采用探究式学习、小组合作式学习的教学方法。

四、教材分析1. 课程标准要求- 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义。

- 能够运用逻辑用语准确地表达数学内容。

2. 主要内容- 教材首先通过具体的实例引出充分条件的概念，如“若p，则q”形式的命题，如果由p可以推出q，那么p是q的充分条件。

例如，“若x > 3，则x > 2”，因为当x > 3时，必然有x > 2，所以“x > 3”是“x > 2”的充分条件。

- 接着引出必要条件的概念，若q成立时p一定成立，那么p是q 的必要条件。

例如，“若x是整数，则x是有理数”，有理数包含整数，所以当x是整数时必然是有理数，那么“x是有理数”是“x是整数”的必要条件。

- 最后给出充要条件的概念，当p既是q的充分条件又是q的必要条件时，p是q的充要条件，简称为p与q等价。

例如，“三角形的三条边相等”与“三角形的三个角相等”是互为充要条件的。

3. 重难点分析- 重点分析：充分条件、必要条件、充要条件是数学中非常重要的逻辑概念，它们贯穿于数学的各个领域，如函数、数列、几何等。

充要条件1．通过研究大量的实例抽象出充要条件的概念，能利用充要条件对具体的例子进行分析表述，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过探索充要条件与数学定义的关系，进一步理解充要条件，能进行充要条件的判断与证明，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．教学重点：充要条件的意义；教学难点：充要条件和数学定义之间关系．PPT 课件（一）确定方案 问题1：类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流．预设的答案：具体实例（命题真假判断）——抽象概念——概念辨析——应用概念． 抽象概念：什么是充要条件？概念辨析：充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关？应用概念：如何判断充要条件？设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：将命题“若p ，则q ” 中的条件p 和结论q 互换，就得到一个新的命题“若q ，则p ”称这个命题为原命题的逆命题.请你分别写出下列命题的逆命题．①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； ②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；③若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ； ◆教学目标 ◆教学重难点◆ ◆课前准备◆教学过程④若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：学生独立思考，写出结果，展示交流，教师帮助学生规范表达．预设的答案：（1）“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，而且它们是互逆的；（2）①若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等； ②若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；③若0<ac ，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；④若A 与B 均是空集，则B A 是空集．设计意图：逆命题对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．（三）新知探究1．形成概念问题3：对于下列“若p ，则q ”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；（4）若B A 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：在问题1的基础上，学生独立思考，给出判断，展示交流，互相更正． 追问1：根据以上命题及其逆命题的真假，那么p 是否为q 的充分条件或必要条件？为什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（2）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为假，所以p 不是q 的必要条件；（3）原命题为假，所以p 不是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（4）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件． 追问2：阅读教科书第20页最后一段到第21页第一段完，你能说说什么是充要条件吗？ 师生活动：学生独立思考，回答问题．老师板书．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引出充要条件的概念．2．辨析概念问题4：根据定义，上述四个命题中，哪些p 是q 的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p 应该称为q 的什么条件？你认为如何判断p 是q 的什么条件？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师更正并板书．预设的答案：上述命题（1）（4）中的p 是q 充要条件．对于命题（2），p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件，称p 是q 的充分不必要条件； 对于命题（3），p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，称p 是q 的必要不充分条件． 如果p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，称p 是q 的既不充分又不必要条件． 如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 充要条件；如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 充分不必要条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 必要不充分条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 即不充分又不必要条件．设计意图：借助学生熟悉的命题，说明p 是q 的充要、充分不必要等条件与p 是q 的充分条件、p 是q 的必要条件之间的关系．同时利用定义解决问题，形成方法．3．应用概念例3 下列各题中，p 是q 的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．（1）p ：两个三角形全等，q ：两个三角形三边成比例；（2）p ：四边形是平行四边形，q ：四边形的对角线互相平分；（3）p ：0>xy ，q ：0,0>>y x ；（4）p ：1=x 是一元二次方程02=++c bx ax 的一个根，q ：)0(0≠=++a c b a ． 追问1：判断p 是q 的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．如果学生只写出命题的真假，而没有给出理由，老师要进行追问．例如：学生在（1）中写出“若q ，则p 为假命题”，老师追问“为什么”，直到学生给出反例为止．设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法． 追问2：例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？（答案略）师生活动：学生回答，教师将学生的回答板书在黑板上．追问3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流．预设的答案：例如：相似三角形；菱形；子集等定义．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要条件的理解．例4 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，求证：d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．追问：依据充要条件定义，证明“d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．师生活动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命题以及证明思路，展示交流，老师帮忙完善．在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”．或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分性，哪一步是必要性．预设的答案：需要证明的命题以及证明思路：（1）若d =r ，则直线l 与⊙O 相切；思路：要证“直线l 与⊙O 相切”⇐“直线l 与⊙O 有且只有一个公共点”⇐先根据条件“d =r ”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．这一步称为“充分性”.（2）若直线l 与⊙O 相切，则d =r ．思路：由“直线l 与⊙O 相切”⇒“直线l 与⊙O 有且只有一个公共点P ”⇒“r OP l OP =⊥,”⇒“d =r ”．这一步称为“必要性”．证明：（1）充分性(⇒): 如图，作OP ⊥l 于点P ，则OP =d ．若d=r，则点P在⊙O上，在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．（2）必要性（⇐）：若直线l与⊙O相切，不防设切点为P，则OP⊥l．因此d=OP=r．由（1）（2）得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件．设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解．另外，这个题目推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要．（四）梳理总结问题5：本节课我们学习了充要条件，充要条件的含义是什么？对于“若p，则q”命题，判断p是q的什么条件的方法是什么？充要条件与数学定义有什么关系？师生活动：师生一起总结．p⇔．此预设的答案：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，则记作q时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q充分必要条件，简称为充要条件．判断方法：通过判断“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”的真假，从而得出p 是q的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要条件．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充要条件的含义以及它在数学中的地位和价值．。

