线性代数2007-2008-1-A答案

2007~2008学年第二学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中1、2-。

2、159206915-⎛⎫⎪-⎝⎭。

3、4。

4、213/21/2-⎛⎫⎪-⎝⎭。

5、 3 。

6、3。

7、 0 。

8、2。

9、1/λ。

10、222123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）1、解：212223242322A A A A +++=1222232********* ……3分122201220011001---=1=- ……6分2、解：由AX A X =+有()A E X A -=()1002001002001101200101201111120112A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ……4分 200120012X ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭……6分 3、解：由225A A E O --=有()()32A E A E E -+= ……3分320A E A E -+=≠有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分 且11(3)()2A E A E --=+ ……7分4、解：()1234310111512112370122318100001397000TTTTαααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分且31241237, 222αααααα=-=+. ……7分5、解：矩阵A 的特征方程为0)1)(2(163530642=--=-+--=-λλλλλλA E得特征值 12321==-=λλλ ……3分当21-=λ时有⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=--00,036303306632313212121x x x x x x x x x x x 即它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c c ……5分当132==λλ时有 02,6306306321212121=+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即它的基础解系是向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分6、解： 22020021201002000410011201001201001A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎪-⎛⎫=→⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分112012001P -⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭……6分 222123123(,,)24f x x x y y y=-+ ……7分 四、证明题（每题5分，共10分）1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =即i X 为A X O =的s 个解 ……2分 显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关 则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分 设 112233454()0k k k k ααααα+++-=有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 1411242234334()()()0k k m k k m k k m kαααα-+-+-+=……3分 ()1235,,,4R αααα=1235,,,αααα 线性无关则有141242343400k k m k k m k k m k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分故 12354,,,ααααα-线性无关 即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。

共 6 页第 1 页二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设两个非零矩阵,满足，则必有,B A 0B =A (A) 的列向量组线性相关. (B) 的列向量组线性无关.A A (C) 的列向量组线性相关. (D) 的列向量组线性无关. 【 】B B (2). 曲线绕轴旋转一周所形成旋转面的名称是22220x y z ⎧-=⎨=⎩x (A) 单叶双曲面.　(B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【 】(3). 已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，则必相似于对角矩阵A *A I -(A); (B);(C); (D); 【 012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭125-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭512-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭】(4).设矩阵，则＝111023004A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1*12A -⎛⎫ ⎪⎝⎭ (A). (B) . (C) . (D) . 【 12A 14A 18A 116A 】三、(12分) 设方阵满足,其中，求矩阵.B 22I =+*A B B 111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B共 6 页 第 2 页四、(12分) 已知直线，直线.11:232x y z L -==--2312:212x y z L -++==-（1）记的方向向量为，求过且与平行的平面的方程.i L (1,2)i a i = 1L 12a a ⨯ π　（2）求与的交点.并写出与的公垂线的方程.2L π1L 2L 五、(12分) 、取何值时,线性方程组a b 12341202011231011114423x x x a x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.共 6 页 第 3 页六、(12分). 设二次型,222123123121223(,,)4()f x x x x x x x x x x x x =++++-(1) 写出二次型的矩阵;123(,,)f x x x =T x Ax A (2) 求一个正交矩阵,使成对角矩阵;P AP P 1-(3) 写出在正交变换下化成的标准形.f Py x =七、 (12分) 设矩阵的全部特征值之积为24.12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A =(1) 求的值；　a (2) 讨论能否对角化，若能，求一个可逆矩阵使为对角阵。

一、选择题： [教师答题时间：2 分钟]（每小题 3 分，共 12分） ①C ②D ③D ④A二、填空题： [教师答题时间：4分钟]（每空 3分，共 12 分） ① 3 ② 线性相关 ③ n-r ④线性无关三、计算题 [教师答题时间： 6 分钟]（共16分）1、解: 2220000()000ab a b D a b b a ba==-（共8分）2、151110110010022(,)210010~010511(63250010017112251122A 511(271122A E -⎛⎫--⎪⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭分）所以分）四、综合题 [教师答题时间： 14 分钟]（共30分）1）解：12341234121131113111230252(,,,)(2~(2423100615624110025210020101~(4,,(3001000002(4αααααααααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=-分）分）分）所以最大无关组是分），并且分）2）解：11111111111(A )43511(2~01153(41310131R A 223k (410242(A )01153000002110a b a a b a a x c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭-⎛=，b 分）分）因为（），所以，行有比例关系，设为，则有-k=1-a,k=3-a,-5k-b-a,3k=1+a,求得k=1,a=2,b=-3分）故有，b 所以24253(50010c ⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分）五题 、解答题 [教师答题时间：8 分钟]（共12分）121323212311231)222011101(4110112)11(1)(2)(2112,1(221110112,2121~011,11120001111,T f x x x x x x x Ax A A E A E A E λλλλλλλλλληλλ=-+=-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭---=-=--+--=-==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭--==-=分）分）所以分）由取由()2312131231111111~00011200002101,1;1,1111122,1,P=,,,P 1(511P P P P P P AP ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪===-= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎭⎭-⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪-⎭⎝⎭取单位化：取有分） 六题 、解答题证明 [教师答题时间： 10 分钟]（共18分）22111)40(21021110,40;240(44ttA ttt A tt⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭=>=->=-+><二次型矩阵分）因为分）故有分）()()()() 12121211212 122),,(3111,,,,010(30011111110100,,010,,001001,,(2Y X XY Y X Y X Y X XY Y X Y X Y X X Y Y X Y X-⎛⎫⎪-+=-⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪-≠-+-=⎪⎪⎝⎭-+反证法说明无关分）分）因为，故可逆，故故无关分）。