1.2 充分条件和必要条件（1） 【教学目标】1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识． 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．【教学过程】一、复习回顾1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p 则q ．2．四种命题及相互关系：3．请判断下列命题的真假：（1）若x y =,则22x y =; （2）若22x y =,则x y =;（3）若1x >,则21x >; （4）若21x >,则1x >二、讲授新课1.推断符号“⇒”的含义：一般地,如果“若p ,则q ”为真, 即如果p 成立，那么q 一定成立,记作:“p q ⇒”; 如果“若p ,则q ”为假, 即如果p 成立，那么q 不一定成立,记作:“p q ⇒/”. 用推断符号“⇒和⇒/”写出下列命题：⑴若a b >，则ac bc >；⑵若a b >，则a c b c +>+；2．充分条件与必要条件一般地，如果p q ⇒，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件． 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？由上述定义知“p q ⇒”表示有p 必有q ，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？q 是p 的必要条件说明没有q 就没有p ,q 是p 成立的必不可少的条件,但有q 未必一定有p . 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p 则q ”为真（即p q ⇒）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q 则非p ”为真（即q p ⌝⇒⌝）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件），即 p q ⇒且q p ⇒；（2）充分不必要条件，即p q ⇒且q p ⇒/； （3）必要不充分条件，即p q ⇒/且q p ⇒；（4）既不充分又不必要条件，即p q ⇒/且q p ⇒/．3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。

1.4.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.教学知识梳理知识点一充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.『思考』(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？『答案』(1)正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点二常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p题型探究题型一充要条件的判断例1(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件『答案』A『解析』若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.解①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，所以p是q的充要条件.②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.反思与感悟判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.跟踪训练1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A.ab＝0B.ab>0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2>0『答案』D『解析』a 2＋b 2>0，则a 、b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2>0.(2)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________.『答案』a <－1『解析』函数没有零点，即方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根，即函数没有零点.故“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是a <－1. 题型二 充要条件的证明例2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2. 证明 ①必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，(x 1＋x 2)－2>0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－(2k －1)－2>0，k 2＋(2k －1)＋1>0，解得k <－2.②充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0. 设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2. 则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)>0. 又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2 ＝－(2k －1)－2＝－2k －1>0， ∴x 1－1>0，x 2－1>0. ∴x 1>1，x 2>1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k <－2.反思与感悟 一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .跟踪训练2 求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 证明 ①充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.②必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.课堂小结1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.当堂检测1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件『答案』A『解析』当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件『答案』A『解析』a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3.3.已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件『答案』C『解析』a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得|a |2＝2，∴a ＝±2.∴α是β的充要条件 4.已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝ ________.『答案』－1『解析』由1×3－a ×(a －2)＝0得a ＝3或－1，而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1.5.命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的________条件.『答案』充要『解析』当x >0，y <0时，x >y 且1x >1y 成立，当x >y 且1x >1y 时，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x －y xy <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0.所以p 是q 的充要条件.。