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《 线性代数－2007》试卷A注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：开（闭）卷；一、单项选择题（每小题2分，共30分）。

1．设矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. A=A -1B. A=-EC. A=ED. det(A)=13.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)= ,则 【 】A. 14-B. 14C. 1-D. 1 4.设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 332211b a b ab a == D. 02131= b b a a9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是 【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni i n a a a a C. 121{(,,,)|1}n a a a a = D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a14. 下列矩阵中为正交矩阵的是【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. 1 -10 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1 00 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1、 2；2、 1；3、 21t ≠；4、k >二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ；2、 C ；3、 B ；4、 D 三、解答题（每小题9分，共36分）1、11(2,,)(2,,)1100011111100100020012000200011i in i n i n r r r r n nn n n D n nn n nn n==+++---=-------…..…（4分）()(1)(2)(1)1122000001(1)1(1)(1)()(1)1222000n n n n n n n n n n n n n n nn n n n -------+++=⋅=⋅⋅-⋅-=⋅⋅---...….（9分）2、记 121624,1713A A ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则121,1A A =-=；…..…………………………………..…..……...（4分）又1112767637,111112A A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1760011000037012A --⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭－。

………………………...（9分）3、由题意有010100001A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100011001B C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……………..…………………………………………...（4分） 于是 010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以011100001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

……….……………………………………...（9分）4、()123403481011,,,21043211αααα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1011034801220244-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～10110122002200-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭～10000104001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………...（4分） 则()1234,,,3R αααα=，且123,,ααα线性无关，所以123,,ααα即为1234,,,αααα的一个极大无关组，（7分） 且412304αααα=+-；…………………………………………………………………………………..………...（9分） 或者取124,,ααα，312404αααα=+-；还可以取134,,ααα，2341144ααα=+四、解()2111,1111tA b t t tt -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭～2223110110111t tt t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭～ 22321101100(1)(2)1t tt t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪-+---+⎝⎭…………………………….…………..………...（4分） 所以当12t t ≠-≠且时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分） 当2t ＝时，(),A b ～112403360001-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭()(),32R A b R A =≠=，所以方程组无解。

2007级线性代数试题和答案 A 卷2007级线性代数期末试题答案一、填空题（每小题4分、本题共28分）1．设A *是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2A =，则*2A = .2n n n 12 2|=22222n -=⨯=n-1**n-1n-1解应填因为行列式|2A |A |=|A|2．设4阶方阵A 和B 的伴随矩阵为A *和B *，且它们的秩分别为3)(=A r ，4)(=B r ，则秩=)(**B A r .()()()()****** 1.14 1.r A r B B r A B r A ====解应填由题设可知，，的可逆矩阵，故 3．设n 维向量(,0,,0,)T x x α=，其中0x <；又设矩阵T A E αα=-，且11T A E xαα-=+，则x = .()()()()()2-1-12 -12111- --111----21 -1-201111-22-12-11012T T T T T T TT T T T T T TT T x AA E E E x x x E E x x x x E x x AA E x x x x x x x x x x αααααααααααααααααααααααααααααααα=⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭=+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=≠+=+=+==解应填 因为，而 由及可知 故或-10-1x x =<=，又由可得4．已知n 阶方阵()ij n nA a ⨯=，12,,n ααα⋅⋅⋅，是A 的列向量组，行列式0A =，伴随矩阵*O A ≠，则齐次线性方程组*0A x =的通解为 .解 应填α =111221...n i i n i k k k ααα--+++ ,其中 121n i i i ααα⋅⋅⋅- 是向量组 12n ααα⋅⋅⋅的极大线性无关组， 121n k k k ⋅⋅⋅- 是任意常数。

因为|A|=0，A *≠0 所以秩r(A)=n-1，因此，向量组12n ααα⋅⋅⋅的秩r(12n ααα⋅⋅⋅)=n-1，由此又可知线性方程组A *x=0的基础解系含n-1个解，12n ααα⋅⋅⋅的极大线性无关组含n-1个向量，而A *A= A *(12n ααα⋅⋅⋅)=|A|E=0即A *=0(j=1 n) ，亦即12n ααα 都是A *x=0 的解，故12n ααα的极大线性无关组可作为A *x=0 的基础解系。

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

重庆大学线性代数（Ⅱ）课程试卷2006~2007学年 第2学期一、 填空题（3分/每小题，共30分） ⒈517924的逆序数为 7 ；⒉ A 为3阶方阵，且A =-2，A =123A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则312123A A A A -= 6 ；⒊若向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 876β相互正交，则t ＝__-11______；⒋ A 为3阶方阵，且A =2，则()=+-*122A A 16729；5．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 2 ；6．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系的向量个数是 N-1 ；7． A 为4阶方阵，B 为7阶方阵，且2,3A B ==-则=BO OA -6 ；8． 已知123,,ααα 线性无关，则133221,,αααααα+++线性 无关 ；9．非齐次线性方程组m n A x β⨯=有解的充分必要条件为)()(β A R A R =；10．当λ为 大于5 取值范围时, 二次型2332223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++= 为正定.二、 简答题（4分/每小题，共8分）⒈若n 阶方阵A 有O A =2，问是否O A =成立？为什么？不成立（2分），可取多个反例（2分） ⒉,A B 为n 阶方阵且相似，问,A B 是否等价？为什么？成立（2分），因为,A B 为n 阶方阵且相似，则存在C ，使得B AC C =-1，而C 可逆，则可表示初等方阵的乘积，于是,A B 等价（2分）。

三、 计算题（一）（8分/每小题，共24分）1． 计算四阶行列式.5021*********321---=D 解504173012107222.1730012107022204321.5021011321014321=-------=-------=---=D有过程但结果错误得一半的分数。